T Schwingungsdauer = 1 /f, Dauer einer vollen Schwingung, J ...

13.2 Eigenfrequenz der ungedämpften harmonischen Schwingung 203Beachte:• Zur Bestimmung von J S ist der Körper an einem Punkt außerhalb Saufzuhängen und mit kleiner Amplitude anzustoßen.13.2.5 FlüssigkeitsschwingungenWird die Flüssigkeit in den Schenkeln eines U-Rohres aus dem Gleichgewichtgebracht, so führt sie harmonische Schwingungen aus.WennT Schwingungsdauer = 1/ f ,hl Länge der Flüssigkeitssäule von Oberfläche bishOberfläche,g Fallbeschleunigung = 9,807 m/s 2 (auf der Erde),dann gilt, wenn der Höhenunterschied zwischen beidenOberflächen 2h beträgt, für die RückstellkraftlF R = F G = −2hAϱg. DieRichtgröße k = −F R /y =−F R /h ergibt sich zu k = 2Aϱg. Mit der Masse m = lAϱ folgt fürdie Schwingungsdauer entsprechend (M13.11) T = √ 2π m/k√lAϱT = 2π und daraus2Aϱg(M13.18)√lT = 2π2gT l gSI s m m s 2MBeachte:• Die Schwingungsdauer hängt nur von l, nichtabervonϱ, A oder hab.• Die schwingende Flüssigkeitssäule besitzt die gleiche Schwingungsdauerwie ein mathematisches Pendel mit der halben Länge derFlüssigkeitssäule.13.2.6 SchwingungsenergieDie Energie eines ungedämpft schwingenden Systems ist konstant. Siesetzt sich aus potenzieller Energie E p und kinetischer Energie E k zusammen.Beide Energiearten ändern ihre Größe periodisch. Zu jedem

204 13 Mechanische harmonische SchwingungenZeitpunkt gilt E = E p + E k . Mit (M 7.21) und (M 7.19) ergibt sichE = ky22 + mv22 .WennE Energie des Schwingers,k Richtgröße,y Amplitude, Auslenkungsmaximum,ϕ Phasenwinkel = ωt + ϕ 0 ,dann gilt mit (M13.2) und (M13.3)E = k 2ŷ2 sin 2 ϕ + m 2 ŷ2 ω 2 cos 2 ϕ .Mit (M 13.8) mω 2 = k folgtE = k 2ŷ2 sin 2 ϕ + k 2ŷ2 cos 2 ϕ ,darausE = k 2ŷ2 (sin 2 ϕ + cos 2 ϕ )und schließlich(M13.19)EE = kŷ22 = m ˆv22E gesE k y v m ϕSI J=N·m N m m m kg rad=1sE kE p= E k E p00T4T 3T T 5T 3T2 44 2tBeachte:• Die Gesamtenergie ist konstant. Die periodische Umwandlung vonkinetischer in potenzielle Energie (und umgekehrt) erfolgt mit derdoppelten Frequenz des Schwingers.• Beim Nulldurchgang (t = 0, ϕ = 0) besitzt der Schwinger nur kinetischeEnergie, die potenzielle Energie ist null. In den Umkehrpunktenist es umgekehrt.

13.3 Freie gedämpfte Schwingung 205Übersicht:E p =E k =allgemein Umkehrpunkt Nulldurchgangky 22 = kŷ22 sin2 ϕ Ê p = kŷ22mv 22 = m ˆv22 cos2 ϕ 0 Ê k = m ˆv2213.3 Freie gedämpfte SchwingungDie Energie eines schwingenden Systems wird durch bremsende Kräftewie innere und äußere Reibung, Luftwiderstand u. Ä. allmählich aufgezehrt.Da E ∼ ŷ 2 (M13.19), nimmt auch die Amplitude ŷ bis zu nullab.Als Dämpfung bezeichnet man das gesetzmäßige Abnehmen derAmplitude im Verlaufe einer Schwingung.Dabei sind – unabhängig von der Art der dämpfenden Kraft – zweiMöglichkeiten zu unterscheiden:◮ Die Kraft ist konstant, z. B. yReibung in der Lagerung desSchwingers. Dann sind die∆y = konstantAmplituden Glieder einer y 1 y 2 y 3 y 4fallenden arithmetischen Reihe,sie nehmen linear ab. DietDifferenz zweier benachbarterAmplituden gleichen Vorzeichens(ŷ i − ŷ i+1 )istkonstant.◮ Die Kraft ist der Momentangeschwindigkeityproportio-nal, z. B. innere Reibung beielastischer Verformung. y 1 y 2y 3 y 4Dann sind die AmplitudenGlieder einer fallenden geometrischentReihe, sie nehmenexponentiell ab. Der Quotientzweier benachbarter Amplitudengleichen Vorzeichens(ŷ i /ŷ i+1 ) ist konstant.0M

206 13 Mechanische harmonische Schwingungen■ Bei gedämpften Schwingungsvorgängen wird in der Technik die geschwindigkeitsabhängigeDämpfung angestrebt. Da sich aber auch beiguter Lagerung des Schwingers Reibung nie ganz vermeiden lässt, tretenbeide Dämpfungsarten meist gleichzeitig auf. Die Gesamthüllkurve derAmplituden ergibt sich dann aus einer Überlagerung beider Hüllkurven(algebraische Addition der momentanen Elongationen).13.3.1 SchwingungsgleichungVerursacht wird die Dämpfung durch eine Kraft (meist innere Reibung),die der Geschwindigkeit proportional und ihr entgegengerichtet ist:F D ∼−v. Der Proportionalitätsfaktor wird als Dämpfungskonstante βbezeichnet, also F d = −β v = β ẏ.SI-Einheit der Dämpfungskonstanten:[β ] = N · sm= kgs .Aus Zweckmäßigkeitsgründen führt man den Abklingkoeffizientenδ = β /(2m) ein.SI-Einheit des Abklingkoeffizienten: [δ ] = 1 s .Wenny Elongation, Auslenkung,ẏ Momentangeschwindigkeit,ÿ Momentanbeschleunigung,β Dämpfungskonstante = 2mδ ,δ Abklingkoeffizient = β /(2m),ω 0 Eigenkreisfrequenz (Kennkreisfrequenz) der gleichen Schwingungohne Dämpfung = 2π f 0 ,dann lautet die Grundgleichung der Dynamik (M7.1) für diesen Fall:Rückstellkraft + Dämpfungskraft = Masse × Beschleunigung, also−ky − β ẏ = mÿ.Daraus folgtÿ + β mẏ + k m y = 0. Mit βm = 2δ und k m = ω 2 0 ergibt sich dieGleichung der gedämpften Schwingung(M13.20)ÿ + 2δ ẏ + ω 2 0y = 0

13.3 Freie gedämpfte Schwingung 207Beachte:• Die Begriffe Dämpfungskonstante, Abklingkoeffizient, Dämpfungskoeffizientu. a. sowie ihre Formelzeichen werden in der Literatur nichteinheitlich verwendet.13.3.2 ElongationWenny Elongation (Auslenkung) zur Zeit t,ŷ 0 Anfangswert der Amplitudenhüllkurve (zur Zeit t = 0),ŷ Amplitude,e Basis des natürlichen Logarithmus = 2,718 28 ...,ϕ Phasenwinkel = ω d t + ϕ 0 ,ω d Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung → (M13.29),ϕ 0 Nullphasenwinkel,δ Abklingkoeffizient = β /(2m),dann gilt als eine Lösung der Differenzialgleichung (M13.20)y, ŷ 0 t δ ϕ(M13.21) y = ŷ 0 e −δ t sin ϕ1SI m s rad = 1s■ Für Messungen und Rechnungen ist es günstig, die Zeit mit t = 0von einem Augenblick an zu zählen, der eine bequeme (mathematische)Anwendung von (M13.21) ermöglicht. Dies sind der Durchgang durchdie Mittellage und der Umkehrpunkt.yy 0ˇˇy 0 e – δ t sin ω d tˇy 0 e – t δMˇy 1ˇy 2ˇy 314123 1234tT dˇ–y 0 e – t δ◮Im Augenblick des Nulldurchgangs herrschen folgende Anfangsbedingungen:t = 0, y 0 = 0, v 0 = ˆv, ϕ 0 = 0. An Stelle des (nicht

208 13 Mechanische harmonische Schwingungenmessbaren) Anfangswertes der Amplitudenhüllkurve ŷ 0 wird wegen(M13.4) ˆv = ŷω in (M13.21) ŷ 0 durch ˆv/ω d ersetzt.(M13.22)y =ˆvω de −δ t sin ω d t◮ Im Umkehrpunkt gelten die Anfangsbedingungen: t = 0, v 0 = 0,y 0 = ŷ 0 , ϕ 0 = 90 ◦ = π/2 rad. (M13.21) nimmt die Form an(y = ŷ 0 e −δ t sin ω d t + π )(M13.23)= ŷ 0 e −δ t cos ω2d tyˇy 0ˇy 0 e – δ t cos ω dtˇy 0 e – t δˇy 1ˇy 2t■ Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Amplituden gleichen Vorzeichensist konstant und wird als Amplitudenverhältnisq (manchmal Dämpfungsverhältnisκ) bezeichnet.y iWennq Amplitudenverhältnis,δ Abklingkoeffizient = β /(2m),T dT d Schwingungsdauer der gedämpftenSchwingung,Λ logarithmisches Dekrement,n beliebige ganze Zahl,dann gilt ŷ i /ŷ i+1 = q. Daraus folgt für die n-te Amplitudeˇˇy i+1t(M13.24)ŷ i+n = ŷiq n

13.3 Freie gedämpfte Schwingung 209Da der zeitliche Abstand zweier benachbarter Amplituden eine SchwingungsdauerT d beträgt, folgt aus (M13.21)(M13.25)e δ T d=ŷiŷ i+1= qundδ T(M13.26) e nδ T d=ŷi = q n 1ŷ i+nSI ssDen Exponenten δ T d bezeichnet man als logarithmisches DekrementΛ . Aus (M13.25) erhält man durch LogarithmierenM(M13.27)ŷiΛ = δ T d = ln = ln qŷ i+1Einheiten → (M13.26)■ Die Amplituden nehmen exponentiellmit der Zeit ab. Die für denRückgang auf den e-ten Teil des Anfangswerteserforderliche Zeit heißtAbklingzeit τ . Aus (M13.21) folgt mity = ŷ 0 /e = ŷ 0 e −δ τyˇy 0y 0eˇt(M13.28)τ = 1 δ1 δFür die Halbwertszeit T H , also die Zeit, in der die Amplitude auf dieHälfte ihres Anfangswertes sinkt, folgt aus (M13.21)ŷ 02 = ŷ 0 e −δ T H. Logarithmieren ergibt ln 2 = δ T H und daraus(M13.28a)T H = ln 2δ13.3.3 EigenfrequenzDie Dämpfung bewirkt eine vom Abklingkoeffizienten δ abhängige Veränderungvon Frequenz, Kreisfrequenz und Schwingungsdauer.Wennω d Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung = 2π f d = 2π/T d ,ω 0 Kreisfrequenz der gleichen, jedoch ungedämpften Schwingung= 2π f 0 = 2π/T 0 = √ k/m,