Determinante (Eindeutigkeit)

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Wegen der Multilinearität erhält man alsoSumme von Determinanten von Matrizen, deren Spalten vonkommen, mit Vorfaktoren, die Produkte in den sind.Jede dieser Determinanten ist Null, falls eine Spalte von A mehrfachauftaucht. Die übrigen sind bis aufs Vorzeichen gleich .Ergebnis:wo irgendeine Funktion ist, deren Wert durch die Einträge der Matrixbestimmt ist.Aus Symmetriegründen (mit Zeilen von arbeiten):Insgesamt:mit , welches nicht mehr von A oder B abhängt.Wir setzen Einheitsmatrix und sehen, dass wir setzen müssen.Beweisende.ÜBUNG [02]:Zeige:Anwendungen der DeterminanteWir sind im allgemeinen nicht nur an Determinanten von Matrizen, sondernauch an Determinanten von Endomorphismen interessiert.ÜBUNG [03]:1) Definiere die Determinante eines Endomorphismus . Diese Definitiondarf (soll!) von der Wahl einer Basis des Vektorraumes abhängen.2) Zeige, dass deine Wahl doch unabhängig von der gewählten Basis ist.3) Warum betrachten wir keine Determinanten von allgemeinenHomomorphismen und nur von Endomorphismen?DENKANSTOSS: Die Determinante einer Matrix A beschreibt im reellen Falldie Volumenverzerrung der Abbildungund ihr Vorzeichen eine Orientierung.MATH: Als Folgerung unserer Überlegung bekommt man eine wichtigeBeziehung zwischen einer -Matrix und der vorzeichendekoriertentransponierten Matrix der Determinanten ihrer -Teilmatrizen. Diese Matrix heißt die Adjunkte der Ausgangsmatrix:> A:=Matrix(3,3,symbol=a);(2.2.1)
(2.2.1)>AdA:=Transpose(Matrix(3,3,(i,j)->(-1)^(i+j)*Determinant(SubMatrix(A,[seq(k,k=1..i-1),seq(k,k=i+1..3)],[seq(k,k=1..j-1),seq(k,k=j+1..3)]))));(2.2.2)>simplify(A.AdA);(2.2.3)MATH: Die Beziehung lautet:mitEinheitsmatrix.MAPLE hat selbstverständlich einen Befehl zur Erzeugung der Adjunkten:> Adjoint(A);(2.2.4)MATH: Durch die Adjunkte haben wir eine Formel für die Inverse einerMatrix :Entweder und ist nicht invertierbaroder und .ÜBUNG [04]:Man bestimme den Rang der folgenden Matrixunterausschließlicher Benutzung von Determinanten von Teilmatrizen:> A:=Matrix([[ 1 , 2 , 3 , 2 , 4 ],[ 1 , 2 , 3 , 3 , 5 ],
Seite 2 und 3: (1.1.1)>>Determinant(U);U:=Matrix(4
Seite 4 und 5: (1.2.4)Das Ziel ist es nun, diese M
Seite 6 und 7: true(1.2.10)Nun kann man die Zeilen
Seite 8 und 9: der Einführung des Gauß-Algorithm
Seite 10 und 11: Für jedes Elements auf L4 muss ein
Seite 12 und 13: (2.1.9)>expand(%-dA);0(2.1.10)Als w
Seite 16 und 17: [ 1 , 3 , 4 , 2 , 2 ],[ 3 , 7 , 10

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