2 Nachricht und Information

2 Nachricht und Information 33⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯2.4.2 Die mathematische WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit und relative HäufigkeitDie mathematische Wahrscheinlichkeit lässt sich mit der relativen Häufigkeit in Beziehungbringen. Im Falle des Würfelspiels erfasst man intuitiv: Die Wahrscheinlichkeit, mit einemWürfel eine 6 zu werfen ist zahlenmäßig gleich dem erwarteten Grenzwert der relativen Häufigkeitfür eine sehr hohe Anzahl von Würfen, nämlich 1/6. Dieser als das Gesetz der großenZahl bekannte Zusammenhang kann auf beliebige Zufallsereignisse verallgemeinert werden.Man postuliert also für die Wahrscheinlichkeit w(A), dass das Ereignis A eintritt [Kre02]:w(A) = lim(h(A))n→∞Dabei steht A für das betrachtete Ereignis und n für die Anzahl der Versuche.Die Axiome der mathematischen WahrscheinlichkeitMathematisch ist der Begriff „Wahrscheinlichkeit“ jedoch nicht durch die relative Häufigkeit,sondern durch die nachstehend angegebenen Beziehungen definiert, die drei Kolmogorow’schenAxiome der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie.Axiom 1: Die Wahrscheinlichkeit w(A) für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses A isteine reelle Funktion, die alle Werte zwischen Null und Eins annehmen kann:0 < w(A) < 1Axiom 2: Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses A, das mit Sicherheiteintrifft, hat den Wert 1:w(A) = 1Axiom 3: Für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A und B gilt:w(A oder B) = w(A) + w(B)Der Term w(A oder B) ist dabei als die Wahrscheinlichkeit zu interpretieren, dass entwederEreignis A oder Ereignis B eintritt, aber nicht beide Ereignisse zugleich, da sich A und B gegenseitigausschließen sollen. Dieses Additionsgesetz lässt sich auf beliebig viele, sich gegenseitigausschließende Ereignisse A 1 , A 2 , A 3 , ... erweitern:w(A 1 oder A 2 oder A 3 .... ) = w(A 1 ) + w(A 2 ) + w(A 3 ) + ...Dieser Zusammenhang ist sofort einleuchtend. Betrachtet man wieder das Würfelspiel, so istdie Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf mit einem Würfel eine 5 oder eine 6 zu würfelnnach der Abzählregel und in Übereinstimmung mit Axiom 3 offenbar 1/6 + 1/6 = 1/3.Es ist anzumerken, dass die für praktische Zwecke übliche Gleichsetzung der Wahrscheinlichkeitmit dem Grenzwert der relativen Häufigkeit im Sinne der Axiome zulässig, aber nichtzwingend ist. Die Axiome 1 bis 3 lassen sich auch mit anderen Zuordnungen erfüllen. DasAxiomensystem ist in diesem Sinne also nicht vollständig.Folgerungen aus den AxiomenAus den Axiomen 1 bis 3 lassen sich eine ganze Reihe von Folgerungen herleiten. So ergibtsich die Wahrscheinlichkeit w(A) für ein mit Sicherheit nicht eintretendes Ereignis A zu:w(A) = 0Die Wahrscheinlichkeit w(nicht A) dafür, dass das Ereignis A nicht eintritt, ist:w(nicht A) = 1 - w(A)