Wiederholungsaufgaben

a) ∞ ∑k=11(3 − 1k)(3k + 1) , b) ∑ ∞f) ∑ ∞k=1 (−1)k+1 k √ kk ,j) ∑ ∞k=1k!k k ,k) ∑ ∞n=1k=1g) ∑ ∞k=1(Aufgabe 6:Welchen Wert hat folgende Reihe?Aufgabe 7:Konvergiert die Reihe ∑ ∞k=1k 22 , c) ∑ ∞kk=1k 4e k ,+ 1/k)k(−1)k+1(1k) 2.2!3 · 5 · . . . · (2n + 1)2 + (−1) n∞∑k=11k 2 − 1d) ∞ ∑k=24k(lnk) k ,, h) ∑ ∞k=1e) ∞ ∑1(ln k)ln k,i)k=12 n−1 und was ist gegebenfalls ihr Wert?1√(3k + 7)(k + 4),∑ ∞k=1Aufgabe 8:Zeige: Sei f : B d (x 0 ) → R stetig in x 0 und sei f(x 0 ) ≠0. So gilt die folgende Aussage:1(ln k) 3,∃δ > 0 :12 |f(x 0)| ≤ |f(x)| ≤ 3 2 |f(x 0)| ∀x ∈ B δ (x 0 ).Aufgabe 9:Sind die nachfolgenden Funktionen stetig bei x 0 = 0? Fertige Skizzen an.{sin 1 xf(x) =, für x ≠ 00, für x = 0f(x) = [x]{x sin 1 xf(x) =, für x ≠ 00, für x = 0{x cos 1 xf(x) =, für x ≠ 00, für x = 0wobei [x] := ganzzahliger Anteil von xf(x) = x · [x]Aufgabe 10:Zeige folgende Aussage: Sind f, g : [a, b] −→ R stetig und gilt f(x) = g(x) für x ∈ [a, b]∩Q,so gilt auch schon f = g für alle x ∈ [a, b]. D.h. stetige Funktionen sind schon durch ihre

Werte auf einer dichten Menge bestimmt.Aufgabe 11:Bestimme die Grenzwertelim (1 +n→∞ 1/n)2+719 , lim (1 − 1/n) n und lim ( √ 9n 2 + 2n + 1 − 3n) n .n→∞ n→∞Aufgabe 12:a) Ist die durch a 0 = √ 2 und a n+1 = √ 2 + a n konvergent? Falls ja, was ist ihr Grenzwert?b) Ist die Zahlenfolge a n = 1n + 1 + 1n + 2 + . . . + 12n konvergent?Aufgabe 13:Bestimmea) limn→∞n 4 + 3n 2 − 2n + 1n 5 − 4n 3 + 1b) limn→∞n 4 − n 6 − 2n + 7−3n 4 − 4n 3 + 1n 4 + 3n 2 − 2n + 1c) limn→∞ n − 4n 3 + 1Aufgabe 14:Bestimme die HP, Sup., Inf., Min. Max. vona) { 1/m + 1/n|m, n ∈ N +} { }(−1)nb)n 21/m |m, n ∈ N + , c) {x|x ∈ Q, x > 1}d) {x|x ∈ R, x 4 < 64} e) {x|x ∈ R, 2x 2 + 8x ≤ 1}Aufgabe 15:Bestimme HP, oberen und unteren Grenzwert und falls möglich den GW.a) a n = (−1) n (1/n) n+1 , b) n n = sin nπ 4 , c) c n = 2(−1) n+1 + (−1) n(n+1)/2d) d n = (1 + (−1) n ) · nAufgabe 16:Die Folge {a n } sei nach unten und die Folge {a n } nach oben beschränkt und es geltea n ≤ b n für alle n. ZeigeAufgabe 17:Berechne den GrenzwertAufgabe 18:lim infn→∞a n ≤ lim sup b n .n→∞7 n+1 + 19 n+1lim .n→∞ 7 n + 19 nGegeben sei die Zahlenfolge a n = n + 1n 2 − 1 . Bestimme eine natürliche Zahl n 0, so dass für

alle n > n 0 gilt a n < 10 −6 .