Klausur und Lösung

Aufgabe 6: (4+2=4 Punkte)a) Zeigen Sie, daß alle Nullstellen des PolynomsP(z) = 3z 7 − 5z 6 + 7z 3 + 7in der Kreisscheibe B 2 (0) = {z ∈ C : |z| < 2} liegen.Lsg. Nutze Satz von Roucheb) (Zusatzaufgabe) Geben Sie einen Radius R > 0 an, so dass der Kreis B R (0) = {z ∈ C : |z| < R}keine Nullstellen von P(z) enthält.Von den folgenden beiden Aufgaben ist genau eine zu bearbeiten.A: (6 Punkte)Die Funktion f sei in einer Umgebung des Punktes z 0 komplex differenzierbar. Leite damit ausder Definition der komplexen Differenzierbarkeit (Quotientendefinition) die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen im Punkt z 0 her.Lsg.:Wähle einmal eine Annäherung parallel zur reellen und einmal zur imaginären Achse undvergleiche dann Real- und Imaginärteil von f ′ (z 0 ).B: (2+4=6 Punkte)a) Wie lautet der Satz von Liouville?Vor.: f ist ganze Funktion und beschränkt =⇒ f ist konstant. b) Beweise den Satz vonLiouville.Die Behauptung folgt direkt aus der Integralformel von Cauchy. Sei f : C → C durch c ∈ Rbeschränkt, dann gilt mit der Integralformel und der Standardabschätzung für Kurvenintegrale∣ f ′ (z) ∣ ∣ ∣∣∣∣ ∮1 =2πi ∂U r(z)∣f(ζ) ∣∣∣∣(ζ − z) 2dζ ≤ 1und weil C zusammenhängend ist, folgt die Behauptung.2π · 2πr · c→ 0(r → ∞), (3)r2 3