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Übung Nr: 6
Thema: Satz von Castigliano zur Berechnung stark gekrümmter Balken
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Aufgabe 6.2
Gegeben: d � 8mm R � 10mm
a) Für das dargestellte Kettenglied ist die Länge L so zu bestimmen, daß bezogen auf die im
Kettenglied auftretenden maximalen Nenn-(Zug)spannungen aus Biegung und Zug infolge der Zugkraft F
eine möglichst gute Bauteilausnutzung erfolgt.
b) Wie groß ist die maximal zulässige Kraft (F)zul wenn eine zulässige Nennspannung (�)zul � 215
N/mm(2) angenommen wird.
I. Freischnitt mit Ausnutzung der Symmetrie
GGW:

� FZ � 0 �N � F 2
Schnittlasten:
� MA � 0 � MB � MA � Nr � 0 �MB � MA � F 2 r
� MZentrum � 0 � Nr � MB � M��� � N���r Setze M� für M(�) und N� für N(�)
M�
r � N� � MB
r � N � F� An beliebigem Schnittufer ist F � konstant.
Momentengleichgewicht um S liefert:
� M0 � 0 � �M� � MB � N�r � rcos����
M�� MB � N�r � rcos���� � MA � F 2 r � F 2 �r � rcos���� �MA � F 2 rcos���
Mz � MB � MA � F r Schnittmoment im geraden Bereich
2
MA ist unbekannt,da 1-fach statisch unbestimmt bemühen wir den Satz von CASTIGLIANO
Für den stark gekrümmten Balken ist Querkraft nicht vernachlässigbar:
W � � M� 2
2EZ � �F� � 2
2EA
�
rd� mit Z � �
2
1 � �
R
dA (modifiziertes I:Flächenträgheitsmoment)
�: Zusätzliche Koordinate mit Nullpunkt in der Mitte der Balkenhöhe (analog zu e), also � [-h/2 bis h/2]
Für den geraden Balken vernachlässigen wir wie gehabt Quer- und Längskräfte:WFb � � Mb 2
2EI dz
Wges � � 0
0 � �Wges
�MA
�M�
�MA
�Mz
�MA
0 � �Wges
�MA
�
2 M� 2
2EZ � �F� � 2
2EA
�
2
� � 0
M�
EZ
l
rd� � � 0
�
2
�M�
rd� � � �MA
0
� � MA � F 2 rcos���
�MA
� � MA � F 2 r
� 1
�MA
� � 0
� 1
�
2 MAr � F 2 r2 cos���
EZ
Mz 2
2EI dz � mit F� � MB
r � N , MA � F 2 r und N � F 2
F� EA �F�
l
rd� � � �MA
0
�F �
�MA
�
d� � � 0
MB
Mz
EI
r � N
�MA
�
2 MA
r
�Mz dz
�MA
�
� MA � F
2 r
r
EA 1 r r d� � � 0
�MA
� F 2
l MA � F 2 r
EI
� 1 r
dz

0 � 1
ZE
1
2 �rMA � 1
2 Fr2 � 1
2
�
ArE MA � 1
2EI �2lMA � Flr�
0 � 1
Z ��rMA � Fr 2 � � �
Ar MA � 1
I �2lMA � Flr�
0 � �
Z rMA � F
Z r2 � �
Ar MA � 2 l
I MA � Fl r
I
� �
Z
F r2
Z
r � �
Ar
� l r
I
� 2 l
I
� � MA
Nun ist L so zu bestimmen dass �i � �a
�i � F�
A
�a � F�
A
� M�
Z
� M�
Z
�
1 � �
r
�
1 � �
r
�i � MA
Ar � MA � F 2 rcos���
Z
�a � MA
Ar � MA � F 2 rcos���
Z
mit � � � d
2 ist �i � F�
A
mit � � d
2 ist �a � F�
A
� d
2
1 � �d
2r
d
2
1 � d
2r
� M�
Z
� M�
Z
� d
2
1 � �d
2r
d
2
1 � d
2r
max �i��� für � � 0 � �i max � MA
Ar � MA � F 2 r
Z
max �a��� für � � � 2 � �a max � MA
Ar
� MA
Z
d
2
1 � d
2r
� d
2
1 � �d
2r
Durch Gleichsetzen der Maximalgleichungen und Einsetzen der Momentengleichung ist die Länge
eindeutig zu bestimmen.
�i � �a � MA � F 2 r
Z
MA � F 2 r
MA
MA
� d
2
1 � �d
2r
�
1 �
MA � 200
21
�
8 mm
2
�8 mm
2�10 mm
� d
2
1 � �d
2r
d
2
1 � d
2r
�
1 �
� d
2
1 � �d
2r
� MA
� F 2 r
8 mm
2
8 mm
2�10 mm
� MA
Z
d
2
1 � d
2r
� d
2
1 � �d
2r
� F � 5 mm
d
2
1 � d
2r
mm � F � 100
3 mm2 � F � 2MA
7 mm
�
1 �
8 mm
2
�8 mm
2�10 mm
Einschub zu Z:
Z � I 1 � 3
6 � e r � 2 � 3�5
6�8 � e r � 4 � 3�5�7
6�8�10 � e r � 6 �. . . d�2e [Quelle ten Bosch]
Z � �
64 4096 mm4 1 � 3
6
Z � �
64 4096 mm4 �
MA �
17 014
15 625
2MA �
7 mm r2 r � l Z I
� � � l r � � 2 Z Ar I �
2
7 mm
4 � 10 �2 � 3�5
6�8
� 4
10 �4 � 3�5�7
6�8�10
� 4
10 �6
� 1088 896
15 625 � mm4 � 2. 189 4 � 10 �10 m 4
100 mm2 1088 896
15 625 � mm4 � l 10 mm
� 4096 mm4
64
1 � � � 1088 896
15 625 � mm4 10 mm � �
16� mm2�10 mm � 2 l
�
64 4096 mm4 � �
7�mm� 407 639
2722 240 mm3 � 1
32�
l
mm4 � 2 390 625
272 224� mm2 � 5
32�
7�407 639
2722 240 mm2 � 7
32�
7�407 639
2722 240 mm2 2�390 625 �
272 224� mm2 l
mm3 2�390 625 �
272 224� mm2 � 10
32� mm 3
3
� l
32�
l
mm 3
l
mm 3
7�mm�
2
407 639 � 1
2722 240 mm3 32�
l
mm 4
390 625
272 224� mm2 � 5
32�
l
mm 3

l � 4. 513 7 � 10 �3 m
Zu Teil B)
�a � MA
Ar
�a � MA
F �
1
Ar � 1 Z
7 mm
� MA
Z
1
Ar � 1 Z
�a
F � 4084. 5 N
d
2
1 � d
2r
d
2
1 � d
2r
d
2
1 � d
2r
� MA � F �
1
16� mm 2 10 mm �
2 � 215 N
mm 2
1088 896
15 625
F � 2MA
7 mm � MA � 7 2 mm � F �a � �zul � 215 N
mm 2
2�a
7 mm 1 Ar � 1 Z
1
� mm4
1 �
8 mm
2
8 mm
20 mm
d
2
1 � d
2r
�
292 640 800
225 087
� N