Protokoll zum Versuch 4 - physics - Johannes Dörr

Strömungsmechanisches Praktikumdes DLRSS08Protokoll zum Versuch4Instabilität der Taylor-Couette-StrömungName:Johannes DörrJan Schumann-BischoffE-Mail:JanSB.stud@googlemail.comAssistent:Bastian WilkeVersuch durchgeführt am: 10.07.08Protokoll erstellt am: 26.7.08

31 EinleitungIn diesem Versuch sollen die wesentlichen Charakteristika einer Coutte- und Taylor-Strömunguntersucht werden. Insbesondere sollen die Bedingungen für die Übergänge von der einenin die andere Strömungsform bestimmt und mit dem Experiment verglichen werden.2 TheorieWir betrachten einen Hohlzylinder mit dem Radius R 2 . In dessen Inneren befindet sichein weiterer Zylinder mit dem Radius R 1 . Der Zwischenraum ist mit einer Flüssigkeit(bei uns ein Glycerin-Wasser Gemisch) aufgefüllt. Rotiert der äußere Zylinder, so habendie Flüssigkeitsteilchen aufgrund der Haftbedingung außen eine höhere Geschwindigkeit alsinnen. Auf ihnen wirkt also eine stärkere Zentrifugalkraft. Dies wirkt sich stabilisierend aufdie Strömung. Es bildet sich eine gleichmäßig laminare Strömung zwischen den Zylindernaus. Rotiert allerdings der innere Zylinder und der äußere ruht, so bewirkt die Rotationdas Gegenteil. Für kleine Geschwindigkeiten bildet sich ebenfalls eine gleichmäßige laminareStrömung (Couette-Strömung) mit einem in der Ebene senkrecht zur Rotationsachselinearen Geschwindigkeitsprofil zwischen R 1 und R 2 aus. Bei größerer Geschwindigkeit gehtdie Couette-Strömung in die Taylor-Strömung über. In der Nähe des rotierenden Zylindersist aufgrund der größeren Geschwindigkeit der Flüssigkeitsteilchen die auf diese wirkendeZentrifugalkraft größer als die der Äußeren. Folglich drängen die Teilchen aus dem Innerennach außen, so dass die äußeren Teilchen nach oben bzw. unten verdrängt werden. Esbilden sich geschichtete Ringwirbel aus (Abb. 2.1). Auch diese Strömung ist noch laminar.Taylor fand für das Auftreten dieser stationären Instabilität die Bedingung:Abbildung 2.1: Taylor-Wirbel

4 2 THEORIEu Zyl dν> 41, 3√ rd , (2.1)wobei r der Mittelwert der beiden Radien, ν die Viskosität, u Zyl die Geschwindigkeit desinneren Zylinders an der Grenze zur Flüssigkeit und d der Abstand zwischen beiden Zylindernist. Durch weiteres Erhöhen der Geschwindigkeit geht die Strömung in eine turbulenteStrömung über.2.1 Stabilitätsanalyse2.1.1 Couette-StrömungDa es sich um ein rotationssymmetisches Problem handelt, wollen wir die Ableitung in Zylinderkoordinatenr, φ, z mit den Geschwindigkeitskomponenten u, v, w in radialer Richtung,Umfangsrichtung und z-Richtung durchführen. Aufgrund der Symmetrie der Apparaturnehmen wir an, das die Geschwindigkeitskomponenten keine φ-Abhängigkeit aufweisen.Unter diesen Annahmen erhält man für die Kontinuitätsgleichung und die Navier-StokesGleichungen 1 (ρ sei die Dichte, p der Druck):1r ∂ r(ru) + ∂ z w = 0 (2.2)( )∂ t u + u∂ r u + w∂ z u − v2r = −1 ρ ∂ rp + v ∆u − u2(2.3)r 2∂ t v + u∂ r v + w∂ z v + vu ( )r = v ∆v − v2(2.4)r 2∂ t w + u∂ r w + w∂ z w = − 1 ρ ∂ zp + v ∆w (2.5)Im Fall der Couette-Strömung fließen keine Teilchen in r- und z-Richtung, also u = w = 0.Aus (2.4) folgt direkt∂ 2 r v + 1 r ∂ rv − v r 2 = 0 .Aufgrund der Haftbedingung muss v(R 1 ) = ω 1 R 1 und v(R 2 ) = ω 2 R 2 (ω 1,2 ist die Geschwindigkeitdes ersten bzw. zweiten Zylinders). Diese DGL wird durchv(r) = Ar + B r(2.6)gelöst, wobeiA = ω 2R 2 2 − ω 1 R 2 1R 2 2 − R 2 1B = R2 1R 2 2(ω 1 − ω 2 )R 2 2 − R 2 11 Der Laplaceoperator in Zylinderkoordinaten ist ∆ = 1 r ∂ r + ∂ 2 r + 1r 2 ∂ 2 φ + ∂2 z. Da aus genanntenphysikalischen Gründen die Geschwindigkeiten unabhängig von φ sind, vereinfacht sich dieser zu:∆ = 1 r ∂ r + ∂ 2 r + ∂ 2 z.

2.1 Stabilitätsanalyse 5ist. Das nur von r abhängige Geschwindigkeitsprofil wird also durch (2.6) beschrieben. Aus(2.3) folgt weiter für den Druck:2.1.2 Taylor-Strömungdp(r)r= ρv2r(2.7)Bei größeren Geschwindigkeiten sind die Bedingungen u = w = 0 nicht mehr haltbar. Wirlassen eine kleine Störung der Größen zu und erhalten durch das Einfügen von Störtermen(gekennzeichnet durch ′ ) u ′ , v + v ′ , w ′ und p + p ′ . Unter Verwendung von (2.7) und demVernachlässigen von quadratischen Störtermen erhalten wir aus den Navier-Stokes-Gl. undder Kontinuitätsgleichung:1r ∂ r(ru ′ ) + ∂ z w ′ = 0 (2.8)∂ t u ′ − 2vv′ = − 1 ( )r ρ ∂ rp ′ + v ∆u ′ − u′(2.9)r( )2∂ t v ′ + 2Au ′ = v ∆v ′ − v2(2.10)r 2∂ t w ′ = − 1 ρ ∂ zp ′ + v ∆w ′ (2.11)Um Lösungen für die Störterme zu finden und die im Experiment beobachtbaren Wirbelzu beschreiben machte Taylor folgenden Ansatz:u ′ γt cos(σz)= u 1 (r)ev ′ γt cos(σz)= v 1 (r)ew ′ γt sin(σz)= w 1 (r)ep ′ γt cos(σz)= p 1 (r)eDa nach der Haftbedingung die Geschwindigkeit eines Teilchens an den Zylindern verschwindenmuss, formulieren wir die Randbedingungen für r = R 1 und r = R 2 durchu 1 = v 1 = du 1= 0. Durch Einsetzen der Ansätze erhalten wir mit etwas Rechnung ausdr(2.9) die zwei gekoppelten DGLen 6. Ordnung(A + B )vr 2 1 (r)(L − σ 2 − γ )(L − σ 2 )u 1 (r) = 2σ2νν(L − σ 2 − γ )v 1 (r) = 2 ν ν Au 1(r) ,wobei der Differentialoperator L definiert ist durchL = d ( ddr dr + 1 )r.

6 3 DURCHFÜHRUNGNeben den trivialen Lösungen u 1 = v 1 = 0 existieren nur dann weitere Lösungen, wenn dieKoeffizienten folgende charakteristische Gleichung erfüllen:F (A, B, ν, σ, γ) = 0, mit A, B = f(R 1 , R 2 , ω 1 , ω 2 )Mit d = R 2 − R 1 und der ReynoldszahlRe = ω 1 R 1dνmachen wir alle Längen und Geschwindigkeiten dimensionslos:(F ∗ R2, ω )2, Re, σ, γ = 0 .R 1 ω 1(2.12)Die Strömung ist stabil, wenn γ = 0. Für festes R 1 /R 2 und ω 1 /ω 2 tritt diese Lösung füreine Wellenzahl σ in z-Richtung für ein bestimmtes Re(σ) ein. Die kleinste Re(σ) = Re krit ,die dies erfüllt, ist die kritische Reynoldszahl. Wenn der äußere Zylinder ruht (ω 2 = 0), sogilt in guter Nährung (d/R 1 ≤ 1)3 Durchführung(dRe krit (ω 2 = 0) = ω 1 R 1ν = 41, 1 + 14, 5 d ) √R1 + R 2R 1 d3.1 Messung der Viskosität. (2.13)Über ein Viskosimeter soll die Viskosität eines Glycerin-Wasser-Gemisches gemessen werden.Dazu wird die Flüssigkeit in das Viskosimeter gefüllt. Dannach wird das Belüftungerohrmit dem Finger verschlossen und über einen Schlauch soweit Luft aus der Kapillaregesaugt, dass die Vorlaufkugel am oberen Ende der Kapillare voll gefüllt ist. Jetzt öffnetman wieder das Belüftungsrohr und unter der angesaugten Flüssigkeit reißt die restlicheFlüssigkeit ab. Lässt man den Schlauch los, so läuft die Flüssigkeit langsam durch dieKapillare nach unten. Es wird die Zeit gemessen, die die Flüssigkeit braucht, um zwei Makierungenan der Kapillare zu passieren. Die kinematisch Viskosität errechnet sich dannzuν = Kt , (3.1)wobei K = 1, 003 eine speziefische Größe des Viskosimeters ist.3.2 Taylor-Couette-StrömungDie Apparatur ist wie am Anfang der Theorie beschrieben. Der äußere Zylinder ruht unddie Drehzahl des Inneren wird variiert. Wir suchen nun die Geschwindigkeiten, bei denendie Couette in die Taylor und die Taylor in turbulente Strömung übergeht. Bei derTaylorströmung wird noch die Wellenlänge bestimmt.

74 Auswertung4.1 Bestimmung der ViskositätDie mittlere Durchflusszeit beträgt t = 5, 497(39)s. Nach (3.1) ergibt sich mit K = 1, 003für die kinematische Viskosität:ν = 5, 513(39) mm2sDie Viskosität vom Glycerin-Wasser Gemisch der anderen Apparatur ist mit 8, 48mm 2 /sangegeben. Da uns das genaue Mischverhältnis im Viskosimeter unbekannt ist, könnenwir lediglich sagen, dass die Größenordnungen übereinstimmen. Genauer Zahlenvergleichmacht keinen Sinn (es sei denn, beide Mischverhältnisse sind identisch).4.2 Taylor-Couette-Strömungen4.2.1 Couette-StrömungWenn der innere Zylinder mit einer konstanten Geschwindigkeit rotiert, so ist nach kurzerEinlaufzeit eine laminare Strömung zu beobachten. Wie in der Theorie bereits beschriebenist keine Teilchenbewegung in z- oder r-Richtung zu beobachten. Es ist lediglich ein voninnen nach außen linear abfallend erscheinendes Geschwindigkeitsprofil zu erkennen, welchesunabhängig von der Höhe z ist. Durch langsames Erhöhen der Geschwindigkeit gehtdie Strömung in die Taylor-Strömung über. Diesen Umschlagpunkt haben wir bei einerGeschwindigkeit vonω C = 0, 208s −1gemessen. Zwischen 0 und 0,208 Umdrehungen pro Sekunde handelt es sich also um eineCouette-Strömung.4.2.2 Taylor-StrömungDie in Abb. 2.1 dargestellten Taylorwirbel sind gut sichtbar. In äquidistanten Abschnittenin z-Richtung ist zu erkennen, dass die Teilchen von innen nach außen strömen und amäußeren Zylinder nach unten bzw. oben abgelenkt werden. Diese Wirbel wirken wie rotierendeWalzen. Die Wellenlänge ist dann die Entfernung zwischen zwei Bereichen, wo dieTeilchen nach außen Strömen. Wir haben diese mitλ exp = 8, 6cmbestimmt. Dieses charakteristische Strömungsprofil zeigte sich in einem Frequenzbereichvonω taylor = 0, 208s −1 − 1, 83s −1 .Eine Abhängigkeit der Wellenlänge von der Geschwindigkeit des inneren Zylinders ist vonuns bei der Messung nicht erkennbar gewesen.

8 5 DISKUSSION4.2.3 Turbulente StrömungAb einer Geschwindigkeit von ω turb = 1, 83s −1 geht die Taylor-Strömung in eine geordneteturbulente Strömung über. Es ist ein Auf- und Abschwingen der im letzten Unterkapitelbeschriebenen Walzen zu erkennen. Die Strömung ist instationär. Ein weiteres Erhöhender Geschwindigkeit führt zu scharfen Strukturen in den immer noch erkennbaren aberstärker oszillierenden Wirbeln. Eine genaue Ferquenz konnten wir nicht bestimmen, da derÜbergang fließend war. Die Viskosität der Flüssigkeit ist ν = 8, 48mm 2 /s (R 1 = 20mm,R 2 = 40mm, also d = 20mm). Der Übergang in die turbulente Strömung findet nach (2.12)bei einer Reynoldszahl vonRe krit,exp = ω turb R 1dν = 86statt. Nach (2.13) ergibt sich allein aus der Abmessung der Apparatur ein theoretischerWert vonRe krit,theo = 96Dies entspricht einer Abweichung von 17%.4.2.4 Chaos und turbulente Taylor-StrömungEin System gilt als chaotisch, wenn durch kleinste Veränderung der Randedingungen dasVerhalten des Systems maßgeblich und augenscheinlich willkürlich verändert wird. Die imletzten Unterkapitel beschriebene Strömung scheint chaotisch zu sein. Bei kurzen Betrachtungszeitenist keine Symmetrie erkennbar (Taylor Wirbel bei niedrigerer Rotationsgeschwindigkeitsind translationssymmetrisch. Ihre Struktur ist unabhängig vom Drehwinkelφ). Bei einer längeren Beobachtung ist festzustellen, dass im Verhalten im zeitlichen Mitteleine Struktur erkennbar ist. Zu allen Zeitpunkten weicht die tatsächliche Strömungleicht von dieser Struktur ab. Man spricht von symmetrischem Chaos. Dieses lässt sichmathematisch beschreiben.5 DiskussionDie Ergebnisse des Versuchs sind zufrieden stellend. Die drei erwarteten Strömungsformentraten ein und konnten klar erkannt werden. Die Rotationsgeschwindigkeit des inneren Zylinderswährend der Übergänge war gut bestimmbar. Die Bestimmung der Viskosität desGlycerin-Wasser Gemisches funktionierte auch und lieferte einen von der Größenordnungher mit dem angegebenen Wert übereinstimmenden Wert. Erstaunlicherweise lag die kritischeReynoldszahl, die aus den Messwerten bestimmt wurde, ziemlich nahe an der, dieaus den Abmessungen der Apparatur berechnet wurde. Damit haben wir nicht gerechnet,da bereits kleine Unregelmäßigkeiten in der Apparatur das Umschlagen in die turbulenteStrömung verursachen können und somit falsche Messwerte aufgenommen werden würden.Diese schienen aber nicht vorhanden zu sein, sodass die Theorie durch das Experiment gutbestätigt werden konnte.