Versuch 213.pdf - physics - Johannes Dörr

Versuch 213
Messung der Phasen- und
Gruppengeschwindigkeit mit
Ultraschall
Praktikum für Fortgeschrittene
am Dritten Physikalischen Institut
der Universität Göttingen
27. April 2008
Praktikant Johannes Dörr
mail@johannesdoerr.de
physik.johannesdoerr.de
Durchführung am 18.12.2007
zusammen mit
Oliver Schönborn
Betreuer Dr. Robert Mettin

Unterschrift des Praktikanten:
Johannes Dörr - Göttingen, den 27.04.2008

INHALTSVERZEICHNIS 3
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 4
2 Theorie 4
2.1 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Wellenwiderstand und Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Lösung der Wellengleichung für die Wasserrinne . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Durchführung 10
3.1 Phasengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Auswertung 11
5 Diskussion 11

4 2 THEORIE
1 Einleitung
Dieser Versuch befasst sich mit der Ausbreitung von Ultraschall in einer Wasserrinne,
wobei im Wesentlichen die folgenden zwei wichtigen Größen gemessen werden: Die Phasengeschwindigkeit
wird mit Hilfe eines Mikrofons durch Ausmessen der Druckknotenpunkte
der stehenden Welle, die in der Wasserrinne nach korrekter Posionierung des Reflektors
in einem bestimmten Abstand vom Sender entsteht, ermittelt. Die Gruppengeschwidigkeit
eines vom Frequenzgenerator erzeugten Wellenpakets wird bestimmt durch Betrachtung
Laufzeit des Signals.
2 Theorie
2.1 Schallwellen
Das Schallfeld setzt sich aus zwei Größen zusammen: dem Schalldruck p und der Schallschnelle
�v, wobei letztere eine vektorielle Größe ist. Bei Schall handelt sich (zumindest in
Fluiden) es um eine Longitudinalwelle - sie schwingt in Ausbreitungsrichtung, anders als
bei Transversalwellen. Die Schallschnelle ist nicht zu verwechseln mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit
c der Welle. Deutlich wird dies bei einer stehenden Welle: Diese hat keine
Ausbreitungsgeschwindigkeit, dennoch bewegen sich Moleküle des Mediums periodisch mit
der sich zeitlich ändernden Schallschnelle �v(t). Dadurch zwangsläufig bedingt ändert sich
an einigen Stellen der Druck periodisch - je nachdem, ob gerade viele Moleküle zu diesem
Punkt hin- oder wegströmen.
Allgemein geht man davon aus, dass Schalldruck und -schnelle sowie weitere Zustandsgrößen
wie der Druck jeweils in eine zeitlich konstante und eine variable Komponente
aufgeteilt werden können, sodass gilt:
p = p0 + p∼
�v = �v0 + �v∼
ρ = ρ0 + ρ∼ .
Dabei nimmt man die variablen Größen als wesentlich kleiner im Vergleich zu den konstanten
an. Die Schallausbreitung in Fluiden wird beschrieben durch die folgenden Gleichungen.
Eulersche Gleichung: (ρ ist die Dichte des Mediums)
Kontinuitätsgleichung:
∂�v
∂t
1
+ (�v · ∇)�v + ∇p = 0 (2.1.1)
ρ
div(ρ�v) + ∂ρ
∂t
= 0 (2.1.2)

2.2 Wellengleichung 5
Zustandsgleichung: (κ ist der Adiabatenexponent des Mediums)
p(ρ) = p0
ρ κ 0
ρ κ
(2.1.3)
Mit p∼ ≪ p0 und ρ∼ ≪ ρ0 wie oben bereits angesprochen können wir für (2.1.3) um die
Stelle ρ0 eine Taylor-Näherung durchführen, und erhalten:
p(ρ) = p0 + κ p0
ρ κ 0
⇔ p∼(ρ∼) = κ p0
ρ0
ρ κ−1
0
· (ρ − ρ0)
ρ∼ . (2.1.4)
Das Schallfeld ist wirbelfrei, weshalb man ein Potential Φ einführt, aus dem Druck und
Schnelle auf folgende Weise abgeleitet werden können:
2.2 Wellengleichung
Dieses Potential erfüllt die Wellengleichung:
p∼ = ρ ∂Φ
∂t
(2.1.5)
�v∼ = −∇Φ . (2.1.6)
∂ 2 Φ
∂t 2 = c2 div ∇Φ , (2.2.1)
die sich wie folgt ableiten lässt. Zunächst gehen wir vom Ruhezustand des Fluids aus, was
bedeutet: �v0 = 0. Damit wird die Eulersche Gleichung (2.1.1) zu
und die Kontinuitätsgleichung zu
Mit (2.1.6) wird (2.2.3) zu
∂�v∼
∂t
1
+ ∇p∼ = 0 (2.2.2)
ρ0
ρ0 div(�v∼) + ∂ρ∼
∂t
1
ρ0
∂ρ∼
∂t
darin (2.1.4) eingesetzt ergibt wiederum:
1
κp0
∂p∼
∂t
− div ∇Φ = 0 ,
= 0 . (2.2.3)
− div ∇Φ = 0 . (2.2.4)

6 2 THEORIE
Aus (2.2.2) erhalten wir mit (2.1.6):
∇p∼ = ρ0∇ ∂Φ
⇒
∂t
∂Φ
p∼ = ρ0 + a ,
∂t
(2.2.5)
wobei a eine Konstante ist, die wir sofort durch geeignete Eichung des Potentials Φ eliminieren.
Aus (2.2.5) und (2.2.4) erhalten wir:
ρ0
κp0
∂2Φ − div ∇Φ = 0 .
∂t2 Der Faktor ρ0 entspricht dem Inversen der quadrierten Ausbreitungsgeschwindigkeit c,
κp0
sodass man schließlich (2.2.1) erhält. Ihre allgemeine Lösung im eindimensionalen ist:
Φ(x, t) = f(x + ct) + g(x − ct) ,
dabei sind f und g beliebiege (zweifach differenzierbare) Funktionen, die zwei mit der Geschwindigkeit
c aufeinander zulaufende Wellen darstellen. Auf Grund des Satzes von Fourier
lässt sich jede Funktion als Überlagerung von mehreren Sinus- und Cosinusschwingungen
beschreiben. Jede einzelne löst ebenfalls die Wellengleichung.
2.3 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Im Allgemeinen lässt sich eine einfache Welle durch eine Gleichung der Form:
a(x, t) = a0 cos(ωt − kx + ϕ)
beschreiben. Sie gibt an, wie sich die physikalische Größe a an der Stelle x mit der Zeit t
ändert. (In unserem Fall handelt es sich hierbei um den Schalldruck.) a0 ist die maximale
Amplitude, ω die Kreisfrequenz, k der Wellenvektor und ϕ die Phasenverschiebung. Den
Therm (ωt − kx + ϕ) nennt man die Phase.
Betrachtet man statt eines festen Ortes einen konstanten Phasenwert:
ωt − kx + ϕ = const. ⇒ x = ω ϕ − const.
t +
k k
so ergibt sich für die Geschwindigkeit des Ortes:
�
dx �
�
dt
= ω
k =: cPh . (2.3.1)
� Phase=const.
Dies ist die Phasengeschwindigkeit, mit der sich also Stellen konstanter Phase, beispielsweise
die Wellenberge, in der Welle fortbewegen.
In Medien, in denen Dispersion vorliegt, ist definitionsgemäß die Ausbreitungsgeschwindigkeit
der Welle von der Wellenlänge abhängig. Die Dispersionsrelation ω(k) = cPh ·k gibt
über deren Verhältnis Aufschluss.
,

2.4 Wellenwiderstand und Reflexion 7
Überlagert man mehrere Sinus-Wellen, so wird das Wellenbild komplizierter. Qualitativ:
Bedingt durch gegenseitige Auslöschung der Einzelschwingungen entstehen sogenannte
Wellenzüge, die die Schwingung einhüllen. Um dies quantitativ zu behandeln verwenden
wir eine integrale Form der Überlagerung:
a(x, t) =
�
k0+∆k/2
k0−∆k/2
Ã0(k) e i(ωt−kx) dk , (2.3.2)
wobei wir dabei Frequenzen k im Intervall k0−∆k/2 ≤ k ≤ k0+∆k/2 um k0 betrachten. Die
komplexe Amplitude Ã0(k) dk = a0eiϕ beinhaltet die Phasenverschiebung der Einzelwelle;
diese wiederum werden alle zur Vereinfachung in komplexer Schreibweise notiert.
Für einen hinreichend kleinen Frequenzbereich ∆k können wir die Dispersionsrelation
ω(k) als Taylorreihe einwickeln und dabei schon nach dem linearen Glied abbrechen. Mit
ω0 := ω(k0) und δk := k − k0 lautet die Entwicklung ω(k) = ω0 + dω δk und aus (2.3.2)
dk
wird mit Ã0(k) = Ã′ 0(δk):
a(x, t) = e i(ω0t−k0x)
∆k/2 �
−∆k/2
à ′ � � � �
dω
0(δk) exp i t − x δk d(δk)
dk
� �� �
=:A0(x,t)
Der erste Faktor ei(ω0t−k0x) liefert die Trägerwelle, die offenbar die mittlere Frequenz k0
der Einzelfrequenzen besitzt. Das Integral moduliert diese Trägerwelle und stellt somit
die Einhüllende dar. Deren Geschwindigkeit ist die Gruppengeschwindigkeit. Um sie zu
errechnen betrachten wir die Stellen gleicher Amplitude (der Einhüllenden), also A0(v, t) =
const.. An diesen Stellen muss die Phase jeder Einzelwelle konstant sein. Damit ergibt sich:
� �
dω
d dω
t − x = const. ⇒ t − x = 0 ⇒
dk dt dk dω
�
dx �
= �
dk dt � =: cGr .
A0(x,t)=const.
(2.3.3)
Mit (2.3.1) kann man dies auch schreiben als:
cGr = d(cPh · k)
dk
= cPh + k dcPh
dk = cPh − λ dcPh
dλ
Man erkennt sofort, dass nur in dispersiven Medien die Gruppengeschwindigkeit von der
Phasengeschwindigkeit eines einzelnen Wellenzuges abweicht, denn nur dort ist dcPh
dλ �= 0.
2.4 Wellenwiderstand und Reflexion
Der Wellenwiderstand eines Mediums ist definiert durch:
Z = ρ0 · cPh = p∼
v∼
.
.
.

8 2 THEORIE
Man verwendet ihn vor Allem beim Betrachten einer Grenzfläche, also den Übergang von
Medium 1 mit dem Wellenwiderstand Z1 in ein Medium 2 mit Z2. Dann ergibt sich der
Reflexionsfaktor aus:
R = Z2 − Z1
Z2 + Z1
, wobei − 1 ≤ R ≤ 1 .
Man unterscheidet dann zwischen drei Grenzfällen für die Grenzfläche:
(1) schallweich, wenn Z2 ≪ Z1. Der Reflexionsfaktor geht gegen -1. Die Welle wird mit
einem Phasensprung von π reflektiert.
(2) schallhart, wenn Z2 ≫ Z1. Der Reflektionsfaktor geht gehen 1. Die Welle wird ohne
Phasensprung reflektiert.
(3) angepasst, wenn Z2 ≈ Z1. Der Reflektionsfaktor ist ungefähr 0. Die Welle wird
transmittiert.
2.5 Lösung der Wellengleichung für die Wasserrinne
Wir nehmen an, dass das Wasser in der Wasserrinne ausschließlich durch schallweiche
Wände begrenzt wird, also auch an der Grenze zur Luft. Bei schallweichen Wänden muss
das Potential Φ an den Grenzflächen konstant sein, da der Schalldruck dort verschwindet.
(Bei schallharten Wänden verschwände hingegen die Schallschnelle.) Die Randbedingungen
sind also:
dΦ
dt
�
�
�
� y=0, y=ly
= dΦ
dt
�
�
�
� z=0, z=lz
= 0 .
Die Ausdehnung in x-Richtung nehmen wir dabei zunächst als beliebig groß an, sodass sich
die Welle in diese Richtung unendlich weit ausbreiten kann.
Bei der Lösung der Wellengleichung für die Wasserrinne geht man von dem Ansatz:
φ(x, y, z) = φx(x) · φy(y) · φz(z) (2.5.1)
aus, wobei man hier wie üblich für die Zeitabhängigkeit des Potentials Φ(x, y, z, t) einen
harmonischen Verlauf Φ(x, y, z, t) = φ(x, y, x) · e iωt voraussetzt und für φ die Differentialgleichung:
div ∇φ + k 2 φ = 0
zu lösen versucht. Der Ansatz (2.5.1) kann verwendet werden, da die Wände der Wasserrinne
eben sind und senkrecht aufeinander stehen. Sonst wäre eine kompliziertere Lösung
zu erwarten. Die Randbedingungen werden zu:
φ(x, y, z) = 0 falls y = 0 ∨ y = ly ∨ z = 0 ∨ z = lz .

2.5 Lösung der Wellengleichung für die Wasserrinne 9
Nach längerer Rechnung erhält man als Lösung für das Potential:
mit den Bedinungen:
Φ(x, y, z, t) = Φ0 sin(kyy) sin(kzz) e i(ωt−kxx)
ky = nyπ
ly
und kz = nzπ
lz
mit ny, nz ∈ N
für die Komponenten des Wellenvektors k. Dieser ergibt sich insgesamt zu:
�
k = k2 x + k2 y + k2 z .
Für die Wellenvektorkomponente in x-Richtung folgt damit:
�
kx = k2 � �2 � � �
2
nyπ nzπ
� �
ωg
2
− − = k 1 − .
ly lz
ω
�
Dabei ist ωg := πc n2 y/l2 y + n2 z/l2 z die Grenzfrequenz, unterhalb derer sich die Welle nicht
mehr in x-Richtung ausbreiten kann sondern exponentiell abklingt (mathematisch hat man
in diesem Fall einen komplexen Wellenvektor). Liegt die Frequenz jedoch oberhalb der
Grenzfrequenz, so ergibt sich mit (2.3.1) und ω = ck die Phasengeschwindigkeit in x-
Richtung zu:
cPh = ω c
kx
=
�
1 − � ωg
ω
� 2
. (2.5.2)
Und mit (2.3.3) folgt für die Gruppengeschwindigkeit:
cGr = dω
dkx
�
� �
ωg
2
= c 1 −
ω
. (2.5.3)
Das Produkt cPh · cGr ist offenbar genau c2 . Die Zahlen ny und nz kennzeichnen die Schwingungsmode
- sie charakterisiert eine Eigenschwingung, indem sie angibt, ob und wie viele
Schwingungsperioden längs der jeweilige Richtung y und z der Wasserrinne liegen. Die
jeweilige Komponente des Wellenvektors, insbesondere kx, hängt von der Mode [ny, nz]
ab, und damit auch die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit. Will man umgekehrt diese
Messen, muss man in jedem Fall sicherstellen, dass nur eine Mode ausbreitungsfähig ist.
Damit sich eine Mode (in x-Richtung) ausbreiten kann, muss die Frequenz in jedem
Fall größer als die Grenzfrequenz sein. Wir können diese Bedingung so umformen, dass wir
eine Mindestwasserhöhe erhalten:
2πf = ω ≥ ωg = πc
⇒ hmin,f ≥
� n 2 y
l 2 y
+ n2 z
l 2 z
nz lz c
� 4f 2 l 2 z − c 2 ny
.

10 3 DURCHFÜHRUNG
Für unsere Abmessungen der Wasserrinne ly = 0.13m und der verwendeten Frequenz f =
12.5kHz erhalten wir für die Mode [1,1] eine Mindesthöhe von 6.68cm. Die nächsthöhere
Mode [1,2] kann sich nach derselben Rechnung ab 13.37cm ausbreiten. Aus diesem Grund
beschränken wir uns auf den Bereich zwischen diesen beiden Werten, um zu gewährleisten,
dass wir es immer mit der [1,1]-Mode zu tun haben.
Definitiv nur eine Mode betrachten zu können ist nur bei der ersten Mode möglich. Bei
allen höher liegenden Moden kann sich auch immer die erste ausbreiten. Durch geschickte
Wahl der Mikrofonposition in einen Druckknoten einer bestimmten Mode kann man
diese geschickt ” ausblenden“. Dies ist im Versuch ebenfalls nötig, da trotz der Grenzfrequenz
die Störmoden [1,2] und [2,1] die Messung beinträchtigen können. Die zu wählende
Mikrofonposition ist somit genau die Mitte der Rinne.
3 Durchführung
Bei dem Versuch werden Phasen- und Gruppengeschwindigkeit bei verschiedenen Wasserhöhen
in der Wanne ermittelt, wie im Folgenden beschrieben.
3.1 Phasengeschwindigkeit
In der Wasserrinne wird von dem Sinus-Generator durch den Lautsprecher eine Schallwelle
mit der Frequenz f = 12.5kHz erzeugt. Durch Variieren der Reflektorposition wird genau
die Einstellung gesucht, bei der eine stehende Welle entsteht, sich ausgesendete und reflektierte
Welle also konstruktiv überlagern. Dann wird durch Verschieben des Mikrofons der
Abstand zwischen den Druckknoten gemessen.
3.2 Gruppengeschwindigkeit
Um die Gruppengeschwindigkeit zu bestimmen, lässt man den Sinus-Generator Impulse
im 50Hz-Takt senden, wobei jeder einzelne Impuls immer noch die Frequenz 12.5kHz hat.
Das Oszilloskop wird mit 500Hz getriggert. Dies bedeutet, dass auf dem Bildschirm die
x-Achse genau 2ms entspricht. Vom Sender geht nur alle 20ms ein Signal aus, weshalb
man dazwischen mit dem Mikrofon die Refexionen aufnimmt. Der Reflektor wird nun so
eingestellt, dass diese Echos alle auf dem Oszilloskop an derselben Stelle (übereinander)
geplottet werden. Sie haben dann genau den Abstand 2ms. Der Abstand vom Sender zum
Reflektor entspricht dann genau der Strecke, die das Signal in 1ms zurücklegt.
Bedingt durch die Dispersion zerläuft der Impuls immer mehr, weshalb die Echos im
Vergleich zum Primärimpuls des Lautsprechers nach und nach breiter werden.
Bei dem Versuch wird das Mikrofon, das ja Schalldruckschwankungen aufnimmt, dicht
vor dem Sender positioniert, etwa im Abstand 1/4 der Wellenlänge. Dort liegt das Schalldruckmaximum,
da der Sender einen weichen Reflektor darstellt. Mit dem Mikrofon werden
nicht die einzelnen Impulse aufgenommen, sondern auf Grund der geringen Entfernung zum

Sender immer die Überlagerung des einfallenden und des am Sender reflektierten Wellenbergs.
Eine Ausnahme bildet dabei der Primärimpuls, denn bei ihm gibt es nur die vom
Sender ausgehende Welle. Auf dem Oszilloskop ist sein Maximum deshalb im Vergleich
zu denen der Refexionen zeitlich etwas nach rechts verschoben. Auch seine Amplitude ist
größer als die der ersten Reflexion, da bei letzterer die Amplitude durch die Überlagerung
ca. doppelt so groß werden kann.
4 Auswertung
Aus den Abständen der Knotenpunkte wird die Wellenlänge errechnet. Die Phasengeschwindigkeit
bei der Wasserhöhe h ergibt sich dann aus:
cPh,h = f · λh .
Um die Gruppengeschwindigkeit zu bestimmen, beachtet man, dass das Signal innerhalb
von 20ms die Strecke Sender-Reflektor der Länge sh 20 mal durchläuft, bis ein neuer Impuls
gesendet wird. Es folgt:
cGr,h =
20 · sh
20ms
= 1000 · sh
s
Die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit für verschiedene Wasserhöhen sind in Abbildung
4.1 dargestellt. Die Theoriekurven (ω = 2π · 12500Hz) ergeben sich aus (2.5.2)
und (2.5.3). Die dort eingesetzte Schallgeschwindigkeit ergibt sich aus der für Flüssigkeiten
geltene Beziehung c = � Kρ −1 , wobei K ≈ 2.20 · 10 9 Pa das Kompressionsmodul und
ρ ≈ 1000kg/m 3 ist.
In der Abbildung ist ebenfalls die allgemeine Schallgeschwindigkeit c0 = √ cGr · cPh
aufgetragen. Ihr gewichteter Mittelwert beträgt:
c0 = 1484(1)ms −1 .
Dies entspricht genau dem Literaturwert, das Ergebnis ist also überaus zufriedenstellend.
Die jeweiligen Fehlerangaben ergeben sich durch Fehlerfortpflanzung aus dem abgeschätzten
Ablesefehler vom 2mm bei der Wasserhöhe sowie einem bei jeder Messung individuell
abgeschätztem Wert für die Wellenlänge bzw. Reflektorposition, deren Einstellung
bei kleinerer Wasserhöhe immer schwieriger wurde.
Die Raumtemperatur während des Versuchs lag konstant bei 19.5 ◦ C.
5 Diskussion
Die Durchführung des Versuchs erweist sich als sehr durchsichtig und die Auswertung
beschränkt sich auf das Wesentliche. Mit den Ergebnissen sind wir sehr zufrieden, auch
deshalb, weil die Fehlerabschätzung gut funktioniert hat.
.
11

12 5 DISKUSSION
G e s c h w in d ig k e ite n in m s -1
5 0 0 0 ����������������������
�����������������������
���������������������������������
4 0 0 0
3 0 0 0
2 0 0 0
1 0 0 0
0
0 ,0 7 0 ,0 8 0 ,0 9 0 ,1 0 0 ,1 1 0 ,1 2 0 ,1 3
���������������
Abbildung 4.1: cPh, cGr und c0 bei verschiedenen Wasserhöhen h