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c 22 · c 1−1c 2−c 12= m13 2· m 3 −1m1 3 −m 3 2= 3 · m3 3 · m 2 3· m3 · m 2 3 · m3= m3.3.6 Low-Exponent-AttackWie genannt wurde lange aus Geschwindigkeitsgründen e=3 oder e=17 gewählt.Die Verwendung von z.B. 3 ermöglicht eine sogenannte low-exponent-attack. Wirdeine Nachricht m von drei verschiedenen Teilnehmern verschlüsselt, so ergebensich die Chiffretexte y 1= m 3 mod n 1, y 2= m 3 mod n 2 und y 3= m 3 mod n 3, welchemit dem Chinesischen Restsatz y = m 3 mod n 1· n 2· n 1 berechenbar machen. Dam i n i ist, gilt auch m 3 n 1·n 2 ·n 1 und y = m 3 . D.h. das Ziehen der drittenWurzel aus y ergibt m.3.4 Die Implementierung des RSA-Verfahrens3.4.1 Schnelles Exponentieren 33Wie bereits erwähnt, ist die modulo-Exponentiation durch den Square-and-multiply-Algorithmus schnell durchführbar. Eine Zahl c wird durch die Folge der Zahlenb iϵ { 1,0 } mit i = 0...n binär dargestellt. Es kann y = a c mod m alsa 1 ·b0 ·a 2·b1 · a 4 ·b2 · …· a 2· n·b nmod m geschrieben werden. Eine Umformung ergibta c mod m=a b0 ·a b1·…a b n−2·a b n−1· a bn 2 2 … 2 2 mod m, wobei die modulo-Divisionnach jedem Rechenschritt erfolgen darf. Es ergibt sich der folgende Algorithmus:y = 1for i = n to 0y = y^2 mod mif b[i] = 1 then y = (y * a) mod mnext iEs werden nur so viele Schleifendurchläufe gebraucht wie c Binärstellen hat. Ohnediese Optimierung wären c modulo-Multiplikationen nötig.33 Vlg. http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Schnelles_Potenzieren&oldid=57520746. 05.04.2009.13