Kurzskript zur Vorlesung Quantenmechanik I, Prof. W. Vogelsang ...

eliebigen Zustand |ψ〉 ist
〈ψ|Ô2 Ô herm.
|ψ〉 = 〈ψ|Ô Ô|ψ〉 = 〈ψ|Ô† Ô|ψ〉 =
〈Ôψ|Ôψ〉 ≥ 0 . (24)
Hier haben wir im vorletzten Schritt die Definition des adjungierten Operators
Ô† benutzt, und im letzten die Tatsache, das die Norm eines jeden
Zustands ≥ 0 ist. Wählen wir für |ψ〉 einen Eigenzustand von Ô, so folgt
die Behauptung.
Aus (24) folgt, dass die Eigenwerte von ˆ⃗ L
2
ebenfalls größer oder gleich
Null sind. Wir schreiben:
ˆ⃗L 2 |lm〉 = ¯h 2 l(l + 1) |lm〉 ,
ˆL z |lm〉 = ¯h m |lm〉 . (25)
Dabei haben wir den Eigenwert von ˆ⃗ L
2
also mit ¯h 2 l(l + 1) bezeichnet, was
die korrekte Einheit hat, wenn l eine einfache Zahl ist. Wir wissen, dass
der Eigenwert ≥ 0 ist, also können wir ihn in dieser (auf den ersten Blick
etwas kompliziert anmutenden) Weise schreiben, die sich später als günstig
herausstellen wird. Es muss gelten l ≥ 0. Den Eigenwert von ˆL z haben wir
¯h m genannt, mit einer reellen Zahl m.
Es wird sich als sehr nützlich herausstellen, die Operatoren
ˆL + = ˆL x + iˆL y ,
ˆL − = ˆL x − iˆL y ≡ ˆL † + (26)
einzuführen. Diese werden wie die Operatoren â † , â beim harmonischen
Oszillator Auf- und Absteigeoperatoren werden, die uns von einem Eigenzustand
zu einem anderen führen. Da ˆ⃗ L
2
mit ˆLx und ˆL y vertauscht, gilt:
[ˆ⃗L
2
, ˆL±
]
= 0 . (27)
Außerdem ist
[ˆL + , ˆL z ] = [ˆL x + iˆL y , ˆL z ]
(19)
= −i¯hˆL y + i 2¯hˆL x = −i¯hˆL y − ¯hˆL x
= −¯hˆL + . (28)
Genauso zeigt man:
[ˆL − , ˆL z ] = ¯hˆL − . (29)
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