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VORLESUNGEN ZUR RELATIVITÄTSTHEORIEHans-Jürgen MatschullInstitut für Physik, Universität Mainz27.10.2002TEIL IIIALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE

13 Gravitation und RelativitätstheorieIn diesem Kapitel wollen wir die wesentlichen Ideen der allgemeinen Relativitätstheorie beschreiben. Dabeiwollen versuchen, in groben Zügen die Gedankengänge Albert Einsteins nachzuvollziehen, natürlichin eine moderne mathematische Sprache übersetzt, so wie wir dies auch in Kapitel 2 getan haben, als wirdie grundlegenden Aussagen der speziellen Relativitätstheorie aus einigen wenigen Annahmen über dieStruktur der Raumzeit abgeleitet haben.Einstein selbst hat einmal gesagt, zwischen der ersten Idee zur speziellen Relativitätstheorie und derFertigstellung seiner berühmten Arbeit “Zur Elektrodynamik bewegter Körper” im Jahre 1905 seien nichtmehr als fünf Wochen vergangen. Die Entwicklung der allgemeinen Relativitätstheorie hat dagegen etwazehn Jahre in Anspruch genommen, von 1905 bis 1915, als Einstein schließlich seine berühmte Formelveröffentlichte, die im nächsten Kapitel als Gleichung (14.82) auftauchen wird.Die allgemeine Relativitätstheorie leitet sich aus dem Versuch her, eine Theorie der Gravitation zuformulieren, die sowohl mit der speziellen Relativitätstheorie verträglich ist, also auch mit der Quantentheorie.Der zweite Aspekt wird hin und wieder übersehen, denn bis heute gibt es Schwierigkeiten, dieallgemeine Relativitätstheorie mit der Quantentheorie in Einklang zu bringen. Diese Probleme sind aberganz anderer Art als die, mit denen die theoretische Physik am Anfang des 20. Jahrhunderts konfrontiertwar.Zu dieser Zeit existierte die Quantentheorie zwar schon in Bruchstücken, aber sie war noch weit vonihren großen Erfolgen entfernt. Es waren aber gerade diese Bruchstücke, und insbesondere Einsteins eigenerBeitrag zur Quantentheorie, die Erklärung des photoelektrischen Effekts durch die Teilcheneigenschaftdes Lichtes, die sich einerseits sehr elegant in die spezielle Relativitätstheorie fügten. Andererseits schienes jedoch unmöglich, die Newtonsche Theorie der Gravitation konsistent in dieses Theoriengebildeeinzubeziehen.Dass sich die Quantentheorie des Lichtes sehr gut mit der speziellen Relativitätstheorie verträgt, habenwir im Zusammenhang mit dem Doppler-Effekt auf der einen Seite, und der Beschreibung von Photonenals masselose Teilchen auf der anderen Seite bereits in Teil I gesehen. Der wesentliche Punkt ist, dass sichin der Relativitätstheorie Energie und Impuls eines Teilchens beim Übergang von einem Bezugsystemzum anderen genau so transformieren wie Frequenz und Wellenvektor einer Welle. Darauf beruht dieKonsistenz von Relativitätstheorie und Quantenphysik.Wie wir jetzt aber zeigen wollen, ergibt sich ein Problem, sobald wir die Gravitation als Wechselwirkungzwischen Massen mit in die Theorie einbeziehen wollen. Zunächst werden wir feststellen, dass dieNewtonsche Theorie der Gravitation, im Gegensatz zur Maxwellschen Elektrodynamik, nicht dem Relativitätsprinzipgenügt. Und selbst wenn wir sie so modifizieren, dass sie analog zur Elektrodynamik einekovariante Formulierung zulässt, ergeben sich noch immer Widersprüche zur Quantenphysik.Eine andere Beobachtung legt außerdem nahe, dass die Gravitation eine ganz besondere Wechselwirkungist. Sie hat nämlich die merkwürdige Eigenschaft, dass alle Körper in einem Gravitationsfeld gleichschnell fallen, oder allgemeiner, dass alle Körper bei gleichen Anfangsbedingungen den gleichen Bahnenfolgen. In der Newtonschen Theorie ist dies eher ein Zufall. Einsteins Idee war es, hinter dieser fundamentalenBeobachtung eine tiefere Einsicht in die Natur der Gravitation zu vermuten.Es war sicher sein größter Geniestreich, für diese einfache Beobachtung eine ebenso einfache Erklärungzu liefern, die zudem noch alle anderen gerade beschriebenen Probleme ebenfalls löste. Die Lösung bestanddarin, die Vorstellung eines flachen Minkowski-Raumes aufzugeben, und statt dessen anzunehmen,dass die Raumzeit eine gekrümmte Mannigfaltigkeit ist, und dass die Krümmung der Raumzeit etwas mitdem Gravitationsfeld zu tun hat.Aus heutiger Sicht erscheint diese Schlussfolgerung fast zwingend, wie wir gleich sehen werden. Mansollte jedoch bedenken, dass es zur damaligen Zeit keine beobachteten Phänomene gab, die gegen dieAnnahme sprachen, dass die Raumzeit ein flacher Minkowski-Raum ist. Die Schlussfolgerungen Ein-223

deramsteins und schließlich die Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie basierten einzig auf der Forderung,eine mathematisch konsistente Beschreibung der Gravitation zu liefern, die dem Relativitätsprinzipgenügte, und die mit den damaligen Vorstellungen von der Quantenphysik in Einklang stand.Ziel dieses Kapitels ist es, wie gesagt, diese Schlussfolgerungen nachzuvollziehen, und dabei eine gewisseIntuition dafür zu entwickeln, was es bedeutet, dass die Raumzeit gekrümmt ist, und wie die Physikin einer gekrümmten Raumzeit zu beschrieben ist. Die mathematische Vorarbeit dazu haben wir schon inTeil II erledigt, das heißt wir wissen was eine metrische Mannigfaltigkeit ist, was Krümmung bedeutet,was Geodäten sind und ähnliches mehr. Aber wir wissen noch nicht, was das alles mit Physik zu tun hat.Deshalb beginnen wir noch einmal ganz am Anfang, bei Newton und Galilei.Die Newtonsche Gravitationstheorie¡£¢¥¤, Die Newtonsche Theorie besagt, dass die anziehende Kraft die ein Masse¦ Körper der¤am Ort§¤auf einen Masse¦ Körper der Ort proportional zu den Massen der beiden Körperund umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes ist. Als Proportionalitätskonstante tritt eineauf, die als Newtonsche Gravitationskonstante bezeichnet wird,¢Naturkonstante¨§¢ausübt,kg¨ "!$#%# msec&(13.1) §¤ §¢¨¦ ¢¦ ¤ §¢ §¤Aus diesem Kraftgesetz lassen sich die Bewegungsgleichungen für ein System von endlich vielen Körpernableiten, die sich jeweils gegenseitig anziehen,¡£¢©¤(13.2)§¢ ')& * ¨,+¤.- /¢ ¦ ¢¦ ¤ §¢§¢0 §¤Es gilt immer dann hinreichend genau, wenn die Körper als punktförmig angenommen werden können.Das heißt, ihre Ausdehnungen müssen klein sein im Vergleich zu ihren Abständen. Das ist zum Beispiel¢('& ¦für die Planeten im Sonnensystem der Fall, oder für die einzelnen Sterne in einer Galaxie.Wenn dies nicht der Fall ist, müssen wir zu einer allgemeineren Formulierung übergehen. Wir führendazu Gravitationspotential132)ein465als Funktion von Ort und Zeit ein, sowie Massendichte782)eine495,die die Verteilung der Materie im Raum beschreibt. Das Gravitationspotential zu einem Zeitpunkt)wirddurch die Massenverteilung zur selben Zeit bestimmt, und zwar so, dass die folgende Quellengleichunggilt,(13.3)465 :ist:Hierpunktförmigen Teilchen mit Bahnkurven§¤2)5die entsprechende Massendichte ein, so ergibt sichräumliche Laplace-Operator. Setzen wir zum Beispiel für ein System von?(13.4) ¨C+¤ ¦ ¤ 4 §¤2)5also das bekannte ‘ED§’-Potential für jeden einzelnen Körper. Wir können jetzt aber auch ausgedehnteKörper wie Planeten, Sterne, Staub- oder Gaswolken durch eine geeignet gewählte, kontinuierliche Mas-* 465§¤2)5¥5 B 132) 782)beschreiben. Darauf werden wir im nächsten Kapitel noch genauer eingehen.Es genügt an dieser Stelle festzustellen, dass das Gravitationspotential1 zu einem eigenständigen physikalischenObjekt wird. Seine Quelle ist die Massendichte7. Bis auf ein Vorzeichen ist die Quellengleisendichtechung(13.3) identisch mit der entsprechenden Quellengleichung in der Elektrostatik. Dort ist die Ladungsdichtedie Quelle des elektrischen Potentials, und es tritt statt Gravitationskonstante¨ der je nach Wahlder Einheiten entweder die elektrische FeldkonstanteFHG, oder einfach Faktorder auf. +¤ ¦ ¤A@2 4 465224

¡,7PONzusammen,Auf einen Testkörper Masse¦ der , der sich zur Zeit)am Ort§befindet, wirkt nun eine Gravitationskraftdie proportional zur Masse des Körpers und zum Gradienten des Gravitationspotentials ist,(13.5)Auch dieses Kraftgesetz ist völlig analog zur entsprechenden Gleichung in der Elektrostatik. Wir müssendazu nur die¡Idurch die¦des Testkörpers ersetzen, und das Gravitationspotential durchdas elektrische Potential. Das umgekehrte Vorzeichen in der Quellengleichung (13.3) hat nun eine einfache> 132) §H5LadungJ Masse¦Erklärung. Während sich in der Elektrostatik zwei positive Ladungen abstoßen, ist die Gravitationskraftzwischen zwei positiven Massen anziehend.Es stellt sich nun die Frage, ob es möglich ist, die Newtonsche Theorie relativistisch zu formulieren.Offenbar ist sie in der hier dargestellten Form nicht mit der Relativitätsprinzip verträglich. Betrachten wirnämlich das Kraftgesetz (13.1), so beschreibt dieses eine instantane Fernwirkung. Die Kraft, die auf einemKörper am Ort wirkt, hängt von den Orten§¤aller anderen Körper zur selben Zeit ab.In der Relativitätstheorie ist es aber nicht möglich, Informationen schneller als mit Lichtgeschwindigkeitzu übertragen. Deshalb kann ein Körper an einem bestimmten Ort, bildlich gesprochen, nicht wissen, wosich alle anderen Körper zu dieser Zeit befinden. Das Newtonsche Gravitationsgesetz widerspricht demKausalitätsprinzip der speziellen Relativitätstheorie. Wenn es in dieser Form tatsächlich gelten würde,könnten wir die gravitative Wechselwirkung von Massen benutzen, um Informationen schneller als mit§¢Lichtgeschwindigkeit zu übertragen.Die Einführung des Gravitationspotentials als eigenständiges Objekt ändert daran nichts. Zwar sindsowohl die Quellengleichung (13.3) als auch die Kraftgleichung (13.5) lokal in Raum und Zeit definiert.Es liegt also, zumindest formal, keine Fernwirkung mehr vor. Aber der räumliche Laplace-Operator in derQuellengleichung ist natürlich nicht invariant unter Lorentz-Transformationen, das heißt die NewtonscheTheorie genügt nicht dem Relativitätsprinzip.Aufgabe 13.1 Man zeige durch eine geeignete Regularisierung der Deltafunktion, dass das allgemeineKraftgesetz (13.5) für ein System von Punktteilchen wieder die spezielle Form (13.2) annimmt.Aufgabe 13.2 Wenn die Newtonschen Theorie tatsächlich exakt wäre, wie könnte man eine Kommunikationmit Überlichtgeschwindigkeit zwischen zwei räumlich getrennten Stationen konkret verwirklichen?Eine Newton-Maxwell-Theorie?Um eine relativistische Gravitationstheorie zu formulieren, müssen wir die Newtonsche Theorie in geeigneterWeise modifizieren. Die Ähnlichkeit mit der Elektrostatik legt folgenden Schluss nahe. Die Elektrostatikist eine Näherung der Elektrodynamik. Sie gilt, wenn sich die beteiligten Ladungen relativ zu einemausgezeichneten Inertialsystem nur sehr langsam bewegen. In diesem Grenzfall können wir die magnetischenKräfte vernachlässigen. Es genügt, nur die elektrischen Wechselwirkungen zu betrachten, und auchdie Abstrahlung von elektromagnetischen Wellen kann vernachlässigt werden.Ist die Newtonsche Theorie vielleicht ganz analog eine Näherung einer relativistischen Gravitationstheorie,die immer dann gilt, wenn sich die beteiligten Massen nur sehr langsam bewegen? Tatsächlich bewegensich sowohl die Planeten im Sonnensystem, als auch die typischen Testkörper in irdischen Labors,mit denen die Newtonsche Theorie getestet wurde, sehr langsam im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit.Die Annahme, dass es eine relativistische Gravitationstheorie analog zur Maxwellschen Elektrodynamikgibt, steht also zunächst nicht im Widerspruch zu irgendwelchen Beobachtungen.Wie würde eine solche Theorie aussehen? Betrachten wir zuerst die Quellen des Gravitationsfeldes. Inder relativistischen Elektrodynamik ist die Quelle des elektromagnetischen Feldes die elektrische Ladung,und ihre Verteilung in Raum und Zeit wird durch 4-StromdichteK"L die dargestellt. Sie setzt sich aus derder gewöhnlichen StromdichteK"N räumlichen wobeiO"Ndie225LadungsdichteKM7 und

alsLb(13.6)T2)5¥5 4(13.7)2Z5_5 ,^ TL2Z5@2]VbbGeschwindigkeit ist, mit der sich die Ladung bewegt. istQ Hier wieder wie üblich ein Raumzeit-Index,undRein Index, der in einem ausgewählten Inertialsystem nur über die drei räumlichen Koordinaten läuft.Wir hatten dies in Kapitel 6 ausführlich diskutiert. So war zum Beispiel die Ladungs- und Stromdichtefür eine gleichförmig bewegte Punktladung durch (6.31) gegeben. In der Gravitationstheorie müssen wirdie Ladung als Quelle des Feldes durch die Masse ersetzen. Analog zur elektrischen 4-Stromdichte wirdihre Verteilung in Raum und Zeit durch 4-MassenstromdichteKSL eine beschreiben. Sie setzt sich aus derbereits eingeführten MassendichteK"M7Zeitkomponente, und einer räumlichen StromdichteK"N7PONzusammensetzt.Für eine entlang einer BahnT2)5bewegte Punktmasse¦ würde zum Beispiel geltenAnalog zu (6.36) können wir dies auch als Tensorgleichung schreiben, ¦ @24 465KN2) 4U5 ¦ 'TN T2)5¥54 Wählen wir die Zeitkoordinate)eines ausgewählten Inertialsystems, dann Z, und es ergebensich die Komponenten (13.6). Der Ausdruck (13.7) ist jedoch invariant unter ReparametrisierungenfürZder Kurve, das heißt wir können den KurvenparameterZbeliebig wählen. Daraus folgt unter anderem, dassein Tensorfeld erster Stufe auf der Raumzeit ist, und dass die Zerlegung (13.6) in jedem Inertialsystemgilt.Wie in der Elektrodynamik ergibt sich die Stromdichte für mehrere Teilchen durch Addition der entsprechendenTerme. Für ein Vielteilchensystem, zum Beispiel ein Gas oder eine Flüssigkeit, können wir dieistTM2Z5 KontinuumsnäherungKHLdurchführen, so5zu einem glatten Vektorfeld auf der Raumzeit wird. WirdassKSL2]V5 '[Z¦?\ YX2Z5irgendeine Parametrisierung der Weltlinie ist und der Punkt die Ableitung bezeichnet.KL2WVwobei^nachZwerden im nächsten Kapitel noch etwas näher auf die allgemeine Definition von Dichten und Stromdichteneingehen, insbesondere auf die Kontinuumsnäherung.Das Gravitationsfeld selbst müssen wir entsprechend durch einen antisymmetrischen Feldstärketensor¡La`beschreiben. Um die richtige Kopplung des Feldes an die Massenströme zu bekommen, müssen wir dieMaxwell-Gleichungen (6.38) nur leicht modifizieren. Damit sich im Grenzfall kleiner Geschwindigkeitendie Newtonsche Theorie ergibt, müssen wir das Vorzeichen der inhomogenen Gleichung umkehren, unddort außerdem einen Faktor¨ einführen, bcKM2)'S) @2Die Lösungen der homogenen Gleichung werden auch hier wieder durch einL¡`¥d%efL bLi ` bVektorpotentialiparametrisiert,das heißt es Ferner haben wir die Freiheit, das Vektorpotential zukönnenieichen.Wir ohne das sich der Feldstärketensor ändert. Das können wir benutzen,um zum Beispiel die Lorentz-Eichung zu wählen, so dass gilt. Wenn wir dies dann indie inhomogene Maxwell-Gleichung einsetzen, ergibt sich die Quellengleichunggilt¡Lg` n b LimLL¡ Lg` f;= ḧK`(13.8)`iL.durchiLLkjLHlersetzen,(13.9)Wenn wir jetzt noch annehmen, dass sich die Massen nur sehr langsam bezüglich eines ausgezeichnetenInertialsystems bewegen, dann können wir die räumlichen KomponentenKSNvernachlässigen, und demnachauch die räumlichen KomponenteniNdes Vektorpotentials. Was bleibt ist die ZeitkomponenteiM.Wennwir diese mit demLiidentifizieren, und auch von ihm annehmen, dass es sich zeitlich nur sehr

y an.bbDas alles ist völlig analog zur Elektrostatik als Näherung der Elektrodynamik im Grenzfall langsambewegter Ladungen. Schließlich müssen wir nur noch ein Kraftgesetz analog zur Lorentz-Kraft (6.5) postulieren.Auf ein Teilchen der Masse¦ würde in einem Gravitationsfeld eine 4-Kraft(13.10)wirken, wobeiqLdie 4-Geschwindigkeit des Teilchens ist. Auch hier haben wir einfach die LadungJdurchLgÙq` ¡ ¦ L pMasse¦ die des Teilchens ersetzt. Um zu zeigen, dass sich für kleine Geschwindigkeiten die NewtonscheFormel ergibt, setzen wiederi wir Außerdem nehmen wir an, dass sich auch dasTeilchen nur langsam bewegt, so dassqMr. Für die räumlichen Komponenten der 4-Kraft gilt dannMsrNtr1 undi.Das ist aber genau das Kraftgesetz (13.5), in Komponenten geschrieben, denn für langsam bewegte Teil-¦ Mx Ni ¦ r ¡Nwvqv ¦ ¡NuMqMj ¦ N pchen sind die räumlichen Komponenten der 4-Kraftpder gewöhnlichen 3-Kraft .¡dieOffenbar erhalten wir auf diese Weise eine relativistische Beschreibung der Gravitation, die im Grenzfallkleiner Geschwindigkeiten in die Newtonsche Theorie übergeht. Jetzt müssen wir sie nur noch experimentelltesten, das heißt wir müssen herausfinden, welche Abweichungen sich von der NewtonschenTheorie ergeben, wenn die Geschwindigkeiten der beteiligten Körper größer werden, und wir müssen unsüberlegen, wie wir diese Abweichungen beobachten können.LWelche grundsätzlich neuen Voraussagen macht unsere hypothetische Theorie? Offenbar muss es sowohleine gravi-elektrische als auch eine gravi-magnetische Kraft geben. Die gravi-elektrische Kraft istfür die Anziehung der Massen nach dem ‘ED§&’-Gesetz verantwortlich. In einem gravi-magnetischen Feldmüsste eine Testmasse dagegen eine Kraft erfahren, die proportional zum Betrag ihrer Geschwindigkeitund senkrecht dazu ist. Umgekehrt müssten bewegte Massen ein solches Feld erzeugen.Eine weitere Voraussage ist, dass es Gravitationswellen geben muss, die sich völlig analog zu elektromagnetischenWellen verhalten. Sie werden von beschleunigten Massen emittiert und breiten sich mitLichtgeschwindigkeit im Raum aus. Alle diese Phänomene sind jedoch ungleich schwieriger zu beobachtenals die entsprechenden elektromagnetischen Phänomene, einfach weil sich Ladungen sehr viel leichterbewegen und beschleunigen lassen als Massen. Es liegt daher kein offensichtlicher Widerspruch einersolchen Theorie der Gravitation mit der Beobachtung vor.N1(13.11)Was geht schief?Trotzdem ist die vorgeschlagene Theorie inkonsistent, und bei näherem Hinsehen ergeben sich auch Widersprüchezur Beobachtung. Wir wollen hier zwei solche Widersprüche aufzeigen, die auf ganz unterschiedlichenEigenschaften der Theorie beruhen.Als erstes betrachten wir folgendes, in Abbildung 13.1 dargestelltes Gedankenexperiment 1 . Es soll zeigen,dass die vorgeschlagene Newton-Maxwell-Theorie mit der Quantenphysik unvereinbar ist. In einemLabor auf der Erde erzeugt ein Sender auf dem Boden ein Photon Energiey der und sendet es zu einemEmpfänger, der sich in Höhez der darüber befindet. Da Photonen masselos sind, spüren sie das Gravitationsfeldnicht. Für sie ist die Massenstromdichte (13.7) gleich Null, das heißt sie Koppeln nicht an dasGravitationsfeld, so wie neutrale Teilchen nicht an das elektromagnetische Feld koppeln.Da auch sonst keine Kräfte auf das Photon einwirken, kommt es beim Empfänger mit derselben EnergieDort gelingt es, dieses Photon vollständig in ein oder mehrere massive Teilchen zu verwandeln,zum Beispiel in ein Elektron und ein Positron. Nehmen wir jedoch der Einfachheit halber an, dass essich um ein einziges, neutrales Teilchen Masse¦ der handelt. Ferner sei Energiey die so gewählt, dass1 Übernommen aus: Bernard F. Schutz: A first course in general relativity.227

zy}y}y¦¦Milchstraßeandere GalaxieAbbildung 13.1: Die Newton-Maxwell-Theorie steht im Widerspruch zur Quantenphysik. Ein Photonverliert beim Aufstieg in einem Gravitationsfeld keine Energie. Wandelt man es oben jedoch in einTeilchen der Masse um und lässt dieses fallen, so wird Energie gewonnen. Wandelt man das massive~y|{ } y|{Teilchen anschließend unten wieder in ein Photon um, so hat dieses eine Energie€ höhereerste Photon.{8das€ alsdas erzeugte Teilchen in Ruhe ist. Das ist genau dann der Fall, ist, denn die Energie einesruhenden Teilchens ist gleich seiner Masse.wennyNun lassen wir das Teilchen fallen. Da es dabei nur eine kleine Geschwindigkeit erreicht, können wirklassisch rechnen. Es gewinnt beim Fall die kinetische Energie¦f‚0z, hat also, wenn esunten¦mit derankommt, die ‚0z5. Durch einen ähnlichenProzess wird dieses Teilchen nun wieder restlos zerstört und seine Energie in ein Photon verwandelt. DannEnergiey…{hat dieses Photon die Energiej ¦‡2 ¦†‚z j ¦y{ 2 j ‚0z5y (13.12)Geschwindigkeitƒ „3‚(zdie Energie des ersten Photons war, mit dem wir das Experiment begonnen haben. Das kannnatürlich nicht sein, denn hier wurde offenbar Energie aus dem Nichts erzeugt. Man könnte denwobeiyProzessbeliebig fortsetzen, und dabei würde sich die Energie des Photons jeweils Faktorum den erhöhen.Irgendetwas kann deshalb an der Newton-Maxwell-Theorie nicht stimmen. Tatsächlich sind es die hierbeschriebenen quantenphysikalischen Prozesse, die im Widerspruch zur Theorie stehen. Wir erinnern uns,dass die Maxwell-Gleichungen nur dann konsistent sind, wenn die Quelle, also die StromdichteKL, dieKontinuitätsgleichung (6.39)j ‚(zerfüllt,b(13.13)Mit anderen Worten, es folgt unmittelbar aus den Newton-Maxwell-Gleichungen für das Gravitationsfeld,dass Masse eine Erhaltungsgröße ist. Das ist sie aber nicht, denn in typischen quantenphysikalischen Prozessenkann Masse beliebig erzeugt und vernichtet werden. Folglich kann Masse auch nicht die Quelle des ‰ >‡ j ') '7 ˆ LKLGravitationsfeldes sein, jedenfalls nicht im Rahmen einer Maxwell-artigen Theorie.228

¡(a)(b)Milchstraßeandere Galaxie¡J ¦Abbildung 13.2: Eine Ladung (a) bewegt sich auf einer Kreisbahn und emittiert eine elektromagnetischeWelle. Das elektrische Feld am Ort der Ladung ist dabei stets so ausgerichtet, dass die Ladung gebremstwird. Wird eine Masse (b) auf derselben Kreisbahn bewegt, so emittiert sie eine entsprechende Gravitationswelle.Wegen des umgekehrten Vorzeichens der inhomogenen Maxwell-Gleichung wird diese Massejedoch durch das gravi-elektrische Feld beschleunigt.Ein zweiter Widerspruch ergibt sich in Zusammenhang mit Gravitationswellen, die von der Newton-Maxwell-Theorie in Analogie zu elektromagnetischen Wellen vorhergesagt werden. Es stellt sich nämlichheraus, dass die Umkehrung des Vorzeichens in der inhomogenen Maxwell-Gleichung gar nicht so harmlosist wie es auf den ersten Blick erscheint. Auch hier wollen wir wieder ein Gedankenexperimentdurchführen. Es ist in Abbildung 13.2 dargestellt.Zuerst betrachten wir eine elektrische LadungJ, die sich gleichmäßig auf einer Kreisbahn bewegt.Aufgrund der Beschleunigung, die sie dabei erfährt, wird eine elektromagnetische Welle abgestrahlt. DieDetails dieses Vorgangs sind nicht wichtig. Wir müssen nur wissen, dass das von der bewegten Ladungerzeugte elektromagnetische Feld eindeutig durch die Maxwell-Gleichungen bestimmt ist, wenn wir geeigneteRandbedingungen im Unendlichen stellen.Woher kommt die Energie, die mit der elektromagnetischen Welle abgestrahlt wird? Sie wird offenbardem Teilchen entzogen. Die einzig mögliche Erklärung dafür ist, dass das erzeugte Feld am Ort desTeilchens eine elektrische Komponente hat, die der Bewegungsrichtung des Teilchens entgegengesetzt ist.Diese Kraft müssen wir ausgleichen. Wir müssen dem Teilchen auf irgendeine Weise kinetische Energiezuführen, wenn wir die Bewegung aufrecht erhalten wollen.Nun stellen wir uns vor, wir bewegen statt der LadungJeine Masse¦ auf derselben Kreisbahn. Dadurchwird, gemäß unserer Theorie, eine Gravitationswelle abgestrahlt. Der Feldstärketensor dieser Welle ist mitdem elektromagnetischen Feldstärketensor im vorherigen Experiment fast identisch. Wir müssen nur dieLadungJ durch durch das Produkt¨Š¦ ersetzen, und wir müssen das Vorzeichen des Feldes ändern,wegen des umgekehrten Vorzeichens in der inhomogenen Maxwell-Gleichung (13.8). Die Welle hat alsodie gleiche Struktur wie vorher, nur dass alle Felder in die umgekehrte Richtung zeigen.Das umgekehrte Vorzeichen hat nun aber sehr drastische Auswirkungen. Die resultierende Kraft, diejetzt auf das Teilchen einwirkt, zeigt in die umgekehrte Richtung, denn das Kraftgesetz (13.10) ändert229

§§sein Vorzeichen nicht. Das heißt, das Teilchen wird durch die abgestrahlte Gravitationswelle nicht gebremst,sondern sogar noch beschleunigt. Wir könnten dem Teilchen beliebig viel Energie entziehen, undgleichzeitig würde auch noch eine Welle abgestrahlt. Die einzige Erklärung dafür ist, dass die erzeugteGravitationswelle eine negative Energie davonträgt. Das ist natürlich unmöglich, denn auf diese Weisekönnten wir ein perpetuum mobile bauen.Die Newton-Maxwell-Theorie scheitert also aus zwei ganz verschieden Gründen. Zum einen, weil ihreQuelle, die Masse, keine Erhaltungsgröße ist, und zum anderen, weil sich gleichnamige Ladungen gravitativanziehen und nicht abstoßen. Wegen der damit verbundenen negativen Energie von Gravitationswellenwären gravitativ gebundene System nicht stabil. Sie könnten durch die Abstrahlung von Gravitationswellenbeliebig viel kinetische Energie gewinnen. Wir müssen die Theorie deshalb verwerfen und nach einemanderen Ausweg suchen.Schwere und träge MasseNachdem unser erster Ansatz für eine relativistische Theorie der Gravitation gescheitert ist, sollten wirvielleicht eher die Unterschiede zwischen der Newtonschen Gravitationstheorie und der MaxwellschenElektrodynamik herausarbeiten, statt deren Gemeinsamkeiten zu suchen.Betrachten wir dazu noch einmal die Bewegungsgleichung für einen Testkörper der Masse¦ in einemim Rahmen der klassischen Mechanik. Wir nehmen dabei an, dass die Testmasse¦sehr klein ist im Vergleich zu den Massen, die das Gravitationsfeld erzeugen. Das gilt für einen genügendGravitationspotential1leichten Körper im Gravitationsfeld der Erde, und in relativ guter Näherung auch für die Planeten imGravitationsfeld der Sonne. Bei unserem Gedankenexperiment in Abbildung 13.1 hatten wir das natürlichauch schon vorausgesetzt.In dieser Näherung können wir Gravitationspotential1 das als gegeben annehmen, und aus (13.5) dieBewegungsgleichung für die Bahn§2)5des Testkörper ableiten. Wenn auf ihn keine weiteren Kräfte wirken,dann gilt(13.14)Das bemerkenswerte an dieser Gleichung ist, dass auf beiden Seiten die gleiche Größe auftritt, nämlichdie¦des Testkörpers. Wir können die Gleichung'&dividieren und erhalten1 > ¦ * 'S)‹&durch¦ Masse¦(13.15)* > 1Daraus folgt, dass alle Testkörper bei gleichen Anfangsbedingungen in einem Gravitationsfeld den gleichenBahnen folgen. Insbesondere fallen alle Körper im Schwerefeld der Erde gleich schnell, unabhängigvon ihrer Masse, solange diese klein ist im Vergleich zur Masse der Erde.Diese Eigenschaft der Gravitation hat keine Analogie in der Elektrodynamik. Betrachten wir die entsprechendenBewegungsgleichungen für ein geladenes Teilchen in einem elektrischen Potential, so steht'& 'S)‹&auf der rechten Seite der Gleichung (13.14) Masse¦ statt der die LadungJ, während auf der linken Seitenatürlich immer Masse¦ noch die steht. Die Bahn eines Teilchens im elektrischen Feld istVerhältnisJD¦deshalb vomabhängig.Wir wollen diese Beobachtung zu einem allgemeinen Prinzip erklären, das wir, aus Gründen, die späterklar werden, das schwache Äquivalenzprinzip nennen.Schwaches Äquivalenzprinzip: In einem Gravitationsfeld beschreiben alle Testkörper bei gleichenAnfangsbedingungen die gleichen Bahnen.230

§§¦¦Die Masse¦ träge übernimmt die übliche Rolle derMasse in der klassischen Mechanik, das heißt sie definiert das Verhältnis von Impuls zu Geschwindigkeit.Wir können sie durch geeignet normierte Stoßexperimente ermitteln. Die MasseŒschwere ist dieGravitations-Ladung des Körpers, die wir mit Hilfe einer gewöhnlichen Waage ermitteln können.In einer solchen verallgemeinerten Theorie würde sich die folgende Bewegungsgleichung für einenTestkörper in einem Gravitationspotential ergeben,¦Vorausgesetzt natürlich, dass keine anderen Kräfte auf die Testkörper einwirken. Galilei 2 war der erste,der diese Beobachtung formuliert und systematisch untersucht hat. Auch den Keplerschen Gesetzen derPlanetenbahnen liegt dieses Prinzip zu Grunde. Die Bahnen der Planeten sind unabhängig von deren jeweiligenEigenschaften. Würde sich der Merkur an der Stelle des Jupiters befinden, so würde er dort derselbenBahn folgen.Es liegt deshalb nahe, dem schwachen Äquivalenzprinzip bei der Suche nach einer neuen Theorie derGravitation einen ähnlich hohen Stellenwert einzuräumen wie der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit beider Herleitung der speziellen Relativitätstheorie. Wir erinnern uns, dass auch dies zunächst eine experimentelleBeobachtung war, für die wir im Rahmen der klassischen Theorien keine Erklärung hatten. Soähnlich ist es hier. Die Newtonsche Gravitationstheorie beschreibt das Phänomen zwar korrekt. Aber sieerklärt es nicht wirklich.Die Newtonsche Theorie lässt sich nämlich leicht verallgemeinern, und zwar so, dass das schwacheÄquivalenzprinzip nicht mehr gilt, sie aber trotzdem noch konsistent ist. In der Bewegungsgleichung(13.14) tritt auf beiden Seiten Masse¦ die des Testkörpers auf. Offenbar ist es so, dass zwei zunächstvöllig verschiedene Eigenschaften eines Körpers durch ein und dieselbe ihm Größe¦ zugeordnete beschriebenwerden.Auf der linken definiert¦ Seite die Trägheit des Körpers, also das Verhältnis von Kraft zu Beschleunigung,oder Impuls zu Geschwindigkeit. Auf der rechten Seite definiert¦ dagegen das Gewicht desKörpers. Die Masse übernimmt hier die Rolle einer Ladung. Sie bestimmt die Kopplung des Körpers andas Gravitationsfeld, so wie die LadungJ elektrische die Kopplung an das elektrische Feld bestimmt.Es ist keineswegs zwingend erforderlich, dass zwischen Gewicht und Trägheit eines Körpers ein solcherZusammenhang besteht. Die Newtonsche Theorie ist, im Rahmen der klassischen Mechanik, auch dannnoch konsistent, wenn wir Trägheit und Gewicht eines Körpers als unabhängige Größen einführen. Überlegenwir uns kurz, wie eine verallgemeinerte Theorie der Gravitation aussehen würde, in der Trägheit undGewicht zwei voneinander unabhängige Eigenschaften eines Körpers sind.Wir müssen dann jedem Körper eine träge Masse, die wir mit¦ weiterhin bezeichnen, und eine schwereMasse zuordnen, die wir mit bezeichnen. ¦ Œ(13.16)'S)‹& * Œ ¦ > 1Die Bahn eines Körpers würde nun vom Verhältnis aus schwerer und träger Masse abhängen, so wie dieBahn einer Testladung in einem elektrischen Feld vom Verhältnis aus Ladung und Masse abhängt,'& ¦(13.17)x*Œ > 1Natürlich könnten wir auch mit einer solchen Theorie die Dynamik unseres Sonnensystems, oder denfreien Fall von Körpern im Schwerefeld der Erde richtig beschreiben. Wir würden dann jedoch einesTages die folgende, wahrscheinlich verblüffende Beobachtung machen. Für alle uns bekannten Körperwürde sich das gleiche Verhältnis aus schwerer und träger Masse ergeben, ganz egal, ob es sich dabei um'&Sterne, Planeten, Steine oder Atome')‹&handelt.2 Es ist heute strittig, ob Galilei die oft zitierten Fallexperimente am schiefen Turm von Pisa tatsächlich selbst ausgeführthat. Trotzdem war er wohl der erste, die dieses Phänomen richtig erkannt hat.231

Das Verhältnis wäre eine universelle Naturkonstante, genau wie die LichtgeschwindigkeitŽ. Durch eine geschickte Wahl der physikalischen Einheiten könnten wir setzen, so wie wir in derspeziellen gesetzt haben.D¦Wir müssen dazu nur beide Größen in der gleichenEinheit messen, so wie wir in der speziellen Relativitätstheorie Längen und Zeiten in derselben EinheitRelativitätstheorieŽgemessen haben. Tatsächlich tun wir dies ja auch. Wir messen schwere und träge Masse beide in derEinheit Kilogramm.Wir könnten uns dann fragen, wie genau die Naturkonstante eigentlich gemessen werden kann, bzw.Œ ¦ ob es sich wirklich um eine Konstante handelt. Auf diese Weise können wir etwas überdie Genauigkeitaussagen, mit der das schwache Äquivalenzprinzip experimentell bestätigt ist. Durch das Fallenlassenvon Steinen und Kanonenkugeln vom Schiefen Turm von Pisa würde man etwa eine Genauigkeit vonerreichen. Das heißt, zu Zeiten Galileis konnte man durch einfache Fallexperimente zeigen,dass schwere und träge Masse verschiedener Körper um weniger voneinander abweichen. Mit Hilfevon Pendeln(‘’uSkonnte Newton die Genauigkeit auf erhöhen.Heute gehören die Messungen des Verhältnisses aus schwerer und träger Masse zu den genauestenMessungen überhaupt. Sie sind weit genauer als zum Beispiel die Messungen der Lichtgeschwindigkeitoder die Bestätigung des ‘ED§&’-Gesetzes für die Anziehungskraft zwischen zwei ruhenden Massen. MitHilfe von Torsionswaagen erreichtetwa”E“!$#. man eine Genauigkeit von etwaalsE“In einem noch in derPlanung befindlichen Weltraumexperiment 3 soll eine Genauigkeit von!$#]—erreicht werden.Das Experiment ist denkbar einfach. In einem Satelliten, der nur der Abschirmung von Gas- und Staubteilchendient, befinden sich zwei konzentrische Zylinder aus verschiedenen Materialien im freien Fall ineiner Erdumlaufbahn. Wenn das schwache Äquivalenzprinzip gilt, so müssen beide genau der gleichenBahn folgen, das heißt sie dürfen sich relativ zueinander nicht•‘Ibewegen. Durch genügend lange Beobachtungszeitenlassen sich dadurch extrem hohe Messgenauigkeiten*–‘erreichen.!$#]—,und Aufgabe 13.3 Nehmen wir an, die -Werte der beiden Körper umunterscheiden sich beideKörper befinden sich ein Jahr lang im freien Fall in einer erdnahen Umlaufbahn. Zu Beginn des Experimentssind ihre Schwerpunkte relativ zueinander in Ruhe. Welche Geschwindigkeit haben sie nach einemJahr relativ zueinander erreicht? Um welche Strecke haben sie sich relativ zueinander bewegt?Gravitation und TrägheitskräfteDas unbefriedigende an Newtons Theorie ist, wie schon gesagt, dass sie keinerlei Erklärung dafür liefert,warum das Verhältnis aus schwerer und träger Masse eine universelle Naturkonstante ist. Wir müssen einfachakzeptieren, KörperŒdass für alle gilt. Wir wollen uns deshalb überlegen, wie eine alternativeTheorie beschaffen sein muss, die das schwache Äquivalenzprinzip in irgendeinem Sinne erklären kann.Mit anderen Worten, gibt es vielleicht eine ganz einfache Erklärung dafür, dass in einem Gravitationsfeldjeder Körper eine Kraft erfährt, die zu seiner (trägen) Masse proportional ist?Vielleicht hilft uns die folgende Beobachtung weiter. Es gibt noch eine ganz andere Art von Kräften, diegenau diese Eigenschaft haben. Und in diesem Fall haben wir dafür eine einfache Erklärung. Wenn wir¦ ¦uns in ein beschleunigtes Bezugsystem begeben, so beobachten wir, dass auf jeden Körper eine Scheinkraftwirkt, die stets proportional zu seiner Masse ist. In einem gleichmäßig beschleunigten Bezugsystembeobachten wir eine konstante Rückstoßkraft, in einem rotieren Bezugsystem die Zentrifugal- undCoriolis-Kräfte.Alle diese Kräfte sind jeweils proportional zur Masse des betreffenden Körpers. Das ist nicht weiterverwunderlich, denn bei diesen scheinbaren Kräften handelt es sich letztlich nur ein mathematischesHilfsmittel, das dazu dient, die Bewegungsgleichungen für bestimmte Systeme zu vereinfachen. Betrachtenwir zum Beispiel die Bewegungsgleichung eines Teilchens, auf das in einem Inertialsystem irgendeine3 Satellite Test of the Equivalence Principle (STEP), http://einstein.stanford.edu/STEP.232

¡wirkt,§§¡s(13.18)Milchstraßeandere Galaxie(a)(b)Abbildung 13.3: Das Äquivalenzprinzip besagt, dass ein Astronaut in einer abgeschlossenen Rakete nichtzwischen den Situationen (a) und (b) unterscheiden kann. Er kann nicht feststellen, ob er im Gravitationsfeldeines Planeten ruht oder im freien Weltraum eine gleichmäßige Beschleunigung erfährt.Kraft¦Jetzt transformieren wir diese Gleichung in ein gleichmäßig beschleunigtes Bezugsystem, das heißt wirersetzen )&D„. Dann lautet die Bewegungsgleichung in diesem Bezugsystem, das natürlich keinInertialsystem mehr ist,‚ j § §|˜')‹& '&'& 'S)& ¡< ¦ ¦(13.19)Es tritt ein zusätzlicher Term auf, den wir als eine zusätzliche Kraft interpretieren können. Ganz allgemeintritt eine solche Schein- oder Trägheitskraft bei jeder Koordinatentransformation auf, sobald das neueKoordinatensystem kein Inertialsystem mehr ist.Im allgemeinen ist die Trägheitskraft von der Zeit, dem Ort sowie der Geschwindigkeit des Teilchens‚abhängig. Aber stets ist sie proportional zur seiner Masse. Die Erklärung dafür ist sehr einfach, denn immerresultiert der zusätzliche Term auf der rechten Seite der transformierten Bewegungsgleichung aus derTransformation der linken Seite der ursprünglichen Bewegungsgleichung (13.18), und diese ist proportionalMasse¦ zur des TestkörpersMit Gravitation hat das alles nichts zu tun. Oder doch? Wenn die Gleichheit von träger und schwererMasse etwas ganz fundamentales ist, dann gibt es vielleicht eine ebenso fundamentale Beziehung zwischenGravitations- und Trägheitskräften. Um uns klar zu machen, dass beide Phänomene wirklich sehr ähnlichsind, und dass sie sich in gewissen Situationen gar nicht unterscheiden lassen, führen wir wieder einGedankenexperiment durch.In Abbildung 13.3(a) befindet sich eine Rakete knapp über der Oberfläche der Erde. Die Triebwerkeerzeugen einen konstanten Schub, der die Rakete im Gleichgewicht hält, so dass sie relativ zur Erde ruht.In der Rakete können wir durch verschiedene physikalische Experimente das Gravitationsfeld des Erdeausmessen. Zum Beispiel können wir die Frequenz eines Pendels messen oder die Beschleunigung, die ein233

Gravitationskraft und einer Trägheitskraft, und er merkt deshalb auch nicht, dass sich diese Anteile mitder Zeit ändern. Wir schließen daraus, dass sich in einem räumlich begrenzten Labor Gravitations- undTrägheitskräfte nicht voneinander unterscheiden lassen, jedenfalls nicht mit mechanischen Experimenten.Umgekehrt können wir Gravitationskräfte auch stets durch Trägheitskräfte kompensieren, indem wirdie Rakete in geeigneter Weise beschleunigen. Stellen wir uns vor, wir würden im freien Weltraum dieTriebwerke der Rakete abschalten. Dann bewegt sich die Rakete gleichförmig, und wir beobachten keineTrägheitskräfte mehr. Das mitbewegte Koordinatensystem ist jetzt ein Inertialsystem. Wenn wir dasselbeim Gravitationsfeld der Erde tun, so wird die Rakete frei fallen, also eine gleichmäßig beschleunigteBewegung nach unten ausführen. In der Rakete machen wir jedoch genau die gleichen Beobachtungen.Wenn die Triebwerke abgeschaltet sind, herrscht in der Rakete Schwerelosigkeit. Alle Körper verhaltensich so wie in einem Inertialsystem. Die Gravitationskräfte werden durch die Trägheitskräfte geradeausgeglichen. Auch das gilt ganz allgemein für jedes Gravitationspotential1. Wenn die Triebwerke abgeschaltetsind, entspricht das Fall‚ dem in (13.22). Offenbar wirken dann keine zusätzlichen Kräfte aufeinen Testkörper, und zwar unabhängig davon, ob sich die Rakete im freien Fall in einem Gravitationsfeldbefindet oder sich gleichförmig durch einen feldfreien Raum bewegt.Was hindert uns nun eigentlich daran, ein frei fallendes Bezugsystem im Gravitationsfeld der Erdeals Inertialsystem zu betrachten, wo doch die Physik in einem frei fallenden Labor die gleiche ist wiedie in einem Inertialsystem, wenn dort keine Gravitationskräfte wirken? Ein relativ zur Erde ruhendesBezugsystem wäre dann kein Inertialsystem mehr, denn es wäre gegenüber dem frei fallenden Systembeschleunigt. Deshalb würde in einem solchen Bezugsystem eine Trägheitskraft auftreten. Wir hätten alsoeine sehr einfach Erklärung dafür, dass alle Körper nach unten fallen. Wir befinden uns in einem nachoben beschleunigten Bezugsystem. Das, was wie bisher Gravitation nannten, ist in Wirklichkeit nur eineTrägheitskraft.Das erklärt die Bezeichnung Äquivalenzprinzip. Es beruht auf der Annahme, dass Gravitations- undTrägheitskräfte äquivalent sind. Es sind zwei Erscheinungen, die letztlich auf dieselbe Ursache zurückgeführtwerden können. Gravitations- bzw. Trägheitskräfte treten in Bezugsystemen auf, die keine Inertialsystemesind, und sie sind beide jeweils proportional zur Masse des Körpers, auf den sie wirken.Die Tatsache, dass sich frei fallende Körper stets auf denselben Bahnen bewegen, folgt daraus zwanglos.In einem ebenfalls frei fallenden Bezugsystem, also in einem Inertialsystem, bewegen sich diese Körperkräftefrei, das heißt ihre Weltlinien sind Geraden.Bislang bezieht sich dies alles nur auf die Gesetze der klassischen Mechanik. Es ist nicht unmittelbarklar, ob der Astronaut nicht vielleicht durch geeignete optische Experimente zwischen Gravitationsfeldernund beschleunigten Bezugsystemen unterscheiden kann. Da wir aber vermuten, dass sich hinter der Äquivalenzvon Gravitations- und Trägheitskräften eine tiefere Erkenntnis verbirgt, wollen wir dies zu einemallgemeinen Prinzip erklären, das über das schwache Äquivalenzprinzip hinaus geht.Starkes Äquivalenzprinzip: Die Physik in einem hinreichend kleinen, frei fallenden Laborgleicht der in einem Inertialsystem.Wir wollen also annehmen, dass es grundsätzlich unmöglich ist, zwischen Gravitations- und Trägheitskräftenzu unterscheiden. Dabei müssen wir uns allerdings auf die lokale Physik in einem begrenztenRaumbereich beschränken. Wenn der Astronaut Kontakt mit der Außenwelt aufnimmt, kann er natürlichsehr wohl feststellen, ob er sich in einem Gravitationsfeld eines Planeten befindet oder im freien Weltraum.Er könnte zum Beispiel mit einer Astronautin in einer anderen Rakete kommunizieren und feststellen,dass sich diese auch im freien Fall befindet, er sich aber relativ zu ihr nicht gleichförmig bewegt. Das istnur dann möglich, wenn tatsächlich ein Gravitationsfeld vorliegt. Gravitations- und Trägheitskräfte sindalso nur lokal äquivalent. Ein Labor ist dann im Sinne des Äquivalenzprinzips hinreichend klein, wenn dasGravitationsfeld darin im Rahmen der Messgenauigkeit homogen ist. Nur dann lassen sich die Gravitationskräftedurch den Übergang zu einem frei fallenden Bezugsystem gewissermaßen “wegtransformieren”.235

4 4š)GrelativšMilchstraßeandere Galaxie(a)(b)Abbildung 13.4: Wenn ein frei fallendes Koordinatensystem ein lokales Inertialsystem ist, dann kannes im Gravitationsfeld eines Planeten kein globales Inertialsystem geben. Wählt man nämlich zu einemZeitpunkt (a) ein kartesisches räumliches Koordinatensystem so, dass es relativ zum Planeten ruht, undlässt dieses dann frei fallen, so ist es zu einem späteren Zeitpunkt (b) nicht mehr kartesisch.) )G )0£¤)GGravitation und die Krümmung der RaumzeitSo erstaunlich einfach die Erklärung von Gravitation als ein durch Trägheitskräfte hervorgerufenes Phänomenist, so wirft sie jedoch ein paar Fragen auf. Wenn wir frei fallende Bezugsysteme als Inertialsystemebetrachten wollen, so müssen wir offenbar die Vorstellung aufgeben, dass diese sich relativ zueinanderstets gleichförmig bewegen. Aber wodurch ist dann ein Inertialsystem ausgezeichnet? Mit anderen Worten,warum ist gerade ein Koordinatensystem, welches relativ zur Erdoberfläche eine Beschleunigung von¥u¦mDsec&nach unten erfährt, ein Inertialsystem?Zudem ergibt sich ein weiteres Problem, wenn wir versuchen, ein frei fallendes Koordinatensystem2)4©š8œ›5auch außerhalb der Rakete zu definieren. Betrachten wir zum Beispiel ein kartesisches räumlichesKoordinatensystem24©š8œ›5, dass zu Zeitpunkt) irgendeinem zur Erde ruht, und dessenUrsprung im Mittelpunkt der zu diesem Zeitpunkt ebenfalls ruhenden Rakete liegt. Die Koordinatenlinieneines solchen Systems sind in Abbildung 13.4(a) dargestellt.Nun lassen wir dieses Koordinatensystem frei fallen, und zwar so, dass jede Kurve mit konstantenräumlichendie Weltlinie eines Testkörpers beschreibt, den wir zum Zeitpunkt)Gfallen lassen. Da ein Körper nahe der Erdoberfläche eine größere Beschleunigung erfährt als ein KörperKoordinaten24©š8œ›5weiter draußen, werden sich die Koordinatenlinien mit der Zeit verformen. Zu einem späteren Zeitpunktergibt sich das in Abbildung 13.4(b) dargestellte räumliche Koordinatensystem. Der Ursprungliegt noch immer im Mittelpunkt der frei fallenden Rakete, aber es handelt sich jetzt nicht mehr um einkartesisches Koordinatensystem.Offenbar ist es nicht möglich, ein globales kartesisches Koordinatensystem auf der Raumzeit so zu de-)£?)Gfinieren, dass die Gravitationskräfte überall durch Trägheitskräfte kompensiert werden. Trotzdem müssenwir Vorstellung, dass Gravitationskräfte im Prinzip Trägheitskräfte sind, und dass frei fallende KoordinatensystemeInertialsysteme sind, nicht gleich wieder aufgeben. Wir müssen nur den ursprünglichen Begriff236

eines Inertialsystems ein wenig einschränken.In einem Gravitationsfeld können wir Inertialsysteme nur noch lokal einführen. Deshalb ist es auchganz wesentlich, dass diese Einschränkung im Äquivalenzprinzips auftaucht. Nur solange wir uns auf denBereich unseres Labors innerhalb der Rakete beschränken, können wir ein frei fallende Koordinatensystemals ein Inertialsystem betrachten. Es ist nicht möglich, die ganze Raumzeit durch ein einziges, frei fallendesInertialsystem abzudecken. Denn in einem Gravitationsfeld erfahren Testkörper an verschiedene Ortenverschiedene Beschleunigungen, während sich kräftefreie Körper in einem globalen Inertialsystem stetsgleichförmig zueinander bewegen würden.Wenn aber ein solches globales kartesisches Koordinatensystem nicht existiert, dann lässt das eigentlichnur einen Schluss zu. Die Raumzeit ist offenbar gekrümmt. Die Annahme, dass Gravitationskräfte eigentlichTrägheitskräfte sind, führt uns unmittelbar zu der Schlussfolgerung, dass die Raumzeit vielleicht garkein flacher, affiner Raum ist, sondern eine gekrümmte Mannigfaltigkeit.Eine ganz andere Überlegung, ausgehend vom schwachen Äquivalenzprinzip, führt letztlich auf dieselbeVorstellung der Raumzeit als gekrümmte Mannigfaltigkeit. Das schwache Äquivalenzprinzip besagt, dasssich alle Testkörper in einem Gravitationsfeld auf denselben Bahnen bewegen. Das legt natürlich denVerdacht nahe, dass diese Bahnen irgendwelche besonderen Kurven in der Raumzeit selbst sind, die mitden Testkörpern als solchen gar nichts zu tun haben. Die Testkörper messen diese Kurven nur.Aber welche besonders ausgezeichneten Kurven können das sein? Wenn kein Gravitationsfeld vorhandenist, bewegen sich kräftefreie, also frei fallende Körper auf Geraden durch die Raumzeit. Wenn ein Gravitationsfeldvorhanden ist, sind die Weltlinien von frei fallenden Körpern aber ganz sicher keine Geradenin einer flachen Raumzeit. Zwei Geraden in einem affinen Raum können sich nicht mehrmals schneiden,während die Weltlinien von frei fallenden Körpern das durchaus tun können. Man denke zum Beispiel anzwei Satelliten, die die Erde in entgegengesetzten Richtungen umkreisen, und sich zweimal pro Umlauftreffen.Es könnte sich bei den Weltlinien von frei fallenden Körpern aber um die verallgemeinerten Geraden,also die Geodäten auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit handeln. Das würde eine einfache Erklärungdafür liefern, warum diese Weltlinien lokal, also aus der Sicht eines ebenfalls frei fallenden Beobachtersin der Nähe, stets wie Geraden aussehen, sich global aber ganz anders verhalten können als Geraden ineiner flachen Raumzeit.Auf jeden Fall würde eine solche Theorie der Gravitation zwanglos erklären, warum Gravitations- undTrägheitskräfte nicht unterscheidbar sind. Ein Testkörper spürt nämlich, bildlich gesprochen, immer nurdie Summe von beiden. Ein Astronaut spürt eine Trägheitskraft, oder äquivalent ein Gravitationsfeld inseiner Rakete immer dann, wenn die Triebwerke eingeschaltet sind. Das ist genau dann der Fall, wenn dieWeltlinien seiner Rakete keine Geodäte ist. Umgekehrt, wenn die Triebwerke abgeschaltet sind, dann istdie Weltlinie der Rakete eine Geodäte. Es herrscht im Innern Schwerelosigkeit, so als würde die Raketeeine gleichförmige Bewegung in einer flachen Raumzeit ausführen.Ausgehend von der Äquivalenz von Gravitations- und Trägheitskräften kommen wir also zu einer ganzneuen Interpretation davon, was Gravitation eigentlich ist.Gravitation äußert sich nicht dadurch, das sie auf Körper Kräfte ausübt, sondern dadurch, dasssie bestimmt, auf welchen Bahnen sich kräftefreie Körper bewegen.Physik im gekrümmten RaumBisher sind dies natürlich rein qualitative Überlegungen. Wir haben bis jetzt noch keine Vorstellung davon,wie denn nun konkret ein bestimmtes Gravitationsfeld, zum Beispiel das der Sonne, durch eine gekrümmteRaumzeit beschrieben werden kann. Außerdem haben wir das eigentliche Ziel ein wenig aus den Augenverloren, nämlich die Suche nach einer relativistischen Theorie der Gravitation, also einer Beschreibung,die mit der speziellen Relativitätstheorie in Einklang steht.237

Das Ziel ist es also jetzt, die Vorstellung einer gekrümmten Raumzeit mit der Relativitätstheorie zusammenzu bringen, und zwar so, dass das Äquivalenzprinzip gilt. Mit anderen Worten, in einem hinreichendkleinen, frei fallenden Labor sollen die gleichen Gesetze gelten wie in einem Inertialsystem der speziellenRelativitätstheorie. Aber für die Raumzeit als ganzes muss es kein globales Inertialsystem mehr geben.Tatsächlich lassen sich diese Konzepte auf sehr elegante Weise vereinigen. Die Raumzeit der speziellenRelativitätstheorie ist der vierdimensionale Minkowski-Raum, also ein metrischer affiner Raum derSignatur25.Die naheliegende Vermutung ist daher, dass eine gekrümmte Raumzeit eine metrischeMannigfaltigkeit mit genau dieser Signatur ist, also eine vierdimensionale Lorentzsche Mannigfaltigkeit.Lokal, das heißt in der Umgebung eines bestimmten Ereignisses, sieht eine solche Mannigfaltigkeit genauso aus wie der Minkowski-Raum.Mit anderen Worten, die Raumzeit ist eine Mannigfaltigkeit§ vierdimensionale differenzierbare , aufMetrik‚Lg`der Signatur25eine der definiert ist. Diese übernimmt die Lorentz-Metrik¨La`Rolle derin der speziellen Relativitätstheorie. Sie definiert, zumindest lokal, Längen und Zeiten, und sie bestimmt,welche Kurven Geodäten sind. Die Metrik ist also, in einem gewissen Sinne, gleichzeitig das Gravitationsfeld.Was heißt das konkret? Betrachten wir zum Beispiel Kurve^eine zeitartige , und nehmen wiran, dies sei die Weltlinie einer Uhr in der Raumzeit. In der speziellen Relativitätstheorie zeigt eine Uhrdie Eigenzeitª«2Z5ihrer Weltlinie an, definiert durch (5.5). Das heißt, die misst quasi die (zeitliche) Längeihrer Weltlinie. Das gleiche soll nun auch in einer gekrümmten Raumzeit gelten. Die Eigenzeitª¬2Z5, dieein Uhr anzeigt, soll also folgende Differentialgleichung erfüllen,§ 2Z50©(13.23)®­ '^ '^ C­ ‚La`2^ '[Z '[ZDer einzige Unterschied zur speziellen Relativitätstheorie ist, dass'ªder der Weltliniejetzt ein Vektor im ist. Um seine Länge zu bestimmen, müssen wir deshalb '$Z 5'TL 'T` '[Z Tangentenvektor'^–D'[Z'[Zwir die an der 2Z5benutzen.Tangentenraum¯(°²±´³µ·§Auf diese Wiese können wir fast alle ausStelle^der speziellen Relativitätstheorie bekannten physikalischenGesetze vom Minkowski-Raum auf eine gekrümmte Raumzeit übertragen.Metrik‚Lg`Die Idee ist dabei sehr einfach.Wie wir gesehen haben, lassen sich alle Beziehungen zwischen physikalischen Größen, die dem Relativitätsprinzipgenügen, also alle relativistischen Naturgesetze, als Tensorgleichungen formulieren. DieDefinition der Eigenzeit einer Weltlinie, die den Gang von Uhren beschreibt, ist ein typisches Beispiel füreine solche Tensorgleichung.Andererseits können wir das Tensorkalkül auch auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit einführen. Dabeigibt es nur eine Einschränkung. TensorenTangentenräumen¯(¸§sind auf einer Mannigfaltigkeit stets lokal definiert, nämlichin den , während sieVektorraum¹auf einem flachen affinen Raum in einem globalen, zugeordnetendefiniert sind. Auf einer gekrümmten Raumzeit können Beziehungen deshalb nurzwischen solchen Tensoren hergestellt werden, die am gleichen Ereignis, also am gleichen Ort und zurgleichen Zeit definiert sind.Wenn wir es also schaffen, im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie alle Beziehungen zwischenTensoren lokal in Raum und Zeit zu definieren, dann können wir diese Beziehungen auf eine beliebigegekrümmte Raumzeit übertragen, indem wir einfach die entsprechenden Tensorgleichungen übernehmen.Die obige Beziehung zwischen der Eigenzeit und dem Tangentenvektor einer Weltlinie erfüllt diese Lokalitätsbedingungoffensichtlich. Auf beiden Seiten der Gleichung steht ein Skalar, und unter der Wurzel aufder rechten Seite werden drei Tensoren kontrahiert, die alle Tangentenraum¯ im definiert sind.Allgemein erhalten wir auf diese Weise eine Art Übersetzungsvorschrift, mit deren Hilfe wir jede aufdem Minkowski-Raum formulierte, relativistische und in diesem Sinne lokale Theorie auf eine gekrümmteLorentzsche Mannigfaltigkeit als Raumzeit übertragen können. Diese Übersetzungsvorschrift soll imfolgenden die Grundlage einer relativistischen Gravitationstheorie sein.°±º³Wµ§238

wirkt.Die Raumzeit ist eine vierdimensionale Lorentzsche Mannigfaltigkeit. Alle physikalischenGesetze, die im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie als lokale Tensorgleichungen formuliertwerden können, gelten entsprechend als Tensorgleichungen auf der gekrümmten Raumzeit.Das ist, in groben Zügen, die Idee der allgemeinen Relativitätstheorie. Die Bezeichnung rührt daher, dassdas Relativitätsprinzip, welches die Grundlage der speziellen Relativitätstheorie bildet, verallgemeinertwird. In der speziellen Relativitätstheorie war es so, dass die Naturgesetze in allen Inertialsystemen, alsoin allen kartesischen Koordinatensystemen auf der Raumzeit, die gleiche Form annehmen. Sie sinddaher invariant unter einer speziellen Klasse von Koordinatentransformationen, nämlich den Lorentz-Transformationen.Unsere Übersetzungsvorschrift besagt nun, dass die Raumzeit in Anwesenheit von Gravitationsfelderneine gekrümmte Mannigfaltigkeit ist, und dass sich die Naturgesetze als Tensorgleichungen auf dieserMannigfaltigkeit formulieren lassen. Nun haben Tensorgleichungen auf Mannigfaltigkeiten, wie wir ausTeil II wissen, die Eigenschaft, dass sie in allen Koordinatensystemen die gleiche Form annehmen. Siesind invariant unter beliebigen Koordinatentransformationen. Es gilt also die folgende Verallgemeinerungdes speziellen Relativitätsprinzips.Allgemeines Relativitätsprinzip: Die fundamentalen Naturgesetze nehmen in jedem Koordinatensystemdie gleiche Form an.Ein Beispiel für ein solches Naturgesetz, auch wenn es vielleicht nicht besonders fundamental ist, wäre dieAussage, dass eine Uhr, die sich Weltlinie^entlang einer 2Z5durch die Raumzeit bewegt, die Eigenzeitª«2Z5anzeigt. Tatsächlich lautet die Formel (13.23), die zwischen^den Zusammenhang 2Z5undª¬2Z5bestimmt,in allen Koordinatensystemen gleich. Wir müssen nur die Darstellung der Weltlinie und die Metrikentsprechend transformieren.Das allgemeine Relativitätsprinzip ergibt sich ganz zwangsläufig aus der Tatsache, dass die Metrik aufder Raumzeit nun das Gravitationsfeld beschreiben soll. In der speziellen Relativitätstheorie war die Metrikdes Minkowski-Raumes eine a priori gegebene Struktur der Raumzeit, das heißt sie war von Anfangan fixiert. Deshalb waren auch Inertialsysteme von Anfang an ausgezeichnete Koordinatensystem, nämlichsolche in denen die Darstellung‚Lg`Metrik die hatte.Jetzt dagegen wird die Metrik‚La`zu einer Variablen. Sie unterliegt selbst irgendwelchen Bewegungsgleichungen,die wir noch herleiten müssen. Die einzige Struktur der Raumzeit, die jetzt noch a priorigegeben ist, ist die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Alle physikalischen Objekte, einschließlichder Metrik selbst, werden darauf als Tensorfelder definiert, die jeweils ihren Feldgleichungenunterliegen und eine eigene Dynamik besitzen.Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit gibt es aber keine irgendwie ausgezeichneten Koordinatensysteme.Alle Koordinatensysteme sind gleichwertig. Und deshalb müssen wir von den Naturgesetzen¨Lg`verlangen, dass sie in allen Koordinatensystemen die gleiche Form annehmen. Sonst wäre das Konzept dergekrümmten Raumzeit als Beschreibung der Gravitation nicht haltbar. Das allgemeine Relativitätsprinzipist also ein Kriterium, das jedes auf einer gekrümmten Raumzeit definierte Naturgesetz erfüllen muss.Die Dynamik von PunktteilchenEin Beispiel für die Anwendung unserer Übersetzungsvorschrift haben wir bereits gegeben, nämlich dieBeziehung (13.23) zwischen einer Weltlinie und ihrer Eigenzeit. Allgemein wollen wir jetzt die Dynamikeines Punktteilchens betrachten, wie wir sie in Kapitel 5 im Rahmen der speziellen Relativitätstheoriediskutiert haben.Wir beginnen mit den Bewegungsgleichungen für ein Masse¦ Teilchen der im flachen Minkowski-Raum, auf 4-Kraftpdas eine Sie lauten, wenn wir die 2»ª5als Funktion der EigenzeitWeltlinie^L239

'TL'zumª darstellen,*¼L ¦ '¼L 'ª(13.24)Die erste Gleichung war im wesentlichen die Definition des 4-Impulses¼L, die zweite Gleichung wardie Verallgemeinerung der klassischen Beziehung, wonach die Kraft die Änderung des Impulses ist. DieNebenbedingung ergab sich aus der Tatsache,'ªdie Eigenzeit entlang der Weltlinie ist. Bilden wirnämlich die Norm der ersten Gleichung, so folgt& ¦ ¨Lg`¼L¼` L

Lbalsentwederaus Metrik‚La`der abgeleitete Christoffel-Symbol ist. Man beachte, dass die Ableitung inL`¥ddasRichtung der Weltlinie erfolgt, und deshalb als Richtungsvektor der Tangentenvektor'TdD'ª der Weltlinieauftritt, der mit dem letzten Index des Christoffel-Symbols kontrahiert wird. Die beiden ersten IndizeswobeiÄwirken dagegen als Matrixindizes auf den Vektor¼8L.Dass wir sämtliche Ableitungen von Tensoren durch die entsprechenden kovarianten Ableitungen ersetzenmüssen, ergibt sich implizit aus der Übersetzungsvorschrift. Am besten können wir uns das klarmachen, wenn wir den umgekehrten Weg gehen, das heißt die Bewegungsgleichungen zurück übersetzen.Es sei also eine Tensorgleichung auf Mannigfaltigkeit§ einer gegeben, die eine Beziehung zwischeneinigen Tensoren und ihren Ableitungen herstellt. Die Ableitungen müssen dann natürlich kovariante Ableitungensein, denn sonst ist es keine Tensorgleichung.Um eine solche Tensorgleichung zurück zu übersetzten, wählen wir für Mannigfaltigkeit§ die einfachden Minkowski-Raum, und als Koordinatensystem ein Inertialsystem, also ein kartesisches Koordinatensystem.Dann werden aus allen kovarianten Ableitungen gewöhnliche Ableitungen, aber ansonsten bleibtdie Tensorgleichung dieselbe. Umgekehrt müssen wir also alle normalen Ableitungen durch kovarianteAbleitungen ersetzen, wenn wir von einer flachen zu einer gekrümmten Raumzeit übergehen.Ein Problem tritt dabei jedoch auf. Nehmen wir an, in einer Tensorgleichung tritt die zweite Ableitungeines Tensors auf, etwa in der Form d.Wie sollen Als>wir dies dann übersetzen? oderd? Auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit besteht zwischen beiden Ausdrücken ein Unterschied,der zum Krümmungstensor proportional ist,É. Die Übersetzungsvorschrift ist also nichtganz eindeutig, denn dieser Term verschwindet natürlich, wenn wir uns wieder auf eine flache Raumzeitzurück ziehen.Im Prinzip könnten wir an jeder Stelle beliebig viele Terme proportional zum Krümmungstensor hinzufügen.Beim Zurückübersetzen in den flachen Minkowski-Raum fallen alle diese Terme weg. Die Übersetzungsvorschriftist also keineswegs eine mathematisch eindeutige Abbildung, sondern eher eine ArtàÅ L>`ÆÅ >`>LŸÅ dgrobe Anleitung, wie wir Bewegungsgleichungen und ähnliches auf einer gekrümmtennämlichÇÈd´ÉLgÀÅRaumzeit formulierensollen. Trotzdem ist sie in einfachen Fällen wie hier eindeutig, wenn wir zusätzlich verlangen, dassin den Gleichungen der Krümmungstensor nicht explizit auftreten soll. Und wie wir später sehen werden,ist das Ergebnis in diesem Fall auch vernünftig.Kommen wir also wieder auf die zweite Bewegungsgleichung zurück. Wenn wir die erste Bewegungsgleichungverwenden, um den Tangentenvektor in (13.29) durch den Impuls zu ersetzen, und das Ergebnisein wenig umschreiben, dann ergibt sichNatürlich müssen wir 4-Kraftpjetzt auch die Tensor auf der gekrümmten Raumzeit definieren, undzwar Tangentenraum¯ ebenfalls im Üblicherweise wirpwerden als Funktion von Ortund Impuls vorgeben, oder explizit als Funktion vonª. Damit die Nebenbedingung erhalten bleibt, mussauch hier wieder gelten,Lsteht, also°²±Âõ§ LL dassp'ª fp L '¼L¦ Ä L`¥d2^ 5¼`¼d(13.30)zu¼L senkrecht.(13.31)Betrachten wir nun das System von Bewegungsgleichungen (13.27) und (13.30), so ergeben sich folgendeGemeinsamkeiten mit den Bewegungsgleichungen auf einer flachen Raumzeit. Auch hier haben wirein System von Differentialgleichungen erster Ordnung vorliegen, das heißt wir können als Anfangsbedingungenein‚Lg`2^25und einen Impuls¼L25vorgeben, der die Nebenbedingung (13.28) erfüllen5p L¼`

‚ zerlegen,ab, sondern auch von der jeweiligen Metrik der Raumzeit, und damit vom Gravitationsfeld. Die Kopplungdes Teilchens an das Gravitationsfeld erfolgt offenbar durch das Christoffel-Symbol in (13.30).Wir können die Bewegungsgleichung auch als eine Differentialgleichung zweiter Ordnung schreiben,indem wir den Impuls eliminieren,(13.32)'ª& p L ¦ Ä L`¥d2^ 5'T` 'ª 'Td 'ª Das bemerkenswerte an dieser Gleichung ist die Ähnlichkeit mit der klassischen Bewegungsgleichung'&TL ¦(13.22) für ein Teilchen in einem beschleunigten Bezugsystem, das sich gleichzeitig in einem Gravitationsfeldbefindet, und auf das noch zusätzlich noch eine Kraft wirkt.Offenbar können wir den Term, der das Christoffel-Symbol enthält und proportional zur Masse desTeilchens ist, als eine Art Scheinkraft interpretieren, die zusätzlich¡zur wirkt. Wenn wir sotun, als sei das verwendete Koordinatensystem ein Inertialsystem auf einer flachen Raumzeit, dann steht4-Kraftpauf der linken Seite der übliche Ausdruck Masse mal Beschleunigung, und auf der rechten Seite stehtfolglich die gesamte auf das Teilchen wirkende 4-Kraft. Die zusätzliche können wir dann wahlweiseTrägheits- oder Gravitationskraft nennen.Es gibt jedoch einen ganz wesentlichen Unterschied zur klassischen Bewegungsgleichung (13.22).LDortjedem Zeitpunkt eindeutig in eine Gravitationskraft¦konnten wir die zusätzlicheŸžzuund Trägheitskrafteine weil es so etwas wie ein globales, ruhendes Bezugsystem gab. InKraftdiesem Bezugsystem ist die Gravitation eine gewöhnliche Kraft wie jede andere auch, während Trägheitskräftegar nicht vorhanden sind. Wir konnten daher eindeutig sagen, welcher Term durch die Gravitationverursacht ist, und welcher durch die Beschleunigung des Bezugsystems, auch wenn nur die Summe vonbeiden letztlich zum Tragen>kommt.Hier ist die Situation anders. Wir können das Christoffel-Symbol auf einer¦†‚gekrümmten Mannigfaltigkeitnicht in zwei Anteile zerlegen, wobei der eine die Krummlinigkeit des Koordinatensystems misst,1¦also die Abweichung von einem Inertialsystem und somit die Beschleunigung, während der andere das eigentlicheGravitationsfeld darstellt, was immer das genau ist. Es ist daher prinzipiell nicht mehr möglich,zwischen Gravitations- und Trägheitskräften zu unterscheiden. Sie sind untrennbar vereint und werdenbeide von einem einzigen Objekt beschrieben, dem Christoffel-Symbol.Anders ausgedrückt, es sind beides Scheinkräfte, die nur durch die jeweilige Wahl des Koordinatensystemseine konkrete Form annehmen. Deshalb können wir den Begriff “Gravitationskraft” genau genommengar nicht unabhängig vom Koordinatensystem definieren. Es gibt keinen Tensor, die ein solches Objektnamens “Gravitationskraft” repräsentiert. Die Beschreibung entspricht genau unserer oben geäußertenVermutung, dass Gravitation gar nicht als Kraft wirkt. Frei fallende Körper sind kräftefrei, und sie erfahrendemnach auch keine Beschleunigung.Das hört sich etwas ungewöhnlich an, steht aber in Einklang mit der Tatsache, dass ein Astronaut in einerfrei fallenden Rakete keine Beschleunigung wahrnimmt. Um zu zeigen, dass sich das auch aus unsererÜbersetzungsvorschrift ergibt, erinnern wir uns an den Begriff aus der speziellen Relativitätstheorie. Die4-Beschleunigung einer zeitartigen Weltlinie ist die Ableitung der 4-Geschwindigkeit nach der Eigenzeit,'&TLD'ª&. Auch 'qLD'ª ÊLhier müssen wir die Ableitung durch eine kovariante Ableitung ersetzen,damit das Ergebnis wieder ein Vektor im Tangentenraum¯0°²±Âõ·§ ist,(13.33)'&TL 'ª& jËÄ L`_d2^ 5'Td 'ª 'Td 'ª Welche Bedeutung hat dieser Vektor? Er hat natürlich die gleiche Bedeutung, die der entsprechende Vektorin der speziellen Relativitätstheorie hat. Es ist ein raumartiger Vektor, und sein Betrag ist die Beschleunigung,die ein mitbewegter Beobachter als eine auf ihn wirkende Rückstoßkraft spürt. ÊL242

Wichtig ist, dass die einzelnen Terme auf der rechten Seite in (13.33) für sich genommen keine vomKoordinatensystem unabhängige Bedeutung haben. Es ist deshalb sinnlos zu fragen, ob das, was der mitbewegteBeobachter spürt, von einem Gravitationsfeld oder von einer “echten” Beschleunigung herrührt,oder ob es eine Kombination von beiden ist. Was er wahrnimmt, ist Richtung und Betrag des VektorsÊL.Und diese Beschleunigung ist nur dann von Null verschieden, wenn eine “echte” 4-KraftpLwirkt,zum Beispiel die von den Triebwerken einer Rakete erzeugte Kraft. Die Bewegungsgleichung lautet jetztnämlich ganz einfach¦(13.34)Und was sind nun die Bahnen, auf denen sich kräftefreie Körper bewegen? Offenbar ist die Beschleunigung(13.33) genau die linke Seite der Geodätengleichung (9.35). Die Weltlinien, auf denen sich kräftefreieTeilchen bewegen, sind, wie wir früher schon vermutet haben, die zeitartigen Geodäten auf der Raumzeit.Es sind diejenigen Weltlinien, die ihren eigenen Tangentenvektor parallel transportieren. Das ist natürlichvernünftig, denn es heißt letztlich nichts anderes als dass der Impuls des Teilchens konstant ist. GenauerÊL p Lgesagt, kovariant konstant, aber das ist der einzige Begriff von “konstant”, der an dieser Stelle Sinn macht.Im Prinzip ist es also gar nicht schwer, die Physik in einer gekrümmten Raumzeit zu verstehen. Siewird durch dieselben Gesetze beschrieben wie in einer flachen Raumzeit, nur dass diese jetzt als Tensorgleichungenlokal definiert sind. Umgekehrt bekommen wir die Bewegungsgleichungen der speziellenRelativitätstheorie zurück, Mannigfaltigkeit§ wenn wir als einen flachen Minkowski-Raum wählen, undein kartesisches Koordinatensystem wählen, das heißt für die Metrik‚La`die Lorentz-Metrik¨Lg`einsetzen.Aufgabe 13.4 Man zeige, dass für jede zeitartige Weltlinie auf einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit die4-BeschleunigungÊL ein raumartiger Vektor ist, der zur 4-GeschwindigkeitqL senkrecht steht.Aufgabe 13.5 Man zeige, dass die Nebenbedingung (13.28) genau dann mit den Bewegungsgleichungen(13.27) und (13.30) kompatibel ist, wenn die Orthogonalitätsbedingung (13.31) erfüllt ist.Aufgabe 13.6 Man zeige, dass sich die Bewegungsgleichungen für ein kräftefreies Teilchen auch in derFormmit(13.35)'¼L '[Z xÍÌ Ä L`¥d2^ 5¼`¼d Ìt ¦ 'ª '[Z ̼L '[Z 'TLschreiben lassen, wobeiZ ein frei wählbarer Kurvenparameter ist. Warum gelten sie in dieser Form auchfür masselose Teilchen?Aufgabe 13.7 Die Übersetzungsvorschrift besagt, dass das elektromagnetische Feld auf einer gekrümmtenRaumzeit durch ein antisymmetrisches Tensorfeld¡Lg`dargestellt wird. Wie lautet die Bewegungsgleichung(13.32) für ein Teilchen der LadungJ in einem elektromagnetischen Feld auf einer gekrümmtenRaumzeit? Wo überall geht die Metrik und damit das Gravitationsfeld ein? Gibt es auf einer gekrümmtenRaumzeit so etwas wie ein homogenes elektrisches Feld? Oder ein homogenes magnetisches Feld?Aufgabe 13.8 Wie lauten die Maxwell-Gleichungen (6.38) für den Feldstärketensor¡Lg`auf einer gekrümmtenRaumzeit? In welche Gleichung geht die Metrik ein, in welche nicht? Wie ist die elektrische4-StromdichteKL für eine PunktladungJ zu definieren, die sich entlang einer Weltlinie^2Z5bewegt?Das Gravitationsfeld und die MetrikJetzt haben wir eine ungefähre Vorstellung davon, wie sich die Physik in einer gekrümmten Raumzeitabspielt und wie die Gravitation in die Bewegungsgleichungen von Punktteilchen eingreift. Was wir allerdingsimmer noch nicht wissen, ist, wie denn nun ein konkretes Gravitationsfeld durch eine bestimmtegekrümmte Raumzeit, also ein bestimmte Metrik dargestellt wird. Um diese Frage zu beantworten, werdenwir noch einmal vom Äquivalenzprinzip Gebrauch machen, um daraus zumindest einen Ansatz abzuleiten.243

ÎM)Ξ›) ŒED‚ÎMΞfreier Fallfreier FallconstMilchstraßeandere GalaxieÏÃЛ Œ(a)(b)Ñ´ÒconstAbbildung 13.5: Die Raumzeit-Diagramme für die jeweiligen Situationen in Abbildung 13.3. In (a) befindetsich die Rakete in Ruhe im Gravitationsfeld eines Planeten, in (b) wird sie im freien Weltraumgleichmäßig beschleunigt. Der Bereich des Labors in der Rakete ist jeweils hell unterlegt. Die gestricheltenKoordinatenlinien sind die eines relativ zur Rakete ruhenden BezugsystemsÓÕÔ¥Ö%×8Ö%ØÖ‹ÙoÚ, wobei nur dieÔ-Ù-Ebene dargestellt ist. In (b) sind zusätzlich die Achsen eines InertialsystemÓÆÛglobalen ÙoÚdargestellt.Ein frei fallender Körper beschriebt eine Geodäte, also ein Gerade im Minkowski-Raum. In (a)erscheint dieselbe Geodäte als “Wurfparabel”.×8ÖÛ ØÖÛ ÔoÖÛDas Äquivalenzprinzip besagt, dass sich in beiden Raketen in Abbildung 13.3 die gleiche Physik abspielt.Insbesondere folgt daraus, dass beide Astronauten in ihrem Labor die gleiche Metrik messen. Ineine mathematische Sprache übersetzt heißt das, die jeweiligen Ausschnitte der Raumzeit, die das Laborrepräsentieren, sind isometrisch. Wir können also etwas über die Metrik in einem Gravitationsfeld lernen,indem wir uns zunächst die Metrik in einem beschleunigten Bezugsystem anschauen.In Abbildung 13.5 sind die entsprechenden Situationen (a) und (b) in einem Raumzeit-Diagramm dargestellt.In der Abbildung 13.5(a) befindet sich die Rakete in Ruhe über einem Planeten. Der Planet istdurch den dunkel unterlegten Bereich links dargestellt, das Labor in der Rakete durch den hell unterlegtenBereich in der Mitte. Die Koordinatenlinien sind die eines relativ zur Rakete, und damit auch relativ zumPlaneten ruhenden Koordinatensystem2)4¥š6œ›5.Die›-Achse ist nach oben hin ausgerichtet, und dieZeit)wird von einer Uhr gemessen, die sich am räumlichen Koordinatenursprung in der Mitte des Laborsbefindet.In Abbildung 13.5(b) befindet sich dieselbe Rakete im freien Weltraum und erfährt eine gleichmäßigeBeschleunigung. Die Raumzeit ist hier ein flacher Minkowski-Raum, in dem wir zunächst ein kartesisches4Œ š[Œ )Œ›5einführen. In diesem Koordina-Aber dasd.`Ý, also ein Koordinaten2ŒInertialsystem mit gilt und folglich verschwinden auch die`,LÝChristoffel-SymboleÄÝ L¥ÝKoordinatensystemŒist natürlich nicht das Bezugsystem eines beschleunigten Beobachters.dann‚9ÝUm ein gleichmäßig beschleunigtes Bezugsystem zu definieren, erinnern wir uns an Kapitel 5.5, in derwir die Weltlinie eines gleichmäßig beschleunigten Beobachters im Minkowski-Raum bestimmt haben.Die Lösung sah wie folgt aus. Wenn wir die Eigenzeit auf der Weltlinie des BeobachtersÜmit)bezeichnen,und er`eine Beschleunigung von in›-Richtung erfährt, so wird seine¨6ÝWeltlinieimLÝBetrag‚ Inertialsystem244

DLängeŒŒž(13.37)wieÜŒfolgt beschrieben,Er bewegt sich auf einer derŒHyperbel in ›-Ebene, die für) sich asymptotisch je einem Lichtstrahlnähert. Dies ist also die Weltlinie der Rakete, oder genauer die des räumlichen Mittelpunktes desLabors. Sie ist in Abbildung 13.5(b) als durchgezogenen Linie dargestellt. Es ist diejenige Hyperbel in der›-Ebene, die vom Schnittpunkt der beiden asymptotischen Lichtstrahlen den‘|åhat.D‚ AbstandŒCÞ¥ßáàâ2·‚ )5 ‚ Œ 4 < Œ š < Œ › ãaäHÞ_â2·‚ )5 ))-Œ‚ (13.36)Um für den mitbewegten Beobachter ein Koordinatensystem einzuführen, in dem er ruht, gehen wir wiefolgt vor. Wir definieren zuerst einen zeitartigen VektorÎMals Tangentenvektor an seine Weltlinie,)-ŒsindÎÝ Hier Offenbar istÎMein zeitartigerEinheitsvektor, so dass)tatsächlich die Eigenzeit des Beobachters ist. Dann definieren wir zusätzlich dreiraumartige EinheitsvektorenÎæ,ÎSçundΞ, die zueinander und zuÎMorthogonal sind,Ldie üblichen orthogonalen Einheitsvektoren InertialsystemŒim .ÜãaäHÞ_â2·‚ )5ÎÝ Mj Þ¥ßáàâ2»‚ )5ÎÝ ÎM(13.38)Diese Vektoren spannen für jedes)eine raumartige Hyperfläche auf. Für den beschleunigten Beobachter istž ÎÝ æ ÎSç ÎÝ ç Ξ Þ¥ßáàâ2·‚ )5ÎÝ Mj ãgäHÞ¥â2»‚ )5ÎÝ ÎSædies der Raum zur Zeit). Auf dieser Hyperfläche führen wir ein Koordinatensystem24©š8œ›5räumlichesso ein, dass sich der Beobachter am Ursprung befindet, und VektorenÎ8æ,ÎSçundΞdie die zu diesemKoordinatensystem gehörende lokale Basis bilden.Auf diese Weise erhalten wir ein KoordinatensystemÜkrummliniges mit Koordinaten2)4©š8œ›5aufdem Minkowski-Raum. Die entsprechenden Koordinatenlinien der)-›-Ebene sind Abbildung 13.5(b)dargestellt. Zwischen dem KoordinatensystemÜkrummlinigen und InertialsystemŒdem bestehtZusammenhangÜdann derOffenbar wird für› diese Transformation singulär. Außerdem sehen wir in Abbildung 13.5(a),dass das KoordinatensystemÜkrummlinige nur einen Teil des Minkowksi-Raumes abdeckt, nämlich dasViertel rechts der beiden lichtartigen ›. Aber das ist im folgenden nicht weiter vonBelang, denn uns interessiert nur die unmittelbare Umgebung des Beobachters, also der Bereich kleinerè|ED‚HyperflächenŒräumlicher Koordinaten24©š8œ›5.Tatsächlich gilt im Bereich des Labors, der in Abbildung 13.5(b) wieder hell unterlegt ist, auf jeden FallD‚. Wäre 4¥š6œ›ëê j ‚ › ‚ Þ¥ßÕàâ2·‚ )5 Œ 4 4 Œ š š8 Œ › j ‚ › )é‘ Œ )dem nicht so, dann würde ein von der Decke des Labors fallen gelassener Körperam Boden eine Geschwindigkeit erreichen, die von der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit ist. Daswäre natürlich unrealistisch. Wir werden deshalb im folgenden stets annehmen, dass die Abmessungendes Labors klein sind im Vergleich zuED‚.Länge ist, ergibt sich aus der Tatsache, dass eine Beschleunigung EinheitdieDZeit oderhat, wenn die Lichtgeschwindigkeit gleich Eins gesetzt ist. Um die Größenordnungen deutlich‚ ãgäHÞ¥â2»‚ )5(13.39)—m,D‚.istsecrvergleichbare Beschleunigung erfährt, ist also noch um mehr als zehn Größenordnungenì6kleinerWas uns jetzt natürlich interessiert ist die Raumzeit-Metrik im Bereich des Labors, ausgedrückt in denKoordinaten2)4©š8œ›5,alsalso in dem relativ zur Rakete ruhenden Bezugsystem. Die können wir sehr leichtausrechnen. Wir müssen dazu nur von der InertialsystemŒLorentz-Metrik im ausgehen,Üeine”sec&Dm. zu machen, wählen wir als Nun#]ím.DassED‚Selbst eine mehrere Kilometer große Raumstation, die eine der Erdbeschleunigung r alsoED‚ r r Beispiel‚ mDsec&,alsoED‚245* 'Œ )&j ' Œ 4& j ' Œ š&j ' Œ '"î&›& (13.40)

'Sî& x 2 j ‚ ›5&')&j '4&j 'š&j '›&(13.41)'Sî«& * 2 j „3‚ ›5')‹&j '4&j 'š&j '›& (13.42)'Sî«& 2 j „ð15')‹&j '4&j 'š&j '›&(13.44)‚MºM* 2m „ð15 ‚Mïv ‚ŃM ‚Nwv

Œbb› ›(13.51)Das müssen wir jetzt in die Bewegungsgleichungen einsetzen, um die Bahn eines Testkörpers zu ermitteln.Da wir uns nur für einen frei fallenden Testkörper interessieren, können wir natürlich einfach dieGeodätengleichung verwenden,Die räumlichen Komponenten dieser Gleichung lautendie einzige nicht verschwindende Komponente des Christoffel-Symbols, die in der Summationauftritt.'ª& L`¥d2^ 'ª 'Td '&TL(13.49)jËÄNMºMist5'T`N`¥d2^ 5'T` 'ª 'Td 'ª '&TN 'ª& j @Nwv v1 'TM 'ª 'TM 'ª '&TNWenn wir jetzt annehmen, dass sich das Teilchen nur sehr langsam bewegt, dann können wir die Eigen-j’Ä 'ª&dennÄauf der Weltlinie näherungsweise mit der Koordinatenzeit)identifizieren. Es gilt,und wir können statt der Ableitung nachª in der Bewegungsgleichung auch die Ableitung nach)schreiben.Es ergibt sich dann näherungsweise diezeitª r dann'TMD'ªBewegungsgleichung'ª

'Sî& 2 j „–15')&j 2m „–152'4&j 'š&j '›&5(13.52)õ ª& x ‚MºMõ )‹& 2 j „3‚z5õ )‹& B õ ) 2ñ ‚z5õ ª(13.55)bei›vergangen,Aufgabe 13.11 Wir werden später feststellen, dass der sogenannte Newtonschen Grenzfall der allgemeinenRelativitätstheorie nicht auf die Metrik (13.44) führt, sondern dass auch die räumlichen Komponentender Metrik eine kleine Korrektur erfahren. Die richtige Ausdruck istMan zeige, dass auch diese Metrik für langsam bewegte Testkörper, und für1 natürlichBewegungsgleichung (13.50) führt.êauf dieAufgabe 13.12 Wenn (13.52) der richtige Ausdruck für die Metrik in einem schwachen Gravitationsfeldist, dann müsste nach dem Äquivalenzprinzip auch ein beschleunigter Beobachter in seinem Labor dieseMetrik sehen, mit1 und zwar ›, ‚ (13.53)Wir hatten aber die Metrik (13.42) gefunden. Wie ist das zu erklären?'›&5 'š&j j ›52'4& „¾‚ 2m ›5')&j „3‚ j 2 'Sî&Aufgabe 13.13 Nehmen wir an, die Metrik der Raumzeit sei durch (13.52) gegeben, und ein Beobachterbefindet sich an einem Ort24©š8œ›5in Ruhe relativ zu diesem Koordinatensystem. Man berechne für diesen4-BeschleunigungÊL Beobachter die Betrag‚ und deren Näherung1 der. ê ƒ ÊLÊLinGravitation und ZeitdilatationUm dieses Kapitel abzuschließen, wollen wir ein paar physikalische Effekte beschreiben, die man in einemGravitationsfeld beobachten sollte, wenn das Äquivalenzprinzip und das, was wir bis jetzt daraus abgeleitethaben, tatschlich richtig ist. Der Einfachheit halber ziehen wir uns wieder auf das kleine Labor in derRakete zurück, so dass alles, was wir im folgenden sagen, sowohl für beschleunigte Beobachter, als auchfür ruhende Beobachter in einem Gravitationsfeld gilt.Aber eigentlich wissen wir ja bereits, dass das beides dasselbe ist. Alles, was wir im folgenden wissenmüssen, ist, dass die Raumzeit-Metrik im Bereich des Labors durch (13.42) gegeben ist, das heißt für'Sî&gilt(13.54)2Das erste Phänomen, dass wir beschreiben wollen, ist eine Art Zeitdilatation im Gravitationsfeld. DerAstronaut in seinem Labor stellt nämlich fest, dass eine Uhr, die er weiter oben in der Rakete montiert hat,schneller geht als eine Uhr weiter unten. Außerdem beobachtet er eine Art Doppler-Effekt bei Strahlungsquellen,die sich ober- bzw. unterhalb von ihm befinden.'›& 'š&j '4&j ›5')&j „3‚ 4¥š6œ›|ê * ED‚ jWie kommt das? Nehmen wir an, der Astronaut befindet sich in der Mitte bei› der Raketefund beobachtetvon dort aus eine Uhr, die an der Spitze bei› der Rakete regelmäßigen Eigenzeit-AbständenLichtsignal aussendet. Zwischen Eigenzeit-Intervallõdem dem entsprechenden)besteht der ZusammenhangªKoordinatenzeit-Intervallõz inõ ª einz undAuch hier haben wir wieder Terme derder Rakete abspielen soll.Ordnung2»‚0z5&höher vernachlässigt, da sich alles innerhalbundbei› Die Uhr sendet also regelmäßige Zeitsignale in einemaus, behauptet aber, dass zwischen zwei solchen Signalen die physikalische Zeitõist. Jedesè.KoordinatenabstandõSignal läuft nun entlang einer lichtartigen Geodäte zum BeobachterWie diese Kurve in derKoordinaten2)œ›5genau aussieht, ist unerheblich. Wichtig ist nur, dass die Zeitsignale beim Beobachterz ) 2Á ª ª ‚0z5õbei›im Koordinatenabstandõselben )ankommen.248

ó eines)#und›)&und›Warum ist das so? Weil die Metrik und damit die Geodätengleichung nicht explizit von)abhängt. Wenneine lichtartige Geodäte bei) in der)-›-Ebene läuft bei) und ankommt, z losdann gibt um) es bei) eine )und› entsprechende, Geodäte,bei)die losläuft und ankommt. Die Signale kommen beim Beobachter also genau in demKoordinatenzeit-Abstand an, in dem die von der Uhr)und›ausgesandt werden.Der Beobachter siehtdie Signale)#jalsoõimankommen.zFürihn ist aber dieè….˜Koordinatenzeit)auch die Eigenzeit, denn Er hat)&daherj õ YAbstandõden Eindruck, dass dieUhr 2 ‚z5õFaktorweiter oben um einen zu schnell geht. Entsprechend sieht er einefür›Uhr, die weiterunten montiert ist, um einenzulangsam gehen.)In einemist‚MºM ªbei›Gravitationsfeld, oder auch in einem beschleunigten Bezugsystem, gibt es eine Zeitdilatation auch dann,bei›wenn zwei Uhren relativ zueinander ruhen.FaktorjIm Falle eines beschleunigten Bezugsystems gibt es noch eine andere Erklärung für dieses Phänomen.Es handelt sich um eine Art Doppler-Effekt. Wenn der Beobachter in der Mitte der Rakete die£ Uhr im£ weiter oben anschaut, so sieht er sie nicht, wie sie jetzt ist, sondernzwie siejvor einer‚0zZeitwar,die das Licht benötigte, um zu ihm zuz÷ögelangen. Die Zeit, die das Licht für‚0zøödiese Strecke braucht, istz.AbstandzIndieser Zeit wurde die Rakete aber beschleunigt, und zwar erhöhte sich ihre Geschwindigkeit um‚z. Der)j õ)verschobeneBeobachter sieht also das Bild einer Uhr, die mit Geschwindigkeit‚z der auf ihn zu kommt.Setzen wir das in die Formel (4.89) für den Doppler-Effekt ein, so ergibt sich zwischen der Frequenzvon der Uhr ausgesandten Signals und der vom Beobachter gemessenen Frequenzó{der Zusammenhangó{ 2 j ‚0z5ó (13.56)Man beachte, dass wir in der Formel (4.89)Oùmüssen, da ein positivesO dort bedeutet,setztendass sich der Beobachter von der Quelle entfernt. Und auch hier haben wir natürlichangenommen. Setzen wir für die jeweiligen )ein, so ergibt sichwieder‚0zwieder der gleiche Zusammenhang ‚0zª.FrequenzenóDie Zeitdilatation in einem beschleunigten Bezugsystem wird also durch eine Art Doppler-Effekt verursacht.Er bewirkt, dass Uhren, die sich weiter oben in der Rakete befinden, scheinbar schneller gehen alszwischenõ)undõsolche, die sich weiter unten befinden, obwohl sie sich relativ zueinander nicht wirklich bewegen.êIn einemGravitationsfeld hört sich eine solche Erklärung wieder etwas merkwürdig an. Aber wir erinnern „=¬Dõuns,undó({ „=¬Dõdass wir uns auch in diesem Fall in einem, gegenüberªeinem frei fallenden Inertialsystem, beschleunigtenBezugsystem befinden.Es gibt also auch einen Höhe› Doppler-Effekt im Gravitationsfeld. Befindet sich ein Sender in derund sendet dort eine Lichtwelle Frequenzó der aus, so bei› kommtan, wobei zwischenó undóP{der Zusammenhang (13.56) besteht. Eine weiter unten im Gravitationsfeldruhende Lichtquelle erscheint von oben betrachtet rotverschoben, und eine weiter oben ruhende Lichtquelleerscheint von unten betrachtet blauverschoben.Dieses Phänomen, die Rot- bzw. Blauverschiebung von elektromagnetischen Wellen im Gravitationsfeld,ist sehr gut geeignet, das Äquivalenzprinzip zu testen. Frequenzen lassen sich zum Beispiel mit Hilfe

ó mitóy {yz z Milchstraßeandere Galaxie(a)(b)Abbildung 13.6: Ein Photon verliert beim Aufsteigen im Gravitationsfeld Energie. Das kann entwederim Wellenbild (a) als Rotverschiebung gedeutet werden, oder im Teilchenbild (b) als eine auf das Photonóð{einwirkende Scheinkraft.nun zeigen, dass die Rot- bzw. Blauverschiebung im Gravitationsfeld diesen Widerspruch auf eine sehrelegante Weise auflöst. Eine auf dem Äquivalenzprinzip beruhende Gravitationstheorie ist daher mit derQuantenphysik verträglich.Tatsächlich ist die Auflösung dieses Widerspruchs sehr verblüffend, denn sie beruht gleichzeitig auf derWelle-Teilchen-Dualität der Quantenphysik. Diese besagt, dass wir ein Photon wahlweise als ein masselosesTeilchen, oder als eine elektromagnetische Welle beschreiben können, wobei die Energieüberydes Teilchensder Frequenz der Welle zusammenhängt. Betrachten wir also noch einmal die Bewegungeines Photons in einem Gravitationsfeld, benutzen nun aber die Wellen-Beschreibung.Wie in Abbildung 13.6(a) dargestellt, verlässt das Photon einen Sender, der sich auf dem Boden desLabors befindet, mit der FrequenzóP{.Dann läuft esxúeine nach oben, wo es von einem Empfängerabsorbiert wird. Es erfährt dabei eine Rotverschiebung, das heißt Frequenzó die des absorbiertenStreckezPhotonsist kleiner alsó–{. undó–{besteht der Zusammenhang (13.56).Nun können wir den gleichen Vorgang aber auch im Teilchenbild deuten. Dies ist in AbbildungZwischenó13.6(b)dargestellt. Das Photon verlässt den Sender Energiey mit einer erreicht den Empfänger aber mitEnergiey einer wobei zwischen beiden der folgende Zusammenhang besteht,Iú {xúó,ó {,(13.57)Das Photon verliert also beim Aufsteigen Energie. Es spürt das Gravitationsfeld sehr wohl, im Gegensatzzu unserer ursprünglichen Annahme, dass nur massive Teilchen die Gravitation spüren.Damit löst sich auch der Widerspruch des in Abbildung 13.1 dargestellten Gedankenexperiments auf.Wenn das Photon beim Aufsteigen Energie verliert, müssen wir das Experiment mit einem Photon der ‚0z5y j 2 { yim ersten Bild beginnen. Dann kommt das Photon mit Energiey der oben an, wird inein massives Teilchen Masse¦ der dieses fällt herunter, und wird schließlich wieder inEnergiey|{stattyy verwandelt,250

ein Photon der Energiey…{verwandelt. zwischeny Der Zusammenhang (13.57) undyû{ist derselbe wie(13.12). Die Energie ist, wie es sein sollte, erhalten.Dass auch masselose Teilchen das Gravitationsfeld spüren, ergibt sich auch unmittelbar aus der Vorstellungeiner gekrümmten Raumzeit. Analog zu unserer Überlegung für massive Teilchen weiter obenbewegen sich masselose Teilchen auf lichtartigen Geodäten, und ihr 4-Impuls, dessen Zeitkomponentedie Energie ist, wird dabei parallel transportiert. Auch das erklärt, warum ein aufsteigendes Photon Energieverliert, denn genau wie auf ein massives Teilchen wirkt auch auf ein masseloses Teilchen eine ArtScheinkraft.Und schließlich gibt es auch eine schlüssige Erklärung dieses Phänomens in Rahmen der NewtonschenTheorie, wenn wir dort eine kleine Änderung vornehmen. Offenbar ist die Energie, die das Photon auf demverliert,õWeg nach oben yü‚z, wobei füry wir auchyû{oder irgendeinen Wert dazwischen einsetzenkönnen, solange wir Terme der Umgekehrt gewinnt ein langsames,Ordnung2·‚0z5& ymassives Teilchen beim Fallen die Energieõy ¦f‚0z.vernachlässigen.Die Ähnlichkeit der beiden Formeln legt nun folgenden Schluss nahe. Es ist gar nicht die Masse desTeilchens, sondern seine Energie, die für das Gewicht, und damit für die im Gravitationsfeld frei werdendeEnergie verantwortlich ist. Für das massive Teilchen ergibt das keinen Widerspruch, denn solange es sichnur gilty langsam bewegt in der üblichen klassischen Näherung.Auch diese Erkenntnis ist letztlich nicht weiter verwunderlich, wenn wir uns nochmal an eine wichtigeAussage der speziellen Relativitätstheorie erinnern. In Kapitel 5 hatten wir festgestellt, dass die Trägheiteines Körpers gar nicht auf seine Masse, sondern auf seine Energie zurückzuführen ist. Wenn nun aberdas Äquivalenzprinzip sagt, Trägheit und Gewicht seien zwei Erscheinungsformen desselben Phänomens,dann muss notwendigerweise auch das Gewicht eines Körpers eine Eigenschaft seiner Energie sein, undnicht seiner¦Masse.In einer relativistischen Gravitationstheorie ist Gewicht eine Eigenschaft der Energie, nicht derMasse.Dieser Sachverhalt erklärt, warum auch Photonen das Gravitationsfeld spüren, und er wird im nächstenKapitel noch eine zentrale Rolle spielen, wenn wir nach der Quellen des Gravitationsfeldes suchen.Alle Details, die am Anfang widersprüchlich erschienen, fügen sich jetzt in ein einheitliches Bild. Zumindestinnerhalb eines räumlich begrenzten Labors ergeben sich keine Widersprüche mehr zwischenRelativitätstheorie und Quantenphysik auf der einen Seite, und der Gravitationstheorie auf der anderenSeite. Das beruht natürlich unmittelbar auf dem Äquivalenzprinzip, denn die Physik in einem solchen Laborsoll ja letztlich dieselbe sein wie im Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie, dargestellt ineinem beschleunigten Bezugsystem.Aufgabe 13.14 Man leite die Beziehung (13.57) aus der Bewegungsgleichung (13.6) für ein masselosesTeilchen her. Wie hängt die von einem ruhenden Beobachter gemessenen Energiey mit der Zeitkomponentedes 4-Impulses¼L zusammen?Aufgabe 13.15 Es sei ein statisches Gravitationsfeld gegeben, dass heißt eine Raumzeit mit der Metrik(13.52), wobei1 nicht von) abhängt. Welche Beziehung besteht dann zwischen der Frequenzó einesSenders und der von einem Empfänger gemessenen Frequenzó {, wenn sich beide in Ruhe befinden?Aufgabe 13.16 Welche vergleichbaren Phänomene beobachtet ein Physiker in einem rotierenden Labor,wie es in Aufgabe 13.10 definiert wurde? Man zeige unter anderem, dass es eine Rot- bzw. Blauverschiebunggibt, wenn sich Sender und Empfänger verschieden weit von der Drehachse entfernt befinden. Istes möglich, durch Versuche innerhalb des Labors festzustellen, in welche Richtung es sich dreht? Ist esmöglich, dass zwei Personen A und B in einem rotierenden Labor eine Wand zwischen sich aufstellen, undzwar so, dass A B sehen kann, B A aber nicht sehen kann?251

££2¥¢ )G54Gbefindet§ §Eý2)G5_5(14.2)§gerade§14 Die Einstein-GleichungIn der allgemeinen Relativitätstheorie sagt der Raum der Materie, wie sie sich zu bewegen hat. Wie dasfunktioniert, haben wir in groben Zügen im letzten Kapitel beschrieben. Umgekehrt sagt die Materie demRaum, wie es sich zu verbiegen hat. Wie das gemeint ist, wollen wir in diesem Kapitel diskutieren.Was wir noch immer suchen, ist die Quellengleichung der Gravitation, die ein Beziehung zwischen derVerteilung der Materie in der Raumzeit auf der einen Seite, und der Metrik auf der anderen Seite herstellt.Um eine solche Gleichung zu finden, müssen wir zunächst einmal herausfinden, was denn eigentlich genaudie Quelle des Gravitationsfeldes ist. Wir haben bereits gesehen, dass es wohl nicht, wie in der NewtonschenTheorie, die Masse ist. Denn Masse ist erstens keine Erhaltungsgröße, und zweitens spüren auchmasselose Teilchen das Gravitationsfeld. Folglich müssten sie auch selbst eines erzeugen.Vielmehr liegt die Vermutung nahe, dass die Energie die Quelle des Gravitationsfeldes ist. Da Energieaber kein Skalar ist, müssen wir uns zuerst überlegen, wie wir dann überhaupt deren Verteilung inder Raumzeit kovariant, also unabhängig vom Bezugsystem beschreiben können. Wenn wir das aber geschaffthaben, ist es nicht mehr schwierig, einen Ansatz für eine Feldgleichung zu machen, die genau diegewünschte Beziehung zwischen der Metrik und der Materie herstellt.Dichte und StromUm zu verstehen, wie in der allgemeinen Relativitätstheorie die Verteilung der Materie im Raum beschriebenwird, ist es ganz nützlich, noch einmal die Definition von Dichte und Strom in der speziellenRelativitätstheorie zu wiederholen.Als Beispiel betrachten wir ein System von Punktteilchen, die sich auf Bahnen§ý2)5durch den Raumbewegen. Indexþ Der nummeriert die Teilchen, und)sei die Zeitkoordinate in einem ausgewählten Inertialsystem.Die räumlichen Koordinaten bezeichnen wir mit24¥š6œ›5und fassen sie zu einem Ortsvektorzusammen. Wie üblich verwenden wirRKaAfür räumliche Indizes undQÃÿSAAfür Raumzeit-Indizes.Für ein solches System können wir eine Teilchendichte einen Teilchenstrom ¡N%2)einführen,02)§Ÿý2)5_5(14.1)§o5 +ý @2§ §Eý2)5¥5 ¡N2)§5 +ý OýN2)5@2 § Hier die(2) '§gýND') sindOýN2)5Geschwindigkeiten der Teilchen. Die Teilchendichte ist also ein skalaresFeld, und der Teilchenstrom ein Vektorfeld auf dem dreidimensionalen Raum, und beide hängen zusätzlichvon von der Zeit ab.Die Teilchendichte§o5gibt an, wieviele Teilchen sich zu einem Zeitpunkt)am Ort§aufhalten. Wennwir die Teilchendichte zu einem Zeitpunkt)Güber ein ¢ Volumen integrieren, erhalten wir die Gesamtzahl)G5der darin enthaltenen Teilchen, 2¤¢(2)§5und§5Das Integral ist genau dann gleich Teilchenþ Eins, wenn sich ¢das zur Zeit)Gim Volumen aufhält.Der Teilchenstrom gibt an, wieviele Teilchen sich zur Zeit)am Ort in Richtung desBasisvektors Nbewegen, oder genauer durch eine dazu senkrechte Fläche. Betrachten wir zum Beispieleine Fläche¡çž, die sich in der und von den EinheitsvektorençundAžaufgespanntwird. Dann können wir fragen, wieviele Teilchen in einem ¡N‹2)durch diese Fläche hindurchströmen.Dabei zählen wir ein Teilchen positiv, wenn es die Fläche in Richtung des Normalenvektors§o5Ebene4und negativ, wenn es in die Gegenrichtungpassiert.ZeitintervallŦ'4

£2Åaufgespannt£2Å£2Å£2Å +ý X§')X ¡çž5£2Å›Gströmen,£2Å£2Å£2Ũ ©'š '›§')X'4$ý46ý2)5setzen,§ §Eý2)5¥5(14.5)§ §Eý2)5¥5(14.6)šGvonDie Gesamtzahl ¡žç5der im ZeitintervallÅdurch die Fläche¡çžströmenden Teilchen ist dannals ein Integral über dieæ-Komponente des Teilchenstromes gegeben,2Å £YX§')X ¡æ2)Wir wollen kurz zeigen, dass dies tatsächlich aus (14.1) folgt. Eingesetzt ergibt sich¡çž5 (14.3)§5 æ/権'š '›wobei4$ý2)5die4-Koordinate der Bahnkurvezusätzlich eine über4Integration ein und setzen mit Deltafunktion4einer')X '4$ý§§Ÿý2)5bezeichnet. Um das Integral auszurechnen, führen wir4G,¡çž5 +ý X¨©'š '›') @2§Ÿý2)5_5 æ/æ §(14.4)'4 X') @24 4G5@2Die zweite, dreidimensionale Deltafunktion ist nur dann von Null verscheiden, anderem4wenn unter4$ý2)5ist. Also können wir im Argument der Deltafunktion4erstendem Integralheraus ziehen,über4und diese dann ausDas Integral liefert genau an den Stellen innerhalb des einen Beitrag, an denenist, das heißt Teilchenþ immer Ebene4dann, wenn das die passiert. Nehmenüber)wirfür)an,dass geschehe ,©6ý, wobei irgendeine Indexmenge ist, die auch leer sein kann, wennZeitintervallsÅdas Teilchen die Koordinatenebene im gar nicht passiert. Dann ist9ý mit¦4G 4$ý2)5 4G ZeitintervallÅ +ý X§'S)'4$ý ') @24$ý2)5 4G5X '4 X ¡çž5) X¨ ©'š '›§ § ý2) 5_5(14.7)@2Das Vorzeichen desEbene passiert. Es ist …, •‘wennjeweiligen Beitrags hängt davon ab, in welche Richtung das Teilchen diewenn Teilchenþ das Zeitpunkt) zum die Ebene in Richtungæpassiert, +ý +¡çž5und das Teilchenþ zum Zeitpunkt) die Ebene in Richtung æpassiert.'4 X@2¨©¤'š '›also derSchnittpunkt der Ebene4Bahn des mit der4G, innerhalb der liegt. Also zählt¡çž5die Teilchen, die im durch dieTeilchensþ Fläche¡çžFläche¡çžströmen.Dasselbe gilt natürlich auch füreine Fläche¡žæ, die in der den Vektorenund wird und einen Normalenvektor besitzt. Die Anzahl der Teilchen, dieçKoordinatenebenešZeitintervallÅdie ZeitintervallÅin einem passieren, ist als Integral über dieç-Komponente des Stromes þ æ AžFläche¡žægegeben,,Das verbleibende Integral in (14.7) ist offenbar genau dann gleich Eins, wenn der Punkt5,§ý2) j §o5 ç/ç(14.8)Und diež-Komponente des Stromes gibt schließlich an, wieviele Teilchen ZeitintervallÅin einemFläche¡æœçdurcheine Ebene› in der deren NormalenvektorŸžist, þ §')X¡žæ5 YX¨¥'› '4¡ç2)253¡æœç5 YX¨©'4 'š¡ž2)§5 ž/ž(14.9)

§dargestellt,£2Ũ§im§5(14.12)§ §Eý2Z5_5(14.14)Man zeige zunächst, dass durchAufgabe 14.1 Das können wir offenbar verallgemeinern, denn wir müssen uns nicht auf Flächen beschränken,die in den Koordinatenebenen liegen. sei¡Es irgendeine, nicht notwendigerweise ebeneFläche im Raum. Auf der Fläche führen Koordinaten2qO5wir ein, das heißt sie wird durch eine Ab-die jedem Paar2qO5einen Punkt Raum zuordnet.bildung2qO5 ˜ein “Flächenelement”, also ein auf¡Integrationsmaß definiert wird, mit dem man Vektorfelderüber die Fläche¡integrieren kann. Mit anderen Worten, das Integral¾N‹2§H5 FNwv¢ 'óN2b b§v q(14.10)b§¢ 'q 'O bO§5(14.11)§o5 §5N2 'óN2ist von der Wahl der Koordinaten2qO5auf der Fläche unabhängig.¨XAnschließend zeige man, dass sich die Anzahl der Teilchen, die in ZeitintervallÅeinem Fläche¡diepassieren, aus dem folgenden Integral ergibt,heißt,'óN2Das§o5bewegen.§o5¡N%2)§'S)XFlussBis jetzt bezieht sich das alles auf ein festgelegtes Inertialsystem, denn nur so können wir von einem Volumenoder einer Fläche im Raum sprechen. Teilchendichte und Teilchenstrom sind vom Bezugsystemabhängig. Stellen wir uns einen gleichmäßig mit Teilchen gefüllten Raum vor, die sich alle in Ruhe befinden.Dann befinden sich in einem Volumen eine bestimmte Menge Teilchen, und sie verbleiben füralle Zeit in diesem Volumen. Die Teilchendichte ist in Raum und Zeit konstant, und der Teilchenstromverschwindet.Jetzt betrachten wir dieselben Teilchen aus der Sicht eines relativ dazu bewegten Beobachters. Für ihnerscheinen die Abstände zwischen den Teilchen in Bewegungsrichtung verkürzt, das heißt für ihn nehmendie gleichen Teilchen ein kleines Volumen ein. Außerdem misst er natürlich einen Teilchenstrom, den dererste Beobachter nicht sieht. Wir schließen daraus, dass sich Teilchendichte und Teilchenstrom irgendwieineinander transformieren, wenn wir von einem Bezugsystem zum anderen übergehen.Wir wissen natürlich auch schon aus früheren Überlegungen, wie sie das tun. Sie bilden gemeinsam ein4-Vektorfeld auf der Raumzeit, dessen Zeitkomponente die Teilchendichte, und dessen räumlicherAnteil ¡Nder Teilchenstrom ist. Auch das können wir leicht zeigen. Wir beschreiben die Teilchenjetzt durch ihre Weltliniený2Z5, wobeiZ irgendein Kurvenparameter ist. Dann setzen wir¡N ¡L5 YX 'óN2§5¡N2)§o5ist die Anzahl der Teilchen pro Zeit, die sich zum Zeitpunkt)durch das Flächen-¡element'óN2(14.13)¡L2! §aýL2Z5@2! X '$Z \ ý2Z5¥5 +ý 5Der Punkt bezeichnet jetzt die Ableitung nach dem KurvenparameterZ. Um zu zeigen, dass dies dasselbeist wie (14.1), zerlegen wir die Weltlinien§2Z5¥5, und schreiben die vierdimensionaleDeltafunktion als Produkt einer eindimensionalen und einer dreidimensionalen Deltafunktion,ý2Z5h˜2)ý2Z5¡L2)254 +ý X '[Z \ §aýL2Z5@2) )ý2Z5_5@2 §5

))bzw.Q¡M"4æœçž)¡æ4andere MçžMilchstraßeGalaxie"(a)(b)(a) repräsentiert ein $ Volumen im Raum zu einem(b) repräsentiert eine Fläche %çžund ein & Zeitintervall . Die indiesem Zeitintervall durch die Fläche strömenden Teilchen sind wieder genau die, deren Weltlinien dieHyperfläche schneiden.æœçžin Abbildung 14.1: Die # raumartige HyperflächeZeitpunktÔG. Die darin enthaltenen Teilchen sind genau die, deren Weltlinien die Hyperfläche schneiden.Die # zeitartige HyperflächeMçžinAußerdem machen wir von der KurvenparameterZ Freiheit Gebrauch, den zu wählen. Wir wählen ihn so,ist, das heißt wir wählen als Parameter die Zeitkoordinate im ausgewählten Inertialsystem.Dann istZ dass)ý2Z5§ §Eý2)5¥5(14.15)wirQ Setzen R, so ergeben sich daraus die Ausdrücke (14.1) für die Teilchendichte und denTeilchenstrom.Aus (14.13) entnehmen wir außerdem, dass5ein 4-Vektor ist, das heißt wir müssen das Transformationsverhaltengar nicht weiter untersuchen. Dichte und Strom transformieren sich beim Übergang voneinem Inertialsystem zum anderen genau wie die Raum- und Zeitkomponenten jedes anderen 4-Vektors.¡L$2'Um die Bezeichnungen im folgenden ein wenig zu vereinheitlichen, nennen wir dasVektorfeld auf¡L§5 +ý X '[Z \ §gýL2Z5@2) Z5@2 § § ý2Z5¥5 +ý \ §gýL2)5@2¡L2)der Raumzeit den Teilchenfluss. Ein Fluss ist stets ein Vektorfeld auf der Raumzeit, dessen Zeitkomponenteeine Dichte, und dessen räumliche Komponenten einen Strom im jeweiligen Bezugsystem definieren. DerFluss als solches existiert aber unabhängig vom Bezugsystem.Damit wir eine anschauliche Vorstellung davon bekommen, wie der Teilchenfluss die Verteilung unddie Bewegung der Teilchen in der Raumzeit unabhängig vom Bezugsystem beschreibt, betrachten wir dieRaumzeit-Diagramme in Abbildung 14.1. Dort ist jeweils die Raumzeit dreidimensional dargestellt, dasheißt die nach hinten weisende Achse repräsentiert sowohl dieš- als auch die›-Richtung des Raumes.Nun erinnern wir uns an die Definition der Teilchendichte. Die Frage lautete, wieviele Teilchen befindensich zu einer bestimmten Zeit)Gin ¢ einem Volumen ? In der Raumzeit wird ¢ein Volumen zu einer Zeiteine raumartige Hyperfläche Hyperebene) in der Eine solche Hyperfläche istin Abbildung 14.1(a) eingezeichnet. Wir nennen sieæœçž, weil sie von den BasisvektorenÎæ,ÎçundΞ")G durch)G dargestellt.255

*£æ/æ §5*£M/M §o52¤¢ )G5aufgespannt wird.Um die Anzahl der Teilchen zu bestimmen, die sich zur in dem Volumen befinden, ¢müssenwir offenbar die Schnittpunkte der Weltlinien mit der Hyperflächeæœçžzählen. Wenn wir der Hyperfläche¢,Zeit)Geinen zuordnen, mit den dann könnenwir die " 2"Anzahl Teilchen, deren Weltlinien die Hyperfläche schneiden, offenbar wie folgtschriebenæœçž5 £þž þç ,þæKomponentenþMNormalenvektorþL£2" æœçž5(14.16)derDa ¡Mdie Teilchendichte ist, ist das natürlich dasselbe wie (14.2).Für den Teilchenstrom gilt etwas ganz ähnliches. Hier lautete die Frage, wievieleZeitintervallÅTeilchen strömenFläche¡in einem durch eine . Betrachten Fläche¡wir zunächst wieder eine in der4G. In der Raumzeit werden ZeitintervallÅein und Fläche¡çžeine gemeinsamdurch eine zeitartige Hyperflächeçždargestellt, die von den BasisvektorenÎM,ÎSçundΞaufgespanntKoordinatenebene4wird, und die sich inder befindet. Eine solche " Hyperfläche ist in Abbildung 14.1(b)dargestellt.Hyperebene4Um die Zahl der Teilchen zu bestimmen, dieMçžim durch die Fläche¡çžströmen, müssenwir offenbar auch hier wieder die Schnittpunkte der Weltlinien mit der Hyperfläche AllerdingsMçžzählen.müssen wir jetzt wieder auf das Vorzeichen der Zählung achten. Ein Teilchen zählt genau dann positiv,4G " ZeitintervallÅ¡L2! 5 YX¦'4 þL '›()©¤'4 'šYX'š '› ¡M2)wenn seine Weltlinie die Hyperfläche jetztþæundþMin Richtung des passiert, wobeiist. Bei der Definition der Dichte war das unerheblich, denn eine raumartigeHyperfläche wird von allen Weltlinien stets in die gleiche Richtung durchstoßen, nämlich in RichtungNormalenvektorsþLZukunft.Wir können die Zählung wieder durch dasselbe Integral über den Fluss ausführen,? þžnämlich þç èder Raumzeit lieferttatsächlich die Anzahl der Teilchen, die die räumliche ZeitintervallÅFläche¡çžim passieren.Das erklärt anschaulich, warum Dichte und Strom in der speziellen Relativitätstheorie die Komponenteneines 4-Vektors bilden, den wir Fluss nennen.')X ¡æ2)§Das ist wieder dasselbe wie (14.3), das heißt das Integral über die HyperflächeMçžin "X()+,©¤')S'š '› þL¡L2! 5 X¨©'š '›£2"Mçž52Å¡çž5(14.17)Eine Dichte ist ein Fluss durch eine raumartige Hyperfläche, ein Strom ist eine Fluss durcheine zeitartige Hyperfläche in der Raumzeit.Stellen wir uns ganz allgemein eine Hyperfläche in der Raumzeit vor, die zunächst der Einfachheithalber eben sein soll. Wir können ihr dann einen konstanten "Normalenvektor zuordnen. Nehmen -wiran, dieser Normalenvektor sei zeitartig. Dann gibt es ein Inertialsystem, in dem er proportionalÎMist, dasheißt er zeigt in Richtung der Zeitachse.In diesem Inertialsystem repräsentiert die Hyperfläche ein Volumen im Raum zu einer bestimmtenZeit. Der Fluss, integriert über die Hyperfläche, ist demnach die Anzahl der Teilchen, die sich in demVolumen befinden. "Die des Flusses in Richtung eines zeitartigen Normalenvektorsrepräsentiert demnach eine Dichte in einem räumlichenKomponenteþL¡LVolumen.Wenn dagegen ein raumartiger Vektor ist, dann gibt es ein Inertialsystem, in dem er in die Richtung-der4-Achse zeigt. In diesem Fall repräsentiert die Fläche¡Hyperfläche eine im Raum, die sichEbene4in einerbefindet, sowie ein Zeitintervall. Der Fluss, integriert über die Hyperfläche, ergibt dieAnzahl der Teilchen, die die Fläche in dem Zeitintervall passieren. Die KomponenteþL¡L des Flusses inRichtung eines raumartigen Normalenvektors repräsentiert also den Strom durch eine Fläche.4G 256

5¡L2! 5 (14.19)KL2' 5 +ý X '[Z \ §aýL2Z5Jý @2! ý2Z5¥5(14.21)eineAuch das können wir noch verallgemeinern, um schließlich eine völlig vom Bezugsystem unabhängigeVorstellung von einem Fluss in der Raumzeit zu bekommen. Es sei irgendeine glatte, aber nichtnotwendigerweise ebene Hyperfläche in der der Raumzeit. Wir beschrieben sie durch eine Abbildungdas heißt wir ordnen jedem Punkt auf der Hyperfläche drei "Koordinaten2qO/. zu.Ferner definieren wir ein Integrationsmaß analog zu (14.10),5, 2qO/. 5 ˜b b b§` b 'óL2' .Auch hier kann man leichtb§dzeigen,b§Édass das Integrationsmaß unabhängig von der Wahl der Koordinaten 'q O q FLa`¥dÉ 5(14.18)5ist, solange deren Orientierung erhalten bleibt. Wir können dann den Fluss über die Hyperflächeintegrieren. Das Ergebnis,¡L 2qO/.'O '.£2" 5ist die Anzahl der Schnittpunkte der Weltlinien mit der Hyperfläche.'óL2! (YXAufgabe 14.2 Der Beweis kann völlig analog zu dem in Aufgabe 14.1 geführt werden, nur dass der Raumjetzt gewissermaßen eine Dimension mehr hat, und statt der Integration über die Zeit)tritt eine zusätzlicheIntegration über den KurvenparameterZ auf.Die Zählung der Schnittpunkte erfolgt so, dass Teilchenþ ein genau dann positiv beiträgt, wenn amSchnittpunkt der Weltlinieý2Z5mit der Hyperflächeist. Die Hyperfläche bekommt also durch die Reihenfolge Koordinaten2qO0. der Orientierung,und diese bestimmt, in welche Richtung wir den Fluss messen.Über die Hyperfläche selbst müssen wir an dieser Stelle gar keine Annahmen mehr machen, außerdass sie hinreichend glatt ist. Sie muss noch nicht einmal überall raumartig oder überall zeitartig sein.Allerdings hat das Integral (14.19) nur dann, wenn einer dieser beiden Spezialfälle vorliegt, die üblicheBedeutung einer Teilchenzahl in einem Volumen bzw. eines Stromes durch eine Fläche.5'§aýL '$Z FLg`¥dÉb b§` qAufgabe 14.3 Welche besondere Situation liegt vor, wenn der Ausdruck (14.20) Null ist? Ist das Integral(14.19) dann noch wohldefiniert?b b§d Ob.b§É £(14.20)Aufgabe 14.4 Wie müssen Koordinaten2qO/. wir die5wählen, damit sich für die Hyperflächenbzw.Mçžin " æœçž "Abbildung 14.1 die Integrale (14.16) bzw. (14.17) ergeben?Energie und ImpulsJetzt wollen wir uns der Frage zuwenden, was denn nun die Quelle des Gravitationsfeldes ist. Wir vermuten,dass es sich um einen Fluss handelt, der in irgendeiner Weise die Verteilung der Materie im Raumund ihre Bewegung durch die Raumzeit beschriebt. So ist es jedenfalls in der Elektrodynamik, wo auf derrechten Seite der Quellengleichung, also der inhomogenen Maxwell-Gleichung, der elektrische FlussKLsteht.Bisher haben wir nur den Teilchenfluss eingeführt, aber wir können alles, was wir bisher über Dichten,Ströme und Flüsse gesagt haben, sehr leicht verallgemeinern. Um den elektrischen Fluss für ein Systemvon Punktteilchen zu definieren, müssen wir in der Summe (14.13) einfach nur alle Teilchen mit ihrerjeweiligen elektrischen LadungJýgewichten, also257

2Åy2¥¢ )G55KL2' 5(14.22)¨desersetzen.§ §Eý2)5_5 (14.25)§o5(14.26)§5(14.28)Wenn wir diesen Fluss über eine Hyperfläche "in der Raumzeit integrieren, so ergibt sich die Gesamtladung1 2" 5, die durch diese Hyperfläche hindurchfließt,1 2" 5Wenn eine ebene, raumartige Hyperfläche ist, so repräsentiert sie in einem geeignet gewählten Inertialsystem"ein Volumen zu einem Zeitpunkt)G, und )G5ist ¢die 2"Ladungsmenge, die sich darin1befindet. Die2¤¢Zeitkomponente5'óL2! (

3N2¤¢ )G5§aýL2Z5y ý2Z5@2! ý2Z5_5 (14.29)§5 (14.31)Dass dies ZeitintervallÅtatsächlich die Fläche¡im durch die strömende Energie ist, zeigt man genauwie in Aufgabe 14.1. Der einzige Unterschied ist, dass die Teilchen bei der Zählung jetzt jeweils mit ihrerEnergie gewichtet werden, und zwar mit der Energie zu dem Zeitpunkt, in dem sie die Fläche passieren.Nun liegt die Vermutung nahe, dass wir die Energiedichte und den Energiestrom wieder zu einem Energieflusszusammenfassen können, und dass dies vielleicht die Quelle des Gravitationsfeldes ist. Dabeigeht jedoch etwas schief. Energie ist nämlich kein Skalar, sondern die Zeitkomponente eines Vektors, des4-Impulses.Würden wir einfach§H5und§H5zu einem Objekt und das Resultat wiederin der üblichen Form aufschreiben,¬L2! ¬N‹2) 22)5zusammenfassen,Teilchenseinzusetzen haben, hängt noch immer vom Bezugsystem ab. Das Objekt (14.29) transformiert sich deshalbnicht wie ein Raumzeit-Vektor beim Übergang von einem Inertialsystem zum anderen. Also kann es auchnicht die Quelle des Gravitationsfeldes sein, wenn die Quellengleichung eine Tensorgleichung sein soll.Wir stehen also vor folgendem Dilemma. Einerseits sind wir bei der Suche nach einer relativistischenGravitationstheorie zu dem Schluss gelangt, dass die Energie die Quelle des Gravitationsfeldes ist. Nur sokonnten wir erklären, warum auch masselose Teilchen an dieser Wechselwirkung teilnehmen. Andererseitsist Energie kein Skalar. Sie kann in einer Tensorgleichung nur gemeinsam mit dem Impuls auftreten.Was schließen wir daraus? Wenn es eine Gravitationstheorie gibt, die dem Relativitätsprinzip genügt,und wenn die Anwesenheit von Energie ein Gravitationsfeld entstehen lässt, dann muss es wohl so sein,dass auch die Anwesenheit von Impuls ein Gravitationsfeld entstehen lässt. Energie und Impuls bildengemeinsam die Quelle des Gravitationsfeldes.L2! +ý '[Zso wäre dies kein Vektorfeld auf der Raumzeit. Denn welchen Wert wir für dieý2Z5des5 \ X EnergieyDie Quelle des Gravitationsfeldes ist der 4-Impuls.Wir müssen also, um die Quelle des Gravitationsfeldes relativistisch zu beschreiben, neben der Energiedichtenoch eine Impulsdichte=N‹2)Sie gibt an, wieviel Impuls sich in einemräumlichen Volumen befindet. Dazu gewichten wir die Teilchen einfach mit ihrem jeweiligen Impuls22)§5erst§H5einführen.(14.30) +ý ¼ýN2)5@2 § §Eý2)5¥5Dies ist ein räumliches Vektorfeld, aber der Vektorindex hat jetzt nicht die Bedeutung des Vektorindex§5 =N2)eines Stromes. Es handelt sich gewissermaßen um drei unabhängige Dichten, nämlich die der drei Impulskomponenten.Wenn wir sie über ein Volumen ¢ integrieren,¦'š =N2)G YX¢'4¢'›dann ergibt sich der in zur Zeit)Gin insgesamt enthaltene Impuls. Wenn zum Beispiel einen Körperumfasst, der aus vielen Teilchen besteht, dann N2¤¢ ist einfach der übliche Gesamtimpuls diesesKörpers zur Zeit)G.Der Vektorindex des Energiestromes ÁNhat also eine völlig andere Bedeutung als der Vektorindex der3Impulsdichte=N. Im ersten Fall markiert er gewissermaßen die Lage einer Fläche im Raum, das heißter gibt an, in welche Richtung die Energie als verallgemeinerte Ladung strömt. Im zweiten Falle ist dieverallgemeinerte Ladung, nämlich der Impuls, selbst ein Vektor, und deshalb ist eben auch seine Dichte)G5ein Vektor.259

tatsächlich3v2Ũdurch§5 (14.35)OýN54 ¼ýN B OýN¼ýv Oýv¼ýN B Nwv vN(14.36)Trotzdem besteht ein bemerkenswerter Zusammenhang zwischen Impulsdichte und Energiestrom. Esgilt nämlich für relativistische Teilchen der Zusammenhang (5.77), das heißt zwischen der Geschwindigkeit,der Energie und dem Impuls besteht die Beziehung(14.32)Daraus hatten wir unter anderem den Schluss gezogen, dass Trägheit eine Eigenschaft der Energie ist undnicht der Masse, und dass demzufolge auch das Gewicht eine Eigenschaft der Energie ist. Und wenn wirjetzt die Definition (14.27) und (14.30) betrachten, dann stellen wir fest, dass Energiestrom und Impuls-OýN ý y ¼ýNdichte gleich sind,§o5(14.33)Wir können auch sagen, dass Impuls dasselbe ist wie strömende Energie. Allerdings gilt das nur, wenn wir†=N2) §o5 N2)die relativistische Energie eines Teilchens einsetzen, das heißt dem Energiestrom mussgenau diese Definition der Energie zu Grunde liegen.ýfüryAufgabe 14.5 Man zeige, dass in der klassischen Mechanik die Impulsdichte gleich dem Massenstrom ist.Nun haben wir also die Impulsdichte eingeführt, weil wir offenbar nur so einen Raumzeit-Tensor bildenkönnen, der die Energiedichte als eine Komponente enthält. Aber andererseits können wir aus einer Dichtekeinen Raumzeit-Tensor bilden, wenn wir nicht auch den zugeordneten Strom mit einbeziehen. Wirmüssen also auch noch einen Impulsstrom einführen.Dazu gehen wir wieder von (14.27) aus, und ersetzen Energieny die die Impulse¼ýNder Teilchen.Nun steht aber unter der Summe bereits ein Vektorindex, denn ein Strom ist ja immer ein Vektorfeldim Raum. Der Impulsstrom ist deshalb kein Vektorfeld im Raum, sondern ein Tensor zweiter Stufe,ý(14.34) +ý OýN2)5¼ýv2)5@2 § §Ÿý2)5_5Der erste Index dieses Tensors ist der übliche Strom-Index, der zweite Index gibt an, welche Komponentedes Impulses wir betrachten. Auch hier können wir wieder eineNv2)und ein§5vorgebenund den Strom über das Zeitintervall und die Fläche integrieren. Das Ergebnis,ZeitintervallÅFläche¡5 X 'óN2§5Nwv2)ist der Impuls, der insgesamt im¡durch die Fläche¡strömt. Das ist natürlich wieder einräumlicher Vektor, und deshalb trägt der Impulsstrom Nwvzwei Indizes.Trotz der Tatsache, dass die beiden Indizes ganz unterschiedliche Bedeutungen haben, gibt es wiederZeitintervallÅeine Beziehung zwischen ihnen. Der Tensor Nwvist nämlich symmetrisch, weil Impuls und Geschwindigkeitzueinander proportional sind,§')XEs strömt also genau so viel N-Impuls durch eine Fläche in v-Richtung, wie gleichzeitig v-Impuls durcheine Fläche in N-Richtung strömt. Das folgt aus der Tatsache, dass die Richtung des Impulsvektors gleichzeitigdie Richtung ist, in der dieser Impuls strömt.Der Impulsstrom Nwvträgt auch den Namen Spannungstensor und ist als solcher aus einem ganz anderenBereich der Physik bekannt, nämlich aus der Hydrodynamik. In einer Flüssigkeit beschreibt er die DruckundScherkräfte. Wir werden später noch etwas genauer auf diesen Zusammenhang eingehen. An dieserStelle wollen wir nur kurz aufzeigen, warum dieser Tensor etwas mit Kräften zu tun hat, die zwischen denTeilchen wirken.260

)" æœçž4)" æœçž4Å MºM Å MæMilchstraßeandere Galaxie(a)(b)Abbildung 14.2: Eine raumartige Hyperfläche #æœçžrepräsentiert ein Volumen im Raum zu einer bestimmtenZeit. Die Energiedichte & MºMgibt an, wieviel Energie sich darin befindet (a), und die×-Impulsdichte & Mæbestimmt, wieviel×-Impuls darin befindet (b). Die jeweiligen Komponenten der 4-Impulse der Teilchen,über die summiert wird, sind durch Pfeile inÔ- bzw.×-Richtung dargestellt.Stellen wir uns vor, die Fläche¡trennt zwei räumliche Gebiete voneinander. Was bedeutet es dann,dass Impuls durch die Fläche von einem Gebiet ins anderen strömt? Dann nimmt der Gesamtimpuls aufder einen Seite zu, auf der anderen ab. Jedenfalls solange, wie nicht noch von woanders Impuls hin oderher strömt. Das ist aber nur eine etwas ungewöhnliche Formulierung dafür, dass die Teilchen auf der einenSeite der Fläche auf die auf der anderen Seite eine Kraft ausüben. Ein strömender Impuls ist demnach eineKraft.Der Energie-Impuls-TensorJetzt stellt sich die Frage, wie wir die vier Objekte, nämlich Energiedichte, Energiestrom, Impulsdichteund Impulsstrom, zu einem gemeinsamen Objekt zusammenfassen können. Das ist nicht schwer, denn wiewir wissen, bilden jeweils Dichte und Strom auf der einen Seite, und Energie und Impuls auf der anderenSeite einen 4-Vektor.Es liegt deshalb nahe, dass die vier Objekte gemeinsam ein Tensorfeld zweiter StufeÅLg`auf der Raumzeitbilden, und zwar so, dass in einem ausgewählten Inertialsystem gilt(14.37)Dass dem tatsächlich so ist, können wir leicht verifizieren, indem wir wieder den üblichen Ausdruck(14.21) für einen Fluss verwenden, und als verallgemeinerte Ladung jetzt den§H5der Teilcheneinsetzen. Dann gilt nämlich4-Impuls¼ýLMºM2) §o5 22) §H5 Å Mïv2) §o5 †=v2) §5Å ŃM2) §o5 N2) §H5 Å Nwv2) §o5 Nv2) ÅZuerst stellen wir wieder fest, dass auch dieses Integral unabhängig von der Parametrisierung der Weltlinieist, obwohl¼ýL$2Z5jetzt eine Funktion vonZist. Aber der Impuls eines Teilchens an einer bestimmten Stelle261Å Lg`2' 5 +ý X '[Z \ §aýL2Z5¼ý`2Z5@2! ý2Z5¥5(14.38)

6769 ?B@C@ ?B@D76;§ §Eý2)5¥5(14.39)7Milchstraßeandere Galaxie?A@8:9

H3`2"'óL2! X( 55Å La`2! 5(14.42)Und schließlich, wenn wir ihn als einen Fluss interpretieren und über eine Hyperflächeergibt sich der durch diese Hyperfläche hindurchfließende 4-Impuls"integrieren,Dies ist ein unabhängig von irgendeinem Bezugsystem definierter 4-Vektor. Das Integral zählt die Schnittpunkteder Weltlinien mit der Hyperfläche, und gewichtet sie mit dem jeweiligen 4-Impuls der Teilchen.Die Bedeutung der einzelnen vonÅKomponenten noch einmal in den Abbildungen 14.2 und 14.3veranschaulicht.Lg`istAufgabe 14.6 Alle Teilchen bewegen sich relativ zu einem ausgewählten Inertialsystem langsam im Vergleichzur Lichtgeschwindigkeit. Man zeige, dass dann für die Größenordnungen der einzelnen Komponentendes giltÅEnergie-Impuls-Tensors MºMGFÅ MºN5F Å Nwv.Aufgabe 14.7 Man zeige, dass sich der Energie-Impuls-Tensor für ein einzelnes massives Teilchen auchwie folgt schreiben lässt,die Masse, £2·ª5eine Eigenzeit-Darstellung der Weltlinie, undqL2·ª5die 4-Geschwindigkeit desTeilchens ist.wobei¦ErhaltungssätzeÅ La`2! 5 X 'ªñ¦ qL2·ª5q`2·ª5@2! £2·ª5¥5 (14.43)Eine wichtige Eigenschaft von Ladungen ist, dass sie erhalten sind. Jedenfalls gilt das typischerweise fürsolche Ladungen, die als Quellen von Feldern auftreten, etwa für die elektrische Ladung. Oder eben fürEnergie und Impuls, von denen vermuten, dass sie die Quelle des Gravitationsfeldes sind.Es sollte bekannt sein, dass die zu einer erhaltenen Ladung gehörenden Dichten und Ströme eine Kontinuitätsgleichungerfüllen. Wir wollen die Herleitung derselben hier kurz wiederholen. Am einfachsten istes, dabei gleich auf den Fluss in der Raumzeit zurück zu greifen. Es alsoJýsei irgendeine Ladung, die wirden einzelnen Teilchen zuordnen können, und diese sei erhalten. Ferner zugehörige Fluss.Dann können wir folgende Überlegung anstellen. Wir betrachten einen Hyperwürfel in der Raumzeit,also einen vierdimensionalen WürfelseiKL(14.44)der von insgesamt acht Hyperflächen begrenzt wird. Ein solcher Hyperwürfel ist in Abbildung 14.4 dargestellt,wobei wir wieder eine räumliche Dimension unterdrückt haben.Wenn die Ladung erhalten ist, dann fließt in den Hyperwürfel gleich viel Ladung hinein wie hinaus.Wenn wir die Ladungen, die durch die acht Seitenhyperflächen fließen, mit den richtigen Vorzeichen addieren,dann sollte sich Null ergeben.)&, also der unteren und )# ö ) ö )& 4# ö 4 ö 4& š# ö š ö š& ›# ö › ö ›&LK JI2)4©š6©›5Beginnen wir mit den bei) beiden raumartigen und) Hyperflächender oberen Seitenfläche in Abbildung 14.4. Sie sind jeweils von Typæœçž, und wir können die gesamtedurchfließende Ladung mit Hilfe der Formel (14.22) berechnen, wobei wir die Koordinaten24©š6©›5aufder Hyperfläche verwenden. Was uns interessiert ist die Differenz zwischen der oben hinaus fließenden"und der unten hinein fließenden Ladung. Für die bekommen wir)# der1 2" æœçž)&52" æœçž)#5X(M©'4 'š 5 '›KM2! X(M©'4M/MON 'š2635 (14.45) '›KM2! M/MQP1

š#undš)1 2" æœçž)&51 2"Mçž4&51 2"Mžæ©š&542" æœçž)#52"Mçž4#52"Mžæ©š#5)4#und4b5bæKæ2' 5(14.48)5bçKç2! 5(14.49)4Milchstraßeandere Galaxie(a)(b)Abbildung 14.4: Wenn eine Ladung erhalten ist, dann fließt in einen Hyperwürfel in der Raumzeit gleichviel Ladung hinein wie hinaus. Das gilt unabhängig davon, ob die Ladung ein Skalar (a) oder ein Vektor(b) ist. In jedem Fall addieren sich alle Flüsse durch die Seitenhyperflächen des Würfels zu Null.Für einen Beobachter in unserem ausgewählten Inertialsystem ist das die Differenz zwischen den Ladungenin einem ¢ Volumen zu den Zeitpunkten)&und)#. Offenbar können wir dafür auch schreibenMN1 2"(14.46) 2"MKM2! XMQP')X '› 5Das ist ein Integral über den ganzen Hyperwürfel, mit dem gewöhnlichen Integrationsmaß im Minkowski- æœçž)#5 æœçž)&5Raum,(M©'4 'š1'óÍ2' 5bRDie gleiche Rechnung führen wir jetzt für die drei anderen Paare von gegenüberliegenden HyperflächenYXdurch. Betrachten wir zum Beispiel die vom Typ " Mçžbei4 4&. Die Differenz zwischen dernach rechts hinaus fließenden und der von links in den Hyperwürfel hinein fließenden Ladung ist1MKM2' 5(14.47)Dazu müssen wir einfach nochmal dieselbe Rechnung durchführen, nur Koordinate)durch4dass die zuersetzen ist und umgekehrt. Schließlich fließt auch noch Ladung durch die Hyperflächen des Typsš&, sowie durch die des Typs " " ›&. Die Differenz zwischen denjeweiligen hinaus und hinein fließenden Ladungen istMæžMæœçbei›'óÍ2! RX 1beiš›#und›264'óÍ2! RX 1

1 2"Mæœçœ›&52"Mæœçœ›#5b5bžKž2' 5(14.50)undWenn wir das alles addieren, so haben wir gerade argumentiert, muss sich Null ergeben, wenn die Ladungerhalten ist. Es muss also gelten'óÍ2' RX 1Und da das für jeden HyperwürfelKHL,H5bgelten muss, folgt daraus die Kontinuitätsgleichung für den Fluss'óÍ2!RXLKL2' 5 f(14.51)(14.52)Soweit ist das natürlich nichts neues. Wir hatten die Kontinuitätsgleichung für den elektrischen Fluss schonfrüher verwendet.

)§ruht.hängt4§Null)auffolgen4folgtMilchstraßeandere Galaxie(a)(b)Abbildung 14.5: Wenn alle Teilchen einer Flüssigkeit einem S Strömungsfeld (a), so herrscht inder Flüssigkeit kein Druck. Im lokalen Ruhesystem eines Flüssigkeitselementes sind alle GeschwindigkeitenNull, und folglich verschwinden die räumlichen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors. DieFlüssigkeit ist dann eher ein sehr dünnes Gas oder eine Staubwolke. Führen die Teilchen zusätzlich einezufällige Bewegung aus, während das Flüssigkeitselement als ganzes dem Strömungsfeld SL(b),so herrscht ein nicht verschwindender Druck. Das hier dargestellte Flüssigkeitselement wird beschleunigtund gleichzeitig komprimiert. Die Hyperflächen repräsentieren jeweils das räumliches Volumen desFlüssigkeitselementes im lokale Ruhesystem.LDer Einfachheit halber sprechen wir im folgenden ganz allgemein von Flüssigkeiten. Ein Festkörper istin diesem Sinne eine sehr zähe Flüssigkeit, ein Gas ist eine sehr dünne Flüssigkeit, und eine Staubwolkeist, wie wir gleich sehen werden, ein Gas, dessen Druck gleich Null ist. Alle diese Systemen habeneine gemeinsame Eigenschaft. Man kann ihnen ein Strömungsfeld der Raumzeit T zuordnen. DasStrömungsfeld5ist eine 4-Geschwindigkeit, die T angibt, in welche Richtung sich die Flüssigkeit aneinem bestimmten Ereignis gerade bewegt.Anschaulich können wir uns das StrömungsfeldL2' wie folgt vorstellen. Wir betrachten ein T Flüssigkeitselement,das aus sehr vielen Teilchen besteht, die ein gewisses Volumen im Raum annähernd homogenausfüllen. In der Raumzeit bilden die Weltlinien dieser Teilchen eine Art Schlauch, dargestellt in Abbildung14.5. Der Schlauch beschreibt die Bewegung desLFlüssigkeitselementes als ganzes, und wir könnenihm eine 4-Geschwindigkeit zuordnen. Diese wird im allgemeinen sowohl entlang des Schlauches variieren,als auch von einem Flüssigkeitselement zum nächsten, so dass auf diese Weise ein Vektorfeld aufder Raumzeit definiertLwird.Das Strömungsfeld wie folgt mit T der Teilchenfluss zusammen. Wir definieren zunächstzu jedem Ereignis ein lokales Ruhesystem. Das ist dasjenige Inertialsystem, inTkLdem undist. Schreiben wir wieder§o5, dann heißt das, dass die Flüssigkeit in diesem Inertialsystemzur Zeit)am Ort Ruhen bedeutet, dass die mittlere Geschwindigkeit aller Teilchen in einemTÈM_2' Flüssigkeitselement zur Zeit)am OrtTmN2' ist.Anders ausgedrückt, wenn wir eine beliebig orientierte Fläche an dieser Stelle im RaumLaufstellen, dann ‡ 5 5 ¡L 2)266

¢UwieUX¦ ¢'4{'š{'›{¡N2)§H5 UU2¥¢¢ )5§H5(14.56)strömen in beide Richtungen gleich viele Teilchen hindurch. Das ist genau das, was wir uns anschaulichunter einer ruhenden Flüssigkeit vorstellen. Wenn wir die Fläche, zum Beispiel in Form eine Folie, in dieFlüssigkeit einbringen, dann merkt die Flüssigkeit davon nichts und die Folie bleibt an Ort und Stelle. Esmacht nämlich keinen Unterschied, ob die Teilchen tatsächlich die Folie passieren, oder ob sie nur ihreEnergie und ihren Impuls an die Teilchen auf der anderen Seite durch Stöße an der Folie abgeben. Energieund Impuls werden also weiterhin durch die Folie transportiert, Teilchen aber nicht.Das lokale Ruhesystem einer Flüssigkeit an einem Ereignis ist also dadurch definiert, dass der gemittelteUTeilchenstrom an diesem Ereignis verschwindet. Gemittelt soll im folgenden stets heißen,dass wir über ein geeignet zu wählendes Volumen integrieren und dann durch die Größe des Volumens¡N%2' teilen. Es gilt also im lokalen Ruhesystem5WV¡N2!5WV §{5bedeutetþ Hier , dass wir über alle Teilchen summieren, die sich in ¢einem Volumen in der Umgebungdes Ereignisses§5aufhalten. Ein verschwindender mittlerer Teilchenstrom ist also tatsächlichgleichbedeutend mit einer verschwindenden mittleren Geschwindigkeit der Teilchen.Wie genau wir das Volumen ¢ wählen, ist unwesentlich, solange die oben gestellten Bedingungen fürein Flüssigkeitselement erfüllt sind. Es sollen sich im Volumen©einerseits sehr viele Teilchen aufhalten,¢andererseits sollen die Teilchen das Volumen annähernd homogen ausfüllen. Es ist dann nicht von Belang,ob wir die wenigen Teilchen am Rand noch mitzählen oder nicht, das heißt die genau Form des Volumens 2)spielt keine Rolle.Das lokale Ruhesystem können wir verwenden, um der Flüssigkeit bestimmte gemittelte Größen zuzuordnen,die sich genau auf dieses Bezugsystem beziehen und folglich Skalare sind. Ein Beispiel für einen¢+ý ¦'4{'š{'›{OýN2)5@2 X¢ ý¦OýN< +solchen Skalar ist die mittlere Ruhesystemþ¾2! Teilchendichte im5. Für jedes Ereignis5als die gemittelteTeilchendichte definiert, die ein lokal mitbewegter Beobachter an diesem Ereignis sieht. Schreibenwiristþ¾2! wieder§o5, so gilt im lokalen Ruhesystem 2) §{§Eý2)5¥5 (14.54)§5WV (14.55)þ 2)¡M2)§{5 £Die mittlere Teilchendichte im Ruhesystem ist also einfach die Anzahl der Teilchen in einem Volumengeteilt durch die Größe des Volumens. Auch hier ist die Größe und die genau Form des Volumens wiederunwesentlich, solange es viele Teilchen enthält und diese homogen verteilt sind.Wie man nun leicht sieht, lassen sich die Beziehungen (14.54) und (14.55), sowie die Definition desStrömungsfeldes T LX¦ ¢'4{'š{'›{¡M2)folgt zusammenfassen. Im lokalen Ruhesystem giltNun ist dies dennþ¾2! aber eine Tensorgleichung,5ist ein Skalar und5ist ein 4-Vektor. Also ist auchder gemittelte Teilchenfluss ein 4-Vektor. Es gilt daher in jedem Bezugsystem¡LS2! TL$2' U5WVX¦ ¢'4{'š{'›{¡L2)5(14.57)§H5WV §5T L2)¡L2)§{5 þ 2)Der mittlere Teilchenfluss ist das Produkt aus der mittleren Teilchendichte im Ruhesystem und ihrer mittleren4-Geschwindigkeit. Auch das ist natürlich sehr anschaulich. Umgekehrt können wir die mittlereþ¡L2'5WV 5T L2! 2'267

U KL2)þ 2!§5WV bb§{5(14.61)Teilchendichte als die Komponente des mittleren Teilchenflusses in Richtung des Strömungsfeldes ausdrücken,(14.58)¡L2' ….5Udenn esTL2' istSolange wir nur die makroskopischen Eigenschaften einer Flüssigkeit beschreiben wollen, reicht dermittlere Teilchenfluss völlig aus. Wenn wir zum Beispiel nach der Zahl der Teilchen fragen, die durch5TmL$2' TL2! eine bestimmte Hyperfläche in der Raumzeit fließen, und diese Hyperfläche sehr viel größer ist als*das5typische Volumen , über das wir gemittelt haben, dann gilt auch weiterhin die Formel "55WV(14.19),¢£ 5U(14.59)2"Die Näherung ist umso besser, je größer die Hyperfläche ist. Dann spielt es auch hier keine Rollemehr, ob wir die wenigen Teilchen am Rand der Hyperfläche noch mitzählen oder nicht. Oder andersausgedrückt, die Fehler, die wir machen, weil die Teilchen nicht mehr genau lokalisiert sind, heben sich5 "im Mittel gegenseitig auf.'óL2! (YX5¡L2! 'óL2! X(r 5¡L2! 5WVAufgabe 14.9 Die Teilchenzahl sei eine Erhaltungsgröße, das heißt es sollen keine Prozesse stattfinden,bei denen Teilchen erzeugt oder vernichtet werden. Man zeige, dass danngilt. Man mache sich die Bedeutung dieser Gleichung im lokalen Ruhesystem anschaulich klar.T LLT LLþ j þ(14.60)Genau wie den Teilchenfluss können wir auch jeden anderen Fluss mitteln. Im allgemeinen besteht dannaber kein Zusammenhang der Form (14.57) mehr zwischen dem gemittelten Fluss, der Dichte der entsprechendenLadung im Ruhesystem der Flüssigkeit, und dem Strömungsfeld. Befinden sich zum Beispielgeladene Teilchen in der Flüssigkeit, so ist der gemittelte elektrische FlussDie Mittelung erfolgt also stets über ein Volumen im lokalen Ruhesystem. Aber das Ergebnis ist wieder inU Tensorfeld , das wir in jedem Bezugsystem darstellen können.Aufgabe 14.10 Warum ist jedes auf diese Weise gemittelte Tensorfeld wieder ein Tensorfeld, obwohl dieMittelung in einem bestimmten Inertialsystem durchgeführt wird, das zudem noch vom jeweiligen Ereignisabhängt, an dem gemittelt wird?KLVX¦ ¢'4{'š{'›{KL2)Nun muss aber§o5WV Ualle Teilchen die gleiche Ladung hätten, oder wenn alle Teilchen die gleiche Geschwindigkeit hätten. Dergemittelte U Teilchenfluss K²LV KN‹2)keineswegs im Ruhesystem verschwinden. Das wäre nur dann der Fall, wennist also nicht notwendigerweise proportional zum T Strömungsfeld L. Ineiner ruhenden Flüssigkeit kann durchaus ein Strom fließen.Der Teilchenfluss ist insofern ausgezeichnet, als dass er es ist, der das Strömungsfeld und damit das lokaleRuhesystem der Flüssigkeit definiert. Ein Zusammenhang zwischen dem Strömungsfeld und anderenFlüssen besteht nur dann, wenn die Flüssigkeit spezielle Eigenschaften hat. Das wollen wir als nächstesnäher untersuchen.268

y§5WV þ voneinander§aber§{5(14.62)§vor,¢Die ideale FlüssigkeitWir interessieren uns natürlich für den Energie- und Impulsfluss in einer Flüssigkeit. DazuEnergie-Impuls-TensorÅmüssen wirden geeignet mitteln. Das können wir natürlich genau so tun wie zuvor,das heißt wir integrieren über ein Volumen im lokalen Ruhesystem am Ereignis§5, Lg`2! ¢ 52)Welche Bedeutung haben nun die einzelnen Komponenten des gemittelten Energie-Impuls-Tensors imlokalen Ruhesystem? Die Zeit-Zeit-Komponente ist natürlich die gemittelte Energiedichte. Esist einfach die Summe der Energien aller Teilchen in einem Volumen§5WV, geteilt durch die Größe des¢VolumensMºM2) UÅX¦ ¢'4{'š{'›{ÅUÅ La`2)Lg`2)§5WV ¢+ý X¦'4{'š{'›{y ý2)5@2 §{ §Eý2)5_5 Nun befindet sich die Flüssigkeit als ganzes zur Zeit)am OrtMºM2) UÅ2¤¢5ist, wenn wir das Flüssigkeitselement ¢im Volumenim Ruhezustand.Wir nennen die Größe§5WV 782) MºM2) UÅ2¥¢ y 5gerade in Ruhe. Das heißt, die Energie ý2)5(14.63)ý¦ ¢als einen Körper betrachten, dessen Energiey +(14.64)die mittlere Energiedichte im Ruhesystem. Genau wie die mittlere Teilchendichteþ¾2! 5definiert782! 5einskalares Feld auf der Raumzeit. Es ist die mittlere Energiedichte, die ein Beobachter sieht, der sich amEreignis mit der Flüssigkeit mitbewegt. Da dies eine eindeutige Messvorschrift ist, hängt das Ergebnisnicht von der willkürlichen Wahl irgendeines Koordinatensystems ab.Wichtig ist dabei festzustellen, dass das Ruhesystem der Flüssigkeit nicht das Ruhesystem der Teilchen§H5ist. Diese können sich sehr wohl bewegen, sogar mit relativistischen Geschwindigkeiten. Zur Energiedichteim Ruhesystem trägt also nicht nur die Masse der Teilchen, sondern auch deren kinetische Energie bei.Für eine nichtrelativistische Flüssigkeit, also für eine Flüssigkeit, deren Teilchen sich relativ zueinandernur langsam bewegen, jedoch782)ist§H5ungefähr gleich der Massendichte im Ruhesystem, denn die kinetischenEnergien der Teilchen sind im Vergleich zu ihrer Masse vernachlässigbar. deshalb782)Später wirddiejenige Größe sein, die im sogenannten Newtonschen Grenzfall der allgemeinen Relativitätstheorie dieQuelle des Gravitationsfeldes sein wird.Betrachten wir als nächstes die räumlichen Komponenten des gemittelten Energie-Impuls-Tensorsim lokalen Ruhesystem. Für sie gilt, wenn wir die Darstellung (14.34) verwenden,§5WV§5¦'4{'š{'›{OýN2)5¼ýv2)5@2 X¢ ý¦OýN2)5¼ýv2)5 +Die Summe läuft auch hier wieder über alle Teilchen, die sich ¢zur Zeit)im Volumen aufhalten.Weiter oben hatten wir bereits erwähnt, dass dieser räumliche Tensor als Spannungstensor aus derHydrodynamik bekannt ist. Er beschreibt, welche Kräfte auf eine in die Flüssigkeit eingebrachte Flächewirken. Stellen wir uns zwei benachbarte Flüssigkeitselemente am Ort die von eine Grenzfläche derGrößeî&und mit einem Normalenvektorgetrennt sind.Welche Kraft wirkt nun an dieser Grenzfläche? Dazu müssen wir die Komponenten des Impulsstromesin Richtung des Normalenvektors der Fläche bilden, und diesen über die Fläche integrieren. Nehmen wiran, der gemittelte Impulsstrom sei näherungsweise konstant. Dann Nwv ist die þNNwvî&, denn das istder pro Zeiteinheit durch die Fläche strömende Impuls. Es ist dabei unerheblich, ob der Impuls durch Stöße v Kraft¡UÅ Nwv2)§{§Ÿý2)5_5 UÅ NwvŸ2)§o5WV ¢+ý (14.65)269

3`2"7,¡L2' 5 +ý X '$Z \ýL2Z5@2! ý2Z5¥5(14.69)der Druck ist klein im Vergleich zur Energiedichte, die in diesem Fall gleich der gewöhnlichen Dichte, alsoder Massendichte im Ruhesystem ist. Man setze in Relation¼ die Lichtgeschwindigkeit wieder einund verifiziere, dass Wasser unter alltäglichen Bedingungen eine nichtrelativistische Flüssigkeit ist.ê7 dieAufgabe 14.13 Man stelle für den gemittelten Energie-Impuls-Tensor einer idealen Flüssigkeit die Kontinuitätsgleichungauf. Die Flüssigkeit sei nichtrelativistisch und sie ströme auch nurist¼langsam. Das heißt, esund in einen ausgezeichneten T Inertialsystem gelte T außerdem und Man zerlegedie Kontinuitätsgleichung in diesem Inertialsystem in Raum- und Zeitkomponenten und zeige, dass sich dieaus der klassischen Hydrodynamik bekannten Gleichungen der Massenerhaltung und der Impulserhaltungergeben.Nê Mr ê.Materie in der gekrümmten RaumzeitJetzt müssen wir nur noch einen Schritt tun, nämlich alles, was wir bisher über Dichten, Ströme und Flüssegesagt haben, gemäß unserer Übersetzungsvorschrift auf eine gekrümmte Raumzeit zu übertragen. Es istnicht schwer zu zeigen, dass alle hier eingeführten Größen auch auf einer gekrümmten Raumzeit definiertwerden können, und dass fast alle Beziehungen zwischen ihnen weiterhin gelten.Den Teilchenfluss für ein System von Punktteilchen zum Beispiel können wir wie folgt definieren. DieWeltlinien der Teilchen seien wiederý2Z5. Dann müssen wir nur in der Formel (14.13) die Deltafunktionauf dem Minkowski-Raum durch die Deltafunktion auf einer metrischen Mannigfaltigkeit ersetzen, diewir in (10.39) eingeführt hatten. Es ist alsoFormal ist das einzig neue, dass wir nicht mehr eine Differenz von zwei Punkten auf der Raumzeit-Mannigfaltigkeit bilden können, und eine solche nicht mehr als Argument in die gewöhnliche Deltafunktioneinsetzen können. Die Deltafunktion auf eine metrischen Mannigfaltigkeit hat deshalb zwei Argumente,aber sonst genau die gleichen Eigenschaften.Was ebenfalls weiterhin gilt, ist, dass wir die Teilchen, die durch eine Hyperfläche strömen, als einIntegral (14.19) schreiben können, und dass das ebenso für jede andere Art von Ladung gilt, jedenfallssolange die Ladung ein Skalar ist, wie Masse oder elektrische Ladung. Auch das Integrationsmaß ist dasgleiche wie vorher, allerdings müssen wir in (14.18) für den Levi-Civita-Tensor den entsprechenden Tensor(10.48) einsetzen.Nur an zwei Stellen müssen wir ein wenig aufpassen. Das eine Problem betrifft die Integration desEnergie-Impuls-Tensors (14.42) über eine Hyperfläche. In einer flachen Raumzeit ergab das einen VektorEr repräsentierte den durch die Hyperfläche fließenden 4-Impuls. Eine solche Integration können5.wir in einer gekrümmten Raumzeit nicht mehr durchführen. Wir können Vektoren an verschieden Ereignissennicht einfach addieren.Es hat deshalb keinen Sinn, über den durch eine Hyperfläche fließenden 4-Impuls zu sprechen, oder speziellzum Beispiel über die in einem räumlichen Volumen enthaltene Energie. Der Energie-Impuls-Tensorist nur lokal definiert. In einem lokalen Inertialsystem bestimmten seine Komponenten die Energiedichte,die Impulsdichte und so weiter, aber es ist sinnlos, diese über einen größeren Raumbereich zu integrieren.Das hat die interessante Konsequenz, dass ein in der allgemeinen Relativitätstheorie nur noch unterganz bestimmten Umständen möglich sein wird, zum Beispiel über die Gesamtenergie oder den Gesamtimpulseines ausgedehnten Systems zu sprechen. Auch Begriffe wie Impuls- oder Energieerhaltung habennur noch lokal eine Bedeutung. Nämlich die, dass der Energie-Impuls-Tensor die Kontinuitätsgleichungerfüllt, die nun natürlich wie folgt lauten(14.70) Lg`muss,>L3Å271

Aufgabe 14.14 Für den Energie-Impuls-Tensor eines einzelnen, massiven Teilchens gilt auch auf einergekrümmten Raumzeit die Darstellung (14.43),wobei £2·ª5eine Eigenzeit-Darstellungder Weltlinie die 4-Geschwindigkeit ist. WelcheBedingung muss diese Weltlinie erfüllen, damit der Energie-Impuls-Tensor die Kontinuitätsgleichung(14.70) erfüllt.'§LD'ª undqL2»ª5Å Lg`2! 5 X 'ªñ¦ qL2·ª5q`2·ª5@2' 32»ª5_5 (14.71)Die zweite Stelle, an der wir ein wenig aufpassen müssen, ist die Definition von gemittelten, oder verschmiertenFlüssen. Auch dort hatten wir Tensoren über einen gewissen Raumbereich integriert, und genaugenommen ist das in einer gekrümmten Raumzeit nicht möglich.Wir müssen daher, wenn wir auch in der allgemeinen Relativitätstheorie mit gemittelten Flüssen arbeitenwollen, entweder voraussetzen, dass wir nur jeweils über ein kleines Volumen mitteln, in dem wir dieKrümmung der Raumzeit vernachlässigen können, oder wir müssen annehmen, dass die kontinuierlicheBeschreibung der Materie durch glatte Flüsse in der Raumzeit bereits die richtige ist, zum Beispiel weildie Materie ja in Wirklichkeit nicht aus lokalisierten Teilchen sondern aus verschmieren Quanten besteht.Uns bleibt an dieser Stelle leider nichts anderes übrig als gar nicht erst nach einer Rechtfertigung fürdiese Annahme zu suchen. Denn tatsächlich erreichen wir hier bereits die Grenzen den allgemeinen Relativitätstheorie,bevor wir ihre Details überhaupt kennen gelernt haben. Es ist bis heute nicht gelungen,die allgemeine Relativitätstheorie an dieser Stelle auf eine Basis zu stellen, die mit der Quantentheorie inEinklang steht.Mit anderen Worten, wir müssen einfach postulieren, dass die Verteilung der Materie in der Raumzeitdurch einen glatten Energie-Impuls-Tensor beschrieben wird. Für alle praktischen Anwendungen ist daseine gerechtfertigte Annahme, denn alle Objekte, für die die Gravitation als Wechselwirkung eine Rollespielt, sind große Vielteilchensystem, die wir in sehr guter Näherung als klassische, kontinuierlicheMaterieverteilungen beschreiben können.Alles, was wir in Kapitel 13 über die Dynamik von Punktteilchen und die Verträglichkeit der allgemeinenRelativitätstheorie mit der Quantenphysik gesagt haben, müssen wir deshalb an dieser Stelle wiederetwas relativieren. Die Argumente, die wir dort verwendet haben, gelten nur solange, wie wir von Testteilchensprechen, also von Teilchen, die so klein sind, oder genauer, die so wenig Energie und Impulsbesitzen, dass sie das Gravitationsfeld nicht nennenswert beeinflussen.In der Elektrodynamik existiert das Problem zwar auch, aber dort ist es weniger kritisch. Das liegt daran,dass die Feldgleichungen der Elektrodynamik linear sind. Deshalb ist es durchaus möglich, punktförmigeLadungen zu betrachten. Wir haben den Feldstärketensor für so eine Ladung in Kapitel 6 sogar ausgerechnet.Es ist eine der einfachsten Lösungen der Maxwell-Gleichung. Das einzige Problem ist, dass derFeldstärketensor an der Stelle, an der die Ladungsdichte singulär ist, ebenfalls singulär wird, aber in einerleicht kontrollierbaren Weise.Wie wir gleich sehen werden, sind die Feldgleichungen der Gravitation jedoch nichtlinear. Deshalb istes nicht mehr so leicht möglich, die Singularitäten zu kontrollieren, die auftreten würden, wenn wir einekörnige Quelle betrachten, also eine, die aus punktförmig lokalisierten Teilchen besteht. Aber wie gesagt,für alle praktischen Anwendungen der allgemeinen Relativitätstheorie als Theorie der Gravitation ist esohnehin sinnvoll, von einer kontinuierlichen Materieverteilung auszugehen.Die QuellengleichungDoch nun genug der Vorrede, wir wollen uns jetzt ganz konkret überlegen, wie die Feldgleichungen derGravitation aussehen können. Nach allem, was wir uns bisher überlegt haben, sollte sie eine Beziehungherstellen zwischen der Krümmung der Raumzeit auf der einen Seite, und der Verteilung von Energie272

`bund Impuls auf der anderen Seite. Ferner sollten sie in einem gewissen Grenzwert in die NewtonscheQuellengleichung übergehen.Nehmen wir also einmal an, auf der rechten Seite der Gleichung steht für die MaterieImpuls-TensorÅder Energie-La`. Bei Newton steht auf der rechten Seite die Massendichte, und wir wissen bereits, dassfür nichtrelativistische Materie die größte Komponente dieÅdes Energie-Impuls-Tensors MºM-Komponenteist, und dass diese im wesentlichen die Massendichte ist. Das passt also schon ganz gut zusammen.Auf der linken Seite steht bei Newton die zweite räumliche Ableitung des Gravitationspotentials. Andererseitshaben wir gesehen, dass das Gravitationspotential im Newtonschen Grenzfall im wesentlichen die‚MºM-Komponente der Metrik ist. Also sollte auf der linken Seite der Feldgleichung so etwas wie die zweiteAbleitung der Metrik stehen. Und es sollte natürlich ein Tensor sein.Nun kennen wir bereits einen Tensor, der aus den zweiten Ableitungen der Metrik gebildet wird, nämlichder KrümmungstensorÇL`¥dÉ. Ihn hatten wir in (10.73) als Funktion der Christoffel-Symbole und derenAbleitungen dargestellt, und somit als Funktion der Metrik sowie ihrer ersten und zweiten Ableitungen.Wir müssen daraus nur einen Tensor zweiter Stufe bilden, und ihn dann mit dem Energie-Impuls-Tensorgleichsetzen.Das ist kein Problem, wir nehmen einfach den Ricci-Tensor (10.84), und machen folgenden Ansatz fürunsere Feldgleichung,(14.72)La` Çwobei X irgendeine Naturkonstante ist, die in irgendeiner Beziehung zur Newtonschen Konstante¨ stehenmuss. Wir können sie später ermitteln, indem wir einen geeigneten Grenzfall diskutieren und feststellen,ob die Theorie dann in die Newtonsche Theorie übergeht.Aber nun gibt es ein Problem. Der Energie-Impuls-Tensor hat zwei Eigenschaften. Er ist erstens symmetrisch.Das ist der Ricci-Tensor auch. Aus dieser Eigenschaft ergibt sich also kein Problem. Zweitenserfüllt er die Kontinuitätsgleichung (14.70). Das gilt für den Ricci-Tensor im allgemeinen nicht.Zunächst ist das auch kein Problem. Dann folgt eben aus der Feldgleichung, dass es es tut. Aber dasführt zu einer zusätzlichen Konsistenzbedingung, die für eine Quellengleichung untypisch ist. Erinnernwir uns noch einmal an die Maxwell-Gleichung bYXÅ8Lg`(14.73)Hier war es so, dass die Quellengleichung die Kontinuitätsgleichung für die Quelle quasi erzwungen hat,L¡ La` xk;= K`b B < Lg` L¡denn es gilt die Identität(14.74)Aufgabe 14.15 Man zeige, dass diese Schlussfolgerung auch dann noch gilt, wenn man alle Ableitungendurch kovariante Ableitungen ersetzt. Mit anderen Worten, auch auf einer gekrümmten Raumzeit folgt dieelektrische Ladungserhaltung aus den Maxwell-Gleichungen. `K`Dasselbe sollte auch für die Quellengleichung der Gravitations gelten. Sie sollte die Kontinuitätsgleichungfür die Quelle erzwingen. Auf der linken Seite der Gleichung sollte also ein symmetrischer Tensor zweiterStufe stehen, den wir aus dem Krümmungstensor ableiten können, und für den die Gleichung (14.70) alsIdentität gilt.Nun haben wir einen solchen Tensor schon einmal gesehen, und zwar in Aufgabe 10.24. Es ist derEinstein-TensorLa` Ç Lg` ¨(14.75)Wenn wir also den folgenden Ansatz für die Feldgleichung machen, Lg` >L¨ Çë‚Lg` „¨ Lg`YXÅ8La`(14.76)273

'Sî& 2 j „–15')&j 2m „–152'4&j 'š&j '›&5 (14.78)§o5(14.81)dann erzwingt diese die Kontinuitätsgleichung für die Materie, genau so wie die Maxwell-Gleichung dieKontinuitätsgleichung für die Ladung erzwingt,(14.77)Jetzt sind wir so gut wie am Ziel, denn die Gleichung (14.76) ist die gesuchte Quellengleichung für dieGravitation. Sie trägt den Namen Einstein-Gleichung. Wir müssen jetzt nur noch die Konstante bestimmen.XDazu greifen wir noch einmal auf die Newtonsche Theorie zurück. Sie soll sich in einem bestimmten>L¨ B >LŸÅ SGrenzfall ergeben, und zwar dann, wenn sich die Materie nur langsamLa`bewegt, und dieLa`Gravitationsfelderschwach sind. Wir werden den Grenzfall schwacher Gravitationsfelder später noch sehr viel genauer untersuchen,daher werden wir jetzt einfach einen sehr gut motivierten Ansatz machen, der nur dazu dient,die Konstante zu bestimmen.Wir betrachten eine Raumzeit-Mannigfaltigkeit mit der MetrikXwobei wir wieder annehmen, ist. Das heißt, wir werden im folgenden alle Terme der Ordnungund höher vernachlässigen. Ferner wollen wir annehmen, dass die Metrik statisch ist, das heißt dasdass1soll nur von der räumlichen Koordinaten24¥š6œ›5abhängen.Wir kennen diese Metrik schon aus dem letzten Kapitel, wo wir sie in (13.52), ebenfalls ohne weitereMotivation, als Metrik der Raumzeit im Newtonschen Grenzfall der allgemeinen êGravitationspotential11&Relativitätstheorieeingeführt haben.Aufgabe 14.16 Man berechne den Einstein-Tensor für die Metrik (14.78) und zeige, dass bis auf Term derOrdnung1&und höher¨MºM „ : 1 (14.79)bæ,der gewöhnliche, aus den AbleitungenbçundKomponenten des Einstein-Tensors verschwinden.wobei:bžgebildete Laplace-Operator ist. Alle anderenWir wollen nun zeigen, dass diese Metrik (14.78) die Quellengleichung (14.76) erfüllt, wenn auch dieMaterie relativ zu dem Koordinatensystem2)4©š8œ›5ruht. Was heißt das? Es bedeutet, dass nur eineKomponente des Energie-Impuls-Tensors von Null verschieden ist, nämlich(14.80)Das ist die klassische Massendichte ist. Sie hängt natürlich auch nur vom Ort ab, wenn die Materie ruht.Also ist die Quellengleichung genau dann erfüllt, wenn7 MºM ÅYX782sein. Eingesetztin den Ansatz (14.76), mit dem Ricci-Tensor und dem Krümmungsskalar explizit ausgeschrieben, ergibtsich die Einstein-Gleichung in der traditionellen FormMºMZX MºM „Damit das in die Newtonschen Quellengleichung (13.3) übergeht, muss offenbar Xˆ §o5 1£2 :¦o=¨ Å ¨(14.82)Wir haben also eine Gleichung gefunden, die eine Beziehung herstellt zwischen der Krümmung der Raumzeitauf der einen Seite, und der Verteilung der Materie auf der anderen Seite. Jetzt müssen wir diese Gleichungnur noch testen, das heißt wir müssen Lösungen finden und sie mit der Wirklichkeit vergleichen.Das wird im wesentlichen das Thema der restlichen VorlesungÅ8Lg` ¦o=¨ Çh‚Lg` „sein.Lg` Ç274

'Sî& ‚MºM')&j ‚Nwv'4N'4v (15.1)'Sî& §2]75&£2'[6&j Þ_ßÕà&0[ '\&5(15.2)15 Die Schwarzschild-MetrikDen einzigen Beleg für die Richtigkeit der Feldgleichung (14.82), den wir bis jetzt haben, ist, dass sie fürschwache Gravitationsfelder und langsam bewegte Materie in die Newtonsche Feldgleichung übergeht, sowie die Elektrodynamik im Grenzfall langsam bewegter Ladungen in die Elektrostatik übergeht. Das istnatürlich zwingend erforderlich, denn in diesem Grenzfall beschreibt die Newtonsche Theorie die Physiksehr genau. Das gilt sowohl für die irdische Physik, als auch für die Dynamik des Sonnensystems, was jagerade der große historische Erfolg der Newtonschen Theorie war.Doch was passiert, wenn die Gravitationsfelder stark werden, oder die Geschwindigkeiten groß? Dannbricht die Newtonsche Theorie zusammen, und wir müssen die Einsteinschen Gleichungen exakt, oder zumindestin einer besseren Näherung lösen, um eine Voraussage zu machen. Wir wollen deshalb in diesemKapitel die einfachste, nicht triviale Lösung der Einsteinschen Gleichungen herleiten und diskutieren. Siewurde 1916 von Karl Schwarzschild gefunden, also bereits ein Jahr nachdem Einstein seine Feldgleichungenin ihrer endgültigen Form publiziert hatte.Die sogenannte Schwarzschild-Metrik beschreibt das Gravitationsfeld eines nicht rotierenden, kugelsymmetrischenHimmelskörpers, also das Analogon zum ‘ED§’-Potential in der Newtonschen Theorie. Sieist die Voraussetzung dafür, alle im Sonnensystem relevanten Effekte zu diskutieren, für die die allgemeineRelativitätstheorie vielleicht eine andere Aussage macht als die Newtonsche Theorie.Statische, kugelsymmetrische RaumzeitenWir wollen also das Gravitationsfeld eines statischen, kugelsymmetrischen Himmelskörpers berechnen.Das heißt, wir wollen die Einstein-Gleichung lösen für eine Materieverteilung, die gewisse Symmetrienbesitzt. Wir gehen stillschweigend davon aus, dass dann auch das Gravitationsfeld diese Symmetrienbesitzt. Das ist eine vernünftige, aber wir wie später sehen werden durchaus nicht notwendige Bedingung.Das wichtigste bei einer solchen Aufgabe ist es, die Raumzeit-Koordinaten möglichst geschickt zuwählen. Beginnen wir mit dem Begriff statisch. Eine Raumzeit-Mannigfaltigkeit soll genau dann statischheißen, wenn es eine Koordinate)und drei weitere Koordinaten4Ngibt, mit den folgenden Eigenschaften.Die Metrik hängt nicht von der Zeit)ab, und der Raum ist zur Zeit orthogonal. Es gilt dannwobei die der Metrik nur von den räumlichen Koordinaten4N, nicht aber vonder Zeit)abhängen. Ferner eine positive Metrik sein, und es gelten. Sonst wäre dieBezeichnung Raum Zeit nicht sinnvoll.Komponenten‚MºMund‚NwvMit anderen Worten, eine statische Raumzeit ist eine Mannigfaltigkeit, die sich ähnlich wie der flacheMinkowski-Raum bezüglich eines ausgewählten Inertialsystems in Raum und Zeit zerlegen lässt. DerRaum darf jetzt aber gekrümmt sein, und die Zeitkomponente‚MºMder Metrik darf vom Ort abhängen kann.Letzteres bedeutet, dass es eine Zeitdilatation zwischen Uhren an verschiedenen Orten geben kann.soll‚NwvWirmuss‚MºM ö hatten bereits festgestellt, dass dies in Gravitationsfeldern typischerweise der Fall ist.Aufgabe 15.1 Man zeige, dass die Metrik (15.1) eine einparametrige Isometriegruppe besitzt und bestimmedas zugehörige Killing-Vektorfeld.Zusätzlich verlangen wir, dass der Raum kugelsymmetrisch ist. Anschaulich heißt das, dass wir uns denRaum aus einzelnen Sphären bestehend vorstellen können, die wie Zwiebelschalen ineinander liegen. Jedesolche Sphäre ist durch ihren metrischen Abstand7 vom Mittelpunkt des Sterns eindeutig festgelegt, undauf jeder solchen Sphäre führen wir die üblichen sphärischen Koordinaten2'[C\5ein. Und zwar so, dassdie auf der Sphäre induzierte Metrik von der Form275

'Sî& x z¬2·75')& j '7&j §2·75&£2'[6&j Þ_ßÕà&/[ '\&5(15.3)b§&Þ¥ßÕà&[(15.5)(15.6) §&Þ_ßÕà&[ ÉŸ‚Lg`5(15.7)ist. Hier ist§2]75der Oberflächenradius2·7[\5.Jetzt haben wir noch die Freiheit, die einzelnen Sphären gegeneinander zu verdrehen, das heißt wirkönnen auf jeder Sphäre die Koordinaten2'[\5unabhängig voneinander festlegen. Wir tun dies so, dassdas Koordinatensystem orthogonal ist, das heißt BasisvektorÎdder zuÎ^]undÎ^_soll senkrecht stehen.Anschaulich heißt das, dass wir die einzelnen Schalen so ineinander legen, dass Punkte mit den gleichensphärischen Koordinaten jeweils übereinander liegen.Durch die spezielle Wahl der Koordinaten nimmt die Metrik einer statischen, kugelsymmetrischenRaumzeit dann die folgende Form an,der Sphäre, der in einem gekrümmten Raum nicht mit dem metrischenvom Zentrum identisch sein muss. Unsere drei räumlichen Koordinaten sind Abstand7 alsoHier haben wir‚MºMdenn auch die Zeitkomponente der Metrik darf natürlich nur vomgesetzt,Radius abhängen, wenn die Raumzeit kugelsymmetrisch sein soll.Jetzt machen wir noch eine zusätzliche Annahme, die zwar nicht zwingend begründet werden kann,die sich aber im Nachhinein als richtig erweisen wird. Wir nehmen an, dassùder derSphären eine monotone FunktionzÁ2·75des vom Zentrum ist. Mit anderen Worten, je weiterOberflächenradius§wiruns vom Mittelpunkt des Sterns entfernen, desto größer wird die Oberfläche der Sphäre, auf der wirAbstandes7unsbefinden. Das ist natürlich vernünftig.Dann können Koordinate7 wir statt Oberflächenradius§der auch den als Koordinate verwenden. Dadurchvereinfacht sich der Ausdruck für die Metrik zwar nicht, aber die Rechnung wird später etwaseinfacher. Die Metrik wird dann durch zwei unbekannte Funktionen `¾2§5undzÁ2§H5parametrisiert, und istvon der Form(15.4) Þ¥ßáà&[ `¾2§H5'§&j §&2'[&j '\&5 z¬2§5')‹&j 'SîU&Das ist also der Ansatz für eine statische, kugelsymmetrische Raumzeit.Aufgabe 15.2 Welche Beziehung besteht zwischen der Funktion `¾2§H5in (15.4) und der Funktion§2·75in(15.3)?Aufgabe 15.3 Man finde alle Killing-Vektoren der Metrik (15.4).Der Einstein-TensorJetzt kommen wir zu der schwierigsten Aufgabe. Wir müssen für die Metrik (15.4) den Einstein-Tensorberechnen. An dieser Stelle zahlt sich zum ersten Mal das Programm aus Aufgabe 10.16 aus. Aber dasProblem lässt sich auch noch recht gut von Hand bewältigen. Wir geben hier die wesentlichen Zwischenschrittean. Zunächst schreiben wir noch einmal die Metrik‚Lg`in Komponenten auf,‚]]Die Metrik ist diagonal, dass heißt unsere Koordinaten bilden ein orthogonales Koordinatensystem, undwir können sofort die inverse‚MºMxangeben,§& `¾2§5 z¬2§5Metrik‚SLa`‚aa‚cbdb‚]e]Ein wenig komplizierter ist dann schon die Bestimmung des Christoffel-Symbols, das wir mit Hilfe derFormel (10.60) berechnen müssen,`¾2§5‚aaz¬2§5 ‚MºM*§& ‚bdbdLa` „ ‚dÉ b2 Ä276j L‚`É`‚LÉ b

ÄaMºM z{2§H5ÇlaaÇm`{2§5Ç ]]„`¾2§5 Ä]Ä] ; z¬2§5 `{2§5 `¾2§H5E ; j z{{2§5 „`¾2§H5 z{2§H5z{2§5 § ¨naa„ðzÁ2§H5 Äaãaähg [(15.8)i Ä(15.14) §& o`¾2§5ËMan sollte sich zunächst überlegen, welche Komponenten überhaupt von Null verschieden sind. Da dasChristoffel-Symbol im wesentlichen aus den ersten Ableitungen der Metrik besteht, muss mindestens einauftreten, weil die Komponenten der Metrik nur von§abhängen. Bis auf eine Ausnahme,‚^bfbhängt nämlich von auch [ ab. Außerdem müssen die beiden anderen Indizes gleich sein, denn die MetrikIndex§ist diagonal. Es kommen daher nur die wobeiQ Kombinationen§-Q-Q, irgendein anderer Index ist, oderdie spezielle [ -\ -\ Kombination in Frage. Im einzelnen ergibt sichaa] aa ] ]] bdbbLaab§aMºM z{2§5 MMa „`¾2§H5 Ä Ä MaM z{2§5 Ä„`¾2§5 `{2§H5Äa„`¾2§5Þ¥ßáà&[ ÄbÄb§ §Als nächstes müssen wir den Riemann-Tensor, dann den Ricci-Tensor berechnen. Das ist der kompliziertesteTeil der Rechnung. Da wir den Riemann-Tensor niemals wieder brauchen werden, ist es am einfachsten,wenn wir direkt den Ricci-Tensor aus dem Christoffel-Symbol ermitteln. Wir verwenden dazu die Formeln(9.56) und (10.84),ÇbfbãgäHÞ[bb ] Ä [ Þ¥ßáàÄb] bÄ]§Jetzt bleibt uns nichts anderes übrig als das Christoffel-Symbol einzusetzten. Es stellt sich heraus, dass nurdie Diagonalelemente von Null verschieden sind, und für diese ergeben sich die folgenden Ausdrücke,jËÄÇjiLi` La`biÄ iLg` b i¥kk(15.9)i¤k`£Ä iL Ä kLa`òÄiLiDD`¾2§H5Dz{2§5 z¬2§5E ; j `¾2§5§ `{2§5 § j„`¾2§H5& jÇjbdb& èz{{2§5 „ðzÁ2§H5E „ðz¬2§5D j § z{2§5 „ðz¬2§5E `¾2§H5Als nächstes berechnen wir daraus den Krümmungsskalar (10.86),(15.10)Þ¥ßÕà&[ Ç ]](15.11)Wir müssen jetzt über die gerade berechneten die Diagonalelemente Das Ergebnis istLg`summieren.ein etwas längerer Ausdruck, Lg` ‚Lg`ÇvonÇÇ „ §& ÇD`¾2§H5E j „ `¾2§H5 Dñ„ðz¬2§5E & „ðz{2§5j §z{{2§5 § `¾2§H5z¬2§5 j z{2§H5Und schließlich können wir daraus den Einstein-Tensor berechnen,`32§5& „`{2§5D(15.12)z{2§H5 z¬2§5E ; j § Es genügt, die folgenden Komponenten zu kennen,(15.13) Ç La` „ ‚La`Ç La` ¨MºM•z¬2§H5 §& ' ¨D§ § `¾2§H5E '§277§z¬2§5z{2§H5

'§jv!$#'§&j §&£2'[8&j Þ¥ßáà&/[ '\&5(15.19)Aufgabe 15.4 Man prüfe alle hier durchgeführten Rechnungen nach.Aufgabe 15.5 Zwischen [ -[ der -Komponente und \ -\ der -Komponente des Ricci-Tensors (15.10) bestehtderselbe Zusammenhang wie zwischen den entsprechenden Komponenten der Metrik. istÇ:bdbAußerdemdie einzige Komponente, die [ von abhängt, sonst hängen alle Komponenten des Ricci-Tensors nur vonab. Warum ist das so, und warum gilt das für jeden symmetrischen, aus der Metrik abgeleiteten Tensorzweiter Stufe, zum Beispiel für den Einstein-Tensor?§®. Aufgabe 15.6 Wie wir wissen, gilt für den Identität>L¨ÈLg` Einstein-Tensor die Aus der vorherigenAufgabe dass¨pbfb folgt außerdem, ist, und dass dies die einzige [ von abhängige Kompo-]]nente ist. Man benutze diese Eigenschaften des um¨]e] und¨qbdb Einstein-Tensors, als von¨ Funktionenund¨raa auszudrücken.MºMÞ¥ßáà&[ü¨Die äußere MetrikJetzt können wir daran gehen, die Einstein-Gleichung zu lösen. Wir beginnen mit dem einfacheren Teil,nämlich mit der Metrik außerhalb des Himmelskörpers. Dort befindet sich keine Materie, das heißtEnergie-Impuls-TensorÅ9Lg`derverschwindet. Also muss auch der Einstein-Tensor verschwinden. Aus dersich eine einfache Differentialgleichung für die Funktion `32§5,Gleichung¨MºMfergibt(15.15) `¾2§5E B `32§5wobeiŽeine Integrationskonstante ist. Die allgemeine Lösung ist alsoŽ § § f § D§ '§(15.16)§Die hat offenbar die Dimension einer Länge, das heißt sie setzt eine räumliche Skala. DieFrage nach der Bedeutung dieser Skala wird uns noch eine Weile beschäftigen. `¾2§H5KonstanteŽDoch zunächst lösen wir die anderen Komponenten der Gleichung¨saa Einstein-Gleichung. Aus derergibt sich eine Differentialgleichung für dieŽ §FunktionzÁ2§H5,(15.17) `¾2§5Ë § Ž § 2§ Žg5Diese können wir leicht integrieren, zum Beispiel durch Separation der Variablen. Die allgemeine Lösungz¬2§5 z{2§H5ist§ (15.18) ŽZtwobei eine weitere Integrationskonstante ist.Damit haben wir die allgemeinste statische, kugelsymmetrische Metrik gefunden, die die Einstein-Gleichung im Vakuum erfüllt. Sie ist durch das folgende Linienelement gegeben,t§ z¬2§5Die Integrationskonstante t haben wir gleich Eins gesetzt. Wir können sie offenbar durch eine Reskalierungder Zeitkoordinate)auffangen, das heißt sie hat keine physikalische Bedeutung.Yuñ Ž§jv ')&j 'Sî&ŽDie Metrik besitzt also nur einen einzigen freien ParameterŽ. Welche Bedeutung hat dieser Parameter?uZunächst stellen wir fest, dass fürŽsichin Kugelkoordinaten,

4v „ ŽÞ¥ßÕàãgäHÞ\PŽgilt.Þ¥ßÕàÞ_ßÕà§jv 2'4&jãgäHÞ['š&j '›&5(15.23)!$#(15.25)Diese Metrik ist natürlich eine Lösung unseres Problems, denn der Minkowski-Raum erfüllt alle gestelltenBedingungen. Er ist sicher kugelsymmetrisch und statisch, denn die Zeitverschiebungen und die räumlichenRotationen sind in der Poincaré-Gruppe enthalten. Ferner ist jede flache Raumzeit eine Lösung derEinstein-Gleichung, wenn keine Materie vorhanden ist.FallŽDer entspricht also der trivialen Lösung, bei der überhaupt kein Himmelskörper vorhandenist. Wir vermuten daher, dassŽetwas mit der Masse des Himmelskörpers zu tun hat. Um das heraus zufinden, betrachten wir die Metrik (15.19)nFŽ, also weit weg vom Zentrum des Gravitationsfeldes.Dort ist die Metrik beinahe flach, das heißt sie weicht nur sehr wenig von der Minkowski-Metrik (15.20)für§ab. Wir können sie auf die Form (14.78) der Newtonschen Näherung bringen, wenn wir die folgendeKoordinatentransformation durchführen,Dann gilt fürŽD§wu§wu§Žvwenn wir Terme der Ordnung2ŽD§5&vernachlässigen, › \P „ š['š&j '›& r '§&j §& uñ Ž§jv 2'[&j '4&j[xu§vŽ(15.22) Þ¥ßáà&[„'\&5(15.21)ê,oderDas heißt, weit weg vom Zentrum lautet das LinienelementŽ Þ¥ßáà&/[ §&£2'[8&j '\&5 r u j Ž §yv!$#'§&j u„§(15.24)mit 2 j „ð15')&j 2ñ „ð152'4&j 'š&j '›&5 1 ŽDas ist das Newtonsche Potential für einen kugelsymmetrischen Himmelskörper der Masse , wenn wir'Sî&setzen.r„𨠎IntegrationskonstanteŽDie definiert demnach die Masse des Himmelskörpers, vondem das Gravitationsfeld erzeugt wird.Ausgedrückt durch diesen Parameter lauten somit die Komponenten der Metrik (15.4) außerhalb desHimmelskörpersz¬2§H5Wir sollten jedoch im Auge behalten, dass diese Definition der Masse noch nichts mit dem Himmelskörperselbst zu tun hat. Den haben wir uns bis jetzt noch gar nicht angeschaut. Wir haben nur dieEinstein-Gleichung außen herum gelöst. Trotzdem hat der Parameter eine sehr anschauliche Bedeutung,und es ist sinnvoll, ihn Masse zu nennen. Weit entfernt vom Zentrum sieht das Gravitationsfeld soñx„ ¨,aus wie das eines kugelförmigen Körpers der Masse in der Newtonschen Theorie. Auf jeden Fall istdeshalb als schwere Masse des Objektes einzusetzen, wenn wir zum Beispiel nach der Anziehungskraftim klassischen Sinne fragen, die es auf einen weit entfernten Testkörper ausübt. Dñx„ ¨,E § `¾2§H5 §Der Schwarzschild-RadiusAber was bedeutet in diesem Zusammenhang eigentlich weit weg? Wir hatten einedass§Näherung durchgeführtund dabei angenommen, dassŽNun haben wir gesehen, ist, das heißt Funserefür§FNäherung gilt . Offenbar definiert die Masse des Himmelskörpers eine Skala. Wirbezeichnen sie mitÇnz und nennen sie den Schwarzschild-Radius des Himmelskörpers,¨, „ ¨, „ „;²oHier haben wir die Newtonsche Konstante in Einheiten angegeben, in denen die Lichtgeschwindigkeitkggleich Eins gesetzt ist.Çjz279„ ¨, ¨ YSï;„c{ A!&— m!íseckg(15.26)

')&j!$#'§&jfm§&2'[& j Þ¥ßáà&[ '\&5(15.28)Aufgabe 15.7 Wo tritt in BeziehungÇrz derEins gesetzt ist?Lichtgeschwindigkeit auf, wenn sie nicht gleichdieUm uns eine Vorstellung von den Größenordnungen zu machen, betrachten wir zwei bekannte Himmelskörper,die Sonne und die Erde, ein eher handliches Objekt, zum Beispiel eine Eisenkugel, sowieeinen großen Atomkern, also ein sehr dichtes aber kleines Objekt. Wir geben jeweils die Masse desObjektes, seinen tatsächlichen„ð¨G, sowie den Schwarzschild-RadiusÇrz an,RadiusÇSonneErdeÈA&| „Gkg kmHHH ÇÍG o;HkgEisenkugel { kg { cm¦Çyz¥mmkmAtomkern¥;ÈHfm(15.27)kmkgDer Schwarzschild-Radius der Sonne ist um etwa fünf Größenordnungen kleiner als sie selbst. Wir können!&}daraus schließen, dass die Newtonsche Näherung in der Nähe der Sonne schon recht genau ist. Allerdingswurde das Gravitationsfeld der Sonne durch die Beobachtung der Planetenbahnen über die Jahrhunderteauch sehr genau vermessen. Es bestehen also durchaus Chancen, eine Abweichung von derNewtonschenTheorie anhand der Planetenbahnen nachzuweisen.Für die Erde liegt das Verhältnis aus dem tatsächlichem Radius und dem Schwarzschild-Radius schonbei etwa neun Größenordnungen. Die Newtonsche Näherung gilt in der Umgebung der Erde demnach sehrgenau, und wir haben weniger Chancen, einen Effekt der allgemeinen Relativitätstheorie zu sehen, der inder Newtonschen Näherung nicht erklärt werden kann. Noch extremer sieht es für eine Eisenkugel aus,und jenseits von jeder Vorstellung liegt der Schwarzschild-Radius für einen Atomkern, obwohl dieser einesehr große Dichte hat, so dass seine Abmessungen klein im Vergleich zu seiner Masse sind.Offenbar erreicht der Schwarzschild-Radius nur für sehr massive astronomische Objekte ein Größenordnung,die mit der des Objektes vergleichbar ist. Nur für solche Objekte wird die allgemeine Relativitätstheoriepraktisch relevant. Das liegt daran, dass der Schwarzschild-Radius mit zunimmt, dieAbmessung des Objektes aber nur ungefähr mit der dritten Wurzel aus .HA!&} !~cmAufgabe 15.8 Es gibt Himmelskörper, die die Dichte von Atomkernen haben. Sie bestehen einfach nur ausNeutronen und heißen deshalb Neutronensterne. Sie können entstehen, wenn die Kernreaktion in einemStern erlischt und der Stern dann unter seinem eigenen Gewicht kollabiert. Der Druck wird dann so groß,dass Atome ihn nicht mehr stabilisieren können. Welche Masse, ausgedrückt in Vielfachen der Sonnenmasse,muss ein Neutronenstern etwa haben, damit sein Schwarzschild-Radius gleich dem tatsächlichenRadius ist?Der Schwarzschild-Radius ist nicht nur im Rahmen der Newtonschen Näherung weit weg von dem Himmelskörpervon Bedeutung. Er tritt auch ganz explizit in der exakten, sogenannten Schwarzschild-Metrik(15.19) auf,An der passiert mit dieser Metrik etwas ganz merkwürdiges. Sie ist dort genau genommengar nicht mehr definiert. Dies ist aber nach unserer Herleitung, die einzige Metrik, die die amStelle§Anfang gestellten Bedingungen erfüllt, also kugelsymmetrisch, statisch und eine Lösung der materiefreienEinstein-Gleichung¨, „ist.x ¨,E § Dñ*„ 'Sî&¨,E § Dñ*„280

Daraus können wir folgenden sehr interessanten Schluss ziehen. Wenn die Metrik weit weg von derQuelle das Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen Objektes der Masse beschreibt, dann kann diesesObjekt nicht Schwarzschild-RadiusÇzkleiner sein als sein . Denn wenn die Metrik derRaumzeit überall wohldefiniert sein soll, dann muss bei§irgendwo Materie, sprich derHimmelskörper anfangen.£ ¨, „ „ ¨, dieOberflächenradiusÇG Der eines statischen, kugelsymmetrischen Körpers der Masse kannnicht kleiner sein Schwarzschild-RadiusÇrz als sein . ¨, „ Das ist zwar eine sehr merkwürdige Schlussfolgerung, aber sie ergibt sich direkt aus unserer Herleitung.Es würde sich sonst ein Widerspruch zu den Einstein-Gleichungen ergeben.Aber wie sollen wir uns das praktisch vorstellen? Wer, abgesehen von einem sehr großen Druck, den wirzu überwinden hätten, hindert uns daran, die Erde auf eine Kugel vom Radius¦mm zusammen zu pressen?Oder die Sonne auf eine Radius vonkm? Je größer das Objekt wird, desto weniger Druck müssen wirdabei überwinden. Es ist also durchaus vorstellbar, dass ein sehr großes astronomisches Objekt gerade sogroß ist wie sein Schwarzschild-Radius. Als realistisches Beispiel haben wir schon den Neutronensternaus Aufgabe 15.8 kennen gelernt.Aufgabe 15.9 Wieviele Sonnen müsste man dicht an dicht zu einem kugelförmigen Haufen zusammenpacken, damit für den so entstandenen Superstern der Schwarzschild-RadiusÇqz gleich dem tatsächlichenRadiusÇÍGist?Es ist also im Prinzip kein Problem, einen kugelsymmetrischen Himmelskörper herzustellen, der kleinerist als sein Schwarzschild-Radius. Aber welche physikalische Konsequenzen das hat, ist zunächst einwenig rätselhaft. Ein solcher Körper kann offenbar kein statisches Gravitationsfeld mehr besitzen. Alsokann er selbst offenbar auch nicht mehr statisch sein. Diese Vermutung liegt zumindest nahe. Es kannfür einen solchen Körper keinen Gleichgewichtszustand mehr geben, in dem sich Druck und Gravitationausgleichen.Was das konkret bedeutet, damit werden wir uns in Kapitel 18 genauer auseinandersetzen. Hier wollenwir zunächst eine etwas realistischere Physik betrieben, das heißt wir wollen annehmen, dass der Himmelskörpergrößer ist als sein eigener Schwarzschild-Radius. Die Metrik (15.28) gilt dann außerhalb desHimmelskörpers, für§das heißt . £ „ ¨, ÇG £Die innere MetrikDie Bestimmung der Metrik in Innern des Himmelskörpers ist ein wenig komplizierter, denn hier müssenwir die Einstein-Gleichung unter Anwesenheit von Materie lösen. Die exakte Metrik hängt deshalb sehrstark davon ab, aus welcher Art von Materie der Himmelskörper besteht und welche Reaktionen dortablaufen. Denn das bestimmt letztlich den Energie-Impuls-Tensor der Materie.Wir wollen hier die einfachst mögliche Annahme machen. Der Himmelskörper soll aus einer idealenFlüssigkeit bestehen. Und natürlich soll er, das war ja unsere Annahme ganz am Anfang, kugelsymmetrischund statisch sein. Im letzten Kapitel haben wir gezeigt, dass der Energie-Impuls-Tensor einer idealenFlüssigkeit von der Form (14.68) ist,wobei Strömungsfeld,¼ der Druck und7 die Dichte der Flüssigkeit ist, letzteres jeweils im lokalenRuhesystem der Flüssigkeit gemessen.Für die Metrik machen wir natürlich wieder denselben statischen, kugelsymmetrischen Ansatz,TkLdas‚MºMx z¬2§5(15.29) 2·7 j ¼5TLT`–j ¼ ‚Lg` Å8La` (15.30) ‚]] §&Þ¥ßÕà&C[ §& `¾2§5‚aa281‚cbdb

müssen7,T Mz¬2§5 TaaÅ 782§H5 MM Ũnaaf¦o=¨a

'!$#(15.39)eine bei§ ¦ {2§H5

782¼5überall'7D'¼ÇGdurchkennen, können wir diese Differentialgleichung lösen. Als Randbedingung gilt hier, dass

ÇÈGgeht!$#(15.50)t2WÇÍG5ƒt2§H5(15.51)Betrachten wir also die zu lösenden Differentialgleichungen für einen Himmelskörper konstanter Dichte7G. Es ergibt sich dann unmittelbar aus (15.41), dass 782§H5 ;= 7G§ • § ¦ü2§5wobeiÇÍGder Radius unddes Sterns ist. Das setzen wir in (15.43) ein, und erhalten¦ü2WÇG5die Masseso eine Differentialgleichung mit Anfangswert für¼2§5, * ;=¨ § ¼{2§H5ÇÍG (15.44)(15.45)¦o=¨7G§& 2]7Gj ¼2§5¥52]7Gj ¼2§5¥5 ¼2]ÇÍG5

‹ŒŽ‹‰‹ŽŒšË§:šŽ…‡†dˆMilchstraßeandere Galaxie…‡†fˆ„M…‡†fˆ ‰„M…‡†fˆ’‘’‘ ŽŠ …‡†fˆŠ^Ž…‡†fˆ…‡†dˆ(a)(b)Š …‡†fˆ ‹Š ŽAbbildung 15.1: Die Zeitkomponente “8Ó‡”ŸÚder Metrik, die radiale Komponente •«Ó‡”ŸÚ, der Druck –9Ó‡”ŸÚunddie Dichte —Ó‡”ŸÚfür einen Sterns, der um ein mehrfaches größer ist als sein Schwarzschild-Radius (a),sowie für einen Stern, dessen Größe mit dem Schwarzschild-Radius vergleichbar ist (b). Je kleiner das˜ Verhältnis ˜ z , desto größer ist bei gleicher Dichte der Druck im Zentrum. Die Funktion “8Ó‡”ŸÚgibtdie Zeitdilatation an, die eine ruhende Uhr im Gravitationsfeld des Sterns erfährt. Je näher die Uhr demZentrum ist, umso langsamer geht sie im Vergleich zu einer Uhr weit draußen.GDamit sind wir fertig. Wir haben die Metrik sowie die Verteilung der Materie innerhalb und außerhalbdes Himmelskörpers bestimmt. Fassen wir das Ergebnis noch einmal zusammen. Es treten zwei unabhängigeParameter auf, die Masse des Sterns sowie sein OberflächenradiusÇ|G. Die Metrik hat dieForm'Sî& z¬2§5')&j `¾2§H5'§&j §&Á2'[6&j Þ¥ßáà&C[ '\&5(15.53)Die FunktionenzÁ2§H5und `¾2§5sind für§:šÇGdurch (15.50) und (15.52) gegeben, ; 2›t2]ÇÍG5ƒt2§5¥5& `¾2§H5 t2§5 ñ „ ¨, §&sie sich stetig an die Funktionen (15.25) an. Die Dichte ist innerhalb des Sternsz¬2§5œkonstant, und der Druck durch (15.49) gegeben,Für§;= ÇkG(15.55)ÇÍG schließenDamit diešFunktion definiert sein. Esfolgt also auch§žšaus der Lösung der Einstein-Gleichung im Innern, dass der Stern größer sein muss als seinfürSchwarzschild-Radius.Es gibt nun aber noch eine weitere, stärkere Einschränkung an die Parameter. Offenbar muss, damit dieZeitkomponente der Metrik wohldefiniert ist,¨, „ £zusätzlichÇG t2§5mit 7G ¼2§5 7G t2§H5 t2]ÇÍG5 t2WÇÍG5ƒt2§H5 7²G ist, muss auch hier782§H5 G wiederÇt2§H5& mitÇÍG (15.54)gelten. Wäre diese Bedingung nicht erfüllt, würde außerdem der Druck an irgendeiner Stelle unendlichfürt2§H5 £ t2WÇÍG5286(15.56) ÇÍG

Ç Gerfüllt,Ein stabiler, kugelförmiger Himmelskörper der Masse hat einen OberflächenradiusÇG £TGgemessen.werden. Da t2§H5positiv ist, lautet die BedingungDiese Bedingung ist genau dann für alle šË§:šwennt2]ÇÍG5& t2§H5& ¥ ¦ ¨, ÇÍG £ ñ „ ¨, §& ÇÍG ¥D£(15.57)ˆ¨, ¦ ÇÍGñö†„ ¨, § ÇÍGE & ¦ ˆ(15.58)¥Offenbar ist das eine stärkere Einschränkung als die schon bekannte. Es gibt also, jedenfalls in Rahmen ¨, ; £ ÇÍGunseres sehr einfachen Modells, keine Lösung der Einstein-Gleichung für einen Himmelskörper, dessenRadius kleiner ist .als„„c{ ¨,.á„h{ðÇyzTatsächlich gilt diese Aussage für alle realistischen, kugelförmigen Himmelskörper. Sie ist unter der BezeichnungBuchdahls Theorem bekannt. Wir werden sie hier allerdings nicht beweisen. Man muss dazu„„c{ ¨,geschickte Abschätzungen in der Differentialgleichung (15.43) vornehmen, um so zu zeigen, dass derDruck stets an irgendeiner Stelle unendlich wird, wenn ist.Die absolute Grenze, die durch den gesetzt wird, ist ohnehin vonderÇÈGmöË„„c{Schwarzschild-RadiusÇzgrößerer Bedeutung. Sie ist unabhängig von irgendwelchen Zustandsgleichungen für die Materie im Stern,denn sie beruht einzig und allein auf der Lösung der Einstein-Gleichung außerhalb des Himmelskörpers.Mit ihr, und wie wir sie inden dennoch fortsetzen können, werden wir uns ausführlichin Kapitel 18 auseinandersetzen.¨, „öË„ð¨ Bereich§Aufgabe 15.14 ParameterÇ Der Gist der Oberflächenradius des Sterns, das heißt seine Oberfläche ist eineSphäre mit den Flächeninhalt;=ÇG&. Man berechne den ŸDurchmesser des Sterns, also die Länge einerGeodäte, die zwei gegenüberliegende Punkte auf der Oberfläche miteinander verbindet. Ist der Durchmessergrößer oder kleiner als erwartet? Was bedeutet das anschaulich für die Geometrie des Raumesinnerhalb des Sterns? Wie groß ist das ¢ Volumen des Sterns? Ist es größer oder kleiner als das Volumeneiner Kugel mir derselben Oberfläche im Euklidischen Raum?Aufgabe 15.15 In der Darstellung der Funktion in Abbildung bei§15.1 ist ein Knick zusehen. Wodurch ist dieser Knick bedingt? An welcher Stelle muss man das Modell ein wenig realistischergestalten, um den Knick zu entfernen?Ç|G `32§5Aufgabe 15.16 Wie groß ist die “Erdbeschleunigung”‚, die ein ruhender Beobachter auf der Oberflächedes Himmelskörpers spürt, ausgedrückt durch undÇG. Wie groß ist sie in der Newtonschen Theorie?Wenn wir die Erdmasse mit Hilfe der Newtonschen Formel aus dem RadiusÇ|Gund dergung‚Erdbeschleuni-bestimmen, wie groß ist dann der Fehler?Aufgabe 15.17 Ein sehr weit entfernter Beobachter misst das Spektrum eines leuchtenden Sterns, derrelativ zu ihm ruht. Er findet die typischen Absorptionslinien von Wasserstoff, der sich offenbar in derSternatmosphäre befindet. Eine Linie, die normalerweise WellenlängeTG die hat, wird jedoch bei einerMan bezeichnet das VerhältnisWellenlängeT£sieht, welchen Schluss muss man daraus ziehen?als den Rotverschiebungsfaktor. dass› Man zeige, ist.287„ öWenn man im Universum mit› Sterne „ £(15.59)T TG TG ›

16 Planetenbahnen und LichtablenkungNachdem wir nun das Gravitationsfeld eines Sterns berechnet haben, wollen wir als nächstes die Bahnenvon anderen Körpern in diesem Feld bestimmen. Ein anderer Körper kann ein Planet sein, der den Sternumkreist, oder ein Komet, der aus dem unendlichen kommt und auf den Stern zu fällt. Solange ein solcherKörper klein im Vergleich zum Stern ist, können wir ihn als einen Testkörper betrachten. Seine Weltlinieist dann eine zeitartige Geodäte in der Schwarzschild-Metrik aus dem letzten Kapitel.Bevor wir die diese Metrik einsetzen, werden noch ein paar allgemeine Überlegungen zur Geodätengleichungin einer gekrümmten Raumzeit durchführen. Insbesondere werden wir eine Verallgemeinerung desNoether-Theorems aus der klassischen Mechanik beweisen. Anschließend können wir mit dessen Hilfeauf einfache Weise die Bewegungsgleichungen für einen Testkörper in der Schwarzschild-Metrik aufstellenund deren Lösungen diskutieren. Wir werden dabei feststellen, dass die allgemeine Relativitätstheoriean der einen oder anderen Stelle eine Abweichung von den Keplerschen Gesetzen für die Planetenbahnenvoraussagt.Eine solche Abweichung, für die es keine Erklärung gab, wurde sogar schon lange vor der Veröffentlichungder allgemeinen Relativitätstheorie beobachtet. Wegen der Störungen durch die anderen Planetenist die Bahn eines Planeten normalerweise keine perfekte Ellipse. Statt dessen kommt es zu einer Perihelverschiebung,das heißt der sonnennächste Punkt einer Planetenbahn wandert bei jeder Umdrehung um einkleines Stück weiter. Durch eine Störungsrechnung lässt sich diese Perihelverschiebung für jeden Planetenim Rahmen der klassischen Mechanik berechnen.Für den Planeten Merkur fand man eine Abweichung zwischen der berechneten und der beobachtetenPerihelverschiebung von etwa;H{{pro Jahrhundert, also eine sehr kleine, aber durchaus messbare Abweichung.Die einzige Erklärung, die man in der klassischen Mechanik hatte, war anzunehmen, dass esnoch einen weiteren, bisher unbekannten Planeten gibt. Umso erstaunlicher war es, dass die allgemeineRelativitätstheorie genau diesen Wert ohne weitere Annahmen vorhersagte.Eine weitere Voraussage der allgemeinen Relativitätstheorie ist, dass ein Lichtstrahl, wenn er die Sonnenahe der Oberfläche passiert, um einen charakteristischen Winkel abgelenkt wird. Dieser Winkel weichtum einen Faktor zwei von dem Winkel ab, den die Newtonsche Theorie des Lichts als Strom von klassischenTeilchen vorhersagt. Auch dieser Winkel ist mitH´{H{{sehr klein, aber für ein gutes Teleskop lag erauch schon von hundert Jahren im Bereich des messbaren. Man benötigt aber eine Sonnenfinsternis, umeinen Lichtstrahl zu fotografieren, der gerade an der Sonnenoberfläche vorbei gelaufen ist.Das erste Experiment, oder besser die erste Beobachtung, die zur Bestätigung oder Widerlegung der allgemeinenRelativitätstheorie durchgeführt wurde, war deshalb eine Expedition zu einer Sonnenfinsternisvor der Westküste Afrikas im Jahre 1919, um dort die Ablenkung des Lichts von einem fernen Stern ander Sonne nachzuweisen. Auch dieses Experiment bestätigte die allgemeine Relativitätstheorie in vollemUmfang.Isometrien und ErhaltungssätzeDoch wie gesagt, bevor wir zu diesen ersten Beobachtungen kommen, die die allgemeinen Relativitätstheoriebestätigten, wollen wir ein paar allgemeine Aussagen über Geodätengleichungen machen. Wennwir in der klassischen Mechanik Bewegungsgleichungen lösen, ist das Noether-Theorem oft sehr nützlich.Es besagt, dass zu jeder Symmetrie eines dynamischen Systems eine Erhaltungsgröße gehört. Ein solchesTheorem gilt natürlich auch in der allgemeinen Relativitätstheorie. Wir wollen es hier kurz darstellen undbeweisen.Das mechanische System, dass wir untersuchen wollen, ist ein frei fallendes Testteilchen in einer gegebenenRaumzeit§ . Die Metrik‚Lg`liegt also fest, und wir untersuchen die Geodäten dieser Metrik,auf denen sich frei fallende Teilchen bewegen. Wie wir wissen, können wir die Weltlinien solcher Teil-288

\\\\b\bTÉ(16.3)Td>d¼` < (16.6)chen aus einem Wirkungsprinzip ableiten. Wir stellen die Weltlinie Funktion^als eine 2Z5dar,HilfsfunktionÌ2Z5führen eineein, die später die Parametrisierung der Weltlinie bestimmt, und definieren eineLagrange-Funktion£ 5 TL \ ^ 2Ì^(16.1) Ì \ Dies ist die Übersetzung der Lagrange-Funktion (5.45) für ein freies Teilchen in einer gekrümmten Raumzeit.Ein freies Teilchen ist demnach in der allgemeinen Relativitätstheorie ein Teilchen, dass nur dasGravitationsfeld sieht, aber sonst keine Kräfte spürt.¦½& Ì„ T` ‚La` „ \Wir hatten in Kapitel 10 auch schon gezeigt, dass dieses Wirkungsprinzip auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeitauf die Geodätengleichung führt, und dass die HilfsfunktionÌ2Z5,die wir Einbein genannthaben, genau wie in der flachen Raumzeit angibt, wie schnell die Eigenzeitª«2Z5als Funktion des Kurven-vergeht.Es ist an dieser Stelle nützlich, die Bewegungsgleichungen in einer etwas anderen Form zu schreibenparametersZals sonst. Wir definieren zuerst Impuls¼Lden des Teilchens als die Ableitung der Lagrange-Funktion nachTL,der Geschwindigkeit\(16.2)Dabei offenbar als ein dualer Vektor definiert. Das wollen wir im folgenden auch so belassen, dasheißt werden den Index nicht nach oben ziehen. Als Bewegungsgleichung finden wir dann¼L TL wird¼Lbb Ì ‚Lg` \ TL bTL L‚dÉ TdNun benutzen wir, dass die Metrik kovariant konstant ist, also\ \ Ì „ ¼L(16.4)bDamit können wir die Ableitung der Metrik durch das Christoffel-Symbol auszudrücken. Das ergibtf `L±d‚ɵ` Ä „ L‚dÉ >L‚dÉDiese Gleichung können wir auch wie folgt schreiben, Ì Ä `Lgd‚`É \ Td \ TÉ Ä `Lgd¼` \ ¼LTd(16.5)Td>dfür die kovariante Richtungsableitung entlang der Weltlinie steht. In dieser Form besagt dieBewegungsgleichung, dass der Impuls kovariant konstant ist.wobei\Schließlich müssen wir die Lagrange-Funktion (16.1) noch nachÌ2Z5ableiten. Das ergibt als zusätzlicheBewegungsgleichung die Nebenbedingung Ä `Lgd¼` \ Td \ ¼L(16.7)\ TL \ T` j „ ¦ & f B ‚Lg`¼L¼` x ¦ &Insgesamt bekommen wir den folgenden Satz von Bewegungsgleichungen,Ì&‚Lg` „(16.8)Aus der ersten Gleichung entnehmen wir, dass das EinbeinÌ2Z5, das wir beliebig als Funktion des KurvenparametersZTLvorgeben können, die Parametrisierung der Weltlinie bestimmt. Es gibt an, wie schnell dieKurve als FunktionfÌdurchlaufen wird. Der Impulsvektor gibt an, in welche Richtung die Weltlinie¦½& ‚La`¼L¼` ¼L Td>d\ \ ‚Lg`¼`vonZ289

\ª \C« ž¨L¼L(16.10)Td>dª (16.11)TL >d¨L S(16.12)verläuft, und diese Richtung ist kovariant konstant. Also ist die Weltlinie ein Geodäte. Und schließlichhängt Masse¦ es von der ab, ob die Weltlinie lichtartig oder zeitartig ist. Soweit ist das natürlich nichtsneues.Jetzt wollen wir annehmen, dass die Raumzeit eine Symmetrie besitzt, zum Beispiel eine TranslationsoderRotationssymmetrie. Dargestellt wird eine solche Symmetrie, wie wir aus Kapitel 12 wissen, durcheine Isometrie, ¡also eine Abbildung , unter der die Metrik invariant ist. Die Gruppe allersolchen Abbildungen ist die Isometriegruppe ¢¤£W¥|2]§5. Sie ist eine Lie-Gruppe, und die zugehörige Lie-Algebra ist die Algebra der Killing-Vektorfelder.Ein Killing-Vektorfeld ¦¿§B§war durch die Eigenschaft definiert, dass die Lie-Ableitung derMetrik verschwindet, §€§‚Lg`auf§(16.9)Es sei alsoein Killing-Vektorfeld , das zu irgendeiner einparametrigen Untergruppe der Isometriegruppegehört. Wir wollen zeigen, dass dann der¦©¨d>d‚La`PjSkalar>`¨L Y>L¨`–j >`¨d‚Lgd >L¨d‚d_`–jauf§¦eine Erhaltungsgröße ist. Die Komponente des Impulses in Richtung des Killing-Vektors ist also entlangder Weltlinie des Teilchens konstant.Der Beweis ist ganz einfach. Wir müssen nur die Ableitung von entlang der Weltlinie ausrechnen. Wirschreiben die Ableitungªhwieder in der Formª nachZwobei die kovariante Ableitung jetzt einfach die gewöhnliche Ableitung ist, da sie auf einen Skalar wirkt.Setzen wir die Definition von ein, so ergibt sichª \Hier haben wir zuerst die Bewegungsgleichungen wonach¼Lverwendet, kovariant konstant und proportionalanschließend die Eigenschaft der kovarianten Ableitung, dass wir darunter beliebig Indizeszu\hoch und runter ziehen können, und schließlich die Eigenschaft von ¨L, ein Killing-Vektor zu sein. Haltenwir also fest:\ Td>d2¨L¼L5 \ Td¼L >d¨L Ì \ Td \ªhTL ist,Zu jeder Symmetrie der Raumzeit gehört ¦ ein Killing-Vektorfeld , sowie eine Erhaltungsgrößež¨L¼L.Das ist das Noether-Theorem für ein Testteilchen in einer gekrümmten ª Raumzeit.Als Beispiel wollen wir eine Raumzeit betrachten, in der die Metrik in einem ausgewählten Koordinatensystem2)4N5nichtvon der Koordinate)abhängt, wohl aber von drei anderen Koordinaten4N. Wennwir ferner annehmen, ist, dann ist eine Kurve const eine zeitartige Weltlinie, und wirkönnen)als eine Zeitkoordinate interpretieren. Wir nennen eine solche Raumzeit dann stationär.mit4N dass‚MºMöAufgabe 16.1 Man gebe ein Beispiel für eine stationäre Raumzeit, die aber nicht statisch ist, deren Metrikalso nicht von der Form (15.1) ist. Welche zusätzliche Bedingung muss eine stationäre Raumzeit erfüllen,damit sie auch statisch ist?Aufgabe 16.2 Die Begriffe “stationär” und “statisch” sind auch aus der Hydrodynamik bekannt. Wannist die Strömung einer idealen Flüssigkeit stationär, wann statisch? Was bedeutet das für die Komponentendes Energie-Impuls-Tensor? Man vergleiche dies mit der entsprechenden Aussage über die Komponentender Metrik in einer stationären bzw. statischen Raumzeit.290

¬¦ÎM B ¨M ¨NS(16.13)‚La`qLq` *…H(16.15)Die Metrik einer stationären Raumzeit hängt also nicht von Zeit) der ab. Folglich ist jede Abbildungauf sich selbst eine Isometrie, wenn eine Konstante ist. Das ist eineeinparametrige Gruppe von Diffeomorphismen. Das zugehörige Killing-Vektorfeld ist2)4N5˜ 2)j 4N5der RaumzeitDaraus folgt unmittelbar, dass ¼Meine Erhaltungsgröße ist. Die Zeitkomponente des Impulses istentlang der Weltlinie konstant ist.Intuitiv würden wir sagen, dass dies wohl die Energie des Teilchens sein muss. Denn zu einer Zeitverschiebungals Symmetrie gehört die Energie als Erhaltungsgröße. Und war nicht die Energie die Zeitkomponentedes Impulses? Es ist nicht ganz klar, was nun eigentlich die Energie ist, denn¼Mist nicht dasselbewie¼M,und letztlich hängt die Energie eines Teilchens ja auch vom Bewegungszustand des Beobachtersab.Erinnern wir uns kurz daran, dass physikalische Größen, die durch eindeutige Messvorschriften ¨L¼Ldefiniertsind, stets Skalare sind. Wir hatten dies im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie unter anderem bei derHerleitung des Doppler-Effektes und der Aberation von Lichtstrahlen am Ende von Kapitel 4 verwendet.So war zum Beispiel die Energie, die ein Beobachter, der sich mit ¬einer 4-Geschwindigkeit durch dieRaumzeit bewegt, bei einem Teilchen mit Impuls misst, durch Skalary den gegeben.C«Dasselbe gilt gemäß unserer Übersetzungsvorschrift auf einer gekrümmten Raumzeit. Allerdingsmüssen sich Beobachter und Teilchen jetzt an derselben Stelle in der Raumzeit befinden. Sonst ist einerseitsdie Messung physikalisch nicht möglich, andererseits aber auch das ¬« Skalarprodukt¬nicht definiert.Also nehmen wir an, ein Beobachter ruhe relativ zu dem Koordinatensystem2)4N5, und das Teilchenkommt an dieser Stelle vorbei. Dann gilt für die 4-Geschwindigkeit ¬ des Beobachters, wie man sich leichtüberlegt,‚Lg`qL¼`C« ƒ ‚MºMÎM B qM Denn dann ist ¬ der Tangentenvektor einer Weltliniemit4Nund¬¬ƒ ‚MºM qN

¦­#4 ÎSç š ÎSæ B ¨M ¨æ x š8 ¨ç 4 ¨ž < (16.17)¦Îb&Îb 4 ¼ç š¼æ(16.23)Aufgabe 16.3 Warum ist es in (16.13) wichtig, dass die Indizes oben stehen? Warum ist das Vektorfeld mitden Komponenten und kein Killing-Vektorfeld, und folglich¼Mkeine Erhaltungsgröße?¨N ¨MEine weitere wichtige Erhaltungsgröße ist der Drehimpuls in einer rotationssymmetrischen Raumzeit. Betrachtenwir eine Raumzeit mit den Koordinaten2)4©š8œ›5, und nehmen wir an, dassein Killing-Vektorfeld ist. Dann können wir sagen, dass die Raumzeit eine Rotationssymmetrie besitzt.Die zugehörige einparametrige Gruppe von Isometrien, also der Fluss des Killing-Vektorfeldes ist(16.18)Was ist dann die zugehörige Erhaltungsgröße? Es ist offenbarÞ_ßÕà 4 j ãaäÞ š8 › ˜ › ˜ š š6 Þ¥ßáà 4 ãaäÞ 4½˜ ) ˜ )(16.19)also das, was wir normalerweise als die›-Komponente des Drehimpulses bezeichnen würden. Auch hierist es wieder wichtig, dass die Indizes­,©¨L¼L in (16.19) unten stehen. Sonst ergibt sich keineErhaltungsgröße. Aus den Komponenten¼æund¼çdes Impulses können wir keine Erhaltungsgröße bilden.4 ¼ç š¼æbei¼æund¼çWenn eine solche Rotationssymmetrie vorliegt, können wir stets eine Koordinatentransformationdurchführen,(16.20)§ Þ_ßÕà \P š ãaäHÞ\P § 4so dass der Killing-Vektor und folglich auch der Drehimpuls in diesen Koordinaten eine einfache Darstellunghat,­, ¼b(16.21)Der Drehimpuls ist also einfach die Komponente¼b , so wie die erhaltene Energie in einer stationärenRaumzeit die Komponente¼Mdes Impulses ist. Der Grund ist in beiden Fällen der gleiche. Eine rotationssymmetrischeMetrik hängt nicht von \ ab, genau wie eine stationäre Metrik nicht von)abhängt, undfolglich sind die entsprechenden Komponenten des Impulses mit Index unten erhalten.Wir erinnern in diesem Zusammenhang an Aufgabe 12.2, wo wir ganz allgemein bereits auf den Zusammenhangzwischen Killing-Vektoren und Erhaltungsgrößen auf Geodäten eingegangen waren. Dort undBinden folgenden Aufgaben wurde auch gezeigt, dass es stets möglich ist, Koordinaten so zu wählen, dass einist, \ wobei eine der Koordinaten ist. Die zugehörigegegebenes Killing-Vektorfeld von der Form ¦Erhaltungsgröße ist dann stets die Komponente¼b entsprechende des Impulses.Was die Rotationssymmetrie betrifft, so können wir das natürlich verallgemeinern. Nehmen wir an,unsere Raumzeit mit den Koordinaten2)4©š6©›5habe drei Killing-Vektorfelder, und zwar(16.22)Dann nennen wir die Raumzeit kugelsymmetrisch. In diesem Fall gibt es zu jedem der drei KillingšÎSæVektoren eine entsprechende Erhaltungsgröße, ÎSç 4 ¦ Ξ 4 ÎSæ › ¦& ÎSç › Ξ š ¦#­ ­In der klassischen Mechanik würden wir diese drei Größen zu einem Drehimpulsvektor zusammenfassen.Die Bezeichung “Vektor” ist jedoch an dieser Stelle nicht ganz zutreffend.¼ž 4 ›¼æ ›¼ç š¼ž Die Erhaltungsgrößen #, &und bilden keinesfalls die Komponenten eines Raumzeit-Vektors. Derhätte ja auch vier Komponenten. Es sind drei unabhängige skalare Größen, die entlang der Weltlinie konstantsind. Es ist sinnlos, sich den Drehimpuls als einen Vektor vorzustellen, der lokal an dem Ereignis­ ­ ­292

­#ãgäHÞ\ãaäHÞ\ãaäHÞ\P© ®±°&Þ¥ßÕà®Þ¥ßáàÞ_ßÕàÎb¼b®(16.25)Îb ¦(16.26)¼b T`(16.27)\&5v (16.28)definiert ist, an dem sich das Teilchen gerade befindet, und dort in eine bestimmte Richtung im Raumzeigt.Wenn wir den Drehimpuls als Vektor verstehen wollen, müssen wir anders vorgegen. Wir müssen dazudie Lie-Algebra betrachten, die von den Killing-Vektorfelder ¦#,¦&und ¦&aufgespannt wird. ®Als Lie-Algebra ist natürlich ein ¦ dreidimensionaler Vektorraum. Jeder Vektor repräsentiert ein Killing-¯¨L¼L,®Vektorfeld , und somit gehört ¦ zu jedem Vektor eine Erhaltungsgröße dieentlang einer Geodäte konstant ist.auf§Dadurch wird offenbar für jede Geodäte eine lineare ­ ©Abbildung definiert. Zu jeder Geodätegehört also eindeutig ein Vektor aus dem Dualraum von ­­¤¿®. Dieser Vektor ist der Drehimpulsvektor.Es handelt sich also nicht um einen Raumzeit-Vektor in irgendeinem Tangentenraum, sondern um®einen Vektor im Dualraum der Lie-Algebra, die von den Killing-Vektoren aufgespannt wird.© 2'¦5Im Sinne des Tensorkalküls sind alle Erhaltungsgrößen dieser Art Skalare, also Tensoren nullter Stufe.Das heißt, sie ändern ihren Wert nicht unter Koordinatentransformationen. Wenn Àwir zu Kugelkoordinatenübergehen,4\P › § ãaäHÞ[ (16.24)[ [dann ändert sich zwar die Darstellung der Killing-Vektoren. Wir haben diese bereits früher ausgerechnetund das Ergebnis in (12.32) angegeben,Þ_ßÕà § š Þ_ßÕà § [ ãaäHÞ\ Î] ãaähg ãaähg [Es ändert sich auch die entsprechende Darstellung der Erhaltungsgrößen, ¦& ÎbÎ] ¦# Þ¥ßÕà \\­ãgähg [ ¼] ãaähg [ ãgäHÞ\Aber dies ist eben nur eine andere Koordinatendarstellung für dieselben drei skalaren Größen #, ­ ­ ¼b­.Aufgabe 16.4 Man zeige, dass die Vektorfelder (16.25) tatsächlich mit (16.22) identisch sind.&und¼] \ Þ¥ßáà \­Aufgabe 16.5 sei^Es 2Z5eine Weltlinie eines frei fallenden Teilchens in einer kugelsymmetrischen Raumzeit.Man zeige, dass es stets möglich Kugelkoordinaten2)§[\5ist, so einzuführen, dass die ganzeWeltlinie in der Äquatorebene liegt, also alleZ gilt.[32Z5fürGenau wie in der klassischen Mechanik werden uns die Erhaltungsgrößen behilflich sein, wenn wir explizitdie Geodätengleichung für eine symmetrische Raumzeit lösen wollen. Wenn wir zum Beispiel diePlanetenbahnen im Gravitationsfeld der Sonne berechnen wollen, und für dieses die Schwarzschild-Metrikaus dem letzten Kapitel einsetzen, dann können wir sowohl die Drehimpuls- als auch die Energieerhaltung†=ÁD„verwenden.Lichtartige GeodätenGenau das wollen wir jetzt tun. Aber zuerst werden wir einen Fall diskutieren, der ein wenig einfacherist, nämlich den freien Fall eines masselosen Teilchens. Wir wollen also die Bahn eines Lichtstrahls zumBeispiel im Gravitationsfeld der Sonne berechnen.

\\\\ B§& ­(16.31)\Weltlinie^Die 2Z5wird jetzt durch die Koordinatenfunktionen)2Z5,§2Z5, [¾2Z5und 2Z5dargestellt. AusAufgabe 16.5 wissen wir, dass es genügt, eine Weltlinie in der Äquatorebene zu betrachten. Wir setzenx=ÁD„. also Dann hängt die Lagrange-Funktion nur noch von drei Koordinatenfunktionen und vomEinbein ab,(16.29)[32Z5z¬2§5 \ )&j `¾2§H5 \ §&j §& \ \ 2Ì^Ì*²Jetzt machen wir von den Erhaltungssätzen Gebrauch. Wegen der Zeitsymmetrie hängt die Lagrange-Funktion nicht explizit von)ab, und folglich ist die Energie eine Erhaltungsgröße,5 „ ^b b\&C³(16.30)¼M Ì ) \ z¬2§5yMan beachte, dass wir die jetzt wegen ihre Eigenschaft als Erhaltungsgröße Energie nennen,yobwohl sie nicht mit der lokal gemessenen Energie des Photons übereinstimmt, dessen Weltlinie wir be- Ì ) B \ z¬2§5 ) *Größeyschreiben wollen.Ferner hängt die Lagrange-Funktion nicht explizit \ von ab, und folglich ist der Drehimpuls ebenfallseine Erhaltungsgröße¼b ÌAls nächstes betrachten wir die Nebenbedingung, die sich aus der Ableitung der Lagrange-Funktion nach­,ergibt. Sie besagt, dass die Weltlinie lichtartig ist, und lautet explizitÌb b §& Ì \ 1\ \(16.32)Diese Gleichungen genügen bereits, um die Bewegungsgleichungen zu lösen. Wenn wir die Erhaltungsgrößenverwenden, können wir die letzte Gleichung wie folgt umschreiben,\&\ )E& `¾2§5 \ §&j §& \ z¬2§5(16.33) §& z¬2§5 „ &wiry Wenn und vorgeben, ist dies eine Differentialgleichung für die gesuchte Funktion§2Z5. DieLösung können wir in (16.30) und (16.31) einsetzen und erhalten so auch die gesuchten ­Funktionen)2Z5­ `32§5zÁ2§H5 „ Ì& \ §&j „ y|&und \ 2Z5.Damit die zu lösenden Differentialgleichungen so einfach wie möglich werden, machen wie von derFreiheit Gebrauch, das EinbeinÌ2Z5beliebig zu wählen, um so die Parametrisierung der Weltlinie festzulegen.setzenÌ…Wir `¾2§5z¬2§5Dann lautet die von der Funktion§2Z5zu erfüllende Differentialgleichungund aus (16.30) und (16.31) wird­„ „ \ §&j & y\ `32§5y \ )(16.34) zÁ2§H5 „§& &Das Problem stellt sich jetzt genau so dar wie ein bekanntes Problem aus der klassischen Mechanik,nämlich die Bewegung eines Teilchens der Masse Eins in einer Ebene, dargestellt in Polarkoordinaten2§\5. ErhaltungsgrößeyB´>µDie die klassische Energie des Teilchens,\ die kinetischeEnergie der Radialbewegung, und der zweite Term in (16.34) ist das effektive Potentialy(16.35)­ §& `¾2§5z¬2§5&D„ ist§&D„ ist­(16.36)& „§& z¬2§H5294 ¢W¸·U2§5

¾½ §Gu&j­2)52Z5\Gj»ºh¼ãeg\Gj»º¼ãeg)­y…&ZbewirktE(16.40)Aufgabe 16.6 Man zeige, dass sich die Bewegungsgleichung für§2Z5, die wir bis jetzt nicht explizit aufgestellthaben, tatsächlich wie folgt schreiben lässt,¹¢x §Die Radialbewegung des gesuchten Lichtstrahls gleicht also der eines klassischen Teilchens in einem Potential¢W¸·U2§5.(16.37)¸·2§H5 {Wie das effektive Potential genau aussieht, hängt davon ab, ob wir uns innerhalb oder außerhalb des Sternsbefinden. Außerhalb des Sterns, für§also müssen wir fürz¬2§5die Funktion (15.25) einsetzen. Esgilt also£Ç G,­Wir wollen zuerst den¢W¸·U2§5F„§&& Fall§Çnz„E § Dmbetrachten,¨,¨, „­(16.38)das heißt der Lichtstrahl soll weit vom SternÇÍG £ § & ¨, „§& &fürentfernt befinden. Dort können wir den zweiten§Term, der abfällt, vernachlässigen. Ferner(16.35)z¬2§5giltin Das Problem reduziert sich damit auf die Beschreibung eines freienklassischen Teilchens in einer flachen Ebene, dargestellt in Polarkoordinaten. Die Lösungen der Bewegungsgleichungensind`¾2§H5 r mitED§r.und­ D\j §2Z5wobei)Gund \Gzwei Integrationskonstanten sind. Wir können denºà )2Z5eliminieren, um zuzeigen, dass sich das Licht tatsächlich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt,y…&Z& j y|& )G Z y KurvenparameterZ&(16.39)DEDas ist eine Gerade in einer Ebene, die zum Zeitpunkt)Gdurch den Punkt mit denund \Ggeht,ºàund dort dem Ursprung am nächsten ist. Das ist auch die exakte Lösung der Bewegungsglei-Z­–Dy§GKoordinaten§Gn, chungen für also wenn gar kein Stern vorhanden ist. So sollte es natürlich auch sein, denn dannist die Raumzeit ein flacher Minkowski-Raum.Im allgemeinen erwarten wir ein Verhalten des Lichtstrahls, wie es in Abbildung 16.1 dargestellt ist.Solange der Lichtstrahl weit von dem Stern entfernt ist, bewegt er sich näherungsweise auf einer Geradenim flachen Raum. Wenn er in die Nähe des Sterns kommt, bewirkt die Krümmung der Raumzeit einAblenkung. Wenn er sich dann wieder vom Stern entfernt, wird seine Weltlinie wieder näherungsweisedurch eine Gerade im flachen Raum beschrieben. Allerdings ist die Gerade, auf der der Lichtstrahl ausläuft,nicht die Fortsetzung der Geraden, auf der der Lichtstrahl eingelaufen ist.Für einen Beobachter, der sich in großer Entfernung befindet, stellt sich die Situation so dar, dass dasGravitationsfeld des Sterns eine Ablenkung des Lichtstrahl um Winkelõeinen hat. Diese Ablenkungwollen gleich auch explizit berechnen. Doch zuerst werden wir das Verhalten von Lichtstrahlenanhand des effektiven Potentials im allgemeinen diskutieren. Es zeigt sich nämlich, dass dies nicht daseinzig möglich Verhalten eines Lichtstrahls im Gravitationsfeld eines Sterns ist.1§2)5)G2) )G5& \Aufgabe 16.7 Man zeige, Erhaltungsgrößeny dass die und mit dem in Abbildung 16.1 definiertenStoßparameter , sowie mit dem minimalen Abstand§Gwie folgt zusammenhängen,t­­(16.41) §G ­ §G §G „ ¨, 295y t

Ó‡”aÖ>¿9ÚÓ‡”GÖ>¿GÚÂscheinbare PositionMilchstraßeandere GalaxieÀÁBeobachterwahre PositionAbbildung 16.1: Durch das Gravitationsfeld der Sonne wird ein Lichtstrahl um einen Winkel ÀqÁ abgelenkt.Ein Beobachter auf der Erde sieht einen Stern, der in Wirklichkeit natürlich sehr viel weiter von derSonne entfernt ist als die Erde, um genau diesen Winkel verschoben.Der Stoßparameter t ist der Abstand des Lichtstrahles von einem parallelen Lichtstrahl, der direkt insZentrum des Himmelskörpers trifft, gemessen weit draußen, wo der Raum in ausreichender Näherungflach ist, so dass die Begriffe “parallel” und “Abstand” wohldefiniert sind und ihre übliche Bedeutunghaben. Der minimale Abstand§Gist einfach die radiale Koordinate des Umkehrpunktes2§G\G5, also nichtwirklich der metrische Abstand vom Zentrum.Um das Verhalten des Lichtstrahls im allgemeinen zu untersuchen, müssen wir uns das effektive Potentialanschauen. RadienÇ Es ist für verschiedene Gdes Sterns bei fester Masse ¢Ã¸· in Abbildung 16.2 dargestellt.Da der Ausdruck (16.38) nur von abhängt, und nur als Vorfaktor eingeht, sieht das Potential fürÇÍGimmer ­ gleich aus. ö†ÇGmüssen wir jedoch in (16.36) eine andere FunktionzÁ2§H5einsetzen.Das Potential im Innern des Sterns hängt deshalb von seiner DichteFür§ab.Wie genau, das ist im folgenden nicht wichtig. Explizite Rechnungen werden wir ohnehin nur im Außenbereichdurchführen. In Abbildung 16.2 ist jeweils das Potential dargestellt, das sich für einen Sternkonstanter Dichte ergibt, für den wir im letzten Kapitel einen expliziten§Ausdruck für diegefunden haben. Das qualitative Verhalten des effektiven Potentials ist jedoch immer£FunktionzÁ2§H5dasselbe, und nurdarauf kommt es im folgenden an.Die gestrichelte Linie gibt jeweils das effektive Potential für an, also die aus der klassischenMechanik bekannte Drehimpulsbarriere &D2W„§&5. Die Abweichung des tatsächlichen Potentials von dieserKurve ist dafür verantwortlich, dass der Lichtstrahl eine Ablenkung erfährt. Die gepunktete Linie istdie Fortsetzung derFunktion(16.38) ­ . Sie Schwarzschild-RadiusÇqz endet beim , denn diefür§Schwarzschild-Metrik nur wohldefiniert. Das ist hier aber nicht weiter von Belang, denn derfür§Stern selbst ist ja stets größer .Çnz„„c{öWie wir in Abbildung 16.2 sehen, ist die Abweichung des Potentials von der Drehimpulsbarriereklein, wenn der Stern groß ist im Verhältnis zu seinem Schwarzschild-Radius. Die Abweichung wirdalsH”„c{Çnzumso größer, je kompakter der Stern ist, und bei einemkritischenÇpassiert etwas ganzmerkwürdiges. Das Potential bildet dort einen Sattelpunkt, und sogar eine£Mulde mit einemfürÇ|GÈö

˜ŽŽ­ŽÆÈÊÉ'ËÈÊɸËÌdÍBÎŽÇÏ Œ Í’ÎŽ›Ç(a)(c)ŽÇÅ‘’‘Milchstraßeandere GalaxieÈÊɸËÈÊÉ'ËŽÒǃÑdÍ’ÎŽ›ÇÏhФÑdÍBÎ(b)(d)Abbildung 16.2: Das effektive Potential für einen Lichtstrahl außerhalb und innerhalb eines Sterns mitfester Masse Ó und verschiedenen Radien ˜ G. Für ˜Drehimpulsbarriere ab (a). Die Abweichung, und damit die Ablenkung eines Lichtstrahls, der den Sternpassiert, wird größer, wenn der Radius die Größenordnung des Schwarzschild-Radius erreicht (b). BeiG:Ô ˜ z weicht das Potential nur wenig von derBahn um den Stern laufen kann (c). ˜ Fürdie zumindest teilweise im Innern des Sterns verlaufen, das heißt das Licht ist im Stern gefangen (d).˜ ÄÕ‚ÖØ× Ó bildet das Potential einen Sattelpunkt, auf dem ein Lichtstrahl auf einer geschlossenenG›Õ˜ Ä gibt es in dem schattierten Bereich gebundene Bahnen, G’Ù’‘Å‘€ÆMinimum im Innern des Sterns.Wir können diesen kritischen Radius leicht berechnen. Da wir uns dort noch außerhalb des Sterns befinden,gilt die Formel (16.38), und folglich ist&&§¨, (16.42)­¢x ¸·2§H5 {ÇyÄOffenbar kann ein bei§Lichtstrahlbefindet, kann seinen eigenen Hinterkopf betrachten, indem der einmal um der Stern herum, zwar nichtum die Ecke, aber gewissermaßen um die Kurve schaut. Das klingt zunächst ein wenig merkwürdig. Aberwir werden im nächsten Kapitel versuchen, uns eine anschauliche Vorstellung davon zu verschaffen, wieso etwas möglich ist.Aufgabe 16.8 Man zeige, dass für einen bei§ ÇlÄ­ §|auf einer Kreisbahn umlaufen. Ein Beobachter, der sich dort ¨, j §umlaufenden Lichtstrahl ÇyÄfürgilt, und dass die Weltlinie\ y Z j )G §2Z5 ÇlÄ 2Z5297< )2Z5\Gj ƒ y ZÇlÄ (16.44)y ƒ ¨ (16.43)

von\ \ §'\'§ §&zu(16.45)tatsächlich lichtartig ist und die Bewegungsgleichungen löst.Aufgabe 16.9 Was tut ein Lichtstrahl, der mit dem Stoßparameter aufMasse zu läuft, wenn der Radius des t Ggrößer bzw. kleiner als der kritische RadiusÇjÄ ist?¨, ƒ ?SternsÇeinen Stern derAufgabe 16.10 Es sei tGder minimale Stoßparameter für einen Lichtstrahl, der die Oberfläche des Sternsnicht trifft, sondern den Stern ungehindert passiert. Man berechne als Funktion der Masse undRadiusÇGdesdes Sterns. Welche anschauliche Bedeutung hat die Größe für einen Beobachter, der den(leuchtenden) Stern aus großer Entfernung betrachtet?tG tGDa der umlaufende Lichtstrahl auf einem Potentialmaximum sitzt, ist seine Bahn offenbarinstabil. Eine kleine Abweichung bewirkt, dass der Lichtstrahl entweder nach außen entkommt oder auf dieÇlÄ bei§Sternoberfläche fällt. Nehmen wir einmal an, der Stern sei transparent, oder es handele sich gar nicht umeinen Lichtstrahl, sondern um ein anderes masseloses Teilchen, das den Stern ungehindert durchdringenkann. Dann passiert mit einem solchen Teilchen etwas sehr unerwartetes, wenn es von der instabilen Bahnnachinnen fällt.Es wird offenbar von dem Stern eingefangen. Es oszilliert in der Potentialmulde, läuft also auf einerBahn um, die teilweise innerhalb und teilweise außerhalb, oder ganz innerhalb des Sterns liegt. Wie dieBahn konkret aussieht, hängt von der Materieverteilung im Stern ab. Aber in jedem Fall ist kann einEnergieyTeilchen,dessen unterhalb der Schwelle in Abbildung 16.2(d) liegt, dem Stern nicht entkommen.Es gibt also lichtartige Geodäten, die für immer innerhalb des kritischen Radius§ö’ÇrÄbleiben.Auch das werden wir uns im nächsten Kapitel anschaulich klar machen. Wir müssen dazu jedoch erstnoch eine spezielle Methode entwickeln, um eine gekrümmte Raumzeit anschaulich darzustellen. An dieserStelle bleibt uns nichts anderes übrig als die Lösungen der Bewegungsgleichungen so, wie sie sind,hinzunehmen.Lichtablenkung an der SonneWir wollen nun den Fall betrachten, dass der Stern groß ist im Vergleich zu seinem Schwarzschild-Radius,und die Bahn eines Lichtstrahls berechnen, der den Stern nahe seiner Oberfläche passiert. Das ist genaudie in Abbildung 16.1 dargestellte Situation.Wenn der Effekt groß genug ist, dann müsste er sich ganz einfach messen lassen. Ein Beobachter, zumBeispiel auf der Erde, sieht einen Stern, der eigentlich hinter der Sonne steht, wegen der Lichtablenkungneben ihr am Himmel stehen. Der Stern scheint am Himmel eine andere Position einzunehmen, dieWinkelõumeinen der Position abweicht, an der er zu sehen ist, wenn die Sonne nicht zwischen ihmund dem Beobachter steht.Wir müssen nun die Bewegungsgleichungen explizit lösen, um Winkelõden bestimmen. Es genügtnatürlich, nur die Funktionen§2Z5und 2Z5zu \ betrachten, da wir uns nur für die Bahnkurve interessieren.Sie müssen die folgenden Differentialgleichungen erfüllen, die sich aus (16.34) und (16.35) ergeben. Wennwir die entsprechenden Funktionenz¬2§5und `¾2§5einsetzen, lauten sie11Wenn wir diese beiden Gleichungen durcheinander teilen, bekommen wir eine Differentialgleichung füreine Funktion 2§H5, \§&die die Bahnkurve beschreibt,­\ § y & ­§„E § ¨, Dñ298­ (16.46)§& Ë j „ ¨, § Ü!$#¥Ý& & ÛÚy…&

\ 2q5,§D§Gsetzen,\ 2q5¨ ,Ü!$#¥Ý&§G ²q& q!$#³ Ü!$#¥Ý&(16.48)t §G ²q& q!$#³ ²q& ˳!Ý&(16.50) \Gjߺh¼ãgãaäHÞ2EDq5j P2q5 (16.51)Die Bahnkurve des Lichtstrahls hängt also nur vom Verhältnis ab. Dieses wiederum hängt über(16.41) mit dem Stoßparameter und dem minimalen Abstand§G zusammen. Es ist an dieser Stellegünstig,§Gals Parameter zu verwenden. Die zu lösende Differentialgleichung lautet dannt­–DyWenn wirqÚvereinfacht sie sich noch ein wenig,§G '§§ '\§&D §&(16.47)§Gu& ’ñ „ ¨,E § §G §G&q'\ÞÚ˳ „ð¨Da wir diese Gleichung nicht exakt lösen können, machen wir folgende Näherung. Für einen Lichtstrahl,²q& 'qder die Sonne passiert, sicher§GsFist denn die Sonne ist sehr viel größer als ihr Schwarzschild-Radius. Da ferner beide Terme in der eckigen Klammer proportional undq zuq&sind nur Werte zwischenundåannimmt, ist der zweite Term stets sehr viel kleiner als der erste. Wir verwenden daher dieEntwicklungDas ergibtfürt5!$#¥Ý& r Ê!$#¥Ý& j „ tÊ!Ý& 2ÊF Ê(16.49)Jetzt müssen wir nur noch einen guten Ansatz für die Funktion \ ¨ ’³!$#¥Ý&j ²q&2q5 'qWir kennen die Lösungfür denn dann bewegt sich der Lichtstrahl auf einer Geraden. In diesem Fall ist die Lösung\Gj»º¼ãaãgäHÞ2EDq5. Wir machen daher den Ansatz q'\wobei \Gdie Winkelkoordinate des Umkehrpunktes in Abbildung 16.1 ist, und P2q5die Abweichung derBahn von einer Geraden im flachen Raum bestimmt. Es ist dannmachen.Ein Vergleich mit (16.50) liefert die folgende Differentialgleichung mit Anfangsbedingung für P2q5,'\q ¨, {2q5'q ²q& ˳!$#¥Ý&j q {2q5(16.52)(16.53) q!&³ ²q& ˳!Ý& P25

positivbestimmen,§G (16.55)Wenn wir das berücksichtigen, können wir aus (16.54) Winkelõdenabgelenkt wird. Es ist1um den das LichtDenn beide Äste tragen jeweils zur Hälfte zur Ablenkung Dassõbei. ist, bedeutet, dass das Lichttatsächlich zur Sonne hin abgelenkt wird. Wie man in Abbildung 16.1 sieht, legt der Lichtstrahl insgesamteinen Winkel zurück, der größer als=ist.1< (2å 5 „ ¨, §G B õ 1 ; ¨(25Aufgabe 16.11 Auch die Newtonsche Gravitationstheorie besagt, dass Licht von der Sonne abgelenktwird, wenn man annimmt, dass Licht aus klassischen, massiven Teilchen besteht, die sich mit Lichtgeschwindigkeitnach den Gesetzen der klassischen Mechanik bewegen. Man setze für ¢W¸·U2§5in (16.38) dasentsprechende effektive Potential ein und führe ansonsten genau die gleiche Rechnung durch. Man zeige,dass sich dann nur die Hälfte Ablenkwinkelõvon (16.55) für den ergibt.Die Lichtablenkung an der Sonne ist somit, wenn sie denn eine messbare Größenordnung erreicht, ein sehrguter Kandidat für einen Test der allgemeine Relativitätstheorie. Wir haben gewissermaßen drei Theorienzur Auswahl, die alle ein anderes Ergebnis liefern. Die reine Maxwellsche Wellentheorie im flachenRaum sagt voraus, dass es gar keine Lichtablenkung durch Gravitation gibt. Die Newtonsche Theorie, wonachLicht aus Teilchen besteht, die sich gemäß der klassischen Mechanik verhalten, sagt1zwar auch einegewisse Ablenkung voraus. Aber die Einsteinsche Theorie sagt die doppelte Ablenkung voraus.Jetzt müssen wir nur noch feststellen, wie groß denn die Ablenkung konkret ist. Betrachten wir denFall, dass der Lichtstrahl die also§G Sonne gerade eben passiert, der Radius der Sonne ist. DerHu{{{, Zahlenwert, der sich istõdaraus ergibt, also etwas weniger als zwei Winkelsekunden. Beieiner Brennweite des Teleskops von einem Meter entspricht das einem Abstand von einem hundertstelMillimeter in der Brennebene.Zum Vergleich, der Durchmesser der Sonne oder des Mondes beträgt etwaH{, das ist ungefähr dastausendfache. Die erforderliche Auflösung ist die, die man auch benötigen würde, um auf dem MondAbstände von etwa einem Kilometer aufzulösen. Mit einem guten Teleskop und hochwertigen PhotoplattenÇkG war das am Anfang des letzten Jahrhunderts durchaus1möglich.Das Prinzip der Messung ist in Abbildung 16.3 dargestellt. Die Idee ist denkbar einfach. Man fotografiertzweimal dasselbe Sternbild, einmal bei Nacht, und einmal, wenn die Sonne gerade davor steht. Da dieLichtablenkung mit dem Abstand des Lichtstrahls zur Sonne abnimmt, kann man die weiter weg stehendenSterne als feste Bezugspunkte verwenden und so durch Vergleich der beiden Bilder die Verschiebung derSterne in Sonnennähe bestimmen.Jetzt gab es nur noch ein Problem. Es ist gar nicht so einfach, tagsüber Sterne zu fotografieren, nochdazu solche, die unmittelbar neben der Sonne stehen. Das geht nur bei einer totalen Sonnenfinsternis.Der erste experimentelle Test der allgemeinen Relativitätstheorie bestand daher aus einer Expedition nachPrincipe Island, einer Insel im Golf von Guinea, wo am 29. Mai 1919 eine Sonnenfinsternis vor einemsternenreichen Hintergrund zu beobachten war.Das Ergebnis 1 war eindeutig. Mit einer Messgenauigkeit der berechneten Lichtablenkungan der Sonnenoberfläche, also genug, um die Newtonsche Theorie zu widerlegen, wurde dieallgemeine Relativitätstheorie bestätigt. Eine sehr viel größere Genauigkeit erreicht man auch heute nicht.Für optische Teleskope bietet eine Sonnenfinsternis noch immer die einzige Gelegenheit, eine solche Messungdurchzuführen. Aber die besten Teleskope sind fest installiert und stehen nicht zufällig da, wo geradeeine Sonnenfinsternis stattfindet.“ vonS„{{oder1 F.W. Dyson, A.S.E. Eddington, C.R. Davidson: A Determination of the Deflection of Light by the Sun’s Gravitational Fieldfrom Observations Made at the Total Eclipse of May 29, 1919, Phil. Trans. Roy. Soc. A 220 (1920) 291.300

T` Ì„ ¦½&(16.56)Milchstraßeandere GalaxieÀÁ(a)(b)Abbildung 16.3: Die Lichtablenkung an der Sonne kann man messen, indem man zwei Bilder desselbenSternbildes anfertigt, einmal bei Nacht (a) und einmal bei einer Sonnenfinsternis (b).Genauere Messungen lassen sich mit Radioteleskopen durchführen. Tatsächlich hat man eine Quelle fürRadiowellen entdeckt, einen sogenannten Pulsar, der einmal jährlich von der Sonne verdeckt wird. Da dieRadiosignale nicht vom Sonnenlicht gestört werden, kann man die Peilung jedes Jahr einmal durchführen.xH´{{{,undMan erreicht hierbei eine Messgenauigkeit von vonõMesswertesauch diese Messungen bestätigen die allgemeine Relativitätstheorie.1 etwa„{{,alsoE“desAufgabe 16.12 Haben wir nicht etwas vergessen? Wenn wir die Lichtablenkung während einer Sonnenfinsternisbeobachten, dann passiert der Lichtstrahl nicht nur die Sonne, sondern auch noch den Mond.Man berechne die zusätzliche Ablenkung, die ein Lichtstrahl dadurch erfährt, dass er auch noch den Mondpassiert.Aufgabe 16.13 War es das Sternbild in Abbildung 16.3, das auf den Fotoplatten von 1919 zu sehen war?Zeitartige GeodätenAls nächstes wollen wir die Bahnen von massiven Körpern berechnen, also die zeitartigen Geodäten derSchwarzschild-Metrik. Wir werden uns jetzt ganz auf den Bereich außerhalb des Sterns beschränken, dennes ist offenbar sinnlos, von frei fallenden, massiven Körpern im Innern eines Sterns zu sprechen.Um die Bewegungsgleichungen zu bestimmen, gehen wir wieder von der Lagrange-Funktion (16.1) aus,wobei aber¦Þàjetzt ist,2Ì^ Wir machen wieder den gleichen Ansatz. Die Weltlinie soll sich in der Äquatorebene befinden. Sie wirdist. Es gilt dann^ 5 „ Ì‚La` \ TL \also durch drei Funktionen)2Z5,§2Z5und \ 2Z5beschrieben, während\[¾2Z5Ë=ÁD„ konstant301\ ^5 „ Ì ² zÁ2§H5 \ )E&j `¾2§5 \ §&j §& \ 2Ì^\&³jÌ„ ¦ &(16.57)

\\!$#\\DDî&!$#!$#\ B\\ ¦§ E!$#§& ­(16.59)§ E\&j Ì&$¦½&(16.60)(16.63)(16.65)An der Definition der Erhaltungsgrößen ändert sich nichts. Die Energie ist analog zu (16.30)b¼M b) z¬2§5 Ì \ ) B \ ) ÌUnd dasselbe gilt für den Drehimpuls (16.31),* yb b\ \̼bNur die Nebenbedingung (16.32), die sich aus der Ableitung von\ Ì §& 1 ­,verlangt jetzt, dass die Weltlinie zeitartig ist, und lautet explizitnachÌergibt, sieht anders aus. Siez¬2§5y (16.58)Nun gehen wir genau so vor wie zuvor, setzen aber gleich die Funktionenz¬2§5und `¾2§H5für den Außenbereichdes Sterns explizit ein. Außerdem wählen wir das Einbein so, dass sich eine Eigenzeitdarstellungder alsoZ Weltlinie ergibt, Das ist, wie wir bereits wissen oder aus (16.60) ablesen können, fürder Fall. Die Gleichungen (16.58) und (16.59) lauten dannÌt*ED¦ \ TL \ T`

¢ {§ Eî&§ (16.66)(16.68)Aus der letzten Gleichung lesen wir jetzt das effektive Potential für die Radialbewegung ab,E „ ¨, „§& ¨ î&Der erste Term ist eine Konstante, die nicht weiter interessiert. Der zweite Term ist offenbar das bekannteNewtonsche Potential für ein klassisches Teilchen der Masse Eins. Der dritte Term ist wieder die ebenfallsaus der klassischen Mechanik bekannte Drehimpulsbarriere. Der letzte Term ist derselbe, der zuvor auchschon für masselose Teilchen auftrat und für§&relevant wird. Ohne den letzten Term würden sichnatürlich genau die Keplerschen Bahnen ergeben. Die Relativitätstheorie sagt also ein Abweichung vonjkleine§den Kepler-Bahnen voraus, wenn der Abstand zwischen der Sonne und dem Planeten klein ist.Auch hier wollen wir das Potential zunächst wieder qualitativ diskutieren. Wie man in leicht sieht,hängen die wesentlichen Eigenschaften des Potentials nur VerhältnisîDvon dem ab, denn die folgendeReskalierung der Parameter Koordinate§und der lassen es invariant, „ ¢W¸·U2§5Dî&Dm „𨧠j î&(16.67)Es genügt also, die Masse , und damit den Schwarzschild-RadiusÇz festzuhalten, und nurîzu variieren.§ §È˜ î ˜ î ˜Für verschiedene Werte vonî, für die sich jeweils ein anderes typisches Verhalten ergibt, istvon§das Potentialin Aufgabe 16.4 als Bereich§Funktion dargestellt. Man beachte, dass nur der relevant ist,denn nur dort ist die Schwarzschild-Metrik wohldefiniert. Es hat also an dieser Stelle keinen Sinn, dasPotential fortzusetzen, obwohl die Funktion (16.66) dortÇqznoch definiert ist.ED„.£Zunächst sehen wir, dass stets ist, und gilt DieùED„.öËÇjzÇrz ¢W'·U2§H5snach§potentielle Energie eines klassischen Teilchens, das in großer Entfernung ruht, demnachyj´>µbei§istLaut (16.63) hängt diese überyl´>µ klassische Energie mit dereigentlichen physikalische¢W¸·U2§5 ¡des Teilchens in der Raumzeit zusammen, dessen Bewegungsgleichungen wir betrachten. Dasergibt, wiefür§Šein Teilchen, das weit draußen inåRuhe ist.&5 Energiey &D2„¾¦ yerwartet,yPlanetenbahnen¦ fürAls erstes wollen wir uns fragen, ob und wo es kreisförmige Umlaufbahnen gibt. Ein Testkörper läuftgenau dann auf einer Kreisbahn um, wenn er auf einem Extremum des effektiven Potentials sitzt. Es mussalso gelten²¨, §& î&£2§ ¨ 5³Diese Funktion hat nur dann Nullstellen, wenn|§|Sie befinden sich dann an den Stellen ¨, §& îg& § j ¨, îg&¸·2§H5„ƒ ¨, ist.½ Ë„

ä ǃÏhÐ Œ Í’Îä ǃÌhФåd͒Ψä ÇçæÊÐ Œ ÍBÎéêÈèɸËÈÊɸËéê(a)(c)†î Ç †ë†íìÈèɸËÈÊɸËMilchstraßeandere Galaxieä ÇçæÊФÑdÍBÎ’‘éêéê(b)(d)†íì †ë†íì † Ž †dëAbbildung 16.4: Das effektive Potential eines massiven Teilchens in der Schwarzschild-Metrik. ï ÙðdñFürÓ (a) steigt das Potential monoton an. Für ðhñ ÖØ× Ó Ù ï Ùôó × Ó (b) bildet sich eine Mulde,Öò×in der das Teilchen oszillieren kann. ï Õ ó ×öõ Bei (c) erreicht das Maximum ” Õ beiPotentials im unendlichen. Für ï ó × Ó (d) liegt das Maximum bei ” Õ ”! ”!den Wert desdes Wertes imunendlichen. Die gestrichelte Linie ist jeweils das effektive Potential in der Newtonschen Theorie, alsoohne den ÷ ”-Term in (16.66).oberhalb§fâab. In diesem bei§Fall gibt es offenbar ein stabile, und ein instabile Kreisbahn. Wirvermuten, dass die stabile Kreisbahn die Kepler-Bahn aus der klassischen Mechanik ist.bei§Doch zunächst stellen wir fest, dass es eine untere Grenze für den Radius derstabilenKreisbahn gibt,. Das ist für§dâder Wert , der sich an§!der nämlich§dâunteren ergibt. ¨, Wennîgenau diesen Wert hat, dann hat das Potential einen Sattelpunkt und folglich ist die Bahn auch instabil. EsGrenzeîgibt also keine stabilen für§fâøšKreisbahnen. Eine solche Beschränkung gibt es in der klassischenMechanik nicht. Der minimale Radius ist gerade doppelt so groß wie der Radius der Kreisbahn, die einLichtstrahl beschreiben kann.Nehmen wir also an, wir befinden uns auf einer Kreisbahn¨, .Wie„ƒlange dauert dann ein£mit§âUmlauf? Dazu müssenwir den eines Körpers auf bei§fâder Kreisbahn kennen. Da Drehimpulsîâ¨,derAusdruck (16.68)Null ist, finden wir ¨,bei§£§dâîâ §â§Lâ ¨, (16.70)Nun hängt der Drehimpuls über (16.64) mit der Winkelgeschwindigkeit zusammen, das heißt ein Teilchen304

auf einer Kreisbahn bei§ îâ §Lâ&bewegt sich dort mit der Winkelgeschwindigkeit§dâDie Umlaufzeitªâ somit\\ ó§â¨, §â ,§â ,(16.71)¨,¨,ist(16.72)§â ªâDie„=ÁDóso berechnete Umlaufzeitªâfür dasso­dass sich eine Eigenzeitdarstellung der Weltlinie ergab. Um dieUmlaufzeit)âzu berechnen, die ein weit entfernter Beobachter misst, müssen wir wissen, wie schnell die¨,EinbeinÌKoordinatenzeit)alsèFunktion der Eigenzeitª vergeht.§â&îâ „=ist die von einer mitbewegten Uhr gemessene Zeit, denn wir hatten„=Aufgabe 16.14 Man bestimme die spezifische Energie eines Teilchens auf einer stabilen Kreisbahn bei§â § â 2eingesetzt,und zeige, dassD¦2 â §â Dm§Lâ EDaraus leite man den folgenden Zusammenhang zwischen der und der­ „ð¨ Koordinatenzeit)2»ª5¨Eigenzeitªher,\§â (16.73)§Lâ¨, (16.74)Warum ist der Zusammenhang zwischen der und der Koordinatenzeit)hier nichtgegeben? ) ­durch‚MºM2§â«5Eigenzeitª§â ,Wenn wir diese Formel verwenden und in (16.72) einsetzen, bekommen wir einen Zusammenhang zwischendem Radius§dâder Kreisbahn und der Umlaufzeit)â, gemessen von einem ruhenden Beobachter ingroßer Entfernung,(16.75)Das ist natürlich genau das Keplersche Gesetz, wonach sich die dritten Potenzen der Bahnradien wiedie Quadrate der Umlaufzeiten verhalten. Für kreisförmige Planetenbahnen gilt also in der allgemeinenRelativitätstheorie auch das Keplersche Gesetz. Allerdings gibt es eine untere Grenze für den Radius derKreisbahn.§â ; =& ¨, )â&Stabile Kreisbahnen existieren Radien§dâfürverhalten sich wie die dritten Potenzen Radien§fâder .Die Quadrate der Umlaufzeiten)â. ¨,Aufgabe 16.15 Diešinstabilen Kreisbahnen treten auf.diese Bahnen die gleiche£Beziehung zwischen Radius um Umlaufzeit besteht. Es ist gilt also¨ §! ö ¨, fürMan zeige, dass für ¨ ?die von einer mitbewegten Uhr gemessene Umlaufzeit und)! ist, die von einem ruhenden Beobachterin großer Entfernung gemessene. Was passiert Grenzfall§! im Warum geht diewobeiª!gegen Null, die Koordinatenzeit)âaber nicht?Eigenzeitªâ ; =& ¨ §!&£2§! ¨, 5 )!& ; =& ª!&¨, §! (16.76)305

§Gbegrenzt,Für das Perihel einer gilt7! stabilen Umlaufbahn. ¨, £ ¨, (16.77); ¨ (16.78)und für das Aphel gilt7â£gibt es neben den stabilen Kreisbahnen offenbar auch elliptische Bahnen, oder jedenfallsgebunden Bahnen, auf denen der Radius§zwischen zwei Umkehrpunkten oszilliert. Der Bereich, indem das Teilchen oszillieren kann, ist in Abbildung 16.4 jeweils hell unterlegt. Die Umkehrpunkte werdenin der Astronomie mitFürîì£für den sonnennächsten und Aphel7âfür den sonnenfernsten Punkt¨, „ƒPerihel7!bezeichnet. Nehmen wir also an, das Teilchen oszilliert zwischen den und7â.Welche Einschränkungen gelten dann und7â? Das hängt davonRadien7!ab, ob sich das Maximum desWertesED„ Potentials oberhalb oder unterhalb des befindet. Wie manfür7!leicht feststellt, liegt genauder Fall in Abbildung 16.4(c) vor, das heißt die Potentialbarriere nach innenbei§hat genaudie Höhe des Potentials im unendlichen. Wir müssen also nochmalzwischen zwei Fällen unterscheiden.beiîist, dann liegt der§!Fall inf;Abbildung 16.4(b) vor. Das Teilchen kannirgendwo¨,und einem äußersten Umkehrpunkt oszillieren, der uns hier nicht weiter interessiert.Wenn„ƒFür das Perihelgilt§!. Für das Aphel gilt7â‚œ§â, weil sich der äußere Umkehrpunkt immerzwischen§!außerhalb oder, für die Kreisbahn selbst, auf der stabilen Kreisbahn befinden muss. Nun ist, wie wir¨|§ ö î ö ¨, ;also7!wissen,und wie man leicht aus (16.69) entnimmt, was wir jahier annehmen. Also ist in jedem Fall§Lâ£ö fallsî £ ist§!£ ¨, ,; ¨ ,; ¨ ist,Jetzt betrachten wir FallîœdenJetzt kann das Teilchen beliebig weit nach außen schwingen, aber der innere Umkehrpunkt ist durch dender sich aus der Gleichung Die Lösung dieser Gleichung ist¢ã'·U2§H57â, also die in Abbildung 16.4(c) und (d) dargestellten Situationen.7! ; £ ¨ ; £¨,nî&j î& dies auch der Radius der instabilen Kreisbahn, das heißt in diesem Fall§G îƒ & & ¨ Ëist§Gist. Ansonsten, also , ¨, ;ist§G . Also gilt auch in diesem Fall die Einschränkung ¨,Fürî(16.77) für die Umkehrpunkte eines stabilen Umlaufbahn.Damit kommen wir zu folgendem Schluss. Es gibt keine stabilen Umlaufbahnen um einen Stern mit derMasse , die irgendwo einen Abstand;kleiner oder ganz innerhalb eines Bereichesliegen.; £ ¨, fürît£ ; §! ¨,als;¨,Punkt§ D„ ergibt.erreichen,; ¨, ,Aufgabe 16.16 Ein Körper befindet sich auf einer instabilen Kreisbahn bei§ erfährt einen sehrundkleinen Stoß nach außen, so dass er die instabile Kreisbahn verlässt. Was tut wenner,Uns was tut er im ?§!¨, ö §! ö ¨, ¨,Fall;ö §! öist?Aufgabe 16.17 Man diskutiere die Bahnen von Kometen, die aus dem unendlichen kommen. Man zeige,¨, ;dass jeder Komet, der irgendwann alsnäherund auf den Stern fällt.¨,den Stern heran kommt, unwiderruflich verloren istvon¨,Aufgabe 16.18 Eine Raumstation befindet sich in großer Entfernung zu einem Stern (Masse , RadiusÇkG), und ruht relativ zu ihm. Sie möchte ihren Müll entsorgen, indem sie ihn auf den Stern wirft. Der Müllverlässt die Raumstation mit GeschwindigkeitO einer in eine Richtung, die um einen Winkel von derVerbindungslinie zum Zentrum des Sterns abweicht. Wie genau muss der Entsorger zielen, das heißt wiegroß darf höchstens sein, damit der Müll auch sicher auf dem Stern landet? Wenn RadiusÇÈG der desSterns unbekannt ist, wie genau muss dann gezielt werden, damit der Müll ganz sicher landet?an306

zuwirdgegeneinander2»ª&52·ª#5j„= j õ 1(16.79)ÀÁª&Milchstraßeandere GalaxieAbbildung 16.5: Anders als beim klassischen Kepler-Problem sind die Umlaufbahnen der Planeten keinegeschlossenen Ellipsen. Perihel und Aphel einer Umlaufbahn verschieben sich bei jedem Umlauf umª#einen Winkel .ÀÁPerihelverschiebungBis auf die Berechnung der Umlaufzeiten waren das alles rein qualitative Betrachtungen. Es ist, andersals beim klassischen Kepler-Problem, nicht möglich, die Bewegungsgleichungen analytisch zu lösen. Wirwollen aber zum Abschluss noch eine explizite Rechnung durchführen, die mit der Eingangs erwähntenBeobachtung zu tun hat, dass die Planetenbahnen keine geschlossenen Ellipsen sind, sondern dass sich dasPerihel bei jedem Umlauf ein wenig verschiebt.Abbildung 16.5 zeigt eine schematische Darstellung dieses Vorgangs. Wir betrachten zwei aufeinanderfolgende äußere Umkehrpunkte. Im allgemeinen liegen sie nicht an derselben Stelle im Raum, sondernsind um Winkelõeinen verschoben. Wenn wir die Koordinatenfunktionen§2·ª5und \ 2»ª51betrachten, undª#undª&die Eigenzeiten der beiden äußeren Umkehrpunkte sind, so giltWährend Koordinate§2»ª5die radiale einmal in der Potentialmulde in Abbildung 16.4 hin und herschwingt, \ macht die Winkelkoordinate 2»ª5mehr alsWinkelõeine Umdrehung.Der Perihelverschiebung oder Periheldrehung genannt. In Abbildung 16.5 ist eigentlicheine Aphelverschiebung dargestellt, aber diese ist natürlich genau so groß wieUmõdie Perihelverschiebung.berechnen, müssten wir die Bewegungsgleichungen explizit lösen. Wir wollen hier nur einensehr einfachen Fall betrachten, für den wir mit einer Näherung zurecht kommen.Wir wollen den Fall betrachten, dass die Umlaufbahn nur sehr wenig von einer stabilen Kreisbahn1bei1abweicht. Wir können dann annehmen, dass Radialkoordinate§2·ª5die eine kleine harmonischeSchwingung um das bei§Potentialminimum ausführt, während sich die Winkelkoordinate so verhältwie auf der Kreisbahn. Wir entnehmen dann aus (16.71), dass der gesamte in der§ ª& ª# ª Zeitõ§Lâ§fâ307§2»ª&5 §2»ª#5 \\

pro&¨ wirdõeinfachsehrõ\ª „=§â |îâ&„ ¨, îâ&§â } ¨,(16.80)§â§â zurückgelegte Winkelõ\ wie folgt gegeben ist,j õ 1 õ ª§â¨, „=§â Es gilt alsoª Schwingungsfrequenz„=ÁDõdurch die zweite Ableitung des Potentials an dieser Stelle gegeben.wir nun die Periode einer harmonischen Schwingung um bei§das Potentialminimumeinsetzen. Da unser hypothetisches klassisches Teilchen, das dort schwingt, die Masse Eins hat, ist die§LâFürõmüssen ªD„={{§â ¨ (16.81) ¨¢„ ¨,¨,õ ª E¸·2§â«5 *§âjHier haben wir wieder den Drehimpuls (16.70) für ein Teilchen auf einer stabilen bei§Kreisbahneingesetzt. Daraus folgtõ§câEingesetzt in (16.80) ergibt sich§Lâ §â§â§â¨,§â §â (16.82) ¨, ¨, ’E (16.83)1 „= D­Die Periheldrehung ist demnach positiv, so wie in Abbildung 16.5 gezeigt, und sie wird im Grenzfallõbeliebig¨, §Lâ¤groß. Wir erinnern uns, dass dies die untere Schranke für stabile Kreisbahnen ist.Ein Körper, Stelle§dâder an einer umläuft, umkreist den Sterns sehr oft, während er einmalzwischen den Umkehrpunkten hin und her schwingt, weil das Potential in Abbildung 16.4(b) sehr flachwird.Für große§dâFrklein. Dort sind die Planetenbahnen näherungsweise geschlossenenEllipsenbahnen. Das sollte natürlich auch so sein, denn dort gilt die Newtonsche Näherung und damitgelten auch die klassischen Keplerschen Gesetze. Schauen wir jedoch etwas genauer hin, so finden wir in ¨1erster Ordnung die folgende Abweichung,in¨,Für praktische Zwecke ist es nützlich, das in KreisfrequenzóÒù eine umzurechnen, die angibt, wie schnellsich das Perihel aus der Sicht eines weit entfernten Beobachters um den Stern dreht. Wir müssen dazu nurWinkelõden Umlauf durch die Umlaufzeit)âteilen, die durch (16.75) gegeben ist,1 Dñ ¨,§â E!$#¥Ý& „= j ¨,§âB rD§â j õ 1(16.84) r ¾= ¨,§â 1 õDie Winkelgeschwindigkeit, mit der das Perihel rotiert, nimmt mit§hâ!} alsoÝ&nach außen hin sehr schnellab. Das liegt daran, dass die Umlaufzeiten der Planeten mit§â!Ý& bereits abnehmen, und zusätzlich diePerihelverschiebung pro Umlauf mit§dâ!$#abfällt.Wenn es eine Möglichkeit gibt, diesen Effekt zu messen, dann wohl eher bei einem Planeten in der Näheder Sonne als bei einem weiter entfernten. Setzen wir die Masse der Sonne und den Radius der Bahn des1)â r õMerkur ein, so ergibt füróûù sich ein Wert von;{{pro Jahrhundert. Das ist nicht gerade viel. Aber da mandie Bahnen der Planeten bereits über einige Jahrhunderte hinweg sehr genau beobachtet hat, hatte mandiesen, und zwar genau diesen Wert bereits gemessen.(16.85)5Ý&§â }Ý& 2W¨ óúù308

Wie Eingangs erwähnt, haben die Beobachtungen nämlich schon lange vor der allgemeinen Relativitätstheoriegezeigt, dass die Bahn des Merkur eine unerklärliche Perihelverschiebung proJahrhundert aufwies. Die einzige Erklärung, die die klassische Mechanik bot, war die Annahme, dass esirgendwo noch einen unentdeckten Planeten gibt.Dass die allgemeine Relativitätstheorie genau diesen Wert lieferte, trug natürlich nicht unerheblich zuihrer Anerkennung bei. Das erstaunliche an diesem Erfolg ist, dass neue Theorien sonst meist auch neueParameter enthalten, die erst angepasst werden müssen, um dann die Phänomene richtig zu erklären. Manvon;{{‘fE“stelle sich zum Beispiel ein modifiziertes Newtonsches Gravitationsgesetz mit einem zusätzlichenED§-Term im Potential vor. In einer solchen Theorie könnte die Periheldrehung auch erklärt werden.Es würde sich sogar genau das gleiche effektive Potential (16.66) ergeben, und damit genau die gleichenPlanetenbahnen. Aber der Vorfaktor desED§&-Term müsste von Hand so eingestellt werden, dass dierichtige Periheldrehung des Merkur heraus kommt. Man würde sich dann vielleicht wundern, warum derdort einzusetzende Zahlenwert gerade zufällig das Produkt aus der Gravitationskonstante, der Masse derSonne, und dem Drehimpuls des Merkur zum Quadrat ist. Aber man hätte dafür keine Erklärung.Die allgemeine Relativitätstheorie enthält dagegen nur einen einzigen freien nämlich¨ Parameter, , undder lässt sich bereits aus den Umlaufzeiten der Planeten ermitteln, so wie in der klassischen Mechanikauch. Dass sie trotzdem den richtigen Wert für die Periheldrehung des Merkur liefert, ist deshalb ein Belegdafür, dass sie der Wirklichkeit wahrscheinlich ein Stück näher kommt als eine modifizierte die klassischeTheorie. Denn sie hat weniger Parameter und damit braucht sie weniger Daten, um an die Wirklichkeitangepasst zu werden.Aufgabe 16.19 Haben wir nicht in den letzten Schritten etwas falsch gemacht? Als wir die Kreisfrequenzfür)âin (16.85) berechnet haben, haben wir die Umlaufzeit eingesetzt. Aber die Umlaufzeit ist dieZeit, die der Planet benötigt, um einmal um den Stern zu kreisen, also einen zurückóòù\zu legen. Es ist nicht die Zeit, die der Winkelõ\Planet benötigt,Winkelõum den zwischen zweiPeriheldurchgängen zurück zu legen. Eigentlich hätten wir die dafür benötigte Zeit einsetzen müssen.Warum dürfen wir an dieser Stelle trotzdem)âeinsetzen?1 õ „= „= j17 Kausale Struktur und die Geometrie des RaumesDas Ziel dieses Kapitels ist es, uns eine anschauliche Vorstellung von einer gekrümmten Raumzeit zuverschaffen. Nachdem wir im letzten Kapitel verschiedene quantitative Aussagen über das Verhalten vonLichtstrahlen im Gravitationsfeld eines Sterns und über Planetenbahnen gemacht haben, die man auchtatsächlich nachmessen kann, wollen wir jetzt versuchen, einige der qualitativen Aussagen besser zu verstehen.Warum, bei§zum Beispiel, gibt es gerade einen Lichtstrahl, der den Stern umkreist,wenn dieser nur klein genug ist? Und warum kann ein Testkörper, der von außen kommt und einmal diesenkritischen Radius unterschreitet, nie mehr zurückkommen, sondern muss unweigerlich auf die OberflächeÇnÄdes Sterns fallen? Alle diese Phänomene haben kein Analogon in der Newtonschen Gravitationstheorie.Wir wollen hier zeigen, dass sie mit der Krümmung des Raumes zu tun haben.Zunächst werden wir dazu einige aus der speziellen Relativitätstheorie bekannten Konzepte verallgemeinern,die wir später noch sehr häufig benötigen. Das wichtigste solche Konzept ist die kausale¨,Struktureiner Raumzeit, die uns sagt, welche Ereignisse mit welchen anderen Ereignissen in einer kausalen Beziehungstehen. Wir werden diese Konzepte zum Teil erst im nächsten Kapitel benötigen, wenn wir unsfragen, was eigentlich jenseits des Schwarzschild-Radius passiert, wenn der Stern über den letzten stabilenZustand hinaus weiter schrumpft.Sie führen uns aber auf eine ganz natürliche Weise zu einer anschaulichen Erklärung der oben erwähntenPhänomene, also insbesondere zu einer Erklärung des Verhaltens von Lichtstrahlen und Testkörpern in der309

þ⧠derââââ2ý5âNähe von sehr kompakten Himmelskörpern. Und sie geben Anlass zu einigen interessanten Spekulationüber die Bewohner eines solchen extremen Himmelskörpers, die die Welt ganz anders sehen würden alswir von der Erde aus.Zukunft, Vergangenheit und GegenwartEine wesentliche Eigenschaft des Minkowski-Raumes in der speziellen Relativitätstheorie war seine kausaleStruktur. Wenn wir zwei ü Ereignisse gegeben hatten, dann konnten wir fragen, ob es einen §kausalen Zusammenhang zwischen ihnen gibt oder nicht. Wir hatten gesagt, dass in der Zukunft voneýýliegt, wenn es eine positiv zeitartige Kurve ü von ý nach gibt. Die physikalische Aussage war, dass ü esdann für einen Beobachter im Prinzip möglich ist, ü vom Ereignis ý zum Ereignis zu gelangen.©Jedem Ereignis wurde so þâ2¤ü5Åÿeine Teilmenge Raumzeit zugeordnet, die aus allen Ereig-ünissen bestand, zu denen man ü von aus auf einer zeitartigen Weltlinie gelangen kann. Diese Teilmengehatten wir die Zukunft ü von genannt. Den Rand dieser Teilmenge bildete der Vorwärtslichtkegelder aus allen von ü ausgehenden Lichtstrahlen bestand. Entsprechend hatten wir die Vergangenheit þ!2¥ü52¥ü5,und den Rückwärtslichtkegel!2¥ü5definiert. Alles, was übrig blieb, war die Gegenwart ü2¤ü5. Die Bezeichnungen, , und standen für zeitartig, lichtartig, und þ raumartig.Die gleichen Definitionen können wir auch auf eine gekrümmte Raumzeit anwenden. Auch eine gekrümmteRaumzeit hat eine kausale Struktur. Man kann nicht von jedem Ereignis auf zeitartigen Kurvenzu jedem anderen Ereignis gelangen. Allerdings wird diese Struktur im allgemeinen komplizierter sein alsdie kausale Struktur des Minkowski-Raumes. Es ist nicht ohne weiteres möglich, ganz allgemein zu entscheiden,ob ein Ereignis in der Zukunft eines anderen liegt oder nicht. Im Falle der Schwarzschild-Metrikist es zum Beispiel nicht sofort offensichtlich, ob zwei Ereignisse in einem kausalen Zusammenhang stehenoder nicht, wenn wir nur deren Koordinaten kennen.Betrachten wir deshalb die Definition der kausalen Raumzeit§ Struktur einer gekrümmten etwas genauer.Der metrische EreignisV in jedem Metrik der Signatur25aufTangentenraum¯P¸§ dem . Der Tangentenraum hat also genau die gleiche Struktur wie der Minkowski-Raumes der speziellen Relativitätstheorie. Wir können an jedem lokalen Lichtkegel©f.einführen. Er besteht aus allen lichtartigenTensor‚Lg`2]Vin¯–¸§ mit‚La`OL3O"` VektorenOSL©EreignisV5definiert§ eineeinenAm besten stellen wir uns die lokalen Lichtkegel, wie in Abbildung 17.1(a) angedeutet, als kleine, anden jeweiligen Ereignissen angeheftete Doppelkegel vor. Die Gesamtheit aller dieser lokalen Lichtkegelbestimmt dann die kausale Struktur der Raumzeit. So ist zum Beispiel eine zeitartige Kurve eine, diean jedem Ereignis, durch das sie läuft, innerhalb des lokalen Lichtkegels liegt. Ein raumartige Kurveist eine, die überall außerhalb des lokalen Lichtkegels liegt, und eine lichtartige Kurve verläuft überall§tangential dazu. Wir können uns die lokalen Lichtkegel auch als eine Art Wegweiser vorstellen, die uns anjedem Ereignis sagen, in welche Richtung wir gehen dürfen und in welche nicht, wenn wir uns auf einerzeitartigen Weltlinie durch die Raumzeit bewegen.Betrachten wir nun die Menge aller von üeinem Ereignis ausgehenden zeitartigen Kurven, derenTangentenvektor bei ü positiv zeitartig ist. Diese bilden die Zukunft 2¥ü5,denn þes sind die Kurven,auf denen sich ein Beobachter, der das Ereignis ü miterlebt hat, bewegen könnte. Lokal, also in derNähe des Ereignisses ü , sieht die Teilmenge 2¤ü5so þ ähnlich aus wie die entsprechende Teilmenge imMinkowski-Raum. Sie wird durch den Vorwärtslichtkegel 2¥ü5begrenzt, der aus allen von©ausgehendenLichtstrahlen gebildet wird.ü§Über die globale Struktur dieses Lichtkegels und damit über die globalen Eigenschaften der Mengeâ2¤ü5aller Ereignisse, zu denen ü man von aus gelangen kann, lässt sich jedoch im allgemeinen wenigsagen. Es sind viele Situationen denkbar, die im flachen Minkowski-Raum nicht vorkommen. So könntees zum Beispiel sein, dass zwei Ereignisse ü und ý , wie in Abbildung 17.1(b) dargestellt, zwar einegemeinsame Vergangenheit haben, aber keine gemeinsame Zukunft, also þ¤£.2¤ü5¢¡ þ310

þü©ý¥ !Ó§¦9Úü¥ âÓ§¦9Úâü'SîU& x ')‹&j ãgäHÞ¥â&2T )5'4& (17.1)tœýzeitartig¥ âÓ§¦UÚ¥ âÓ§öÚraumartigMilchstraßeandere GalaxieÓ§¦UÚlichtartig(a)(b)Abbildung 17.1: Die kausale Struktur einer gekrümmten Raumzeit (a) ergibt sich aus den lokalen Lichtkegel.Der lokale Lichtkegel bestimmt, welche Richtungen in diesem Ereignis zeitartig, lichtartig bzw.raumartig sind. Die Zukunft ¥ âÓ§¦UÚeines Ereignisses ¦ ist die Menge aller Ereignisse, die man von ¦ ausauf positiv zeitartigen Kurven erreichen kann. Der Vorwärtslichtkegel âÓ§¦UÚbesteht aus den durch ¦ laufendenLichtstrahlen. Entsprechend sind Vergangenheit ¥ !Ó§¦9Úund Rückwärtslichtkegel !Ó§¦9Údefiniert.Die Gegenwart ©Ó§¦UÚbesteht aus allen Ereignissen, die zu ¦ keinen kausalen Zusammenhang haben. Eskann vorkommen (b), dass zwei Ereignisse ¦ und ¨ eine gemeinsame Vergangenheit, aber keine gemeinsameZukunft haben.Zwei Beobachter, die sich bei ü und ý befinden, haben dann keine Möglichkeit mehr, miteinander zukommunizieren, oder sich zu treffen. Im flachen Minkowski-Raum gibt es eine solche Situation nicht. Zuzwei vorgegebenen Ereignissen ü und ý gibt es dort immer ein Ereignis , so dass die Vektoren und beide positiv zeitartige sind. Ein solches Ereignis existiert in Abbildung 17.1(b) nicht. Wirwerden im nächsten Kapitel sehen, dass genau diese merkwürdige Situation bereits in der eigentlich sehreinfachen Schwarzschild-Raumzeit auftritt, wenn wir diese in den Bereich hinter dem Schwarzschild-Radius fortsetzen.üAufgabe 17.1 Ein einfaches Beispiel für eine andere Raumzeit, in der dieses Phänomen auftritt, ist derzweidimensionale deSitter-Raum &. Seine Metrik lautetKoordinaten sind eine Konstante ist. Man betrachte die beiden Ereignissezeige, dass genau þ dann wennÊist, ist. „=ÁDTundT£Es kann auch sein, dass sich Lichtstrahlen, die ein ü Ereignis in verschiedene Richtungen verlassen, späterwieder schneiden. In diesem Fall ist der Lichtkegelâ2¤ü5nicht mehr identisch mit dem Rand der Zukunftâ2¤ü5. Dieses Phänomen beobachtet man sogar. Es gibt Objekte, von denen sieht man am Himmel zweioder mehr Bilder. Das Licht hat also verschiedene Wege zur Auswahl, um von dort hierher zu gelangen.Der Lichtkegel dieses fernen Objektes ist dann kein einfacher Kegel mehr, sondern eine kompliziertedreidimensionale Hyperfläche in der Raumzeit, die sich selbst überschneidet.2¤ü5¡ þwobei2)465 © À & dieâ2ý52Ê"5und ý2t5. Man311

,Œ'Sî& 'S)&j '4& j 'š&j '›&(17.2)‚Lg` ó &‚La` (17.3)‚La`OLO`

©î& ãgäHÞ¥â!&2T )5'Sî& x ãgäHÞ¥â!&2T )5')&j '4&(17.6)Dasselbe gilt für raumartige und zeitartige Vektoren. Wir müssen dazu nur das Gleichheitszeichen durchein Größer- bzw. Kleinerzeichen ersetzen. Also definiert die konform MetrikŒtransformierte dieselbenlokalen Lichtkegel, und damit dieselbe kausale Struktur wie die echte Metrik‚La`.Eine Kurve, die bezüglich der echten Metrik zeitartig, raumartig bzw. lichtartig ist, hat dieselbe Eigenschaftbezüglich der konform transformierten Metrik. Was sich ändert, sind nur die Längen der Kurven,bzw. deren Eigenzeiten. Aber solange wir nur fragen, ob es möglich ist, von einem Ereignis zu einemanderen zu gelangen, uns aber nicht dafür interessieren, wie lange es dauert, dorthin zu gelangen, müssen‚La`wir die Länge einer Kurve nicht kennen. Wir halten also fest:Die kausale Struktur einer Raumzeit ist unter konformen Transformationen der Metrik invariant.Tatsächlich sind die konformen Transformation genau die Transformationen der Metrik, die die kausaleStruktur einer Raumzeit invariant lassen. Wir werden das hier aber nicht explizit beweisen, denn es istim folgenden unerheblich. Wichtig ist nur, dass die kausale Struktur unter konformen Transformationeninvariant ist.Aufgabe 17.3 Der Beweis Vektorraum¹ kann zunächst auf einem geführt, und von dort aufMannigfaltigkeit§die Tangentenräumeseien‚La`undŒeiner übertragen werden. Es zwei Metriken der Signaturf5auf einem -dimensionalen . Sie sollen die Eigenschaft haben, dass jeder Vektorder bezüglich‚Lg`lichtartig ist, auch ‚Lg`lichtartig ist, das heißt es gilt (17.5). Man zeige,2 Vektorraum¹dass es dann‚Lg`eine positive gibt, so dass Zahló (17.3) gilt.bezüglichŒ¹ ,Was ist nun der Sinn dieser Überlegung? Nehmen wir an, wir hätten eine Raumzeit mit Metrik‚La`einergegeben, und wir wollen deren kausale Struktur analysieren. Dann können wir die Metrik möglicherweisedurch eine einfachere Metrik ersetzen, indem wir ein Feldó skalares geschickt wählen und eine entsprechendekonforme Transformation durchführen. Die kausale Struktur der Raumzeit bleibt davon unberührt.Wir können also ebenso gut die kausale Struktur analysieren, die MetrikŒ zur ‚La`gehört. Wir werden späteran vielen Beispielen sehen, wie nützlich diese Eigenschaft ist.Aufgabe 17.4 Um die kausale Struktur des zweidimensionalen deSitter-Raumes aus Aufgabe 17.1 zu analysieren,führen wir eine konforme mitó Transformation Das konform transformierteLinienelement lautet dannãgäHÞ¥â2T)5durch.Durch eine geeignete Koordinatentransformation2)465ð˜Œ2Œ '495lässt sich dies auf die Form(17.7)bringen. Man finde die Koordinatentransformation, zeichne ein Bild von dieser Raumzeit mit der konformtransformierten Metrik, und erkläre anhand dieser Darstellung, warum es in der Raumzeit Ereignisse gibt,die keine gemeinsame Zukunft haben.4&)Œ Œ î& 'Œ )&j ' Œ 'Lichtartige GeodätenUm deutlich zu machen, dass bei einer konformen Transformation nicht alle geometrischen Eigenschafteneiner Raumzeit erhalten bleiben, betrachten wir Geodäte^eine 2Z5bezüglich der Metrik‚Lg`, dargestelltals Funktion irgendeines KurvenparametersZ. Wir wollen zeigen, dass diese Kurve im allgemeinen keineGeodäte bezüglich der MetrikŒtransformierten ist. ‚La`313

¹(17.8)L`¥d \ T` \ Td Ì!$# \ Ì \ TL ‚La` \ TL \ T` *kÌ&8¦½& jËÄ TLÄ L`¥d ¹j Œ Ä L`¥d \ TL¹j Œ TLbezüglichŒbbbb bb d‚É`TL(17.10)Td * ó !&Ì&$¦½&(17.11)Wir schreiben dazu die Geodätengleichung in der Form auf, wie sie sich als Bewegungsgleichung fürein Teilchen der Masse¦ aus der Variation der Lagrange-Funktion (16.1) ergibt,Wir betrachten hier nur zeitartige und lichtartige Geodäten. Für raumartige Kurven wir¦ müssten &durcheine negative Zahl ersetzen, ansonsten gilt für sie das gleiche.istÄHier L`_dwie üblich das aus Metrik‚La`der gebildete Christoffel-Symbol, welches auch die kovarianteAbleitung>Lbezüglich der Metrik‚La`definiert. Kurve^Eine 2Z5, die diese Gleichung für irgendeineist demnach eine Geodäte bezüglich der Metrik‚La`. Wir wollen zeigen, dassdies im allgemeinen keine Geodäte bezüglich MetrikŒ der ist. ‚Lg`erfüllt,£ FunktionÌ2Z5Wenn wir die Definition (10.60) des Christoffel-Symbols und die Beziehung (17.4) zwischen den beidenMetriken verwenden, dann bekommen wirwenn der konforme Faktoró konstant ist.In diesem Fall ist die konforme Transformation einfach eine gleichmäßige Streckung der gesamtendasdó Œ É óëŒ ŒRaumzeit um den Faktoró. Es ist klar, dass dann die Geodäten bezüglich derÄauch GeodätenL`¥dMetrik‚La``‚oÉd j‚LÉ „²2 !&¾Œ ‚LÉ ó „‚Éd5j `2.ó–&¾ŒÉŸ‚`¥d5 b‚`¥d5³ É$2»ó–&£Œ ‚oÉ`5 d2»ó–&£Œ‚`¥d(17.9)Hier istŒL`¥d¾j !$#bj !$#baus der!$#bChristoffel-Symbol, das offenbar nur dann`ó @L`ó @Ldó ‚LÉóL`¥dgleichÄMetrikŒÄist,gebildetebezüglich‚La`der sind. Wenn die Längen aller Kurven mit einem konstanten Faktor multipliziertwerden, dann ist eine Kurve maximaler Eigenzeit bezüglich der einen Metrik auch eine Kurve maximalerMetrikŒEigenzeit bezüglich der anderen Metrik.Interessant ist eine konforme Transformation also nur, wenn der‚Lg`konforme nicht konstant ist.Die Ableitung>kovariante der Metrik‚Lg`unterscheidet sich dann von der kovarianten Ab-Faktoró>`bezüglich der ‚Lg`, und somit definieren beide Metriken unterschiedliche Geodäten. Wirsehen das, wenn wir (17.9) in die Geodätengleichung (17.8) einsetzen. Für eine Geodäte^2Z5bezüglichMetrikŒLder gilt dannMetrik‚Lg`leitungŒ\ \ \ Um zu sehen, dass!$#bdas nicht die GeodätengleichungT` \ Td Ì!$# \ Ì \ T` `ó \ ‚`_d ÉŸóëŒ ‚LÉó Œ TL T`T`bezüglichŒist, formen wir die Gleichung noch einwenig um. Wir schreiben\die Ableitung des konformen Faktors entlang der Kurve, undbringen diesen Term auf die rechte Seite. Ferner verwenden wir die zweite Gleichung in (17.8), um denletzten Term auf der linken Seite zu vereinfachen. Es ist nämlich‚La`Td j „3ó !$#bDie Gleichung (17.10) lässt sich damit wie folgt schreiben,\ T` \ Td ó !&[‚`¥d \ T` \ ‚`¥dó \`ó fürDa wir das Einbein ohnehin frei wählen können, ersetzen wir die positive FunktionÌ2Z5durch eine andereÌ2Z5, positive und zwar so, dass(17.13)FunktionŒÌL`¥d T` \ Td 2Ì!$# \ Ì… „3ó !$# \ ó 5 \ TL Ì&$¦½& !bŒ ‚La`ó \ Äó–& Œ314Ìû`ó (17.12)

¹j Œ Ä L`¥d \ T` \ Td Œ TL\ ^ 5 „ Ì ‚Lg` \ TL \ 2Ì^b(17.15)T`(17.16)T`Setzen wir das in (17.12) ein, so ergibt sichOhne den letzten Term auf der rechten Seite wäre dies die Geodätengleichung bezüglich MetrikŒ der ‚La`. Erverschwindet nur, wenn der Faktoró konforme konstant ist. Also sind die Geodäten bezüglich der Metrikdann mit den MetrikŒGeodäten bezüglich der identisch, wenn die konforme TransformationEs gibt aber eine Ausnahme. ist, also die Geodäte lichtartig ist, dann ist der letzte Termgleich Null. Folglich ist jede lichtartige Geodäte bezüglich der‚Lg`auch eine lichtartige GeodäteWenn¦bezüglichCder ‚Lg`. In einer konform transformierten Raumzeit sehen also nicht nur die Lichtkegelgleich aus. Es ist darüber hinaus auch so, dass sich jeder einzelne Lichtstrahl in der transformiertenMetrik‚La`MetrikŒRaumzeit genau so verhält wie in der eigentlichen Raumzeit.Den Beweis dafür hätten wir übrigens auch einfacher haben können. Wenn wir uns die Lagrange-Funktion Geodäte^für eine Metrik‚La`lichtartige 2Z5bezüglich der anschauen,\ Œ Ì \ TL Œ Ì&$¦½& Œ ‚La`ó Ì!$#nureine Streckung der Raumzeit um einen konstanten Faktor ist.‚Lg``ó (17.14)sowie die Lagrange-Funktion für eine Geodäte^lichtartige 2Z5bezüglich MetrikŒ derEinbein mitŒ jetztÌ2Z5bezeichnen,‚Lg`, wobei wir dasÌ2Z5undso finden wir, dass die beiden Lagrange-Funktionen identisch sind, wenn HilfsfunktionenŒwir dieÌ2Z5gemäß (17.13) identifizieren,Ì^ \ ^ 5 „ Œ Ì Œ ‚Lg` \ TL \ Œ2Œ(17.17)Also liefern beide Lagrange-Funktionen dieselben Bewegungsgleichungen, und somit dieselben lichtartigenGeodäten.\ ^ 5Wir finden also, dass nicht nur die kausale Struktur einer Raumzeit unter konformen Transformationeninvariant ist, sondern sogar jeder einzelne Lichtstrahl in der konform transformierten Raumzeit das gleicheÌû Ì 2Ì^ 5 ^ \ Ì^ Œ2Œ BVerhaltenŒ ó–&zeigt.Das Verhalten von Lichtstrahlen ist unter konformen Transformationen der Metrik invariant.Aufgabe 17.5 Im Umkehrschluss heißt das, dass wir allein aus der Kenntnis der lokalen Lichtkegel aufdie Weltlinien von Lichtstrahlen, also auf die lichtartigen Geodäten schließen können. Man mache sichanschaulich klar, woran das liegt, und warum eine solche Schlussfolgerung für raumartige und zeitartigeGeodäten nicht gilt.Aufgabe 17.6 Dass sich Licht auf lichtartigen Geodäten ausbreitet, ist natürlich nur eine idealisierte Vorstellung.Die gemachten Aussagen lassen sich aber präzisieren. Licht ist eine elektromagnetische Welle,die durch die Maxwell-Gleichungen im Vakuum beschrieben wird, also durch ein antisymmetrisches Tensorfeldzweiter Stufe¡Lg`mit(17.18)cMan zeige, dass diese Feldgleichungen unter der folgenden Transformation invariant sind,< Lg` >L¡ L¡`¥d%ef >!| (17.19)Mit anderen Worten, wenn ein Feldstärketensor¡La`die Maxwellgleichungen erfüllt, dann tut er dies auch ó Œ ¡ Lg`dann noch, wenn wir die Metrik konform transformieren. Licht als elektromagnetische Welle verhält sichin einer konform transformierten Raumzeit genau so wie in der wirklichen Raumzeit.Lg` ¡ ‚Lg` !&¾Œ ó ‚Lg` B ¡La` Œ ¡La` ‚Lg` ó–&£Œ ‚La`315

4gegeben.4kein4zusammenfassen.465'S)& (17.20)Aufgabe 17.7 Wir hatten am Ende von Kapitel 4 gezeigt, dass man das Bild, das sich einem Beobachterin der Raumzeit darstellt, im Prinzip aus den Wellenvektoren der Lichtwellen, die auf ihn zu laufen,und seiner ¬4-Geschwindigkeit rekonstruieren kann. Die entscheidenden Formeln waren (4.88) für diewahrgenommene Frequenz und (4.93) für den Winkel, den der Beobachter zwischen zwei einlaufendenWellen wahrnimmt.Auch in einer gekrümmten Raumzeit können wir in einer genügend kleinen Umgebung eines Ereignissesdie allgemeine Lösung der Maxwell-Gleichungen als eine Überlagerung von ebenen Wellen schreiben.Befindet sich der Beobachter an einem solchen Ereignis, so gelten demnach die gleichen Formeln für diewahrgenommenen Frequenzen und Winkel, also insbesondere für die Geometrie des Bildes, das er sieht.Man zeige, dass sich bei einer konformen Transformation, wenn dabei die Lichtwellen und die Weltliniedes Beobachters unverändert bleiben, zwar die wahrgenommenen Frequenzen ändern, aber nicht diewahrgenommenen Winkel. Der Beobachter EreignisV am sieht das gleiche Bild, nur dass es insgesamtum FaktoróÍ2]V den5rot- bzw. blauverschoben ist.Statische RaumzeitenWir wollen nun das Theorem über die Invarianz von lichtartigen Geodäten unter konformen Transformationenbenutzen, um die kausale Struktur und das Verhalten von Lichtstrahlen in einer statischen Raumzeitzu untersuchen.Eine statische Raumzeit hatten wir wie folgt definiert. Es gibt eine Zeitkoordinate)und drei Raumkoordinaten4N,diewir zu einem VektorFür das Linienelement giltpositiv definite, dreidimensionale Metrik ist, positive Funktion. Beidehängen nur von den drei räumlichen Koordinaten4N,aber nicht von der Zeit)ab.wobei‚Nv2Natürlich ist Vektor im mathematischen Sinne, sondern nur ein Tripel von Koordinaten. Aber dieseSchreibweise ist ganz nützlich, weil sie mit der Schreibweise übereinstimmt, die wir für die Raum-Zeit-Aufspaltung im Minkowski-Raum verwendet haben.undz¬2Ein465ist durch einen Zeitpunkt)EreignisV ‚La`2WV 5'4L'4` ‚Nv2465'4N'4v z¬2 'Sî&465eine465eineund einen Ortund Zeit zueinander orthogonal. Der Raum zu einem Zeitpunkt)ist einfach die Menge aller gleichzeitigenEreignisse.Ferner sind in einer statischen Raumzeit, genau wie im Minkowski-Raum, Raum2)Aufgabe 17.8 Im Gegensatz zur speziellen Relativitätstheorie hat der Begriff “gleichzeitig” in einerstatischen, gekrümmten Raumzeit eine absolute Bedeutung. Man zeige, dass nur die folgenden Koordinatentransformationendie Form (17.20) der Metrik erhalten: beliebige räumliche Transformationen465, Zeittransformationen) sowie lineare , wobei und Konstanten sind. Keine dieserKoordinatentransformationen hat jedoch Einfluss auf die Definition der Gleichzeitigkeit.¡ ˜)j¡4N˜ šN2In einer statischen Raumzeit ist es daher sinnvoll, unabhängig voneinander von einem Raum und einerZeit zu sprechen. Der Raum ist eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit mit den Koordinaten4N. Durch dieEinbettung in die Raumzeit wird auf dem Raum eine Metrik‚Nwvinduziert. Sie ist positiv, unabhängig vonder Zeit, und definiert den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum, den wir mit ruhenden Maßstäbenmessen. Wir sagen, dass die Metrik‚Nwvdie metrische Geometrie des Raumes bestimmt. Der Grund fürdiese etwas merkwürdige Formulierung wird uns gleich klar werden. Die wesentliche Eigenschaft dieserGeometrie ist die folgende.In einer statischen Raumzeit ist die metrische Geometrie des Raumes diejenige Geometrie,bezüglich der die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten eine Geodäte ist.316

Œ4hängtŒ¹ŒŒ4abhängen,465'4N'4v 'S)&³ (17.22)zwischenDie zusätzliche Information, die wir benötigen, um aus dieser Geometrie des Raumes die der Raumzeit zurekonstruieren, wird durch Funktionz¬2die495gegeben. Sie bestimmt, anschaulich gesprochen, wie schnelldie physikalische Zeit an verschiedenen Orten im Raum vergeht. Die Zeitõphysikalische zweiEreignissen am selben Ort mit der Koordinatenzeitdifferenzõ)überª(17.21)zusammen. Das ist uns schon aus der Diskussion der Rot- und Blauverschiebung von Lichtwellen in statischenGravitationsfeld bekannt. In einer statischen Raumzeit können wir demnach die vierdimensionaleõin eine dreidimensionale, räumliche Metrik‚Nwvund eineªzerlegen, die die Zeitdilatationzwischen Uhren an verschiedenen Orten bestimmt. z¬2 465õ )FunktionzEs gibt aber noch eine zweite Möglichkeit, eine räumliche Metrik undMetrik‚La`damit eine Geometrie des Raumeseinzuführen. Wir schreiben dazu das Linienelement (17.20) wie folgt um, ‚Lg`2]V 5'4L'4` z¬2 495 ²Œ ‚Nwv2 465 'Sî&zÁ2495 465‚Nwv2465 ‚Nwv2495 z¬2 4U5Œ ‚Nwv2 ‚Nwv2Länge. Trotzdem hat auch diese Metrik eine anschauliche physikalische Bedeutung.‚Nwvdie Bahnenz¬2465hervorgeht,‚Nwvaus‚Nwvdurch eine konforme Transformation mit dem FaktoróÍ24U5wobeiŒ(17.23)eine positiv definite, dreidimensionale Metrik. Sie bestimmt aber keine Abstände zwischenPunkten im Raum, und die Geodäten bezüglich dieser Metrik sind folglich auch keine Kurven minimalerist AuchŒDie Behauptung ist, dass die Geodäten bezüglich‚Nvder von Lichtstrahlen im Raumsind. Der Beweis ist nicht sehr schwierig. Wir betrachten dazu das konform transformierte, vierdimensionaleMetrikŒLinienelement(17.24)Wie wir wissen, verhalten sich Lichtstrahlen in einer Raumzeit mit dieser Metrik genau wie Lichtstrahlen')& 465'4N'4v ‚Nwv2 Œ 5'4L'4` ‚Lg`2]V Œ î& Œ 'in der wirklichen Raumzeit, deren Metrik durch (17.22) gegeben ist.Die Geodätengleichung für MetrikŒdie konform transformierte ist aber besonders einfach. Da dieist, KomponentenŒdie gemischten immer verschwinden,und die räumlichen vom Ortsind die einzigen nicht verschwindendenKomponenten‚Lg`des L`¥ddiejenigen mit drei räumlichen Indizes,ÄChristoffel-SymbolsŒKomponentenŒkonstant| ‚MºMZeitkomponenteŒ‚MºN*noch‚NvnurHier sindŒN¢©¤$ b¢ b¤Œ ‚v¢0räumlichen Komponenten derbinversen, konform transformierten Œ v ‚v¤j ŒMetrikŒÄ(17.25)einfach die zur dreidimensionalen‚¢©¤5MetrikŒ‚"Nv dieund Zeit zueinander orthogonal istŒ sind,Metrik. Es gilt alsoŒ ‚Nv 2‚SNwvaber auch„‚$Lg`. Da Raum‚Nvinverse‚v¢ñ@N¢(17.26)T2Z5und 4U5‚Nwv2465 Œ ‚NveinenŒ z¬2 465 ‚Nwv2Wenn wir jetzt die Geodätengleichung (17.14) Lichtstrahl^für einen für¦ alsound diese in einen räumlichen AnteilZeitanteil)2Z5aufspalten, so ergibt sich 2Z5,TN¹Offenbar ist die erste Gleichung nichts anderes als die Geodätengleichung für die dreidimensionale Metrik‚Nwv. Mit anderen Worten, die BahnT2Z5eines Lichtstrahls im Raum ist tatsächlich eine Geodäte bezüglichMetrikŒ der ‚Nv.N¢©¤\ T¢ \ T¤ Œ Ì!$# \ Œ Ì \ TNjËÄ Œ Ì!$# \ Œ Ì \ )aufschreiben,)(17.27)317

ŒŒZusätzlich müssen wir noch die zweite Gleichung in (17.8) berücksichtigen, die dafür sorgt, dass dieWeltlinie des Lichtstrahls in der Raumzeit lichtartig ist. Sie lässt sich jetzt wie folgt schreiben,(17.28)Diese Gleichung besagt offenbar, dass sich das Licht mit Lichtgeschwindigkeit im Raum ausbreitet. Allerdingswird diese Geschwindigkeit jetzt bezüglich der konform transformierten Metrik definiert. Auf derTvrechten Seite steht der zurückgelegte Weg, definiert durch die MetrikŒräumliche ‚Nv, und auf der linkenSeite steht die dafür benötigte Zeit, die aber nicht die physikalische Zeit ist, sondern die Koordinatenzeit.Dass die Aussage trotzdem die richtige physikalische Bedeutung hat, nämlich die, dass sich das Lichtmit Lichtgeschwindigkeit bewegt, liegt daran, dass wir auf beiden Seiten der Gleichung (17.28) gewissermaßenden gleichen Fehler machen. Zwischen der Koordinatenzeit und der physikalischen Zeit bestehtder Zusammenhang (17.21). Aber das ist auch genau der Zusammenhang zwischen dem Abstand zweier\ TL \ T` B \ )& Œ ‚Nwv \ TN\ ‚Lg`Punkte im Raum, gemessen mit der konform MetrikŒtransformierten ‚Nwv, und dem wirklichen Abstand,gemessen mit der Metrik‚Nv.Wir können das wie folgt zusammenfassen. Um das Verhalten von Lichtstrahlen in einer statischenRaumzeit zu untersuchen, betrachten wir die MetrikŒdreidimensionale ‚Nwv,definiert durch (17.22). Wirsagen, dass diese Metrik die optische Geometrie des Raumes bestimmt. Ein Lichtstrahl bewegt sich aufeiner Geodäten bezüglich dieser Metrik durch den Raum. Er legt dabei in Koordinatenzeitõder die ))zurück, wobei auch diese Strecke durch die MetrikŒ ‚Nwvdefiniert wird.StreckeõIn einer statischen Raumzeit ist die optische Geometrie des Raumes diejenige Geometrie,bezüglich der die Bahn eine Lichtstrahls eine Geodäte ist.Die optischen Geometrie des Raumes, definiert durch die MetrikŒdreidimensionale ‚Nv, unterscheidet sichalso von der metrischen Geometrie des Raumes, definiert durch die Metrik‚Nwv.Während die Geodätenbezüglich der optischen Geometrie die Bahnen von Lichtstrahlen im Raum sind, sind die Geodätenbezüglich der metrischen Geometrie die Kurven minimaler Länge. Das ist im allgemeinen nicht dasselbe.Welche der beiden Geometrien die richtige oder die wahre Geometrie des Raumes ist, lässt sich nichtallgemein festlegen, sondern hängt von der Situation ab, die wir konkret beschrieben wollen. Es ist ebensonatürlich, zu sagen, eine Geodäte sei die Bahn eines Lichtstrahls, wie zu verlangen, eine Geodäte soll diekürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten im Raum sein.Welche der beiden dreidimensionalen Metriken wir jeweils wahrnehmen, hängt davon ab, wie wir dieGeometrie des Raumes vermessen. Wenn wir dies mit Hilfe von ruhenden Maßstäben und gespannten Seilentun, von denen wir dann annehmen, dass die Geodäten sind, dann messen wir die Metrik‚Nwv, also diemetrische Geometrie. Wenn wir dagegen, wie ein moderner Landvermesser, optische Peilgeräte verwenden,um die Metrik des Raumes zu vermessen, dann messen wir die optische Geometrie, also die Metrik‚Nwv.Oder, um es noch anschaulicher zu formulieren, es ist MetrikŒ die ‚Nwv,die wir sehen, wenn wir unsim wahrsten Sinne des Wortes im Raum umschauen. Wenn wir dagegen den Raum ertasten, indem diedarin herumlaufen und Abstände messen, dann ist es die metrische Geometrie, also die Metrik‚Nwv, die wirwahrnehmen. Wenn beide sehr stark voneinander abweichen, Feldz¬2 das495also stark variiert, dann wirddas zu allerhand optischen Täuschungen führen. In starken Gravitationsfeldern ist geradeaus schauen nichtmehr dasselbe die geradeaus laufen.Aufgabe 17.9 Im Gravitationsfeld der Erde ist die Abweichung zwischen der optischen und der metrischenGeometrie natürlich minimal. Aus dem Äquivalenzprinzip hatten wir folgende Raumzeit-Metrik fürein auf der Erdoberfläche ruhendes Koordinatensystem hergeleitet,für (17.29)„3‚ ›5')&j '4&j 'š&j '›& ‚ ›…ê 2ñ 'Sî&318

!$#(17.34)Ein Laserstrahl verbinde zwei Orte auf gleicher Höhe›, deren metrischer Abstandkm beträgt. Um wievielweicht der Laserstrahl in der Mitte der Strecke von der kürzesten Verbindung der beiden Orte ab?Aufgabe 17.10 Man stelle sich den Laser aus Aufgabe 17.9 als einen Strahl von (massiven) Teilchenvor, die sich in einer flachen Newtonschen Raumzeit mit Gravitationspotential1 einem denGesetzen den klassischen Mechanik bewegen. Um wieviel weicht der Laserstrahl in der Mitte der Streckedann von einer Geraden ab?‚ › nachDie Schwarzschild-MetrikUm zu zeigen, dass diese bis jetzt etwas abstrakten Überlegungen auch einen praktischen Nutzen haben,wollen wir nun als konkretes Beispiel das Gravitationsfeld eines kugelförmigen Sterns betrachten. VieleErgebnisse aus dem letzten Kapitel lassen sich jetzt nämlich sehr anschaulich darstellen und erklären.Insbesondere werden wir eine verblüffend einfache Erklärung dafür finden, warum ein Lichtstrahl beieinen Stern umkreisen kann.Betrachten wir zuerst eine statische, kugelsymmetrische Metrik in der allgemeinen Form (15.4),¨ < §ÇlÄ(17.30) Þ¥ßáà&[Die metrische Geometrie des Raumes wird folglich durch das dreidimensionale Linienelement'\&5 §&2'[&j `¾2§5'§&j z¬2§5')&j * 'Sî&(17.31) Þ¥ßÕà&[beschrieben. Das interessiert uns aber gar nicht, wenn wir das Verhalten von Lichtstrahlen untersuchenwollen. Statt dessen betrachten wir die konform transformierte Metrik'\&5 §&2'[&j `¾2§5'§&j ‚Nv'4N'4v '"î&(17.32)î& 'S)&j z¬2§H5'§&j Þ¥ßáà&[und die daraus abgeleitete optische Geometrie des Raumes, definiert durch das dreidimensionale Lini-'\&5 2'[&j z¬2§5 §& `¾2§5 Œ 'enelement(17.33)î& Œ 465'4N'4v `¾2§5 §&Natürlich istÞ_ßÕà&C[dieses Linienelement noch immer kugelsymmetrisch. Auch bezüglich der optischen Geometriekönnen wir uns den Raum aus ineinander liegenden Kugelschalen zusammengesetzt vorstellen.'\&5 2'[6&j z¬2§5 zÁ2§H5'§&j ‚Nwv2 Œ 'Allerdings ist der Oberflächenradius einer Kugelschale an der jetzt nicht mehr, wie in der metrischenGeometrie, durch die selbst Funktion§DKoordinate§gegeben, sondern durch die z¬2§5. DasselbeStelle§gilt für den Abstand zweier Koordinaten§und§ineinander liegenden Kugelschalen mit den '§. Dermetrische Abstand der beiden Kugelschalen, der sich aus (17.31) ergibt, ist `¾2§5'§. Der optische Abstand,der sich aus (17.33) ergibt, ist dagegen `32§5Dz¬2§5'§. Die optische Geometrie unterscheidet sichalsojàvon der metrischen Geometrie, ist.Wir wollen versuchen, uns von dieser optischen Geometrie eine anschauliche Vorstellung zu machen.Dazu setzen wir dieFunktionen aus Kapitel 15 ein, das heißt wir wollen ganz konkretdas Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen Himmelskörpers mit der Massewennz¬2§5und dembetrachten. Außerhalb des Himmelskörpers, ÇÈG, gilt dann (15.25), alsoundz¬2§5 `¾2§5RadiusÇtG£ für§z¬2§5 ñ*„ð¨ Dñx„ ¨,E § `32§5 §319

ãaäHÞ\PG durchgeschnitten.Þ¥ßáàWenn wir wieder annehmen, dass der Himmelskörper eine konstante Dichte hat, dann können wir für denBereich im Innern die Funktionen (15.54) einsetzen. Es gilt also für§ö’Ç|G ;ð2›t2]ÇÍG5ƒt2§5¥5& t2§5 ñ „ ¨, §&Damit diese Funktionen wohldefiniert sind, mussten wir voraussetzen,z¬2§5ist,betragen.`¾2§H5„ ¨, 2¥DŸ;5¨, £ dassÇ|Gdas heißtder Radius des Sterns muss mehr als fache Schwarzschild-RadiusÇqz seinesDas wollen wir im folgenden natürlich annehmen.Es ist natürlich alles andere als offensichtlich, wie dieser Raum aussieht. Wir können uns aber aufdasá„h{einfache Weise ein Bild von ihm machen, indem wir ihn in einen höherdimensionalen, Euklidischen Raumeinbetten, so dass die Metrik durch die Einbettung induziert wird. Es stellt sich heraus, dass wir mit einerzusätzlichen Dimension auskommen. Wir werden also versuchen, den dreidimensionalen Raum mitdenin einen vierdimensionalen Euklidischen Raum mit den Koordinaten2.t4¥š6œ›5Koordinaten2§[\5einbetten.Wir benötigen dazu Einbettungsabbildung2§[\5ì˜eine 2.…4©š8œ›5,sooptische Geometrie (17.33) induziert. Es muss also geltendass diese Einbettung diet2§H5& mitÇÍG (17.35)'. &j'š&j z¬2§5'§&jz¬2§5der Oberflächenradius einer Sphäre ist, machen wir den Ansatz`32§5 §& '4&j '›&bei§§Da§D› § \– § š 4und . 2§5isteine zunächst unbekannte Funktion. Wenn wir das in (17.36) einsetzen, dann ergibt sich nachz¬2§5 ãaäHÞ[ (17.37)zÁ2§H5 2'[8&j Þ¥ßáà&/[ '\&5(17.36)[ [zÁ2§H5 Þ_ßÕàeiner kurzen Rechnung eine Differentialgleichung für 2§5, .Þ_ßÕà zÁ2§H5(17.38)z¬2§H5. `¾2§5 Dñ §„ z{2§H5 z¬2§5E &Diese lässt sich sogar analytisch lösen. Da wir hier aber nur an den qualitativen Eigenschaften der Einbettungsabbildunginteressiert sind, werden wir auf die explizite Lösung nicht näher eingehen. Für diefolgenden graphischen Darstellungen genügt es ohnehin, die Differentialgleichung numerisch zu lösen. {2§H5&Aufgabe 17.11 Wir sollten uns jedoch davon überzeugen, dass eine Lösung existiert. Dazu muss die rechteSeite der Gleichung (17.38) positiv sein. Man setze die Funktionen (17.34) bzw. (17.35) ein und zeige, dassdies der Fall ist.Das Ergebnis ist in Abbildung 17.2 für verschiedene Werte dargestellt. Gezeigt ist jeweils diex=ÁD„, Äquatorebene, also die [ Koordinatenebene eingebettet in einen dreidimensionalen EuklidischenRaum mit den Koordinaten2.…4©š5, . wobei nach oben aufgetragen ist. Die Rotationssymmetrie in derhorizontalen Ebene ist sofort offensichtlich. Um die dritte Dimension des Raumes zu ergänzen, müssenwir uns eine horizontale Kreislinie in der Abbildung als Kugelschale vorstellen.Um den Unterschied zwischen der Geometrie innerhalb und außerhalb des Sterns zuvonÇÈGDverdeutlichen,haben wir den bei§Raum jeweils Wenn wir die Masse des Sterns festhaltenund nur den RadiusÇGvariieren, dann sieht der äußere Teil des Raumes immer gleich aus. Weit draußenist der Raum fast flach, nur in der Nähe des Sterns wölbt er sich leicht. Je kleiner der Stern wird, destogrößer wird die Krümmung des Raumes in seiner Nähe, und umso stärker ist auch der Raum in Innern desSterns gekrümmt.Ç 320

ÓgroߌŒŒÕfר82ðMilchstraßeandere Galaxie(a)Ž›Ç å Œ Í’Î ˜ G(b)Ó(c)Ž Ç Ï Œ Í’Î ˜(d)GÕd× ÓAbbildung 17.2: Die optische Geometrie des Raumes für verschiedene ˜ Sternradien Gbei gleicher Masse. Außerhalb des Sterns ist der Raum negativ gekrümmt, und seine Krümmung nimmt nach außen hin ab.Innerhalb des Sterns ist die Krümmung positiv. Das Innere eines Sterns konstanter Dichte hat die optischeGeometrie einer Sphäreund erscheint in der Einbettung als Ausschnitt aus einer Kugelschale. Ist derRadius ˜ Gim Vergleich zum ˜ z Õ × Ó Schwarzschild-Radius , so ist der Raum überall nur˜ z , desto mehr krümmt sich der Raum in der Nähe der GCschwach gekrümmt. Je kleiner das ˜ VerhältnisOberfläche und im Innern des Sterns.Es stellt sich heraus, dass der Raum in Innern des Sterns ein dreidimensionaler symmetrischer Raummit positiver Krümmung ist, das heißt es handelt sich um ein Segment einer dreidimensionalen Sphäre,die in Abbildung 17.2 als kreisförmiges Segment einer Kugelschale erscheint. Um den Krümmungsradiusdieser Kugelschale zu bestimmen, betrachten wir Ricci-TensorŒdenNwv, der zu der MetrikŒ Innerngehört. Man findet, da es sich um einen symmetrischen Raum handelt,Ç‚Nwvim(17.39) ¨, ÇÍG| 2; ÇÍG ¥ ¨, 5 ÇDer Ricci-Tensor ist proportional zur Metrik und KrümmungsskalarŒdem ,einen Himmelskörper, der sehr viel größer ist als sein Schwarzschild-Radius, gilt näherungsweiseÇmit Œ ÇËŒ ‚Nwv Nwv Çund dieser ist konstant. FürUm eine Vorstellung von der Größenordnung der Krümmung zu bekommen, vergleichen wir das mit demKrümmungsskalar eine dreidimensionalen Sphäre .für„; ¨, ÇÍG r ÇÇÍG(17.40)FAufgabe 17.12 Man zeige, als Verallgemeinerung von Aufgabe 10.22, dass der Krümmungsskalar für eine-dimensionale Sphäre Oberflächenradius7 durchÇ mit demË5D7&gegeben ist.Wenn wir annehmen, dass der Stern sehr viel größer ist als sein Schwarzschild-Radius, also die Näherung(17.40) benutzen, dann entspricht die Krümmung des Raumes im Innern des Sterns derKrümmung einerOberflächenradius7& Sphäremit dem5.#%#m. Für die Erde das7 ergibt Das ist„ E r ¨, ÇkGD2; retwa die Entfernung Erde–Sonne.Der Raum im Innern der Erde hat also die gleiche Krümmung wie eine dreidimensionale Sphäre, derenRadius etwa von der Größenordnung der Bahn der Erde um die Sonne ist. Wenn wir uns das Gravitationsfeldder Erde in Abbildung 17.2 dargestellt vorstellen, dann heißt das, dass das Stück in der Mitte, das die321

ÇÈG,alsoF¨,Erde darstellt, ein Segment aus einer Kugelschale ist, deren Mittelpunkt im Einbettungsraum etwa so weitoberhalb der dargestellten Fläche liegt, wie die Sonne von der Erde entfernt ist. Daraus sollte klar werden,dass die Krümmung verschwindend gering ist. Der Raum ist in sehr guter Näherung flach.Für die Sonne ist das Verhältnis nicht mehr so extrem. Der Krümmungsradius7 des Raumes im Innernder Sonne ist nur noch um einen FaktorHHgrößer als sie selbst. Mit anderen Worten, um das Gravitationsfeldim Innern der Sonne in Abbildung 17.2 darzustellen, müssen wir in die Mitte ein Segment auseiner Kugelschale einsetzen, dessen Radius etwa ein Winkelgrad auf der Kugelschale beträgt. Ein solchesSegment weist bereits eine merkliche Krümmung auf. Aber leider ist weder die Erde noch die Sonnetransparent, so dass es nur schwer möglich ist, diese optische Geometrie des Raumes direkt zu sehen.Aber wir können eine entsprechende Abschätzung natürlich auch für den Außenraum durchführen. Dader Raum dort nicht mehr symmetrisch ist, also nicht in alle Richtungen gleichmäßig gekrümmt ist, ist derRicci-Tensor nicht mehr proportional zur Metrik. Man findet statt dessen ¨, 5Œ ¨, 5Œverschwinden. Der Raum hat also in radialer Richtung eine negative Krümmung und senkrecht dazu einepositive Krümmung. Für große Radien gilt]e] Ç Œ ‚faaÇjbdb ]e] Ç stattŒ•„ð¨‚]] (17.41)und die gleiche Beziehung gilt wegen der Kugelsymmetrie fürŒÇlaa* Œ¨,§|2„§ „§|2§. Alle anderen Komponenten‚]]für§(17.42)Das heißt, die Krümmung nimmt nach außen hin schnell Für§ab. in der Nähe der Oberflächedes Himmelskörpers, sind die Komponenten des Ricci-Tensors jedoch in etwa so groß wie derKrümmungsskalar (17.40) im Innern. Also gilt das, was wir oben über die Größenordnung der Raumkrümmungim Innern gesagt haben, auch im Außenraum.rÇAaa r Œ; ¨, § Œ ]] Ç Œ ‚faa¨, § Œ „Aufgabe 17.13 Man verifiziere die Formeln (17.39) und (17.41). Dabei ist es wirklich sehr nützlich, aufein algebraisches Computerprogramm zurück zu greifen, das für jede Metrik automatisch alle daraus abgeleitetenTensoren ausrechnet. Sonst ist die Rechnung sehr lang und mühsam. Man zeige außerdem, dassder Raum im Innern nur dann symmetrisch ist, also eine konstante Krümmung aufweist, wenn die Dichtedes Sterns konstant ist. Dass die optische Geometrie im Innern eines Sterns die einer dreidimensionalenSphäre ist, hat also keine besondere physikalische Bedeutung, sondern liegt nur an unserem sehr einfachenModell für die Sternmaterie.Aufgabe 17.14 Die Ricci-Tensoren (17.39) und (17.41) geben die optische Krümmung des Raumes an,also diejenige Krümmung, die man mit Hilfe von Lichtstrahlen misst. Man berechne auch den Ricci-Tensorfür die metrische Geometrie des Raumes, also für das dreidimensionale Linienelement (17.31). Manzeige, dassÇ Nwvǧ§öËÇÍG(17.43)fürDie Raum hat also bezüglich der metrischen Geometrie eine andere Krümmung als bezüglich der optischenÇÍGGeometrie. Warum macht der Ricci-TensorÇ vierdimensionaleRaumes?Lg`Aussage über die Krümmung desfür£ ÇÍG Ç „ð¨Lichtstrahlen und der kritische RadiuskeineAus der dargestellten optischen Geometrie des Raumes können wir nun unmittelbar einige qualivativeAussagen über das Verhalten von Lichtstrahlen in der Nähe eines kugelförmigen Himmelskörpers machen.Wie wir wissen, bewegen sich Lichtstrahlen auf Geodäten bezüglich der optischen Geometrie des322

Ž›ÇƒÏ Œ Í’Î Ž Ç ÑdÍ’Î Milchstraßeandere Galaxie(a)(b)Abbildung 17.3: Durch die Krümmung des Raumes werden Lichtstrahlen, die einen Stern passieren, zumStern hin abgelenkt. Die Ablenkung ist umso größer, je kompakter der Stern ist, und sie ist maximal füreinen Lichtstrahl, der unmittelbar an der Oberfläche des Sterns passiert.Raumes. Die Bahn eines Lichtstrahl in der Äquatorebene ist also eine Geodäte auf der in Abbildung 17.2dargestellten Fläche.In Abbildung 17.3 ist jeweils eine Schar solcher Geodäten dargestellt. Wir können uns vorstellen, miteinem Fahrzeug über die dargestellte Fläche zu fahren, ohne dabei die Lenkung zu betätigen. Wegen derWölbung der Fläche hat das aber zur Folge, dass das Fahrzeug nicht einer geraden Linie im Einbettungsraumfolgt, sondern scheinbar in einer Kurve gezwungen wird. Scheinbar deshalb, weil das Fahrzeug lokalauf der Fläche natürlich immer geradeaus fährt. Die Ablenkung eines Lichtstrahls zum Zentrum des Himmelskörpershin ist also eine direkte Konsequenz der Krümmung des Raumes.Aufgabe 17.15 Man mache sich klar, dass das Fahrzeug nicht deshalb zum Zentrum hin abgelenkt wird,weil es durch eine Kraft in die Mulde gezogen wird, sondern dass die Ablenkung allein auf der Krümmungder Fläche beruht. Man stelle sich dazu dieselbe Fläche vor, allerdings mit einem Hügel statt einer Muldein der Mitte. Auch dann wird das Fahrzeug zum Zentrum hin abgelenkt.Wir sehen außerdem in der Aufgabe 17.3, dass ein Lichtstrahl dann am meisten aus seiner scheinbargeraden Bahn abgelenkt wird, wenn er die Oberfläche des Himmelskörpers knapp passiert. Ein Lichtstrahl,der mitten durch das Zentrum läuft, wenn wir einmal annehmen, dass der Himmelskörper transparent ist,wird gar nicht abgelenkt, und auch ein in großer Entfernung passierenden Lichtstrahl läuft näherungsweiseauf einer geraden Linie im Einbettungsraum.Die Größenordnung dieser Lichtablenkung hatten wir im letzten Kapitel bereits berechnet. Implizithaben wir dabei übrigens genau das Verfahren verwendet, das wir hier allgemein für statische Raumzeitenhergeleitet haben. Wir haben den Lichtstrahl als die Bewegung eines freien, klassischen Teilchens in einemdreidimensionalen Raum beschrieben. Dieser dreidimensionale Raum ist genau der, dessen Äquatorebenein Abbildung 17.3 dargestellt ist. Wir werden auf diesen Zusammenhang gleich noch einmal etwas nähereingehen.Was uns an dieser Stelle noch interessiert, ist, wie es denn nun dazu kommt, dass es einen kritischengibt, bei dem ein Lichtstrahl auf einer geschlossenen Bahn um den Stern umlaufenRadiusÇyÄkann. Eine solche geschlossene Bahn müsste sich als eine spezielle Geodäte in der optischen Geometriedes Raumes ergeben. Tatsächlich haben wir uns bisher nur dieRäumeangesehen, das heißtder Sternradius war größer als der kritische Radius, und demnach gab es diese geschlossene Umlaufbahnnicht.ÇlÄWas passiert¨,also, wird? In Abbildung 17.4 ist noch einmal die Umgebung des Sternsdargestellt, also ein vergrößerter Ausschnitt aus Abbildung 17.2. Offenbar ist es so, dass der Raum im Innerndes Sterns gar nicht immer kleiner und stärker gekrümmt wird, wenn der SternradiusÇ…Gkleiner£ fürÇ|GGsö‡ÇlÄ wennÇwird,323

˜˜ GÕ''D ˜ð˜ GÕð¤Öd× Ód× ÓG›ÕG›ÕÖd× Ó(a)Ö f× Ó(c)Milchstraßeandere Galaxie(b)(d)Abbildung 17.4: Die optische Geometrie des Raumes für sehr kompakte Himmelskörper. Ist der Radius˜ Gkleiner als der kritische Radius ˜ Ä Õ ÖØ× Ó , so bildet sich bei ” Õ ˜ Ä ein Hals. Ein Lichtstrahl kanndort den Stern umkreisen. Außerdem gibt es Lichtstrahlen, die innerhalb des Sterns auf geschlossenenBahnen laufen. Ein von außen kommender Lichtstrahl kann eingefangen werden, den Stern mehrmalsdurchqueren, und dann wieder durch den Hals nach außen laufen. Das letzte Szenarium ist allerdings nurfür einen nicht exakt kugelsymmetrischen Stern möglich.sondern dass die Krümmung an einer bestimmten Stelle ein Maximum erreicht, und dass die Kugelschale,die das Innere des Sterns repräsentiert, danach wieder größer wird.Wie kommt das? Wenn wir uns den Krümmungsskalar (17.39) im Innenraum ansehen, dann hat dieseroffenbar an StelleÇG der Maximum, denn dort ist¨, ein5E ÇÍG¤| ÇÍG ¥Auch die Metrik in Außenraum hat an der¨, 2; ¨, Stelle§'ÇÍGgegeben. Diese Funktion hat ein Minimum bei§

nähern, an dem der Stern instabil wird, wird der Raum im Innern des Sternssogar wieder flach. Der Ausschnitt aus einer Kugelschale, der in Abbildung 17.4 das Innere des SternsGrenzfallÇÍGrepräsentiert, wird also beliebig groß.Diese merkwürdige optische Geometrie des Raumes erklärt nun sehr anschaulich die Phänomene, diewir in Abbildung 16.2 aus dem effektiven Potential für Lichtstrahlen im Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischenHimmelskörpers abgelesen haben. Offenbar ist derKreis , der2¥DŸ;5¨,in Abbildung 17.4(c)eingezeichnet ist, eine Geodäte auf der dargestellten Fläche. Mit anderen Worten, ein Lichtstrahl kann dortÇrÄ bei§umlaufen.Die Bahn ist allerdings instabil, wie wir auch bereits wissen, denn jede kleine Abweichung von dieserKreisbahn führt dazu, dass der Lichtstrahl entweder nach außen entkommt oder auf den Stern fällt. Allerdingsfinden wir auchstabile Umlaufbahnen. ist das Segment der Kugelschale, welches dasInnere des Sterns repräsentiert, größer als eine Halbkugel. Demnach gibt es auf der Kugelschale Großkreise,auf denen ein Lichtstrahl innerhalb des Sterns kreisen kann. Das sind genau die Bahnen,FürÇÈGÈöfÇlÄdie inAbbildung 16.2(d) in der Potentialmulde pendeln.Aufgabe 17.16 Wenn der Stern nicht exakt kugelsymmetrisch ist, ist es sogar denkbar, dass ein Lichtstrahl,der von außen kommt, eingefangen wird, einige Male den Stern durchläuft, es dabei aber nicht schafft,durch den Hals wieder heraus zu kommen, um nach einigen Anläufen aber doch wieder zu entkommen.Der Weg eines solchen Lichtstrahls ist in Abbildung 17.4(d) dargestellt. Warum kann es einen solchenLichtstrahl bei einer exakten Kugelsymmetrie nicht geben? Wir oft kann ein Lichtstrahl, der von außenkommt, eine exakt kugelsymmetrischen Stern höchstens durchdringen?Wir erinnern uns, dass für die Sonne das Segment der Kugelschale etwa den Radius von einem Grad hatte.Der Raum im Innern der Sonne ist also weit davon entfernt ist, eine Halbkugel zu sein. Ein Stern mussschon sehr kompakt sein, um diese Phänomene zu zeigen. Ein Neutronenstern kann aber durchaus genaudiese Größenordnung haben.Es stellt sich die Frage, ob man diese Phänomene vielleicht beobachten kann. Das ist nicht ganz klar,denn dazu müsste man erst einmal klären, was man genau beobachten soll. Sicher sind Neutronensternefür Licht nicht transparent, so dass es sicher keine im Innern umlaufenden Lichtstrahlen gibt. Gravitationswellen,die wir später genauer untersuchen werden, verhalten sich aber im wesentlichen so wie Licht undsie dringen fast ungehindert durch jede Materie. Sie könnten in einem Neutronenstern gefangen werden,und es könnte zu ungewöhnlichen Resonanzen kommen, wenn solche Wellen im Innern umlaufen.Es sind aber bis heute aber keine Beobachtungen bekannt, die auf einen Himmelskörper hindeuten,dessen Radius kleiner als der RadiusÇjÄ kritische ist, und die direkt mit dieser sonderbaren Geometriedes Raumes im Innern zu tun haben. Jedoch kann man sich leicht überlegen, wie man bei§Halsaußerhalb eines solchen Himmelskörpers vermessen könnte.ÇÄAufgabe 17.17 Man stelle sich vor, die Sonne würde zu einem Neutronenstern kollabieren und einen RadiusÇÍGÍöerreichen. Wenn man dann einen starken Lichtblitz zur Sonne schickt (bevor es auf der Erdeviel zu kalt wird), dann würde man folgende Beobachtung machen. Nach etwa 16 Minuten sieht man dort,wo früher die Sonne war, einen Ring am Himmel aufblitzen. Im Abstand vonÇlÄ”{msec (17.46)folgen weitere, schnell schwächer werdende Blitze. Wie erklärt sich diese Phänomen? Wie kommt es zudieser Frequenz der wiederkehrende Signale? Wie groß ist der Radius der ringförmigen Blitze am Himmel?r ¨, 3= ƒ ) õSpekulieren wir noch ein wenig weiter, und stellen wir uns vor, wir würden auf einem Planeten leben,dessen RadiusÇG kleiner als der kritische RadiusÇyÄ ist. Die Welt würde für uns völlig anders aussehen,als wir dies gewöhnt sind.325

Milchstraßeandere Galaxie(a)(b)Abbildung 17.5: Ein Beobachter, der auf der Oberfläche eines Himmelskörpers ˜ mit ˜ Ä steht, kannsich selbst unendlich oft sehen, wenn er schräg nach oben schaut. Ein Lichtstrahl (a), der ihn verlässt,kann den Himmelskörper einmal umkreisen und wieder zu ihm zurückkehren. Ein anderer Lichtstrahl (b)GAÙumkreist den Himmelskörper zweimal und kehrt dann zurück.Betrachten wir zunächst einen Astronauten in einem Raumschiff, das gerade gestartetbei§ist und sich nunbefindet. Was sieht der Astronaut, wenn er in eine horizontale Richtung aus dem Fensterschaut? Sein Blick würde dem Weg eines Lichtstrahls folgen, der den Himmelkörper umkreist.ÇlÄEr würde schließlich, wenn nichts anderes im Weg ist, wieder auf das Raumschiff treffen. In welcheÇrÄ bei§horizontale Richtung er auch schaut, er würde immer sein eigenes Raumschiff sehen. Er sieht es quasi alsRing in einer gewissen Entfernung.Wenn er dagegen schräg nach unten schaut, so endet jeder Blick auf der Oberflächedes Planeten,während jeder Blick nach schräg oben im Sternenhimmel endet, oder eben nicht endet. Er sieht alsodenPlaneten unter sich nicht als Kugel, sondern als eine unendlich ausgedehnte Fläche. Ein Beobachter aufdem Planeten hat sogar einen noch merkwürdigeren optischen Eindruck. Ein solcher Beobachter kann sichselbst und jeden anderen Punkt auf der Oberfläche des Planeten unendlich oftZahlþsehen.Für jede ganze gibt es sichþ nämlich einen Lichtstrahl, der mal um den Stern wickelt, und dannFürþ wieder undþ zum Ausgangspunkt zurückkehrt. sind diese Lichtstrahlen in Abbildung 17.5dargestellt. Auf diese Weise kann man zwar nicht um die Ecke, aber gewissermaßen um die Kurve schauen.Das hat die sehr merkwürdige Konsequenz, dass es auf einem solchen Himmelskörper keinen Horizontmehr gibt. Die Oberfläche wölbt sich unter dem Beobachter nicht nach unten, sondern scheinbar nachoben.Der optische Eindruck, den ein solcher Beobachter hat, ist in Abbildung 17.6 schematisch* dargestellt.Wir müssen uns die Bilder nur noch um die vertikale Achse rotiert denken, um einen„dreidimensionalenEindruck zu mitÇ bekommen. Auf einem Planeten , das ist natürlich der Normalfall, gibt es einenHorizont im üblichen Sinne. Die die Oberfläche des Planeten wölbt sich nach unten. Der Beobachter kannnur bis zu einer gewissen Entfernung die Oberfläche ansehen, und diese Entfernung hängt vonÇlÄseinerAugenhöhe ab.Wenn der RadiusGden£kritischen erreicht, erscheint die Oberfläche plötzlich flach.Wir sehen das auch in Abbildung 17.4(b). Dort ist die Oberfläche des Himmelskörpers eine Geodäte,ÇlÄ RadiusÇalso eine gerade Linie im Raum. Folglich ist die Oberfläche des Planeten, wenn wir die dritte Dimensionwieder hinzunehmen, eine ebene Fläche. Alles das gilt natürlich nur in der optischen Geometrie. Aberdie bestimmt, wie sich Lichtstrahlen verhalten, und somit was ein Beobachter sieht. Die Oberfläche Geines326

größer(a)Milchstraßeandere Galaxie(b)(c)Abbildung 17.6: Eine schematische Darstellung dessen, was ein Beobachter auf der Oberfläche eines(a), gleich (b) oder kleiner (c) als der kritischeHimmelskörpers sieht, wenn dessen ˜ RadiusRadius ˜ Ä Õ ÖØ× Ó ist.GPlaneten sieht aus wie eine Ebene.Wenn der Planet noch keiner wird, dann wölbt sich seine Oberfläche sogar nach oben. Auchdas ist in Abbildung 17.4(c) und (d), oder in Abbildung 17.5 gut zu erkennen. Ein Bewohner eines solchenÇlÄPlaneten hätte den Eindruck, in einer Art Hohlwelt zu leben, aus der es nur einen kleinen,fürÇ|Gkö’ÇlÄkreisförmigenAusgang ins Weltall gäbe. Wäre die Erde kleiner als ihr kritischer Radius, dann hätten wir von Europa auseinen wunderbaren Blick auf Australien, und wir würden sogar unendliche viele Bilderdavon sehen.Trotzdem könnten wir noch in den Himmel schauen. Wir müssen nur genügend steilmitÇGnach oben schauen,dann schafft es der Lichtstrahl, den Hals zu durchqueren und nach außen zu dringen, bzw. umgekehrtschafft es ein Lichtstrahl, von einem fernen Stern durch den Hals auf die Oberfläche unseres Planetenvorzudringen. Auch jeden solchen Stern sehen wir unendlich oft, unabhängig davon, ob der Stern aufunserer Seite oder auf der anderen Seite des Planeten steht. Denn auch ein Lichtstrahl, der von außenkommt, kann sich beliebig oft um den Hals wickeln, bis er schließlich auf die Oberfläche des Planetenfällt.Aufgabe 17.18 Wie in Abbildung 17.6(c) dargestellt, konvergieren für einen Beobachter auf der Oberflächeeines Planeten sowohl die Bilder eines bestimmten Punktes auf der Oberfläche desPlaneten, als auch die unendliche vielen Bilder eines weit entfernten Sterns in seinem Blickfeld gegeneinen Punkt auf dem Rand “zwischen Himmel und Erde”. Man mache sich klar, das dieser Rand kein Horizontim üblichen Sinne ist, also nicht wie in Abbildung 17.6(a). Was tun die beiden Lichtstrahlen, die inÇlÄAbbildung 17.6(c) als gestrichelte Linien dargestellt sind, in der Raumzeit bzw. auf dem in Abbildung 17.5dargestellen Ausschnitt des Raumes?ö mitÇGDas klassische TeilchenNach diesem kleinen Ausflug in die Welt des Science-Fiction wollen wir nun noch einmal auf den Bodender Tatsachen zurück kommen. Wir wollen zeigen, dass die optische Geometrie des Raumes nicht nur für327

¹(17.47)LLgd \ T` \ Td

T5 (17.53))& kÌ&[¦½&(17.54)Geometrie des Raumes ist einfach die eines dreidimensionalen Euklidischen Raumes. DannChristoffel-SymboleŒverschwindendie N¢©¤, und was dort steht ist die klassische Bewegungsgleichung für ein Teilchenin einem Gravitationspotential1. Wir müssen dazu nur KurvenparameterZ den als klassische “Zeit” interpretieren.Und wenn dieÄoptische nicht flach ist? Dann sind das immer noch die klassischen Bewegungsgleichungenfür ein Teilchen in einem Gravitationspotential1, nur dass der Raum, in dem sich dasMetrikŒTeilchen jetzt bewegt, ein gekrümmter Raum ist. Und zwar ist es genau der gekrümmte Raum, auf demLichtstrahlen sich auf Geodäten bewegen. Ein massives Testkörper sieht also die gleiche räumliche Geometriewie ein Lichtstrahl, er spürt aber zusätzlich noch des Newtonsche Gravitationspotential, dass sichaus der Zeitkomponente der Metrik ergibt.Wir können die Bewegungsgleichungen (17.50) sogar aus einem Wirkungsprinzip ableiten, das mit‚Nvder klassischen Wirkung für ein Teilchen im Gravitationspotential identisch ist. Dazu definieren wir dieLagrange-Funktion2T5 ¦„ Œ ‚Nv2 T5 \ TN \ Tv ¦132 T\aus der sich die Bewegungsgleichungen (17.52) ergeben.Wir können demnach die Bewegungsgleichung für einen frei fallenden, massiven Testkörper auf einerstatischen Raumzeit lösen, indem wir das Problem zuerst auf ein äquivalentes klassisches Problem abbilden,nämlich die Bewegung eines klassischen Teilchens auf einem Raum, MetrikŒdessen ‚Nwvist, und auf dasGravitationspotential1 ein einwirkt. Wenn wir dieses Problem gelöst haben, kennen wir die BahnkurvenT2Z5eines hypothetischen klassischen Teilchens.Um daraus die Weltlinien unseres Testkörpers auf der Raumzeit zu rekonstruieren, benötigen wir nochdie Funktion)2Z5. Dazu müssen wir die Nebenbedingung lösen, also sie zweite Gleichung in (17.8), diewir bis jetzt ignoriert haben. Sie lautet, wenn wir die Raum- und Zeitkomponenten getrennt schreiben,Wenn wir (17.51) und die bekannte Beziehung zwischen Metriken‚NvundŒden ‚Nwveinsetzen, und das ganzenoch ein wenig umformen, so ergibt sich darausT5 \ TN \ Tv z¬2 T5 \ ‚Nwv2\ TN \ Tv j ¦132T5 T5(17.55)Das ist genau die klassische Energie für ein Teilchen mit der Lagrange-Funktion (17.53). Es ist daher eineErhaltungsgröße, und somit ist)2Z5eine lineare Funktion vonZ. Die Bewegungsgleichung (17.49) ist alsoebenfalls erfüllt. Wir können das wie folgt zusammenfassen.\ )& ¦„ Œ ‚Nwv2 ¦„y’´µEin frei fallender Testkörper verhält sich in einer statischen Raumzeit genau so wie sich einklassisches Teilchen, welches die optische Geometrie der Raumes sieht die Zeitkomponenteder Metrik als Gravitationspotential spürt.Ganz exakt stimmt die Analogie nicht, denn das, was für das hypothetische klassische Teilchen die “Zeit”ist, ist für den eigentlichen Testkörper der KurvenparameterZ,und die Funktion)2Z5wird erst durch(17.55) bestimmt, hängt also von der Energieyl´µ des klassischen Teilchens ab. Ansonsten handelt es sichaber um eine bijektive Abbildung eines physikalischen Problems, nämlich die Lösung der Geodätengleichungfür einen massiven Testkörper auf einer gegebenen statischen Raumzeit, auf ein anderes physikalischesProblem, nämlich der Lösung der Bewegungsgleichungen für ein klassisches Teilchen auf einemgegebenen Raum und mit einem gegebenen Potential.Aufgabe 17.19 Man zeige, dass aus (17.55) stets folgt, dass sich der Testkörper auf einer zeitartigenWeltlinie bewegt, also langsamer als das Licht ist, auch wenn sich das klassische Teilchen als Funktion329

§hin„H1£2§5dargestelltŽ›ÇƒÏ Œ Í’Î Ž›Ç Œ ÍBÎ Milchstraßeandere Galaxie(a)(b)Abbildung 17.7: Planetenbahnen (a) und Kometenbahnen (b) im Gravitationsfeld eines Sterns. Das qualitativeVerhalten der Bahnen ergibt sich aus der anschaulichen Vorstellung, dass eine kleine Kugel überdie Fläche rollt, während diese waagerecht in einem homogenen Gravitationsfeld aufgestellt ist.der “Zeit”Z mit einer Geschwindigkeit bewegt, die größer als Eins ist. Für das hypothetische klassischeTeilchen gilt also wirklich die klassische Physik, nicht etwa die spezielle Relativitätstheorie. Wie hängt dieklassische EnergieyB´>µ mit der tatsächlichen Energie des Testkörpers in der Raumzeit, also der Komponente¼MdesImpulses zusammen?Was bedeutet das nun anschaulich? Und hilft es uns, die Bewegung eines frei fallenden Körpers in einerstatischen Raumzeit besser zu verstehen? Betrachten wir wieder den speziellen Fall eines kugelsymmetrischenHimmelskörpers. Die optische Geometrie des Raumes, oder genauer die der Äquatorebene, ist danndie in den Abbildungen 17.2 bzw. 17.4 dargestellte.Wir können uns leicht vorstellen, wie sich ein klassisches Teilchen auf einer solchen Fläche bewegt.Es handelt sich jetzt aber nicht um ein freies Teilchen, das einfach einer Geodäte folgt, sondern um einTeilchen, auf das eine Kraft im klassischen Sinne wirkt. Tatsächlich ist im Fall der Schwarzschild-Metrikdas Gravitationspotential1 bis auf eine Konstante durch den Newtonschen Ausdruck gegeben,Innerhalb des Sterns gilt wieder eine etwas komplizierte Formel, die von der Dichte des Sterns abhängt.Den qualitativen Verlauf des Potentials können wir aus Abbildung 15.1 entnehmen, woFunktionzÁ2§H5unter anderem dieist. Entscheidend ist hier nur, dass das Potential monoton zu kleinerenabfällt, und für§dass es gegen eine Konstante geht.Das tut auch die Einbettungsfunktion . 2§5,also die vertikale Koordinate in den hier gezeigten Abbildungen.Wir können uns also vorstellen, dass die gezeigten Flächen ganz real in einem homogenenGravitationsfeld eingebettet sind, und dass das hypothetische klassische Teilchen in Gestalt einer kleinenKugel auf diesen Flächen umher rollt. Die Lagrange-Funktion für ein solches klassisches Teilchen ist danngenau von der Form (17.53). åWenn wir für einem Moment ignorieren, dass die Einbettung in den Euklidischenonspotential1Raum das Gravitati-nur qualitativ, aber nicht exakt simuliert, dann können wir sagen, dass sich ein Testkörperin der Schwarzschild-Raumzeit genau so verhält wie eine Kugel auf einer entsprechend gewölbten Fläche.Wir könnten also eine Fläche ganz praktisch aus Kunststoff gießen und dann die Bahnen von Planeten undKometen im Labor simulieren.Daraus ergibt sich mit ein wenig Intuition sofort das in Abbildung 17.7 gezeigte typische Verhalten vonPlaneten- und Kometenbahnen. Ein Planet umkreist das Zentrum auf einer Ellipse, die aber in allgemeinennicht geschlossen ist. Denn wir haben ja gesehen, dass es zu einer Perihelverschiebung kommt, die umsofür „ ù¨ § 1£2§5§£ ÇÍG(17.56)330

größer ist, je kleiner der Radius der Planetenbahn ist. Das hat auch zur Folge, dass, anders als in derNewtonschen Theorie, ein aus dem unendlichen kommender Komet auf einer Hyperbelbahn einen sehrkompakten Stern mehrmals umkreisen kann, bevor er sich wieder entfernt.Abgesehen davon ist das Verhalten von Planeten und Kometen aber genau so, wie wir es aus der klassischenMechanik kennen. Das ergab sich auch aus den Berechnungen im letzten Kapitel. Jedenfalls giltdas dann, wenn die Bahnen nicht zu nahe an einen sehr kompakten Stern heran kommen. Anders sieht esaus, wenn wir die Räume in Abbildung 17.4 betrachten. Auch hier wird das qualitative Verhalten einesTestkörpers noch immer durch das klassische Bild einer kleinen Kugel beschrieben, die an der Flächehaftet und an ihr entlang rollt. Wir haben schließlich an keiner Stelle eine Näherung für schwache Gravitationsfelderoder etwas ähnliches durchgeführt.Stellen wir uns also vor, eine Kugel kommt von oben und rollt durch den Hals in Abbildung 17.4(d).Diese Kugel wird immer auf den Stern fallen, auch wenn sie einen noch so großen Drehimpuls hat. Dasliegt daran, dass auf die Kugel zwei klassische Kräfte einwirken. Einerseits die Gravitationskraft, gegebendurch den Gradient des Potentials1, und andererseits, wenn wir in ein mit der Kugel mitrotierendesfür§Bezugsystem übergehen, die Zentrifugalkraft. Nun wirken aber , das sehen wir unmittelbar inAbbildung 17.4(d), beide Kräfte in die gleiche Richtung, nämlich zum Stern hin.Mit anderen Worten, Die Zentrifugalkraft treibtöIÇnÄunser hypothetisches klassisches Teilchen gar nichtvom Stern weg, sondern zum Stern hin. Das klingt zwar ein wenig merkwürdig, aber wenn wir die ganzeRelativitätstheorie einmal kurz vergessen, und statt dessen nur die Bewegung eines klassischen Teilchensbetrachten, das durch Zwangskräfte auf der Fläche in Abbildung 17.4(d) gehalten wird, dann widersprichtdie Aussage keineswegs unserer physikalischen Intuition.Es ist dann völlig bei§klar, dass ein Teilchen, das den Hals passiert, den Bereich dahinter erstwieder verlassen kann, wenn es einmal durch den Stern, also durch den dunkel markieren Bereich desRaumes, hindurch getaucht ist. DerÇnÄHalsin der optischen Geometrie erklärt also nicht nur,warum dort ein Lichtstrahl umlaufen kann. Er liefert auch eine anschauliche Erklärung dafür, warum einÇrÄ bei§alsÇjÄ es keine Kometenbahnen gibt, die näher an den Stern heran kommen, ohne auf ihm zu enden.Und schließlich bekommen wir auch noch eineanschauliche Erklärung dafür, warum die Kreisbahneninstabil werden, auch wenn wir diesen Zahlenwert hier nicht auf Anhieb reproduzierenkönnen. Wie wir sehen, ist der Raum oberhalb des Halses in Abbildung 17.4 sehr “steil”, das heißt,ÇlÄ für§der Oberflächenradius einerKugelschale nimmt nur langsam zu, während das Gravitationspotentialschnell weiter ansteigt. Wenn wir versuchen würden, eine Kugel in diesem Bereich zur Rotation aufmit§einerKreisbahn zu bringen, so ist das ungleich schwieriger als zum Beispiel weit draußen in Abbildung 17.7.Die Kugel müsste sehr schnell rotieren, damit die Zentrifugalkraft sie davor bewahrt,ödurch¨,den Hals„zufallen. Und müsste sie sogar unendlich schnell rotieren, was natürlich auch in der klassischenMechanik nicht möglich ist. Wir können zwar nicht unmittelbar sehen, dass die letzte stabile KreisbahnÇyÄ bei§liegt, aber zumindest können wir das Phänomen als solches qualitativ erklären. Und es istebenfallsoffensichtlich, dass es gar keine Umlaufbahnen mehr geben kann. Dortbei§fällt jederKörper auf den Stern, es sei denn er hat genug Impuls nach oben, um durch den Hals zu entkommen. Auffür§keinen Fall kann er aber unterhalb des Halses um den Sternö ¨, *kreisen.18 Schwarze LöcherÇjÄBis jetzt haben Bereich§wir stets nur den der Schwarzschild-Metrik betrachtet, bzw. wirhaben angenommen, dass der Stern, der dieses Gravitationsfeld erzeugt, einen hat, soÇrzdass andere Metrik gilt. War haben aber gesehen, dass ein Stern nur so lange stabil seinRadiusÇ…Gkann, wie sein Radius größer Was„ð¨passiert, wenn dieser Radius, aus welchenfür§Gründenauch immer,£ £unterschrittenals2¥Do;5¨wird?öÇÍGÇjz331eineist.

'S)&j!$#'§&j §&£2'[6&j Þ_ßÕà&/[ '\&5(18.1).Außerhalb des Sterns ist die Geometrie der Raumzeit dann weiterhin durch die Schwarzschild-Metrikgegeben. Dies ist die einzige kugelsymmetrische, statische Lösung der Einstein-Gleichung im materiefreienRaum. Tatsächlich kann man zeigen, dass es sogar dann die einzige Lösung ist, wenn man alleindie Kugelsymmetrie fordert. Der Grund dafür ist ähnlich wie in der Elektrodynamik. Auch dort genügtbereits die Forderung nach Kugelsymmetrie, um das statische Coulomb-Potential herzuleiten. Es gilt fürjede kugelsymmetrische Ladungsverteilung, unabhängig davon, ob diese statisch ist oder nicht.So hat zum Beispiel ein kugelsymmetrisch pulsierender Stern das gleiche Gravitationsfeld wie ein statischerStern. Der Grund dafür ist, wie wir im nächsten Kapitel sehen werden, dass es keine kugelsymmetrischenGravitationswellen gibt, genau wie es keine kugelsymmetrischen elektromagnetischen Wellen gibt.Deshalb ist es nicht möglich, dass ein Stern Informationen über seine Veränderung nach außen weiter gibt,solange diese kugelsymmetrisch erfolgt. Egal, was der Stern tut, solange er kugelsymmetrisch bleibt, giltaußerhalb des Sterns die Schwarzschild-Geometrie.Aber wie ist das möglich, wenn für§diese nur wohldefiniert ist? Das wollen wir in diesem Kapiteluntersuchen. Wir werden feststellen, dass sehr merkwürdige Dinge geschehen, wenn der Stern kleiner alssein Schwarzschild-Radius wird. Die Raumzeit, die dabei entsteht, beschreibt ein sogenanntes schwarzesÇzLoch. Damit wird ein Objekt, oder genauer eine Teilmenge der Raumzeit bezeichnet, aus der keine Informationnach außen dringen kann. Anschaulich beruht der Effekt darauf, dass das Gravitationsfeld dort sostark wird, dass noch nicht einmal Licht entkommen£kann.Das ist zunächst einmal verblüffend, denn schließlich gibt es so etwas wie die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.Lokal messen wir an jeder Stelle der Raumzeit und RichtungŽin jede Wie kann esdann sein, dass Licht aus einem bestimmten Bereich der Raumzeit nicht heraus gelangen kann, wo es sichdoch mit einer konstanten Geschwindigkeit in jede Richtung des Raumes bewegen kann? Die Erklärungist, in groben Zügen, dass das Licht in einem schwarzen Loch gefangen ist, weil dort die Begriffe Raumund Zeit nicht mehr ihre übliche Bedeutung haben. Licht kann sich zwar noch immer in alle Richtungendes Raumes bewegen, aber keine dieser Richtungen zeigt “nachdraußen”.Schließlich werden wir sehen, dass ein Stern, wenn er einmal den Schwarzschild-Radius unterschrittenhat, zu einem punktförmigen Objekt mit ebenfalls sehr merkwürdigen Eigenschaften kollabiert. Ein Astronaut,der sich unvorsichtigerweise in die Nähe dieses Objektes begibt, kann nicht verhindern, in diesesObjekt hinein zu stürzen und ebenfalls als punktförmiges Objekt zu enden. In der Nähe dieser Singularitätwirken Gravitationskräfte, die stärker sind als jede mögliche Bindungskraft in einem ausgedehntenKörper. Jeder solche Körper wird dort in seine Bestandteile zerlegt.Geometrische EinheitenWir schreiben noch einmal die Schwarzschild-Metrik auf, die wir in Kapitel 15 als eindeutige Lösungder Einstein-Gleichung im Vakuum für eine statische, kugelsymmetrisch Raumzeit gefunden haben. Siehing nur von einem einzigen Parameter ab, den wir als die (schwere) Masse eines kugelsymmetrischenHimmelskörpers interpretiert haben. Die Koordinaten waren2)§[\5, und das Linienelement lauteteOffenbar haben die¨ wir hier ’s weg gelassen. Das können wir tun, wenn wir, genau wie wir früher inRelativitätstheorieŽder speziellen gesetzt haben, jetzt auch¨ setzen. Da¨ eine universelleNaturkonstante ist, können wir dies erreichen, indem wir unsere Einheiten passend wählen.Wie wir aus (15.26) entnehmen, definiert die Newtonscheeine Beziehung zwischenLängen oder Zeiten auf der einen Seite, und Massen auf der anderen Seite. Wir können dazu übergehen,von nun an Massen nicht mehr in Kilogramm zu messen, sondern in Metern oder Sekunden, wasKonstante¨ja* „ðE § Dñ 'Sî&„ðE § Dñ332

ŒB4& '4& 4 £ (18.3)?Sie4&(18.4)ohnehin schon dasselbe ist. Wir definieren alsokgYSï;„c{ "!&—m „ï;² "!ísec B Ž ¨ *H(18.2)In der speziellen Relativitätstheorie hatte das zur Folge, dass wir zum Beispiel sagen konnten, die Entfernungvon der Erde zum Mond betrageHsec. Die Aussage war dann die, dass das LichtHsec benötigt,um von der Erde zum Mond zu gelangen. Entsprechend können wir jetzt sagen, die Masse der Sonne seikm oder {oQsec. Die erste Angabe ist in diesem Fall der halbe der{ Schwarzschild-RadiusÇpzSonne, die zweite Angabe ist die Zeit, die das Licht für diese Strecke benötigen würde, wenn der Raumflach wäre.Letztlich lassen sich auf diese Weise alle in der Relativitätstheorie relevanten physikalischen Größenin geometrischen Einheiten, also in Längeneinheiten ausdrücken. Die geometrischen Einheiten haben denVorteil, dass wir von nun annie explizit in die Gleichungen aufnehmen müssen. Wir benötigen nurdie Beziehungen (18.2), um eine gemessene oder zu messende physikalische Größe in der„ðmehr¨entsprechendeEinheit auszudrücken.Aufgabe 18.1 Man überlege sich, in welcher geometrischen Einheit die Größen Energie, Leistung, Impuls,Kraft, Energiedichte, Druck, Drehimpuls, Drehmoment, sowie elektrische bzw. magnetische Feldstärke undelektrische Ladung im hier verwendeten Gaußschen Maßsystem gemessen werden. Man zeige schließlich,A!~Gm&ist.dass Einheitenúûin geometrischen „„Eine unvollständige KarteDoch nun zum eigentlichen Thema dieses Kapitels. Wir wollen unsbei§fragen, was mit der Schwarzschild-Metrik geschieht. Wie wir schon früher festgestellt haben, ist das Linienelement (18.1)dort nicht mehr wohldefiniert, denn die Zeitkomponente geht gegen Null, während die radiale Komponentedivergiert. Wir können die Schwarzschild-Metrik nichtÇjzüberdie hinaus fortsetzen.Heißt das vielleicht, dass dieRaumzeit endet, dass sie„ðdort eine Art Rand hat? KannStelle§ein Stern, aus welchen Gründen auch immer, doch nicht kleiner als Schwarzschild-RadiusÇ:z seinbei§werden? Oder können wir die Raumzeit dahinter vielleicht doch fortsetzen, müssen aber eine andere Karte,also andere Koordinaten verwenden?Wie betrachten zunächst eine einfache Analogie, um das Problem deutlich zu machen. Nehmen wir„ðan,wir hätten eine zweidimensionale Lorentzsche Mannigfaltigkeit wie folgt definiert. Sie wird durch eineeinzige Karte abgedeckt,mit„ðden Koordinaten2)465,„ðDie Metrik lautet £ wobei4ist.eine Konstante ist. Wie verhält sich diese Metrik* & 'Sî&,&D4&.für4Heißt')&jdas, dass die Raumzeit dort zu Ende ist? Oder deckt die gegebene Karte vielleicht nur einen Teilder Raumzeit ab? Oder gibt es diesen Rand in Wirklichkeit gar nicht, weil man gar nicht dort hin gelangenkann? Der Begriff “Rand” ist ohnehin etwas irreführend, denn eine Karte ist natürlich stets eine offene „ð ‚æœæTeilmenge und hat somit keinen Rand.Eine einfache Koordinatentransformation gibt in diesem Fall die Antwort. Wir setzendesÀwobeibei§Schwarzschild-Metrikist dort, ähnlich wie dienicht mehr wohldefiniert, denn offenbar divergiert die Komponente Œ465laufen jetzt über denŒ ) u4&. Die durch (18.3) definierte Lorentzsche Mannig-' )&jganzenÀ))ŒKoordinaten2ŒDiefaltigkeit ist also nur eine etwas ungewöhnliche Darstellung des zweidimensionalen Minkowski-Raumes.v4 !à'"î& 'Œ333

ŒŒ')&j!$#!$#4&(18.6)(18.7)Diese bei4Raumzeit hat natürlich keinen wie auch immer definierbaren Rand. Dass uns das soerschien, lag nur an der speziellen, etwas ungewöhnlichen Wahl der Koordinaten.Wir brauchen aber nur eine kleine Änderung vornehmen, dann sieht das Ergebnis gleich ganz andersaus. Betrachten wir statt (18.3) die Metrik (18.5)Auch dadurch wird eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit definiert. Und auch diesmal können wir die Metrikdurch eine einfache Koordinatentransformation auf die Minkowski-Form bringen. Dazu setzen wir £ 4 '4& 4 j 'S)‹& x 'SîU&4 £.Allerdings ist der Wertebereich der Koordinaten2Œneuen495jetzt ein Mit4anderer. nämlich auchDurch (18.5) wird daher nur eine Hälfte des Minkowski-Raumes erfasst, während durch (18.3) der£ ) Œ 4 „ƒ 4 B 'Sî& x 'Œ )&j ' Œ )ganze Minkowski-Raum erfasst wird, obwohl in beiden Koordinaten24)5Fällen der Wertebereich derderselbe ist und beide Metriken flach sind.Die durch (18.3) definierte Raumzeit Stelle4kann nicht über die hinaus fortgesetzt werden, weildiese Stelle bereits unendlich weit weg ist. Die durch (18.5) definierte Raumzeit kann aber sehr wohl überdie hinaus®fortgesetzt werden. Es handelt bei4sich nur um den Rand einer Karte mitwillkürlich gewählten Koordinaten. Die Koordinaten2)465können über die Stelle4hinaus nicht Stelle4fortgesetzt werden. Aber daraus folgt nicht, dass die Mannigfaltigkeit nicht die Teilmenge einer größerenMannigfaltigkeit ist.Es ist also nicht ohne weiteres möglich, allein aus dem Verhalten der Koordinaten in einer Karte auf dieglobale Struktur der Raumzeit zu schließen. Insbesondere lässt sich nicht unmittelbar die Frage beantworten,ob sich die Raumzeit über die gegebene Karte hinaus fortsetzen lässt oder nicht. Es ist deshalb Cauchim Falle der Schwarzschild-Metrik alles andere als für§offensichtlich, was wirklich passiert.Allein aus der Tatsache, dass die Koeffizienten der Metrik nicht mehr wohldefiniert sind, dürfen wir keinevoreiligen Schlüsse ziehen.Wir müssen deshalb die Struktur der Raumzeit in der Umgebunggenauer„–analysieren.Dazu haben wir in Abbildung 18.1(a) ein Raum-Zeit-Diagramm der Schwarzschild-Karte§ ±zµ von§)Œist„– etwasdargestellt. Es sind nur mit§die Koordinaten2)§H5, wiedergegeben. Jeder Punkt in dem Diagrammrepräsentiert eine Sphäre mit dem Oberflächenradius§.Als erstes interessiert uns die kausale Struktur dieser Raumzeit. Wie sehen die lokalen Lichtkegel inder2)§H5-Ebene aus? Kein Lichtstrahl, und folglich auch kein massives Teilchen, kann sich schnellernach innen oder außen bewegen als ein radial laufender Lichtstrahl. Daher genügt es, die radial ein- undauslaufenden Lichtstrahlen zu betrachten. Für das Linienelement auf einer solchen Kurve£ „ðundf,gilt'[und folglich, da es sich um eine lichtartige Kurve handelt,'\Die Lichtkegel verhalten sich weit draußen, für große§, genau wie im Minkowski-Raum. Dort istFür§die

qŒðÓ §ðÓ!$#ðF§ ±zµðÓ(18.10)Œ ) )±zµ §auslaufender LichtstrahlMilchstraßeandere Galaxieauslaufender Lichtstrahleinlaufender Lichtstrahleinlaufender LichtstrahlÓ)(*"ø””#"%$'&(a)(b)Abbildung 18.1: Die õSchwarzschild-Raumzeit ±zµin der üblichen Darstellung (a), sowie nach einereinfachen Koordinatentransformation (b), die bewirkt, dass alle radialen Lichtstrahlen auf Winkelhalbierendenlaufen. Die ” Õ Stelle im Raum scheint in dieser Darstellung unendlich weit entfernt undnach einerendlichen Eigenzeit.OŒŒ §damit unerreichbar zu sein. Trotzdem erreicht ein frei fallender Testkörper die Stelle ” ÕistŒ Hier eine Integrationskonstante, die quasi die auslaufenden Lichtstrahlen durchnummeriert. Entsprechendgilt für einen radial einlaufenden LichtstrahlOwobei IntegrationskonstanteŒdie angibt, qu „ðE § B ) Œ q § „ð !àAufgabe 18.2 Warum sind die lichtartigen Kurven (18.8) und (18.9) Geodäten?Dñ '§ ')(18.9)Ëv „ð§um welchen einlaufenden Lichtstrahl es sich handelt.undŒ ist O qDie physikalische Bedeutung ParameterŒder in Abbildung 18.1(a) dargestellt. große§Fürkönnen wir den Logarithmus gegenüber dem linearen Term vernachlässigen. Es gilt dann§große§Für verhalten sich radial ein- und auslaufenden Lichtstrahlten wie im Minkowski-Raum. Also istZeit, bei der ein auslaufender Lichtstrahl im flachen Raum wäre, unddie Zeit, bei der ein einlaufender Lichtstrahl im flachen bei§Raum würde. ¢bzw. Œ O j § r )für Œ q § r )die Œ O )Aufgabe 18.3 Genau genommen stimmt das nicht ganz, denn der Logarithmus geht natürlich für großenicht gegen Null. Man beweise aber folgende Aussage, die wir später benötigen werden. Gegeben seien§zwei radial auslaufende Lichtstrahlen ParameternŒmit istõden O&.Dann Zeitdifferenzzwischen der Ankunft des einen und der Ankunft des anderen Lichtstrahls, gemessen von einemBeobachter weit draußen Bereich§|im .å )) Œ q istO# undŒlosgelaufenankommenŒ O& Œ O# die335

) ) Œ Œ) Œ Œ2!$#'§&X§&5 j §&2'[&j Þ_ßÕà&[ '\&5 (18.13)die Lichtstrahlen folgendes Verhalten. Ein radial einlaufender Lichtstrahl erreichtsondern nähert sich dieser Stelle für) nur asymptotisch Das gleichegilt für einen auslaufenden Lichtstahl, wenn wir ihn in die Vergangenheit verfolgen. Er nähert sich fürder .„– Stelle§zeigenniemals die Stelle§ „ð Für§ü„– ,nähert. Es kann sichfür)dieseroder) Stelle nur asymptotisch nähern, da es nicht schneller sein kann als das Licht.Das legt zunächst den Schluss nahe, dass es sich hier wie in unserem ersten Beispiel (18.3) verhält. Esist„ðunmöglich, die zuåerreichen, da sie unendlich weit entfernt ist. Die Raumzeit hat beikeinen Rand,Íåsondernbildet dort einen unendlich langen Schlauch, dessen Querschnitt eineStelle§Kugelschalevom In diesem Tunnel wäre ein Teilchen unendlich lange unterwegs, bises„ðankommt.§ „–„ð bei§Radiusr „ðasymptotischDasselbe gilt für jedes massive Teilchen, wenn es sich der Stelle§ Íå )å.Aber dieser Schluss ist falsch, denn er beruht auf dem Verhalten von willkürlich gewählten Koordinaten.Man kann nämlich zeigen, Stelle§dass die nicht unendlich weit entfernt ist. Wir können zumBeispiel die Länge einer raumartigen Kurve berechnen, die einen beliebigen Punkt2)G§G[6GC\G5mit dem[6GC\G5verbindet.Für das Linienelement auf dieser Kurve, die wegen der Symmetrie eineraumartige Geodäte ist, gilt„ðPunkt2)G„ðist.Dieses Integral ist endlich, obwohl bei§der Integrand divergiert. Der Rand der Karte§ ±zµinAbbildung 18.1(a) ist also nur endlich weit von irgendeinem einem Punkt innerhalb der Karte entfernt.Eine andere Möglichkeit, zu demselben Ergebnis zu kommen, ist, die Weltlinie eines frei fallendenTeilchens als Funktion der Eigenzeit dieses Teilchens darzustellen. Das hatten wir in Kapitel 16 getan,als wir die zeitartigen Geodäten in der Schwarzschild-Metrik bestimmt haben. Wir hatten gesehen, dasssich ein frei fallender Testkörper wie ein klassisches Teilchen in einem effektiven Potential verhält. Füreinen radial nach innen fallenden Testkörper ist der Drehimpuls Null, das heißt es gilt das Potential in„ðAbbildung 16.4(a). Daraus lesen wir unmittelbar ab, dass ein solcher Stelle§Körper die nach „ð „ðE § Dñ 'Sî«&&+B ­,aƒ §ƒ § „ð '§(18.11)einer endlichen Eigenzeit erreicht.Es ergibt sich also folgende paradoxe Situation. Einerseits kann ein TeilchenSchwarzschild-Karte§niemals den Rand derin Abbildung 18.1(a) erreichen, denn dazu müsste es das Licht überholen.Andererseits erreicht das Teilchen aber sehr wohl nach einer endlichen mit§Eigenzeit eine Stelle ,also eine Kugelschale, deren ist. Aber wo liegt dieses Ereignis in der Raumzeit?Es liegt nicht in der Schwarzschild-Karte. Wir vermuten also, dass es irgendwo noch eine Fortsetzung der±zµOberflächenradius„–Raumzeit geben muss, ähnlich wie in unserem zweiten Beispiel„ð (18.5).Aufgabe 18.4 Um noch einmal deutlich zu machen, dass das Verhalten von Koordinaten keine Auskunftüber die globale Struktur einer Raumzeit gibt, wollen wir zeigen, dass man der “Rand” der Schwarzschildbei§Karte wie folgt “wegtransformieren” kann. Wir definieren neue Koordinaten2Œ„ð auchmit)ŒDann ist der Wertebereich der Koordinaten2ŒneuenKoordinaten wie folgt lautet,u§o5derj „ð !à §ganzeÀ&. Man zeige, dass die Metrik in diesen§ §§[\5 )Œ(18.12) gegeben ist. Dann zeige man, dass für radial aus- bzw. einlaufendeLichtstrahlen „–E § Dñ 'SîU&)o&j 'Œ 'ŒŒ§(18.14)„ð ’v (18.12)bzw. Œ § j O336 Œ q Œ )als vonŒFunktion durch§wobei§

* Dñ „ð§â E')â&j '"î&§â 'S)â§j§j „ð§â E'§Lâ&j D§(18.15)'§(18.18)§â&£2'[8&j Þ¥ßáà&/[ '\&5(18.19)gilt. Sie laufen also auf den Winkelhalbierenden der2Œ in§5-Ebene. Ein entsprechendes Raum-Zeit-Diagramm ist in Abbildung 18.1(b) dargestellt. Die Karte§ ±zµhat jetzt keinen Rand mehr. Warum werdendadurch die gerade beschriebenen Problem trotzdem nicht gelöst?)ŒEddington-Finkelstein-KoordinatenWir wollen nun versuchen, eine Fortsetzung der Raumzeit über die ±zµhinaus zufinden. Erinnern wir uns dazu an das zweite Beispiel (18.5). Dort hatten wir zunächst eine Koordinatentransformation(18.6) so durchgeführt, dass die Metrik an der entscheidenden Stelle, in diesem Fall beiSchwarzschild-Karte§x, nach der Transformation wohldefiniert war. Dann konnten wir die fortsetzen. Die ursprünglichdefinierte Mannigfaltigkeit war nur eine Teilmenge einer größeren Mannigfaltigkeit.Genau das werden wir hier auch tun. Aber dazu müssen wir erst einmal eine geeignete Koordinatentransformationfinden. Was wir suchen, ist eine Karte, in der wir die Weltlinie eines radial einlaufendenLichtstrahls, oder die eines4frei fallenden Teilchens, über die hinaus fortsetzen können.Nun liegt aber das Ereignis, an dem Stelle§das Teilchen die passiert, in derStelle§Schwarzschild-Karte. Als müssen wir dieses Ereignis erst einmal, bildlich gesprochen, ins endliche holen.Dafür gibt es einen einfachen Trick. Wir transformieren die Zeitkoordinate)so, dass jeder einlaufende„ðbei)Lichtstrahl auf einer Winkelhalbierenden läuft. Wir behalten aber die radiale Koordinate§. Da wir dasVerhalten (18.9) von einlaufenden Lichtstrahlen bereits kennen, können wir die gesuchte Koordinatentransformationexplizit angeben.å „ð Wirsetzen)â §â u!à2)â§â«5für§)jund„ðinvertierbar. Die Koordinaten2)â§â[C\5werden Eddington-Finkelstein-Koordinaten genannt, odergenauer einlaufende Eddington-Finkelstein-Koordinaten. In diesen Koordinaten gilt für einen radial einlaufendenLichtstrahl statt (18.9) die einfache Beziehung£ £„– bzw.§â„ð Ëv )â(18.16)Ein einlaufender Lichtstrahl bewegt sich also auf einer Winkelhalbierenden in der2)â§â«5-Ebene. Füreinen auslaufenden Lichtstrahl (18.8) gilt dagegen auch weiterhin ein etwas komplizierterer Zusammenhangzwischen)âund§â, nämlichq Œ§âOffensichtlich ist diese Transformation2)§5 ˜„ð wohldefiniertHier gilt immer)ânochdann nähert er sich asymptotisch der Stelle§fâeinlaufender Lichtstrahl erreicht die Stelle§fâ)â O j Œ„ð§âjuWenn wir den Lichtstrahl in die Vergangenheit verfolgen,;an.!à„ð In (18.16) ist das aber nicht der Fall. Eineiner Koordinatenzeit)âendlichen .(18.17)’v§â „ðUm zu sehen, dass wir nun die Raumzeit mit Hilfe der neuen Koordinaten in den Bereich§câÍåfür§â÷nachfortsetzen können, berechnen wir die Komponenten der Metrik. Aus (18.15) folgt„ðö•„ð.')â u'§Lâ„ð ’v!$#'§Setzen wir das in (18.1) ein, so ergibt sich nach einer kurzen Rechnung der folgende Ausdruck für dasLinienelement,')j ;'§â337

„ð§â ‚±âµMºMx…m‚±âµMa ‚±âµaM „ð§â ‚±âµa¤a‚±âµaañdivergieren§â „ð(18.20)(18.21)Koordinate§dâDie definiert noch immer den Oberflächenradius einer für§hâ÷Kugelschale, und ergibtsich noch immer näherungsweise die flache Minkowski-Metrik. kleine§hâFür sieht die Metrik jetzt aberganz anders aus als die Schwarzschild-Metrik. Die Zeit- und Raumkoordinaten sind nicht mehr zueinandersenkrecht. Aber dafür sind jetzt alle Komponenten der bei§âåMetrik wohldefiniert, insbesonderedie Zeit- und Radialkomponenten„ð §â§â „ð§Lâ jj „ðEs ist zwar noch‚±âµMºM*…immer‚±âµMºM‚±âµMa ‚±âµaM•„ð, aber trotzdem ist die Metrik dort invertierbar, und „ðzwar wegen der nicht verschwindenden Nebendiagonalelemente. Die entsprechenden Komponenten derinversen Metrik sind, wie man leicht nachrechnet,für§âWir haben also eine Metrik mit den folgenden Eigenschaften für§hâgefunden. Sie ist ist wohldefiniert,also Karte§ in einer ±zµ,die die Schwarzschild-Karte erweitert. Und es handelt sichnoch immer um eine Lösung der Einstein-Gleichung im Vakuum. Denn daran ändert sich durch eine Koordinatentransformationnatürlich nichts. Wenn wir den Einstein-Tensor für die Metrik (18.19) ausrechnen,±-,/.verschwindet dieser £für.âµ10C§alle§fâ£Mit anderen Worten, die Metrik (18.19) beschreibt noch immer das Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischenObjektes der Masse . Aber dieses Objekt ist jetzt auf OberflächenradiusÇ|G den zusam-

(18.26)'Sî& 2'§â j ')â«5292§â«5'§â z¬2§â«5'S)â«5 (18.27)Wenn wir statt dessen verlangen, dass die radial auslaufenden Lichtstrahlen entlang der Winkelhalbierendenlaufen, müssen wir folgende Transformation durchführen,u)Auch diese Transformation ist für wohldefiniert)! heißen„ð !à2)!§![C\5 „ð £ §(18.22)Ëv §! § „ð§und invertierbar. Die Koordinatenauslaufende Eddington-Finkelstein-Koordinaten. Sie definieren ebenfallsweiterung§eine Er-±zµder Schwarzschild-Karte. Es handelt sich aber, wie wir gleich sehen werden,um eine andere Erweiterung, das heißt die ±-,/.!µdecken ±2,.âµund§ verschiedene Teilmengeneiner größeren Raumzeit ab.Karten§In±2,.!µ30Y§der ±-,/.!µgilt die folgende Darstellung für einen radial auslaufenden Lichtstrahl (18.8),Karte§(18.23)während für einen einlaufenden Lichtstrahl die komplizierte Koordinatengleichung§! j OŒ )!gilt. Im Unterschied zu den einlaufenden Karte§ Eddington-Finkelstein-Koordinaten in derâµkönnenwir jetzt einen auslaufenden Lichtstrahl über die die Vergangenheit fortsetzen, währendwir für einen einlaufenden Lichtstrahl wieder das asymptotische±2,.finden. åVerhalten§!Stelle§!uŒ q §! ,; !à )!(18.24)’v „ð§!„– für)Aufgabe 18.6 Man berechne die Komponenten‚±!µLg`und‚±!µLa`„ð inMetrik und zeige, dass (18.23)und (18.24) tatsächlich lichtartige Koordinatentransformation2)â§â«5Geodäten sind. Man gebe die2)!§!5in der ±-,/.!µexplizit an und zeige, dass diese Schnittmenge genau dieⵡ±zµist.˜±-,/. Schnittmenge§Schwarzschild-Karte§§Der HorizontUm zu verstehen, was Bereichimder Raumzeit im Bereich der Karte§umzuschreiben,ö§fâsich geht, werden wir jetzt die kausale Strukturvorâµanalysieren. Dazu ist es nützlich, das Linienelement wie folgt±-,/.„– ö2'§â 'S)â«52U2§â«5'§Lâ â zÁ2§â¬5')â«5j §& 2'[&j j 'Sî&Þ_ßÕà&[ '\&5 (18.25)dermitz¬2§âU5Für einen radial laufenden Lichtstrahl mit'[* „–folglich* j „ð< U2§â«5§â §âalso'§â')â |oder'§â')âDa auch hier wieder gilt, dass sich nichts schneller nach innen oder außen bewegen kann als ein radialerLichtstrahl, können wir daraus unmittelbar die lokalen Lichtkegel und damit die kausale Struktur in der2)â§âU5-Ebene ablesen. Sie sind in Abbildung 18.2(a) dargestellt.Der nach innen laufende Lichtstrahl zeigt immer im Winkel von;{54 nach links. Der nach außen laufendeLichtstrahl bildet mit der senkrechten Achse einen Winkel, dessen Tangens durch die zweite Gleichungz¬2§â«5 U2§âU5 §â§Lâj(18.28) „ð„–und'\gilt339

¥ âÓ§¦UÚüðÓý§âµðconstOŒ)!¥ !Ó76HÚððÓÓý¥ !Ó§¨ÚðÓ§ÓâqŒ)âHorizonteinlaufender Lichtstrahl¥ âÓ§¨Ú±2,.auslaufender LichtstrahlHorizontauslaufender LichtstrahlMilchstraßeandere Galaxieeinlaufender Lichtstrahl(a)(b)§!§âAbbildung 18.2: Um die Schwarzschild-Raumzeit in den ” Ù Bereich fortzusetzen, führt man dieeinlaufenden (a) bzw. auslaufenden (b) Eddington-Finkelstein-Koordinaten ein, die wirâÚbzw.ÓÕÔ!Ö”!Úbezeichnen. Beide Karten decken jeweils einen anderen Bereich der Raumzeit ab. Ihre Schnittmengeist die Schwarzschild-KartemitÓÕÔâÖ”õ±-,/.!µbzw. ”!âµkönnen einlaufende lichtartige und zeitartige Geodäten±-,/.!µkönnen auslau-hinaus verlängert±2,.âµ98 õ ±2,. Õ¾õ ±zµ,die jeweils dem Bereich ” â ððÓ entspricht. In der Karte õin die Zukunft über die Stelle ” Õ Ó hinaus verlängert werden. In der Karte õfende lichtartige und zeitartige Geodäten in die Vergangenheit über die Stelle ” Õ±2,.!µwerden.in (18.28) gegeben ist. Dass die Lichtkegel gekippt sind, während sie in Abbildung 18.1 symmetrisch zursenkrechten Achse nach oben zeigen, Eddington-Finkelstein-Koordinaten)âund§âliegt daran, dass dieSchwarzschild-Koordinaten)und§im Gegensatz zu den nichtBereich§zueinander senkrecht sind.Im machen wir nun eine sonderbare Beobachtung. Offenbar zeigen dort beide Armeder Lichtkegel Koordinatenlinie§ânach innen. Eine ist dort eine raumartige Kurve. Das bedeutet,dass es dort für ein massives Objekt, das sich stets auf einer zeitartigen Weltlinie bewegt, unmöglich ist,relativ zu dem gegebenen Koordinatensystem still zu stehen. Das ist an sich nicht weiter schlimm, denn eshandelt sich ja nur um ein willkürlich gewähltes Koordinatensystem.Es ist aber offenbar so, dass für eine zeitartige oder lichtartigeöI„– Weltlinie im Bereich§hâauf jedengilt. Alles, was sich in diesem Bereich befindet, sei es ein massives oder masselosesObjekt, ist demnach gezwungen, sich zu kleineren Radien hin zu bewegen. Betrachten wir ein speziellesEreignisFall'§âD')âmit§âöË„ð, etwa das in Abbildung 18.2(a) gezeigte, so liegt die gesamte Zukunft þüdiesesEreignisses Bereich§fâimö. Es ist daher unmöglich, ü von aus irgendein Signal oder gar einmassives Objekt in den Bereich§fâäußeren schicken.Da sich die Lichtkegel für kleinere§fâimmer weiter nach innen neigen, endet die Zukunft von ü sogar

constconstzum Beispiel in einer stabilen kreisförmigen Umlaufbahn mit§â£Er schickt eine Sonde ab,,die den Raum weiter unten erforschen soll. Nehmen wir an, die Sonde fällt entlang einer radialen Bahnunterschreiten.„ð „ð.frei nach unten. Irgendwann wird sie Radius§âden Ein Signal, das sie danachaussendet, wird das Raumschiff niemals mehr erreichen. Es ist für den Astronauten im Raumschiff alsovöllig unmöglich, irgendwelche Informationen über die VorgängeBereich§hâim bekommen.Eine physikalisch anschauliche Erklärung dafür, warum nichts aus Bereich§hâden entkommen öY„ð öË„–kann, liefert die folgende Beobachtung. Offenbar gibt es einen radial auslaufenden Lichtstrahl,der aber in Wirklichkeit gar nicht nach außen läuft, sondern an dieser Stelle quasi eingefroren ist.bei§hâ Die Kurven [ , \ und bilden eine Schar von mit§dâlichtartigen Geodäten, diewir uns als eine eingefrorene, kugelförmige Wellenfront in der Raumzeit vorstellen können. Um aus demBereich§âheraus zu kommen, müssten wir diese Wellenfront überholen. Aber das geht nicht,denn wir können eine Lichtfront nicht überholen.„ðEs ist wichtig, festzustellen, dass diese sonderbaren Lichtstrahlen nichts mit den umlaufenden Lichtstrahlenzu tun haben, die es natürlich immer„– noch gibt. Diese Lichtstrahlen verhaltensich,bei§âabgesehen davon, dass sie auf geschlossenen Bahnen laufen, völlig normal. Sie bewegen sich zwar nichtin radialeöè„ðRichtung, aber \ in - und bei§â-Richtung. Die Lichtstrahlen dagegen “ruhen” [ relativzu dem Koordinatensystem2)â§â[\5.„– zu„ð istKoordinatenfläche§Die eine lichtartige Hyperfläche in der BasisvektorαâµMRaumzeit. Derist dort lichtartig, ist. Jeder andere Vektor, der zu dieser Hyperfläche tangential ist, alsojede andere Linearkombination der VektorenαâµM,αâµ]undαâµb , ist raumartig. Das folgt sofort aus dersetzen,é weil‚±âµMºMDarstellung (18.19) des Linienelementes. Wenn dort§âwirdann ergibt sich'"î&und folglich'§dâ Yconst(18.29)Þ¥ßÕà&C[Das heißt, jede'1[&5ÅœKurve auf der Hyperfläche§âist entweder lichtartig,„ð wenn'[ und'\ ist,oder raumartig.< Wie jede andere lichtartige Hyperfläche hat auch diese Hyperfläche die Eigenschaft, dass wir sie nurin eine Richtung passieren können, nämlich in Richtung Zukunft. Lokal sieht die Hyperfläche in derRaumzeit genau so aus wie eine lichtartige Hyperebene im Minkowski-Raum, also so wie diej §â&£2'[8&Flächein Abbildung 4.4. Eine lichtartige Hyperfläche ist eine Wellenfront in der Raumzeit, die sich mitLichtgeschwindigkeitbewegt. Wenn uns eine solche Wellenfront einmal überrollt hat, dann„ðhaben wir keineMöglichkeit mehr, sie wieder einzuholen.Aber die lichtartige Hyperfläche hat eine weitere Eigenschaft, die eine lichtartige Hyperebeneim Minkowski-Raum nicht hat, und die auch sonst für Wellenfronten in der Raumzeit untypisch ist.bei§dâBetrachten wir dazu die Situation aus der Sicht eines Beobachters, der sich sehr weit entfernt im räumlichunendlichen befindet, also da, wo die Raumzeit fast wie der flache Minkowski-Raum aussieht. Im Unterschiedzu einer “normalen” Wellenfront kommt diese spezielle Wellenfront niemals bei dem Beobachterweit draußen an, egal wie lange er auch wartet. Die Wellenfront bleibt für immerin einem endlichenBereich„–des Raumes eingeschlossen.Eine lichtartige Hyperfläche mit dieser Eigenschaft heißt Horizont oder Ereignishorizont. Woher kommtdiese Bezeichnung? Offenbar ist es so, dass ein weit entfernter Beobachter, von dem wir annehmen wollen,dass er beliebig viel Zeit zur Verfügung hat, trotzdem nicht von allen Ereignissen in der Raumzeit erfahrenkann. Er bei§fâkann nicht hinter den Horizont schauen, weil von dort kein Signal nach außendringen kann. So wie ein Seefahrer nicht hinter den gewöhnlichen Horizont hinaus übers Meer schauenkann.Anders als der irdische Horizont, der sich mit der Position des Schiffes, auf demman„–sich garadejedoch „ð befindet, mitbewegt, hat der bei§fâEreignishorizont etwas absolutes. Er ist unabhängigdavon, wo genau sich der Beobachter befindet, solange er sich nur selbst von dem Horizont fern hält.Was hinter dem Horizont geschieht, bleibt für einen außenstehenden Beobachter für immer verborgen.341

þ!2^þ!2^Und wenn sich ein Astronaut dennoch dazu entschließt, mit seinem Raumschiff nachzusehen, was dortgeschieht, dann hat er keine Möglichkeit mehr, zurück zu kommen und darüber zu berichten.Tatsächlich hatten wir das Auftreten eines Ereignishorizontes schon an einer anderen Stelle beobachtet,nämlich im Zusammenhang mit einem gleichmäßig beschleunigten Bezugsystem. Betrachten wir dazunoch einmal die Abbildung 13.5(b). Dort hatten wir aus einem kartesischen Koordinatensystem2Œim Minkowski-Raum ein Koordinatensystem2)4©š8œ›5neues konstruiert, das ein beschleunigter Beobachterals sein Ruhesystem interpretiert. Wir hatten dann aber festgestellt, dass dieses Koordinatensystemnur einen Teil das Minkowski-Raumes abdeckt, nämlich das Segment zwischen den beiden in Abbildung13.5(b) als Linien eingezeichneten lichtartigen HyperflächenŒ›

sind nicht nach innen, sondern nach außen gekippt, und statt der einlaufenden Lichtstrahlen laufen jetztdie auslaufenden Lichtstrahlen auf Winkelhalbierenden. Man leite das aus der in Aufgabe 18.6 berechnetenMetrik ab und diskutiere die kausale Karte§ Struktur der ±2,.!µ. Gibt es dort Ereignisse, die keinegemeinsame Zukunft haben? Welche Bedeutung hat dort bei§! der Horizont ? „ð Aufgabe 18.9 In Abbildung 18.2 sind ü drei ý Ereignisse , und eingezeichnet. Warum erscheint nur in±2,.!µ, nur in Karte§ derâµ, ý dagegen in beiden Karten? Man zeige, dass ü in der ±-,/. üKarte§ derZukunft von liegt.Geodätische VollständigkeitEinen Teil des Problems haben wir nun gelöst. Wir haben einen Satz, oder genauer zwei Sätze von Koordinatengefunden, mit deren Hilfe Stelle§wir die Raumzeit über die hinaus fortsetzen können.Unsere erweiterte Raumzeit wird jetzt durch zwei ±-,/.!µbeschrieben.Ein einlaufendes Teilchen, welches wir in der±zµnur bis kurz vor seine Ankunft„–±2,.âµund§ Karten§verfolgen konnten, können wir nun in derâµbis zur Stelle§dâweiter verfolgen.Das gleiche gilt für einen einlaufenden Lichtstrahl, und entsprechendes gilt auch für auslaufende±2,.Schwarzschild-Karte§bei§Teilchen oder Lichtstrahlen, wennwir die ±-,/.!µverwenden. Abgesehen von der noch ungeklärtenFrage, wie die bei§dâRaumzeit„ðnun aussieht, haben wir damit das Problem, das Gravitationsfeldeiner punktförmigen Masse zu beschreiben,•Karte§bzw.§!gelöst?Nicht ganz, denn wir haben jetzt ein neues Problem. Es gibt nämlich in unserer Raumzeit noch immerzeitartige und lichtartige Geodäten, die wir nicht bis in alle Ewigkeit verfolgen können, obwohl sie nichtBetrachten wir dazu den Lichtstrahl, der in Abbildung 18.2(a)durch das Ereignisfüläuft, und der Bereich§fâganz im liegt. Dies ist eigentlich ein auslaufenderbei§Lichtstrahl, der aberwegen der nach innen gekippten Lichtkegel trotzdem nach innen, also zu kleineren Radien hinläuft.nähert sich dieser Lichtstrahl asymptotisch bei§âdem Horizont , Für)âallerdings voninnen. Er erreicht also weder den Horizont, noch den Überlappbereich der beiden Karten, so dass es fürdiesen Lichtstrahl keine Fortsetzung in der ±2,.!µgibt. Das gleiche gilt für den Lichtstrahl, derin Abbildung 18.2(b) durch das Ereignisö‡„–läuft und sichÍåasymptotisch dem„ðHorizontbeiKarte§von innen nähert.für)!In der Nähe des Horizontes verhalten sich diese Lichtstrahlen genau so wie die, die sich ihm von außenasymptotisch nähern. Und wieder gibt es, wie man explizit zeigen kann, auch zeitartige Geodäten mitdiesem Verhalten. Berechnet man dann jedoch die Eigenzeit entlang einer solchen Kurve, so stellt manfest, dass sie„–die nach einerendlichen Eigenzeit erreicht. Also muss es auch für dieseåGeodäten irgendwo eine Fortsetzung geben. Auch die Eddington-Finkelstein-Karten sind in diesem§!SinneStelle§unvollständig.Doch bevor wir jetzt versuchen, einen vollständigen Atlas der Raumzeit zu konstruieren, indem wirimmer neue Karten einführen, sollten wir uns erst einmal darüber Gedanken machen, was wir eigentlichgenau suchen. Was genau heißt vollständig? Was bewegt uns überhaupt dazu,zu sagen,„ðdass dieDurch§ ±zµdie Raumzeit nicht vollständig erfasst? ±zµist eine Lorentzsche Mannigfaltigkeitdefiniert, auf der der Einstein-Tensor überall verschwindet. WarumSchwarzschild-Karte§sagen wir nicht einfach,das sei eine Lösung der Einstein-Gleichung ohne Materie, und damit eine mögliche Raumzeit, wie sie dieallgemeine Relativitätstheorie vorhersagt.Als Analogie können wir wieder die Elektrodynamik betrachten. Jede Lösung der Maxwell-Gleichungen ist ein möglicher Zustand des elektromagnetischen Feldes. Was ist also falsch daran, zusagen, dass die Schwarzschild-Raumzeit eine Lösung der Einstein-Gleichung ist? Formal ist das sicherrichtig. Aber intuitiv ist uns klar, dass da noch irgendetwas fehlt. Es ist nicht so sehr die fehlende Materie,die vorher in Form eines Sterns vorhanden war. Auch in der Elektrodynamik können wir elektromagne-ankommen.343

Œ'"î& >=&/?ž')&j '4&j 'š&j =&@?ž'›& (18.31)tische Wellen oder ein homogenes, den ganzen Raum ausfüllendes Feld betrachten, ohne uns darüberGedanken machen zu müssen, wo denn die Ladungen, also die Quellen sind.Das Problem ist ein anderes, In der Schwarzschild-Raumzeit gehen offenbar Dinge verloren oder tauchenaus dem Nichts auf. Das widerspricht so ziemlich allem, was wir über die Raumzeit und die Physikim allgemeinen zu wissen glauben. Es widerspricht einfach unserer physikalischen Intuition, wenn wires akzeptieren sollen, dass ein frei fallendes Teilchen nach einer endlich langen Eigenzeit die Raumzeiteinfach verlässt. Oder umgekehrt, dass ein solches Teilchen vor einer endlich langen Eigenzeit plötzlichaufgetaucht sein soll.Wir wollen versuchen, diesen Begriff der Unvollständigkeit einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit genauerzu erfassen. Dazu betrachten wir noch einmal sehr einfaches Beispiel, an dem sich das Problem bessererläutern lässt. Gegeben sei eine

¹(18.34) L`¥d \ T` \ Td < j’Ä TLEin solches Kriterium, oder genauer, eine mögliche Definition der Vollständigkeit einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit, ist die sogenannte geodätische Vollständigkeit.Eine metrische (oder affine) Mannigfaltigkeit heißt geodätisch vollständig, wenn man jedeGeodäte beliebig weit verlängern kann.Im Prinzip haben wir genau diese Vorstellung der Vollständigkeit gerade intuitiv verwendet. Wir müssenjetzt nur noch klären, was beliebig weit genau heißen soll. Für zeitartige oder raumartige Geodäten ist dasrelativ eindeutig. Beliebig weit heißt, dass die Länge bzw. die Eigenzeit der Geodäte beliebig groß wird.Aber wir müssen gar nicht auf die Metrik, also auf Längen und Zeiten zurück greifen, um die geodätischeVollständigkeit zu definieren, und wir können den Begriff der Vollständigkeit auch auf lichtartigeGeodäten anwenden. Es genügt, dass auf der Mannigfaltigkeit ein affiner Zusammenhang, also einChristoffel-Symbol existiert. Das ist natürlich die Voraussetzung dafür, überhaupt von Geodäten sprechenzu können.Wir hatten KurvenparameterZ einen Geodäten^einer affinen Parameter genannt, wenn derTangentenvektor der entlang der Kurve parallel transportiert wird, wenn also die Geodätengleichungmit einer verschwindenden rechten Seite gilt,2Z5einenFür raumartige oder zeitartige Geodäten ist KurvenparameterZ das genau dann der Fall, wenn der einelineare Funktion der Eigenzeit bzw. der Länge ist. Die Eigenzeit einer zeitartigen Geodäte ist also einspezieller affiner Parameter, und jedes Vielfache davon ist auch ein affiner Parameter.Aber der Begriff des affinen Parameters ist auch für lichtartige Geodäten sinnvoll, obwohl diese wedereine Länge noch eine Eigenzeit besitzen. Und er istmenhangÄauch dann noch wohldefiniert, wenn der affine Zusam-gar nicht aus einer Metrik ableitet ist, wenn die Mannigfaltigkeit also nur eine affine, aberkeine metrische Mannigfaltigkeit ist.Eine Geodäte soll nun genau dann vollständig heißen, wenn der affine nicht beschränkt ist,also beliebig große positive und negative Werte annimmt. AnschaulichL`¥dParameterZheißt das, das die Geodäte nichtirgendwo plötzlich aufhört, und für zeitartige und raumartige Geodäten auf einer metrischen Mannigfaltigkeitheißt Vollständigkeit in diesemRaumzeit§Sinne dasselbe wie unendliche Länge bzw. Eigenzeit.Eine ist also genau dann geodätisch vollständig, wenn sich jede Geodäte zu einervollständigen Geodäte erweitern, also gegebenenfalls verlängern lässt. DasPunktVkönnen wir auch wie folgtformulieren. Zu jedem und jedem Vektor muss es eine vollständige Geodätegeben, die durch den geht und dort in die Richtung des Vektors verläuft. Mit anderenWorten, es muss eine 2Z5der Geodätengleichung (18.34) für mit den Anfangsbedingungen© § ©PunktVLösung^¯0¸§ 2Z5 ^alleZ©(18.35)^Genau diese Definition der Vollständigkeit einer Raumzeit haben wir am Anfang verwendet, um zu zeigen,dass die Schwarzschild-Raumzeit§ ±zµnicht vollständig ist. Wir haben eine spezielle zeitartige Geodätebetrachtet, nämlich die Weltlinie eines frei nach innen fallenden Teilchens. Wir haben erstens gezeigt, dasssich diese Geodäte nicht verlängern lässt, denn sie hatte im Bereich der Schwarzschild-Raumzeit keinenEndpunkt. Und zweitens haben wir aus früheren Überlegungen über die Bahnen von frei fallenden Körpernin der Schwarzschild-Metrik geschlossen, dass die Eigenzeit auf dieser Weltlinie beschränkt ist. Also istdie Schwarzschild-Raumzeit geodätisch unvollständig. V \ ^ 25 25Àgeben,Aufgabe 18.10 Man finde für den auslaufenden Lichtstrahl (18.8) und für den einlaufenden Lichtstrahl(18.9) in Schwarzschild-Koordinaten jeweils eine affine Parameterdarstellung2)2Z5§2Z5¥5. Man zeige, dassdiese Lichtstrahlen keine vollständigen Geodäten sind.345

\Geindeutig2Z52Z5 \G (18.37)Aufgabe 18.11 Man Kurve4betrachte die lichtartige )in der Raumzeit < mit der Metrik(18.31). Man benutze das Noether-Theorem aus Kapitel 16, um zu zeigen, dass es sich um eine lichtartigeGeodäte handelt. Man zeige dann, dass diese Geodäte unvollständig ist. Man formuliere die Beweise so,dass daraus nicht hervorgeht, dass es sich bei < um eine Teilmenge des Minkowski-Raumes handelt. ,›

§zusammen. Solche Koordinaten werden Lichtkegelkoordinaten genannt. KoordinatenebeneŒEine const O ŒŒ!&'§&§§(18.39)!$#'§& der(18.42)so weiter zu machen, bis wir schließlich einen kompletten Atlas einer vollständigen Raumzeit erhalten. Dasist im Prinzip möglich, aber sehr mühsam.Es ist sinnvoller, mit dem nun klar definierten Ziel noch einmal von vorne zu beginnen. Die Idee ist imwesentlichen die folgende. Um die Eddington-Finkelstein-Koordinaten einzuführen, hatten wir verlangt,dass ein- bzw. auslaufende Lichtstrahlen in den neuen Koordinaten jeweils auf einer Winkelhalbierendenlaufen. Auf diese Weise konnten wir die jeweiligen Stelle§Lichtstrahlen über die hinaus fortsetzen,aber entweder nur die einlaufenden oder die auslaufenden.Können wir vielleicht beides gleichzeitig erreichen? Tatsächlich haben wir das ja schon getan. In Abbildung18.1(b) laufen sowohl die einlaufenden, also auch die auslaufenden radialen Lichtstrahlen aufWinkelhalbierenden. Nur sehen wir dortdie„ðnicht mehr, denn wir haben sie unendlichweit nach links verschoben. Trotzdem bieten diese Koordinaten einen nützlichen Ausgangspunkt. Wir erinnernuns, dass für radial einlaufende Lichtstrahlen in Schwarzschild-Koordinaten die Gleichung (18.9)Stelle§gilt, während für radial auslaufende Lichtstrahlen die Beziehung (18.8) gilt,„– alsobzw. )(18.38)u u vvhatten wir verwendet, um die einzelnen Lichtstrahlen durchzunummerieren. Zusätz-Œ O j § j „ð !à „ð ) Œ „ð !à „ð § qO undŒ qParameterŒDielich müssen wir dann nur noch die sphärischen Koordinaten2'[C\5festlegen, um einen Lichtstrahl eindeutigzu identifizieren.Nun ist aus Abbildung 18.1 unmittelbar ersichtlich, dass jeder Punkt2)§5auf genau einem einlaufenden,und auf genau einem auslaufenden Lichtstrahl liegt. Und umgekehrt hat jeder einlaufende mit jedemauslaufenden Lichtstrahl genau einen Schnittpunkt. Paar2ÆŒFolglich wird durch ein genau ein Punktin der2)§H5-Ebene der wobeiŒSchwarzschild-Karte bezeichnet, reelle Werte annehmen.Wir können O5statt2)§5als Koordinaten verwenden.Sie hängen mit den§o5inqŒAbbildung 18.1(b)O5durch die einfache Beziehung )ŒKoordinaten2ŒqŒ also2gŒ¢BAj¢BAj¢BAundŒ beliebige O qOŒ Œ ) j Œ § Œ O Œ ) Œ qist ein auslaufender Lichtkegel, der im unendlichen so aussieht, als wäre er Schwarzschild-Zeit) zuram Koordinatenursprung los gelaufen. Und umgekehrt ist eine KoordinatenebeneŒ ein einlau-constfender Lichtkegel, der im unendlichen so aussieht, als Schwarzschild-Zeit) würde er zurankommen. Das tut er natürlich nicht, denn diesen Punkt gibt es nicht, aber das spielt hier keine Rolle. qEntscheidend ist nur, dass O[C\5als alternative Koordinaten in der Schwarzschild-Karte verwendenkönnen, indem die (18.38) als Koordinatentransformation auffassen. Ein wenig übersichtlichergeschrieben ergibt sichwir2gŒq bei§ŒqŒ(18.40)’v „ð§uDass diese Transformation umkehrbar ist, folgt wieder aus der Tatsache, dass die rechte Seite der zweitenq !à „ð j § „ OŒj qŒ) „ OŒÀfür§Gleichung monotone, unbeschränkte Funktion ist. DerSchwarzschild-Koordinaten entspricht also Bereich2gŒdemvon§Lichtkegelkoordinaten.Und wie lautet die Metrik in den neuen Koordinaten? Dazu lesen wir aus (18.40) abÀ £ O50©&mit§Bereich2)§5(© £(18.41)„ð derqŒ„– eineDaraus folgt nach einer kurzen RechnungŒ q 'Œ O „') ' Œ q j 'Œ ' Dñ „ðE § „ O347Œ q 'Œ '* j Dñ „ðE § ')& O

DqOD;EqDE „ð)uD;E''qO j §&2'[&j Þ¥ßáà&[ '\&5 (18.43)D;E&5durch(18.45)(18.46)'O j §&Á2'[6&j Þ_ßÕà&C[ '\&5(18.47)„ð vu =DCFEv „ð§(18.48)Das sind, bis auf einen gemeinsamen Faktor, die ersten beiden Terme der Schwarzschild-Metrik (18.1).Wir können die Schwarzschild-Metrik also wie folgt schreiben,als vonŒFunktion verstehen ist, gegeben durch die zweite Gleichung in (18.40). Diesekönnen wir zwar nicht nach§explizit auflösen, aber es genügt im folgenden zu wissen, dass es zuwobei§jedemgibt. „ð ein§£Kruskal-Szekeres-Koordinaten „ðE § Dñ 'SîU&undŒ zu O qq 'Œ Œeindeutig O50© À & qŒ Paar2gŒSehr viel haben wir bis jetzt allerdings Lichtkegelkoordinaten2ÆŒnoch O[\5nicht gewonnen. Diedecken auch nur den unvollständigen Bereich der Raumzeit ab, den die ursprünglichen Schwarzschild-Koordinaten2)§[C\5abdecken. Und sie nehmen dort bereits beliebige reelle Werte an. Wie können wirdiese Karte dann überhaupt noch erweitern?Dazu müssen wir nur noch einmal eine relativ einfache Koordinatentransformation durchführen.qŒWirerinnern uns, die einlaufenden währendŒLichtstrahlen durchnummeriert, die auslaufenden Lichtstrahlendurchnummeriert. Wir können diese Nummerierung beliebig verändern. Die spezielle FormdassŒderMetrik (18.43) in Lichtkegelkoordinaten bleibt erhalten, wenn durch eine monotone q5,Oeine monotoneqO5ersetzen. Es gilt dannFunktionO62œŒFunktionq2ÆŒwirŒ qO(18.44)durch O undŒWir werden Funktionenq2gŒversuchen, die O5so zu wählen, dass der Vorfaktor in (18.43) entferntbei§wird, der Wir müssen Funktionenq2gŒdie so wählen, dassO5gerade Faktorñden Nun folgt aus (18.40) „ð 'O q${2gŒ q5O{2ÃŒ O5' Œ q 'Œ q5undO62ÃŒ 'q„ð verschwindet.q5O{·2œŒ q{»2gŒD§liefert.DŒqŒOŒalso O5 undO92œŒ q5j OE ; Œ qDer erste Faktor ist genau der gesuchte Vorfaktor aus der Metrik. Die anderen Faktoren sind bei§ ;E§=DCFE=GCHEI=DCFEu §E § DmI„–positiv. Wir machen daher den Ansatz„–„ð=GCHE„– vI=DCHEOŒq5O{.2ÃŒO5ist dann bis auf einen konstanten FaktorED2 OProduktq{·2gŒDaswir das in die Metrik (18.43) einsetzen, erhalten wir schließlichqŒ(18.45) gegeben. WennI=DCFEvBis auf das bekannte Linienelement einer Sphäre ähnelt diese Darstellung kaum noch der ursprünglichenSchwarzschild-Metrik. Trotzdem ist es natürlich noch immer dieselbe Metrik.Um den Zusammenhang zwischen den beiden Darstellung zu verstehen, fassen wir ihn noch einmal„–=GCHE„– § 'Sî&§kurz zusammen. Wir befinden uns noch immer in Schwarzschild-Karte§ der ±zµ. KoordinatenŒDiein dieser Karte beliebige reelle Werte an. Aus der Transformation (18.46) folgt, dass dieqWir haben also in der Karte§ ±zµein Koordinatensystem2qO[\5eingeführt, mitq £Koordinatenq undO dort beliebige positive Werte annehmen..£nahmen undŒDiese Koordinaten heißen nach ihren Erfindern Kruskal-Szekeres-Koordinaten. Wir können direkt denOundO Zusammenhang und Schwarzschild-Koordinaten)und§den angeben. Aus (18.40) zwischenq folgtI=GCHEwuO q§348undO

§genau§ð§ ðÓÓzµ”±POÕQU§UUVUVUeinlaufender Lichtstrahl” ÕUVUHorizontJDKconsteinlaufender LichtstrahlLNMconstauslaufender LichtstrahlUVUWUUYXUVUR ÕSMilchstraßeandere Galaxieauslaufender Lichtstrahlfreier FallUYXHorizont” Õ” ÕQ(a)Abbildung 18.3: õDie Kruskal-Szekeres-Karte zµist die maximale Erweiterung der Schwarzschild-Raumzeit. Die Raumzeit zerfällt in vier Quadranten. Der Quadrant ist die ursprünglich Schwarzschild-U ±PO±-O zµT ÕS(b)õ Karte ±zµ. Der Quadrant ist das schwarze Loch, der Quadrant das weiße Loch. Der Quadrantrepräsentiert ein zweites äußeres Universum, das mit dem im Quadrant durch ein Wurmloch verbundenist.U UVUVUUNX UVUpositivesq Für besitzen diese für) mit§Gleichungen eine eindeutige Lösung und§, . Eshandelt sich also um eine umkehrbare 2)§5. Das so müssen wirundOauchin das Linienelement (18.47) einsetzen, um die MetrikTransformation2qO5¾˜alsdefinierte§Funktion zu schreiben. Es definiert„ð £vonqdenundOOberflächenradius eineroderOräumlichen Sphärejeweils§‡ der Stelle2qO5.Wir sehen außerdem, dass geht. Die Karte hat jetzt,um noch einmal die etwas unsaubere Sprache zu verwenden, zweifürq“Ränder”, die beide dem Rand derSchwarzschild-Karteentsprechen. Jedoch geht die , während„ðdiegeht. Es liegt daher die Vermutung nahe, dass der bei§… åfürq Schwarzschild-Zeit)Rand dem bei§dâHorizont inderâµentspricht, hinter dem die einlaufendenLichtstrahlen verschwinden, während der „ð fürO Schwarzschild-Zeit)ÍåRand dem Horizont in der Karte±2,.!µentspricht,±-,/.„ðbeiO Karte§aus dem die auslaufenden Lichtstrahlen hervortreten.beiq bei§!Das ist tatsächlich der Fall. Wir können die Karte jetzt nämlich wieder über den Rand hinaus erweitern,und so die einlaufenden und die auslaufenden Lichtstrahlen verlängern. Die einzige Voraussetzung dafür,dass die Metrik (18.47) wohldefiniert und invertierbar ist, ist offenbar,jdass„ð der Oberflächenradius dermuss. Nun eine Funktion undO, und wie manleicht aus (18.48) entnimmt, istdann Kruskal-Szekeres-Karte§ positiv, Wir wennq können alsovonqeine zµdefinieren,ist§±-O O£ |ist.seinSphäre§die den gesamten umfasst.£Das wollen wir uns wieder in einem Raum-Zeit-Diagramm ansehen. In Abbildung 18.3 ist die2qO5-| £ Bereichq Oim dargestellt. undOwir später noch einmal genauer untersuchen. Es gibt inèdersolcheKruskal-Szekeres-Karte§Orte.daszwischen zwei Hyperbeln imliegtheißt diese Stelle in der Raumzeit müssen| £±-O zµoffenbar zweiEbene derWinkel Der‡, von‘È;{4 OKarte§oberen bzw. unteren Beiq Quadranten. wird§OBereichq±-O zµdargestellt. Da es sich um Lichtkegelkoordinaten handelt, sind die AchsenqI349

,eingezeichnet. Laut (18.48) Linie) ist eine const. AchseO der und für) ÍåAchseq< const£constconst£undqDer Teil der Karte, der auch von den Schwarzschild-Koordinaten abgedeckt wird, also der Bereichist der Z mit bezeichnete rechte Quadrant. Dort sind die von)und§Koordinatenlinienq £ undOåDienähern.Linien§eine Gerade in der2qO5-Ebene, die für) sichsind Hyperbeln, die sichden beidenDas sind, wie wir bereits festgestellt hatten, die beiden aus den Eddington-Finkelstein-Kartenfür§LichtstrahlenqbekanntenHorizonte. Tatsächlich finden wir auch die ±2,.!µin Abbildung18.3 wieder. Sie sind Teilmengen derzµ.Die±-,/.âµist der in ±2,. ±-OKarte§ Kruskal-Szekeres-Karte§Eddington-Finkelstein-Karten§âµund§£ebenfalls „ðAbbildung 18.3(a) hell unterlegte Bereich, Z bestehend Z[Z aus den Quadranten und . Ein von rechts, alsoaus der Schwarzschild-Karte mitkommender einlaufender Lichtstrahl const passiert zuerst den,ZbeiO Horizont tritt dann in den Z[Z Bereich ein, und endet bei§schließlich auf der Hyperbel imoberen Quadrant.Das ist genau das Verhalten, das wir von einem einlaufenden Lichtstrahl aus Abbildung 18.2(a) kennen.Der Quadrantist also das schwarze Loch. Aus diesem Bereich dringt, wie man leicht sieht, keinZ\ZSignal in denöBereich oder in irgendeinen anderen Bereich der Raumzeit. Da wirq Lichtkegelkoordinatenverwenden, sehen die lokalen Lichtkegel in Abbildung 18.3 nämlich überal genau so aus wie imZMinkowski-Raum. Ein radialer Lichtstrahl läuft entweder in der Winkelhalbierenden nach links oder nachrechts. Folglich endet jede in die Zukunft gerichtete lichtartige oder Z\Z zeitartige Kurve im Bereich zwangsweiseauf der das bei§ |, ù. heißt Auch dieses Verhalten kennen wir bereits ausAbbildung 18.2(a).HyperbelqDie ±2,.!µaus Abbildung 18.2(b) ist in Abbildung 18.3(b) hell unterlegt. Hier sehen wir einenauslaufendenLichtstrahl,Oder an Stelle§der Z^] Quadrant startet, dann denKarte§beiq Horizont in die Schwarzschild-Karte eintritt, und schließlich im Quadrant Z immitOunendlichen verschwindet. Wie man leicht aus (18.48) abliest,gilt stetséåfürO nähert,derundOgroß wird, gilt const, r O Wenn§außerdem)Z^]Der Quadrant ist also der Bereich der Raumzeit, aus dem die Lichtstrahlen und die zeitartigenGeodäten kommen, die wir in der Schwarzschild-Karte nicht beliebig weit in die Vergangenheit fortsetzenkonnten. Er hat genau dieselben Eigenschaften wie§der Quadrant , nur dass die Zeitrichtung Z[Z umgekehrtist. Eine in die Zukunft gerichtete lichtartige oder zeitartige Kurve Z^]kann den Bereich verlassen, aber esist unmöglich, von außen in diesen Bereich hinein zu kommen. Statt dessen beginnt jede Weltlinie, wennx…, .wir sie in die Vergangenheit verfolgen, Hyperbelq auf der unteren also an mit§einer StelleWir nennen diesen Bereich der Raumzeit ein weißes Loch.Schließlich finden wir in Abbildung 18.3 noch einen vierten Bereich, nämlich Z\Z[Z den Quadrant , derweder von den einlaufenden noch von den auslaufenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten erfasst wird.Das ist offenbar die gesuchte Erweiterung, durch die die Raumzeit wieder ein Stück vollständiger wird.O.wieder wie im flachen Raum verhält.å und§È å )so dass sich ein Lichtstrahl dort Wir erinnern uns, Karte§ dass es in derâµin Abbildung 18.2(a) Lichtstrahlen und zeitartige Geodätengab, die sich nicht beliebig weit in die Vergangenheit fortsetzen ließen, deren Fortsetzung aber auch nichtin der ±-,/.!µlag.±2,.Sie näherten sich bei§dem Horizont von innen an,erreichten ihn aber nie.Karte§ für)âEinen solchen Lichtstrahl sehen wir in Abbildung 18.3(a) von links einlaufen. Er tritt an irgendeinerStelle in Z\Z den Bereich ein, alsoÍåin die„ðDiesenKarte§ unvoll-âµ,undé. endet schließlichständigen Abschnitt des Lichtstrahls hatten wir auch in Abbildung 18.2(a) gesehen. Jetzt können wir ihn±2,. bei§beliebig weit in die Vergangenheit fortsetzen. Er kommt offenbar aus Z[Z[Z dem Bereich , und dieser Quadrantder Raumzeit sieht genau so aus wie Z der Bereich . Wir können dort sogar wieder die üblichenSchwarzschild-Koordinaten)und§einführen. Wir ändern nur das Vorzeichen von), damit die Zeitkoor-imdurchquert,350

.2Z5(18.50)(18.51)\G\G 2Z5dinate dieselbe Richtung hat wie im Bereich Z ,D=DCFE u I=GCHEv (18.49)EDie entsprechenden Koordinatenlinien sind in (18.3) im Bereich Z\Z[Z eingezeichnet. Ausgedrückt in denKoordinaten2)§[\5nimmt die Metrik im Bereich Z[Z\Z wieder die übliche Schwarzschild-Form an, undauch dieser Bereich ist durch zwei) „ð „ðbegrenzt.§Und schließlich sehen wir auch noch, warum die Horizonte selbst, wenn wir sie nur mit Hilfe derHorizonteq undOEddington-Finkelstein-Koordinaten beschreiben, unvollständige Lichtstrahlen sind. In Abbildung 18.3(a)sehen wir,

,)ist.§UzµUVUVUUYX±-O zµUVU§±PO(6)(5)Milchstraße (4)andere Galaxie(3)(2)(1)(a)(b)Abbildung 18.4: Die Kruskal-Szekeres-Raumzeit õder sphärischen Symmetrie ein Killing-Vektorfeld, dessen Fluss (a) in den Bereichen und zeitartig,auf den Horizonten lichtartig, und in den Bereichen und raumartig ist. Folglich ist die Raumzeitin den U Bereichen und UVU statisch, während sie in den Bereichen und räumlich homogen ist. UmUNXdie globale Struktur der Raumzeit zu verstehen, kann man eine globale Blätterung (b) einführen, so dassUVU UNXjedes Blatt eine raumartige Hyperfläche ist, die den Raum zu einem bestimmten U UWUVU Zeitpunkt bezüglicheUWUeiner willkürlich gewählten Zeitkoordinaten repräsentiert. Die zu den raumartigen Hyperflächen (1–6)_gehörenden Geometrien sind in Abbildung 18.5 dargestellt.zµbesitzt zusätzlich zu den drei Killing-Vektoren ±POEs gibt aber für die Beobachter in den Bereichen Z und Z[Z\Z keine Möglichkeit, miteinander Kontaktaufzunehmen, obwohl sie in derselben Raumzeit leben. Die kausale Struktur der Raumzeit verhindertdas. Ein Signal aus dem Bereich Z\Z[Z kann niemals den Bereich Z erreichen und umgekehrt. Die beidenBeobachter können sich nur treffen, wenn sie sich beide entschließen, in das schwarze Loch zu fallen.Und sie müssen diesen Entschluss rechtzeitig treffen, denn sonst verpassen sie sich auch dort, das heißtsie bei§enden sie sich getroffen haben.Um diese merkwürdige globale Struktur der Raumzeit etwas anschaulicher zu machen, führen wir noch

,Die Frage ist nun, wie der Raum Zeitª zu einer aussieht. Mit anderen Worten, was ist die Geometrieder gezeigten Flächen, und wie entwickelt sie sich mit der Zeit? Beginnen wir mit dem einfachstenFall, der Hyperfläche (4). Sie verläuft nur durch die Bereiche Z und Z\Z[Z und repräsentiert dort jeweils dieY. Jeder Punkt auf der dargestellten Linie repräsentiert eine Kugel-ªAGSchwarzschild-Koordinatenfläche)schale mit dem wobei§Oberflächenradius§, von links nach rechts auf„ð zuerst abfällt, und dann wiederansteigt.Weit draußen handelt es sich einfach um einen flachen Raum. Allerdings gibt es zwei solche Regionen“weit draußen”. Die raumartige Hyperfläche (4) hat besteht also aus zwei asymptotisch flachen Hyperebenen,die in der Mitte durch einen Hals mit Radius„ð dem miteinder verbunden sind. Eine solche Flächeist in Abbildung 18.5 dargestellt. Dort ist wieder eine Dimension unterdrückt, das heißt wir müssen unsden Ring in der Mitte der Fläche (4) als eine Kugelschale vorstellen, und ebenso alle anderen Kreisringe,die sich aus der Rotationssymmetrie der dargestellten Fläche ergeben.Die Konstruktion der anderen Flächen in Abbildung 18.5 erfolgt entsprechend. Die Flächen (3) und (5)unterscheiden sich von der Fläche (4) dardurch, dass der Hals dort etwas enger ist. Ein Teil der Fläche,nämlich der jeweils dunkel dargestellte Bereich des Halses, liegt in den Z[Z Bereichen Z^] bzw. . Das ist inAbbildung 18.4(b) erkennbar, und das ist auch der Grund dafür, dass der Hals enger ist. Derradius§Oberflächen-der Kugelschalen ist in den Z[Z Bereichen Z^] und als„– kleiner .Die Fläche (2) berührt gerade die Stelle§ das heißt dort schnürt sich der Hals in der Mitte zueinem Punkt zusammen. Die Flächen (1) und (6) liegen schließlich an dem Rand der Karte bei§ *so dass die beiden Teile des Raumes nur noch an einem unendlich dünnen Faden zusammen hängen. Wiewir gleich sehen werden, ist dieser Faden sogar unendlich lang, so dass wir eigentlich von zwei getrenntenRäumen sprechen können.Wenn wir nun die zeitliche Entwicklung des Raumes in Abbildung 18.5 betrachten, so ergibt sich folgendesBild. Am Anfang haben wir zwei asymptotisch flache Räume, wobei jeder für sich für einen Beobachterweit draußen so aussieht wie das gewöhnliche Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen Sterns.Daran ändert sich auch im Laufe der Zeit nichts, denn für einen Beobachter weit draußen ist die Welt statisch.Das einzig ungewöhnliche ist, dass es nun zwei solche Welten gibt, die zunächst nichts voneinenderwissen.Das Objekt, welches offenbar das Gravitationsfeld erzeugt, sitzt in einer Art Spitze in der Mitte desRaumes. Dort ist die Raumzeit aber nicht statisch. Die Geometrie des Raumes ändert sich mit der Zeit.Die Spitze verformt sich, und plötzlich öffnet sich ein Durchgang, der eine Verbindung von einem Universumzu einem anderen Universum herstellt. Das Loch erreicht eine maximale Größe, die gerade demSchwarzschild-RadiusÇnz des Gravitationsfeldes entspricht. Dann schließt es sich wieder. Schließlichbleibt in beiden Teilen des Universums wieder eine Spitze im Raum zurück.Wir nennen dieses merkwürdige Phänomen ein Wurmloch. Es stellt für eine gewisse Zeit eine Verbindungzwischen zwei Universen her, die sonst nichts miteinander zu tun haben. Wäre die ganze Situationstatisch, so könnte man durch das Wurmloch von einem Universum ins andere gelangen. Das geht abernicht, wie wir aus der Darstellung in Abbildung 18.3 wissen, denn es gibt keine zeitartige Kurve, diedie Quadranten Z und Z\Z[Z , also die beiden Seiten des Wurmlochs miteinander verbindet. Das Öffnen undZusammenziehen des Wurmlochs geht so schnell, dass es nicht möglich ist, mit einer Geschwindigkeitkleiner als Eins hindurch zu schlüpfen.Würden wir versuchen, den Schlund mit einem Raumschiff zu durchqueren, so würde dieser sich soschnell wieder zusammenziehen, dass wir darin gefangen wären und schließlich in dem unendlich dünnenFaden enden würden, der die beiden Teile verbindet. Wir werden auch diesen Vorgang gleich noch etwasgenauer diskutieren. Das Wurmloch stellt also eine Verbindung zwischen zwei sonst unzusammenhängendenTeilen des Raumes dar, aber wir können es nicht benutzen, um Nachrichten hindurch zu schicken,oder um selbst in den anderen Teil zu gelangen. Es taugt also nicht für Reisen in unbekannte Welten,selbst wenn es uns gelingen würde, ein solches Wurmloch herzustellen.an,353

(1)(3)Milchstraßeandere Galaxie (5)(2)(4)(6)Abbildung 18.5: Die raumartigen Hyperflächen (1–6) aus Abbildung 18.4(b). Der Raum besteht zunächstaus zwei voneinader getrennten Bereichen, die jeweils für sich das Gravitationsfeld einer punktförmigenÓ Masse beschreiben. Im Zentrum des Gravitationsfeldes öffnet sich dann ein Wurmloch, welches diebeiden Universen miteinander verbindet. Es schließt sich anschließend wieder, und zwar so schnell, dasses unmöglich ist, hindurch zu kommen.Aufgabe 18.15 Die zwei Teile des Raumes müssen nicht zwei verschiedene Universen sein. Sie könnenauch in verscheidenden Gegenden eines Universums liegen. Man stelle sich vor, im Zentrum der Milchstraßebefände sich der Eingang zu einem Wurmloch, dessen anderer Eingang sich im Zentrum derAndromeda-Galaxie befindet. Wie weit wäre dann die Andromeda-Galaxie von hier entfernt? Könnte manauf diese Weise Zeitmaschinen bauen, indem man ein Wurmloch installiert, dessen Eingang an der eineStelle es Universums liegt, und dessen Ausgang an einer anderen Stelle, aber früher in der Zeit liegt?Der kollabierende SternAngefangen hatten wir unsere Überlegung damit, dass wir das Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischenHimmelskörpers berechnet haben. Davon sich wir nun ein wenig abgekommen, und haben statt dessendie maximale Erweiterung der Schwarzschild-Raumzeit als Lösung der Einstein-Gleichung ohne Materiediskutiert. Wir konnten sie auf den gesamten Bereich§£und hatten argumentiert, dass siefortsetzendeshalb das Gravitationsfeld eines Himmelskörpers beschreibt, der auf OberflächenradiusÇtG einengeschrumpft ist. Nun haben wir festgestellt, dass ein solches Objekt gar nicht mehr durch eine zeitartigeWeltlinie in der Raumzeit beschrieben werden kann.Statt dessen ist es offenbar erforderlich ist, einen zweiten asymptotisch flachen Raum einzuführen, undaus dem Objekt wird ein Wurmloch, welches die beiden Teile des Raumes miteinander verbindet. Dasklingt alles etwas merkwürdig. Es stellt sich daher die Frage, ob ein solches Wurmloch wirklich entsteht,•wenn ein Stern, aus welchen Gründen auch immer, kleiner als Schwarzschild-RadiusÇpz sein wird. Wirwollen versuchen, einen wenigstens halbwegs realistischen Prozess zu beschreiben, bei dem ein Sternkollabiert, weil er seiner eigenen Gravitation nicht mehr widerstehen kann.Wie wir wissen, ist ein Stern nur so lange stabil, wie der Druck im Innern ausreicht, um die Gravitationauszugleichen. In einer Newtonschen Sprache muss die Kraft, die durch den Gradienten des Druckeserzeugt wird, die Gravitationskraft ausgleichen. Nun hatten wir in Kapitel 15 bereits gezeigt, dass derDruck im Innern unendlich groß sein müsste, wenn RadiusÇ|G der des Sterns kleinerals2¥Do;5354

ist. Was also passiert mit einem Stern, der kleiner als dieser kritische Radius wird.Ein solcher Stern kann offenbar nichts anderes tun als weiter in sich zusammen zu fallen. Betrachtenwir zum Beispiel das folgende, wieder stark vereinfachte Szenario. Der Brennstoff für2¥D¦5Çjzdie Kernreaktion imInnern des Sterns ist verbraucht. Der Stern kühlt ab, so dass der Druck nachlässt. Nehmen wir an, dass derDruck im Bereich der Oberfläche praktisch auf Null abfällt. Dann beginnen die Gase an der Oberflächedes Sterns frei zu fallen. Das heißt, die Oberfläche des Sterns bewegt sich auf einer zeitartigen Geodäte inRichtung Zentrum, und oberhalb bleibt nur noch leerer Raum zurück.Die Geodäte, auf der sich die Sternoberfläche bewegt, ist genau von der Art, wie wir sie am Anfangdieses Kaptitels diskutiert haben. Es ist eine Schwarzschild-Karte§ Geodäten, die in der ±zµunvollständigist. Wenn wir auf der Oberfläche des Sterns eine Uhr platzieren, die mit dem Stern zusammen in dieTiefe fällt, so wird diese Uhr eine endliche Zeit anzeigen, wenn die Oberfläche den Schwarzschild-Radiuserreicht hat, obwohl inzwischen unendlich viel Schwarzschild-Zeit)vergangen ist.Danach kann es nichts mehr geben, was den Stern von einem weiteren Kollaps abhält, selbst wennsich im Stern wieder ein Druck aufbaut. Jedes einzelne Teilchen des Sterns folgt einer zeitartigen Kurve.Insbesondere gilt das für die Teilchen an der Oberfläche. Diese aber “sehen” die Metrik, die auch außerhalbdes Sterns gilt, wenn wir davon ausgehen, dass die Metrik stetig ist. Also sehen diese Teilchen dieBereich§Schwarzschild-Metrik, fortgesetzt in den . Dort hat aber jede zeitartige Kurve, also nichtnur jede dass§Geodäte, die Eigenschaft, in Richtung Zukunft abnimmt.Ein kugelförmiger Stern, der einmal kleiner als sein Schwarzschild-Radius geworden ist, wird auf jedenFall zu einem punktförmigen Objekt kollabieren, völlig unabhängig davon, aus welcher Art von Materieer besteht. Das ganze geschieht sogar in einer endlichen Eigenzeit, gemessen an der Oberfläche des Sterns,wie wir gleich noch zeigen werden. Nach einer endlichen Eigenzeit ist die Oberfläche zu einer unendlichkleinen Flächeö†„ð

cd evonmlUHorizontHorizontauslaufendeLichtstrahlenHorizontauslaufendeLichtstrahlenfhgFiUVUauslaufendeLichtstrahlenMilchstraßeandere Galaxieletzter Kontaktletzter Kontakt`aletzter Kontakt`ano(a) (b) (c)jkno`a`aAbbildung 18.6: Der Kollaps eines Sterns, dargestellt in Schwarzschild- (a), einlaufenden Eddington-Finkelstein- (b) und Kruskal-Szekeres-Koordinaten (c). Die gestrichelten Linien sind jeweils die Linieneines konstanten Oberflächenradius ” der Kugelschalen. Die Schwarzschild-Karte ist unvollständig. Wederdas Ereignis, an dem die Sternoberfläche den Horizont passiert, noch das Ereignis, bei dem der Sternpunktförmig wird, ist in der Karte enthalten. Die beiden anderen Karten sind vollständig.Vorgang. Nach einer endlich langen Zeit erreicht die Oberfläche des Sterns den Schwarzschild-Radius. Ein Lichtstrahl, der die Oberfläche in diesem Moment radial nach außen verlässt, kann nichtmehr entkommen. Er wird an dieser Stelle eingefroren. Zusammen mit allen anderen Lichtstrahlen, die dieSternoberfläche in diesem Moment verlassen, bildet er den Horizont.ÇyzDer Horizont entspringt aber schon früher. Verfolgen wir diese Lichtstrahlen nämlich in die Vergangenheit,so haben sie einen gemeinsamen Ursprung im Mittelpunkt des noch existierenden Sterns. Einmasseloses Teilchen, das sein Leben in diesem speziellen Ereignis im Mittelpunkt des Sternsbeginnt,schafft es gerade noch an die Oberfläche, um dann aber festzustellen, dass es quasi zu spät ist, um„ðdemschwarzen Loch zu entkommen, das sich gerade bildet.An diesem Ereignis kann zum letzten Mal ein Beobachter von außen mit einer Station auf der SternoberflächeKontakt aufnehmen. Zwar erreicht auch ein später ankommendes Signal noch die Station, abersie könnte keine Antwort mehr nach außen abschicken. Die Sternmaterie selbst ist von diesem Moment angezwungen, einer zeitartigen Kurve zu folgen, bei§und wird schließlich enden.fEin Beobachter, der außerhalb des Horizontes bleibt, bekommt davon aber nichts mit. Er sieht in etwafolgendes. Nehmen wir an, der Stern leuchtet noch immer, oder sendet zumindest regelmäßig ein paarPhotonen aus. Regelmäßig heißt, dass in Eigenzeitabständenõgleichen der Oberfläche des Sternsein Photon einer bestimmten Frequenzó¾Gemittiert wird. Es ist klar, dass nur die Photonen den Beobachtererreichen können, die abgeschickt werden, bevor der Stern hinter dem Horizont verschwindet.Nun treten aber zwei Phänomene auf, die dazu führen, dass der Stern von außen betrachtet praktischschwarz wird. Zum einen wird die Koordinatenzeit immer größer, die das Photon benötigt, um von derSternoberfläche zum Beobachter zu gelangen. Sie divergiert schließlich, wenn die Oberfläche den Horizonterreicht, denn von dort braucht ein Photon unendlich lange, um nach draußen zu gelangen. DieªdifferenzõZeit-),die ein ruhender Beobachter weit draußen zwischen zwei ankommenden Photonen misst,356

Econstwird also immer größer.Gleichzeitig divergiert aber auch für§der Rotverschiebungsfaktor, denn geht die Zeitkomponenteder Metrik gegen Null. Ein später ausgesandtes Photon gleicher Frequenz kommt beim Beobachtermit einer niedrigeren Frequenz an als ein früher ausgesandtes. Ein Astronom, der den Stern beobachtet,wird also feststellen, dass sein Spektrum immer weiter ins Rote verschoben wird, und dass gleichzeitigseine Intensität sehr schnell abnimmt. Irgendwann wird ihn das letzte Photon erreichen, und dann ist derStern „ðschwarz.Dort, wo vorher der Stern war, ist jetzt nur noch ein schwarzes Loch. Der Stern ist selbst nicht mehr inder Lage, zu leuchten. Die Rotverschiebung ist sehr groß, und zudem hat er kurz vor dem Passieren desHorizontes einfach zu wenig Zeit, um noch genug Strahlung auf den Weg zu schicken, um seine Umgebungwie bisher zu beleuchten. Er kann auch kein Licht mehr reflektieren, denn ein Lichtstrahl von außen, dernach dem letzten Kontakt eintrifft, verschwindet ebenfalls unwiderruflich hinter dem Horizont. Aus derRichtung des ehemaligen Sterns dringt also kein Licht zu uns.Und wo ist nun das weiße Loch und das Wurmloch? Es ist, wie schon erwähnt, gar nicht da. Betrachtenwir dieselbe Situation noch einmal in Abbildung 18.6(c), dargestellt in Kruskal-Szekeres-Koordinaten.Auch diese können wir innerhalb des Sterns so fortsetzen, dass alle radialen Lichtstrahlen auf Winkelhalbierendenlaufen. Wir müssen dazu nur die ein- mitq und auslaufenden Lichtstrahlen bzw.const bis zum Mittelpunkt des Sterns verlängern, und diese Linien zu Koordinatenlinien erklären. DieOberfläche des Sterns wird dann, während des Kollaps, durch eine zeitartige Geodäte beschrieben, die ausder oberen O O Hyperbelqdem Quadrant Z in den Quadrant Z\Z fällt und schließlich bei§ ¡endet.Nun ist es aber so, dass die Kruskal-Szekeres-Metrik nur rechts von dieser Linie gilt, während sichlinks die Sternmaterie befindet. Es gibt also gar keine Quadranten Z[Z\Z und Z^] , und damit auch kein weißes?|Loch, kein Wurmloch und kein zweites Universum. Die Bereiche Z[Z[Z und Z^]existieren nur in einer formalenLösung der Einstein-Gleichung im Vakuum, aber sie können nicht dynamisch aus einer realistischenAnfangsbedingung erzeugt werden. Wenn wir viel Masse in einem kleinen Bereich des Raumes konzentrieren,können wir zwar ein schwarzes Loch erzeugen, aber wir können kein Wurmloch herstellen, dasuns den Zugang zu irgendeiner anderen Seite ermöglicht.In diesem Fall ist der Übergang zu Kruskal-Szekeres-Koordinaten sogarEddington-Finkelstein-Karte§überflüssig, denn diein Abbildung 18.6(b) ist bereits vollständig. Der Grund dafür istganz einfach. Als wir uns die Lösung der Einstein-Gleichung im Vakuum angeschaut haben, mussten wirfeststellen, dass es der±2,.âµGeodäten gibt, die wir nicht beliebig weit in die Vergangenheitverlängern konnten. Das waren zum Beispiel die auslaufenden Lichtstrahlen in Abbildung 18.2(a).âµ±2,. Karte§Nun gibt es dieses Problem nicht mehr. Wenn wir nämlich die auslaufenden Lichtstrahlen in die Vergangenheitverfolgen, dann werden sie alle irgendwann auf den Stern treffen, zu einer Zeit, als dieser nochvorhanden war. Davor verhalten sich die Lichtstrahlen so, wie wir dies ausführlich in Kapitel 17 diskutierthaben. Dort gab es keine Probleme mit unvollständigen Geodäten. Wir konnten jede lichtartige und jedezeitartige Geodäte beliebig weit in die Vergangenheit oder in die Zukunft verlängern. Das Problem tritterst auf, wenn es einen Horizont gibt. Aber der entsteht ja erst beim Kollaps des Sterns.aufAufgabe 18.16 Wir nehmen an, dass der Stern, während er durch den Horizont fällt, ein bestimmtes Spektrumvon elektromagnetischen Wellen radial nach außen sendet. Ein Astronom weit draußen beobachtetdieses und stellt fest, dass sich das Spektrum mit der Schwarzschild-Zeit)verändert. Und zwar findet ereinen exponentiell ansteigenden Rotverschiebungsfaktor (15.59)357 TG4 TG T ›2)5=GCHEDX„)(18.52)

ãgäHÞ\.32)54E(18.53)Þ¥ßáàÎb¦ Îb(18.54)sowie eine exponentiell abfallende Strahlungsleistung des Sterns=GCHEMan zeige, dass zwischen der “ -wertszeit” und der Masse des kollabierenden Sterns der ZusammenhangX = besteht.X „–X)DAufgabe 18.17 Die Sonne kollabiert zu einem schwarzen Loch. Gerade sehen wir sie noch mit ihrer gewohntenLeistung stahlen. Wie lange dauert es, bis sie nur noch die Strahlungsleistung einer;W-Glühbirneaufbringt?Aufgabe 18.18 Natürlich wird die Strahlung eines Sterns nicht nur radial nach außen emittiert, sondernvon der Oberfläche in alle Richtungen des Raumes. Was bedeutet das für das gemessene Spektrum inAufgabe 18.16?Aufgabe 18.19 Das letzte Photon, das ein Astronom von einem kollabierenden Stern auffängt, wurde sehrbei§wahrscheinlich nicht bei§sondern Warum? r rAufgabe 18.20 Wenn ein schwarzes Loch vor einem leuchtenden Hintergrund steht, zum Beispiel vor einemdichten Feld von Sternen oder einem Gasnebel, dann sieht man es als schwarze Scheibe vor demleuchtenden Hintergrund. Wenn die Masse des schwarzen Loches und Ÿ F der Abstand des Beobachtersist, wie groß ist dann die schwarze Scheibe, die der Beobachter am Himmel sieht?„ð emittiert,Symmetrien und Killing-VektorenWir wissen also jetzt, dass ein schwarzes Loch durch den Kollaps eines Sterns entstehen kann, dass dabeiaber kein weißes Loch und kein Wurmloch entsteht. Die einzige Frage, die noch offen ist, ist die nachder Struktur bei§der Raumzeit Dazu ist es sinnvoll, doch noch einmal die maximal erweitertezµzu betrachten, und ihre Symmetrien zu analysieren. Sie werden uns±PO.später helfen, zu verstehen, was mit einem Testkörper passiert, der Stelle§sich der nähert.Ausgangspunkt von allem war der Versuch, eine Raumzeit zu konstruieren, die frei von Materie, kugelsymmetrischund statisch ist. Nun haben wir mitder zµeine Lösung derEinstein-Gleichung ohne Materie, die offensichtlich noch immer kugelsymmetrisch ist. Wir können das±-O Kruskal-Szekeres-Raumzeit§dadurch zum Ausdruck bringen, dass wir die folgenden drei Killing-Vektoren angeben,Kruskal-Szekeres-Raumzeit§Abbildung 18.3 sitzen. Dasses sich dabei um Killing-Vektoren, also um die Erzeuger von Isometrien handelt, folgt unmittelbar aus derForm der Metrik, die noch immer Linienelement'[& das sphärische '\&enthält, und ansonsten Þ¥ßáà&[ j[ ãaäHÞ\ Î] ãaähg [Sieãaähgerzeugen die Drehungen der Kugelschalen, die an jedem Punkt2qO5in ¦& ÎbÎ] nicht von [ und \ abhängt. Deshalb ist eine simultane Rotation aller dieser Kugelschalen ein Symmetrieder Raumzeit.Aber wie sieht es mit der zweiten Eigenschaft aus? Ist die Raumzeit noch statisch? Wir hatten schonbei der Einführung der Eddington-Finkelstein-Koordinaten festgestellt, dass dies nicht der Fall ist. In einerstatischen Raumzeit muss es möglich sein, an einem Ort im Raum still zu stehen, während sich der Raumin nicht verändert. Es sollte als möglich sein, auf einer Kugelschale mit einem Radius§konstanten zubleiben. Das ist für§aber nicht möglich. Also ist die Raumzeit dort sicher nicht statisch.öË„ðHeißt das nun, dass die Raumzeit im Bereich Z[Z weniger Symmetrien hat als im Bereich Z , wo dieSchwarzschild-Metrik gilt? Um das festzustellen, betrachten wir das zu den Zeitverschiebungen)˜¦# Þ¥ßÕà \\)j,358

?bqObbqbbObbObb) qbb) šbbqubbO§ ËH(18.59)gehörende Killing-Vektorfeld, das in der Schwarzschild-Metrik die einfache Form annimmt.Natürlich ist der VektorÎMnur im Bereich Z der Kruskal-Szekeres-Raumzeit definiert, denn nur dort gibtes die Koordinate).Aber das heißt nicht, dass wir das Killing-Vektorfeld ¦Gnicht in die anderen Bereiche fortsetzen können.Wir müssen es nur durch dieundÎFrausdrücken,ÎMBasisvektorenÎqp¦[GÎHpDazu brauchen wir die Koordinatentransformation (18.48). Leiten wir diese Gleichungen jeweils¦"G ÎMnach)(18.56)j q O „– O ) j q ) < ) q )ab, so ergibt sichDaraus lesen wir ab, dass b(18.55)ÎHr(18.57)ÎHpDieses Vektorfeld ist offenbaraufÎHrder ganzen Kruskal-Szekeres-Raumzeit wohldefiniert.fürqDie Flusslinien dieses Vektorfeldes sind in Abbildung 18.4(a) dargestellt. Es sind genau die Linien, aufdenenOder der dort sitzenden Kugelschalen konstant ist. In den Lichtkegelkoordinaten2qO5haben sie die gleiche Struktur wie die Flusslinien einer zweidimensionalen Lorentz-TransformationOberflächenradius§in Abbildung 11.3(b). Aber natürlich ist unsere Raumzeit alles andere als ein flacher Minkowski-Raum.Die Ähnlichkeit ist allein durch die spezielle Wahl der Koordinaten bedingt und daher eher ein Zufall. q ; )|,O also £ ) ¦"G q ; ;Welche physikalische Bedeutung hat nun das Killing-Vektorfeld ¦$G? Z Im Bereich der Schwarzschild-Karte ist die Raumzeit stationär, und der Erzeuger einer Zeitverschiebung. Wir könnten das, wennwir es nicht schon wüssten, aus der Tatsache ablesen, dass ein zeitartiges Vektorfeld ist,¦$G ¦G; O ÎMdort§£ „– (18.58)istUm festzustellen, welcher Art das Killing-Vektorfeld in den anderen Bereichen der Raumzeit ist, berechnenwir die Norm von (18.57),für ÎMÎM ‚MºM „ð§ Ë ö ¦"G ¦"GÎHr ÎHp Hier haben wir verwendet, dassÎsp ÎHp ¦"G „ q ; O ; ¦"G‚pDrÎHr ÎHr & ¦=GCHE „ð§ O qvdenn die Koordinatenlinien vonq undO sind„–lichtartig. Ferner haben wir die Metrik (18.47) benutzt, sowie die Beziehung (18.48).Natürlich ist das Ergebnis das gleiche wie vorher, schließlich haben wir nur die Norm eines Vektorfeldesin zwei verschiedenen Koordinatensystemen ausgerechnet. Die zweite Rechnung gilt aber alle§für. £q O§„ðist,Daraus folgt, dass das Killing-Vektorfeld ¦Gin den Bereichen Z und Z\Z[Z der Raumzeit zeitartig ist, währendes in den Bereichen Z[Z und Z^] , also innerhalb des schwarzen und des weißen Lochs, raumartig ist. Und aufden Horizonten, also den Rändern dieser Bereiche, ist es lichtartig.Was heißt das Z[Z nun für den Bereich , der uns besonders interessiert, und somitStelle§für die Umgebung derOffenbar ist dort das Killing-Vektorfeld raumartig, genau wie die drei anderen Killing-Vektorfelder und auch. Daher ist die Raumzeit dort nicht symmetrische unter Drehungen undZeitverschiebungen, sondern unter Drehungen und räumlichen Verschiebungen. Sie ist dort nicht statisch,sondern räumlich homogen.Um das etwas deutlicher zu machen, führen wir noch ein letztes Mal ein neues Koordinatensystem ein.Diesmal eins, das nur den Bereichinnerhalb des schwarzen Loches abdeckt. Wir nennen die Koordinaten¦ ¦#,¦& ¦GZ[Z359

ersetzen.„ð„ð„ð„ð„ðª ËE '›& j ª&£2'[8&j Þ¥ßáà&/[ '\&5(18.61)const„–.ersetzen.ª ËE !$#(18.62)2»ªœ›S[C\5, die Zeit- und2›[\5die wobeiªOrtskoordinaten sein sollen. Im Prinzip definieren wir dieseKoordinaten genau wie die Schwarzschild-Koordinaten im Z Bereich , nur dass wir die jetzt Orts- undZeitkoordinate miteinander vertauschen und ein paar Vorzeichen ändern. Wir setzenv j „ð ªI=GCHE uv O ªvFormal geht diese Transformation aus (18.48) hervor, wenn wir qO ué›gilt,q „ð „ðö dort)durch› und§durch.ª› ö å O q ö ö undÍå ªŠöim Bereich Z[Z|=DCHE u(18.60)Dafolgt daraus für den Definitionsbereich Koordinatender neuenDer Grund für diese etwas merkwürdige Wahl des Definitionsbereiches wirdgleich klar werden.Um die Metrik in den neuen„ðdarzustellen, müssen wir die Schritte von denKruskal-Szekeres-Koordinaten zurück zu den Schwarzschild-Koordinaten gehen. Das Ergebnis bekommenwir natürlich am einfachsten, indem wir auch formal) durch› und§öKoordinaten2·ª©›[\5der Schwarzschild-MetrikDas ergibtD DËEDie Betragsstriche haben wir deshalb eingesetzt, damit aus der Darstellung unmittelbar deutlich wird,j 'ª& !$# ª x 'Sî&für „ð ö¤ª÷ö positiv.Das Vorzeichen vonª haben wir so gewählt, dass die Zeit in die richtige Richtung läuft. Da wir unsistin Bereich stets Radien§zu kleineren hin bewegen, stimmt das mit der Richtung der Z\Z Zeitkoordinateüberein. Mit anderen Worten, auf einer in die Zukunft gerichteten Kurve nimmtª monoton zu,wie es für eine Zeitkoordinate sein sollte.In Abbildung 18.7 ist die Metrik (18.61) in einem Raum-Zeit-Diagramm dargestellt. auf einenªendlichen Bereich beschränkt ist, ergibt sich ein in›-Richtung unendlich ausgedehnter Streifen endlicherè §DaªentsprichtBreite. Der obere Rand Hyperbelq dieses Streifens der in der Kruskal-Szekeres-Karte, und der untere Rand entspricht dem Horizont beiq Das Verhalten derbeiªlokalen Lichtkegel entnehmen wir aus der Metrik (18.61). Für radiale Lichtstrahlen, also für solche mitf, gilt'[ Odurchªdassª eine Zeitkoordinate ist, während› eine räumliche Koordinate ist. Der Ausdruck„ðDª,und'\oderOD D DËE ËE ª '›& B '› !$#'ª&j Y‘Diagramms verlaufen die Lichtstrahlen also fast waagerecht.'Sî& * ª 'ªwir'›D'ª Fürªdas heißt dort werden die Lichtkegel sehr flach. Im unteren Teil desdas heißtdort werden die Lichtkegel sehr spitz, so dass die Lichtstrahlen im oberen Teil des Diagramms sehr steilverlaufen.Das hat unter anderem zur Folge, dass es wieder Ereignisse ü und ý gibt, die keine gemeinsame Zukunfthaben. Die von ihnen ausgehenden Lichtstrahlen treffen sich nicht, beiª bevor sie ankommen. DiesesVerhalten kennen wir schon aus Abbildung 18.2(b). Der Bereich§hâdortige hinter dem Horizont istnatürlich genau der Bereich Z\Z , also der mit der neuen Karte erfasste Teil der Raumzeit in Abbildung 18.7.Wir können jetzt die Symmetrien der Raumzeit in diesem Bereich unmittelbar aus der Metrik ablesen.Tatsächlich ist der Raum zu einem bestimmten

ðÓ¥ âÓ§¦UÚ¥ðÓâÓ§¨ÚýÙ_ Õt÷ ly÷ ÅMilchstraßeandere Galaxieü_ Õ "Abbildung 18.7: Der Bereich innerhalb des schwarzen Loches ist räumlich homogen, aber nicht statisch.Die lokalen Lichtkegel werden für UVU " flach, so dass ein Lichtstrahl dort fast waagerecht_u$verläuft. Ein von links einlaufender Lichtstrahl kommt in Abbildung 18.3 aus dem Bereich , ein vonUVUVUwerden die Lichtkegel sehrspitz, so dass dort praktisch jede zeitartige zu einer mitÙ Õ Kurve const wird.rechts einlaufender Lichtstrahl kommt dort aus dem Bereich U . Für _v$so beschreibt diese einen in›-Richtung unendlich ausgedehnten Zylinder, dessen Querschnitt eine Kugeloberflächemit dem Oberflächenradiusªist.Ein solcher Raum hat als Isometrien die Drehungen der Sphäre und die Verschiebungen entlang derZylinderachse, Abbildungen› also die Damit können wir jeden Punkt des Raumes auf jedenanderen abbilden. Der Raum sieht somit an allen Orten gleich aus. Die zu diesen Symmetrien gehörendenfür˜Îž Killing-Vektorfelder sind die Vektoren und für die Drehungen, und der Vektor dieVerschiebungen, der in den neuen Koordinaten wieder eine sehr einfache Darstellung hat.Wir stellen also fest, dass die Raumzeit hinter dem Horizont noch immer die gleiche Anzahl an Symmetrienhat, dass sich deren physikalische Interpretation dort aber ändert. Außerhalb des Horizontes istdie Raumzeit statisch und kugelsymmetrisch. Hinter der Horizont ist sie dagegen kugelsymmetrisch undräumlich homogen. Dass sie nicht mehr statisch ist, folgt unmittelbar aus der Tatsache, dass der Raumzu jeder¦#,¦&eine andere Geometrie hat. Der Oberflächenradius der Sphäre, die den Querschnitt des¦GZylinders definiert, nimmt nämlich mitªab.Zeitª. › j ¦&Aufgabe 18.21 Man führe ähnliche Koordinaten im Z^] Bereichdieses Bereiches der Raumzeit, sowie dessen Symmetrien.ein und diskutiere die kausale StrukturDie Singularität,Jetzt können wir endlich zu der schon mehrmals aufgeschobenen Frage kommen, was bei§denn nunbzw. in unseren beiª neuen Koordinaten Können wir die Raumzeit vielleicht doch noch¡passiert.361

Œconst.constÇyx wÇzx Ð æfÎ wФåÎMilchstraßeandere Galaxiew ÇzxÐ Œ Îw Çzx Œ Ð{Îw Çzx Œ ФÏÎw ÇAbbildung 18.8: Der Raum zu verschiedenen Zeiten vor der Singularität bei _ Õt . Er hat die Form einesunendlich ausgedehnten Zylinders, dessen Querschnitt schrumpft, während er gleichzeitig in die Längegezogen wird.einmal fortsetzen, oder müssen wir dort mit ihrer Unvollständigkeit leben? Ist sie überhaupt unvollständig?Wir betrachten dazu die räumliche Grenzfallª Metrik (18.63) im Wir hatten gesagt, dass der Raumein unendlich ausgedehnter Zylinder ist, dessen Querschnitt eine Sphäre vom Radiusªist. Offenbar gehtder Querschnitt dieses Zylinders Null, während der Zylinder gleichzeitig in die Längeistfürªgezogen wird. Der metrische Abstand ­ zweier Punkte im Raum mit dem Koordinatenabstandõ›ª (18.64)gegenDieser Abstand fürª divergiertAbbildung 18.8 gegeben. Es ist jeweils ein Teil des Raumes, der einem festen Koordinatenabstandõ›für › „ð ª ’ å ­,wieª!$#¥Ý&. Eineõanschauliche Darstellung dieses Vorgangs ist inentspricht, Zeitenª zu verschiedenen dargestellt. Wie üblich fehlt eine Dimension, so dass der Querschnittdes Zylinders nicht als Fürª Kugelschale, sondern als Kreisring erscheint. wird das Stück desRaumes, das wir betrachten, immer enger und Fürª dafür immer länger. zieht sich der Zylinderschließlich zu einer unendlich langen Linie zusammen.Für einen massiven Testkörper, der sichdernähert, hat dieses Verhalten der Geometriedes Raumes dramatische Konsequenzen. Aus der Struktur der lokalen Lichtkegel in Abbildung 18.7 Stelle§entnehmenwir, dass jede zeitartige Geodäte zu¢einer wird, denn die Lichtkegelwerden dort sehr spitz. Daraus folgt, dass sich jedes einzelne Atom eines massiven Körpers in der letztenfürª Kurve›Phase vor der Ankunft praktisch auf einer Kurvebewegen muss.Zwei unmittelbarbenachbarte Atome, die sich zu einemrAbstand von einembeiª mit›Ångström befinden, haben zu einem späteren Zeitpunktª&einen Abstand von einem Meter, und zu einemZeitpunktªnoch späteren Zeitpunktªbeträgt der Abstand schon ein Lichtjahr. Schließlich nimmt dieser Abstand mitzu. Gleichzeitig nimmt die Oberfläche des sphärischen Querschnittsdes Raumes

.,`ªí (18.66)À.Bereich Z[Z der Raumzeit, der durch die Karte in Abbildung 18.7 abgedeckt wird. Es muss sich dabei nichtum eine Geodäte handeln. Man zeige, dass die Eigenzeit dieser Kurve kleiner als=ist.Also ist jede zeitartige Kurve, Z[Z die ganz im Bereich als=der Raumzeit liegt, kürzer . Wenn sich einAstronaut unvorsichtigerweise in den Bereich hinter dem Horizont begibt, dann bleibt ihm höchstens nochdiese Zeit zu leben, Stelleª bevor er sich der nähert und dort auf die gerade beschriebene Weisezerlegt wird. Und das ist natürlich auch die maximale Zeit, die ein Stern noch existieren kann, nachdem erseinen eigenen Horizont durchquert hat, und bevor er zu einem Punkt geschrumpft ist.Wir schließen daraus, dass kein realistisches Objekt eine Annäherung an die Singularitätùder Metrikbzw.§beiüberleben kann. Jedes solche Objekt wird in seine Bestandteile zerlegt. Wir werdendiesen Vorgang gleich noch etwas genauer beschreiben. Für jeden praktischen Zweck erübrigt sich damitdie Frage, ob die Raumzeit dahinter noch weiter geht oder nicht. Denn allein aus der kausalen Strukturder Raumzeit in der Umgebungªfolgtbereits,dass kein räumlich ausgedehntes Objekt eineAnnäherung an diese Stelle überleben kann.èvonªAber heißt das, dass die Raumzeit dort wirklich endet? Wenn ein ausgedehnter Körper eine Annäherungan die nichtübersteht, heißt das noch nicht, dass wir eine Geodäte das mathematischesKonzept nicht vielleicht doch fortsetzen können. Das ist wäre zwar ein naheliegender Schluss, aberStelleªstrenggenommen haben wir noch nicht bewiesen, dass das nicht geht. Wir können es aber beweisen. Allerdingsmüssen wir dazu ganz anders vorgehen als bisher.Bisher haben wir immer nur bewiesen, dass sich die Raumzeit an der einen oder anderen Stelle fortsetzenlässt. Das konnten wir tun, indem wir geeignete Koordinaten eingeführt haben, aus denendasunmittelbarund explizit hervor geht. Ungleich schwieriger ist es jedoch, zu beweisen, dass es solche Koordinatennicht gibt. Wir werden deshalb den Beweis, dass es beiª keine Fortsetzung der Raumzeit gibt, ineiner koordinatenunabhängigen Weise führen. Was wir zeigen wollen, ist, dass es keine metrische Mannigfaltigkeit§zµgibt, die die Kruskal-Szekeres-Raumzeit als echte Teilmenge enthält, und in derwir Geodäten über diehinaus fortsetzen können.±-ODazu folgende Vorüberlegung. Nehmen wir an, es gäbe eine solche zµ,0†§±-O und^2Z5seiStelleªeine Geodäte, oder irgendeine andere glatte Kurve, die

Ž H "!}m (18.67)Krümmungssingularität die Raumzeit wirklich zu Ende. Dort enden Geodäten nach einer endlichen affinenLänge, aber trotzdem können wir die Raumzeit nicht fortsetzen, weil dort eine skalare Funktion desKrümmungstensors divergiert.Aufgabe 18.24 Warum ist es unbedingt notwendig, eine skalare Funktion des Krümmungstensors zu betrachten?Warum genügt es nicht, zu zeigen, dass eine BeispielÇ bestimmte Komponente, zum]ž]ž,fürdivergiert, wenn man zeigen will, dass es dort keine Fortsetzung der Raumzeit gibt? ªIn einem gewissen Sinne sagt hier die allgemeine Relativitätstheorie die Grenzen ihrer eigenen Gültigkeitvoraus. Es ist völlig offen, was in der Nähe einer Krümmungssingularität wirklich passiert. Vielleichtgilt die allgemeine Relativitätstheorie nicht mehr, wenn die Krümmung sehr groß wird. Vielleicht spielenQuanteneffekte, die sonst im Rahmen der Gravitationstheorie völlig ausgeblendet werden, dort eineentscheidende Rolle, so dass die Physik eine völlig andere ist.Da es bis heute keine konsistente Quantentheorie der Gravitation gibt, können wir diese Fragen nichtbeantworten. Wir wissen also nicht, was wirklich am Ende des Kollaps eines Sterns passiert. Wir wissenauch nicht, ob die Raumzeit wirklich irgendwo endet. Wir wissen nur, dass die allgemeinen Relativitätstheorieuns nicht sagt, was passiert, beiª nachdem ein punktförmiges Teilchen angekommen ist, oderwas mit der Wellenfunktion eines quantisierten Teilchens dort passiert. Es gibt im Rahmen dieser Theorie.gar kein danach.

N¡,bbNþ (relativ¡setztim Prinzip ein dunkler, aber stabiler Stern RadiusÇÈG mit einem sein. Einzig ein sehr großesschwarzes Loch, dessen Masse ein vielfaches einer typischen Sternmasse ist, ließe sich direkt nachweisen.Möglicherweise befindet sich ein solches schwarzes Loch im Zentrum der Milchstraße, wo es ständiggrößere Mengen von Sternen verschluckt.2¥Do;5 rAufgabe 18.25 Welche Masse muss ein schwarzes Loch haben, Oberfläche; =Çjz& damit seineist? Man verschaffe sich eine anschauliche Vorstellung von dieser Masse.ú GezeitenkräfteZum Schluss wollen wir noch einmal einen etwas allgemeineren Aspekt diskutieren, der im Zusammenhangmit der Annäherung bei§an die Singularität als physikalische Frage auftaucht. Wir hattengesehen, dass allein auf Grund der kausalen Struktur der Raumzeit in der von§Umgebung ein ausge- dehnter Körper, aus welchem Material er auch besteht, in seine Bestandteile zerlegt wird. Das gilt letztlichauch für die Atome, aus denen er besteht, für die Nukleonen, die Quarks, und was auch immer danachfolgen mag, jedenfalls solange wir die allgemeine Relativitätstheorie als gültig akzeptieren.Aber wie sollen wir uns diesen Vorgang genau vorstellen? Offenbar muss es eine Kraft geben, diegrößer ist jede denkbare Bindungskraft zwischen den Komponenten eines zusammengesetzten Objektes.Sie bewirkt, dass jedes Objekt schließlich in seine Bestandteile zerlegt wird. Oder andersherum formuliert,die Bindungskräfte zwischen der Teilen eines zusammengesetzten Objektes müssten beliebig groß werden,wenn sie verhindern sollen, dass das Objekt zerlegt wird.Wir wollen versuchen, zunächst ganz allgemein die Bewegung eines ausgedehnten Körpers in einergekrümmten Raumzeit zu beschreiben, um zu sehen, wie diese Kräfte entstehen. Stellen wir uns dazudie in Abbildung 18.9(a) dargestellte, vereinfachte Situation vor. Ein Testkörper bewegt sich frei fallenddurch die Raumzeit. Er besteht aus zwei Teilchen der Masse¦ , die sich in einem Abstand„~ voneinanderbefinden, wobei dieser Abstand im lokalen Ruhesystem des Körpers gemessen wurde. Jeder Körper hatalso einen Abstand vom Schwerpunkt.Wenn wir die beiden Teilchen nicht aneinander koppeln, dann läuft jedes für sich auf einer zeitartigenGeodäte. Das hat im allgemeinen zur Folge, dass sich ihr Abstand ändert, denn nur im flachen Raum sindGeodäten zueinander parallel. Der Körper wird sich also verformen. Der Abstand der Teilchen ändertsich, und wenn wir noch mehr Teilchen hinzu nehmen würden, würden sich auch deren relative Positionenzueinander verändern. Um den Körper “in Form” zu halten, müssen auf die einzelnen Teilchen Kräftewirken.Diese Kräfte werden Gezeitenkräfte genannt. In der Newtonschen Gravitationstheorie tritt eine Gezeitenkraftimmer dann auf, wenn das Gravitationsfeld inhomogen ist. Dann wirken auf die verschiedenenTeilchen in einem ausgedehnten Körper verschiedene Kräfte, so dass selbst dann noch Kräfte übrig bleiben,wenn wir die Schwerpunktbewegung des Körpers durch den Übergang zu einem frei fallenden Bezugsystemeliminieren. Die Kraft die auf ein Teilchen wirkt, ist dann in erster Näherung, das heißtfür kleine Abstände , eine lineare Funktion des Abstandsvektors vom Schwerpunkt. Die Matrixdarstellungdieser Abbildung ist im wesentlichen die zweite Ableitung des Gravitationspotentials, also dessenInhomogenität.Aufgabe 18.26 Wir betrachten die Situation in Abbildung 18.9(a) im Rahmen der klassischen Mechanik.Wir wählen ein (beschleunigtes, nicht rotierendes) Bezugsystem, in dem der Schwerpunkt des Körpers inRuhe ist. Man zeige, dass dann auf ein Teilchen Masse¦ der am Ort zum Schwerpunkt) dieKraft(18.68)2wirkt, wobeisich aus der Gravitationskraftund der Scheinkraft im beschleunigten Bezugsystem zusammen. Der Körper muss diese KraftSchwerpunkt des Körpers auszuwerten ist. Die Kraft22&5j€ v1¡N* ¦ 2þv365v1 am

¡¦¦¡‚¬¬--„…„2‚ƒ ‚Milchstraßeandere Galaxie„~(a)(b)Abbildung 18.9: In einen inhomogenen Gravitationsfeld treten Gezeitenkräfte auf. Besteht ein ausgedehnter,frei fallender Körper aus zwei Teilchen (a), so müssen auf die beiden Teilchen, wenn der Körpersich nicht verformen soll, entgegengesetzte Kräfte wirken. Die Kräfte sind proportional zur Masse derTeilchen und zu ihrem Abstand † vom Schwerpunkt. In einem Raum-Zeit-Diagramm (b) erscheinen dieWeltlinien der Teilchen als eine Schar ‡ðÓ7_HÖWˆ¥Úvon parallelen, zeitartigen Kurven. Ein Parameter ˆ bestimmtdie Weltlinie, und _ repräsentiert die Eigenzeit auf jeder Weltlinie. Für jedes _ und jedes ˆ gibt eseine 4-Geschwindigkeit ‰ und einen Abstandsvektor Š zur infinitesimal benachbarten Weltlinie. Nur dieWeltlinie des Schwerpunktes bei ˆ Õt ist eine Geodäte. Alle anderen Weltlinien sind beschleunigt.durch Bindungskräfte ausgleichen, damit er seine Form behält.Aufgabe 18.27 Warum heißen diese Kräfte Gezeitenkräfte?In der allgemeinen Relativitätstheorie müssen wir die Situation ein wenig anders beschreiben, weil esdort den Begriff der Gravitationskraft nicht gibt. Nehmen wir zunächst wieder an, wir hätten zwei nichtaneinander gekoppelte Teilchen, die sich dicht nebeneinander und relativ zueinander in Ruhe befinden.Wenn beide frei fallen, werden sie beginnen, sich relativ zueinander zu bewegen. Denn die Weltlinie jedesTeilchens ist eine zeitartige Geodäte, und Geodäten sind im gekrümmten Raum im allgemeinen nichtzueinander parallel.Das ist also in der allgemeinen Relativitätstheorie der Grund dafür, dass Gezeitenkräfte auftreten. Wenndie Teilchen ihren Abstand beibehalten sollen, dann muss auf sie eine zusätzliche Kraft wirken, das heißtdie Teilchen müssen beschleunigt werden. Was wir im folgenden berechnen werden, ist deshalb nichtdie Gravitationskraft, die es nicht gibt, sondern die ausgleichende Bindungskraft, die nötig ist, um einenKörper in Form zu halten.Wir betrachten dazu das in Abbildung 18.9(b) dargestellte Raum-Zeit-Diagramm. Dort ist eine Scharvon zeitartigen Weltlinien dargestellt. Jede Weltlinie wird eindeutig durch eine reelle Zahl identifiziert,und auf jeder Weltlinie führen wir 2 die als Parameter ein. Wir können die Schar von Weltliniendaher als Funktion^eine die Raumzeit§ auffassen.EigenzeitªWir stellen uns vor, dass jedes ein Teilchen repräsentiert. Wir können dann, wie üblich, die 4-2·ª25vonÀ 2& in366

Geschwindigkeit ¬ 2·ª25des2 bb bªb2qLbb2 jËÄb2bTL b2bTd ‹/G(18.69)b2bTd (18.70)(18.71)Teilchens zur Zeitª definieren,2b bTLDaª die Eigenzeit entlang der Weltlinie ist, ist dies ein zeitartiger Einheitsvektor.Wir wollen ferner verlangen, dass die Teilchen relativ zueinander ruhen. Das soll heißen, dass die 4-Geschwindigkeiten zweier infinitesimal benachbarter Teilchen gleich sind. Allerdings müssen wir, bevor¬ª wir zwei Vektoren an verschiedenen Orten vergleichen können, diese erst parallel verschieben. Gleichheit qLder 4-Geschwindigkeiten bedeutet also, dass die kovariante Ableitung von ¬ 2»ª25nach 2 verschwindet, b¬x…Wenn wir (18.69) einsetzen, können wir das als eine Differentialgleichung zweiter Ordnung schreiben, die5q` L`¥d2^ jËÄdie Funktion^2·ª25zuhat,berfüllenbT` 5Wenn wirbeinen Abstandvektor -…2»ª25einführen, der den Abstand zwischen zwei infinitesimal benachbar-ª L`_d2^ &TLten Teilchen misst,(18.72)dann können wir (18.71) auch wie folgt schreiben,b þLDer Abstandsvektor wird entlang der Weltlinien der Teilchen parallel transportiert. Das ist nureine andere Formulierung derselben physikalischen Aussage, dass zwei infinitesimal benachbarte Teilchenrelativ zueinander ruhen.Zusätzlich zu der Differentialgleichung (18.71) können wir noch eine Anfangsbedingung vorgeben, zumWir zeitartige Geodäte ist. Das heißt,-…2»ª25. Beispiel beies soll gelten2ª jËÄ L`¥d2^ 5þ` þLb bTdwollen verlangen, dass Weltlinie^die 2»ª5eine(18.74)ª f(18.73)Ferner soll der Abstandsvektor ein räumlicher Einheitsvektor im Ruhesystem des Teilchens mitEr soll also senkrecht zu ¬2·ª5stehen und den Betrag Eins haben,-…2·ª5¬- ‹/GjËÄ L`¥d2^ 5q`qd ª q$LH(18.75)Das ist mit der Forderung (18.73) verträglich, denn die Skalarprodukte von parallel transportierten Vektorensind konstant.also^Wir können 25als Anfangspunkt, zeitartigen Einheitsvektor, und -…25als dazusenkrechten raumartigen Einheitsvektor beliebig vorgeben.Weltlinie^Die Geodätengleichung bestimmt dann dieund die Funktion als deren Ableitung. Dann können wir den Vektorentlang dieser Kurve parallel transportieren und erhalten die Funktion -…2·ª5.Diese Funktionen setzenwir als Anfangsbedingungen bei (18.71) ein, und erhalten so eine eindeutige Lösung dieserDifferentialgleichung, zumindest für einen endlichen Bereich der¬2·ª5und .2In eine physikalische Sprache übersetzt haben wir folgendes getan. Wir haben den-…25und2·ª5 2 25VariablenªOrt^-25als ¬- ‹/Gsein.die 4-Geschwindigkeit ¬25(in eine Dimension) ausgedehnten Testkörpers vorgegeben. Ferner367ineines

2 b2bTL (18.76)þL >Lq` < qL >Lþ` S(18.77)ÊL qd>dqL(18.78)(18.82) qd>d2·þ`>`qL5 < bÊLb2þ`qd>d>`qL jËÄ.haben wir seine Lage im Raum durch den Vektor -…25festgelegt. Dann haben wir verlangt, dass sichù, ein bestimmter Punkt innerhalb des Testkörpers, nämlich das Teilchen mit auf einer zeitartigenGeodäte bewegt, also frei fällt. Nennen wir diesen Punkt der Schwerpunkt des Körpers.Ferner haben wir verlangt, dass der Testkörper nicht rotiert. Der Vektor -t2»ª5, der seine Lage im Raum2Zeitª zur beschreibt, bezüglichª soll kovariant konstant sein. Als Ergebnis haben wir eine Funktion2·ª25bekommen. Sie liefert für jedes Teilchen die Weltlinie als Funktion der Eigenzeitª. Jetzt müssenwir nur noch ausrechnen, welche Kraft auf das Teilchen wirken muss, damit es genau dieser Weltliniefolgt.2 2 ^Dazu fassen wir noch einmal die Eigenschaften Funktion^der 2·ª25zusammen. Die Ableitungen definierendie ¬ 4-Geschwindigkeit 2·ª25und den Abstandsvektor -…2·ª25,2Für diese gilt, ¬ dass 2»ª25intransportiert wird. Das können wir wie folgt mit Hilfe von kovarianten Richtungsableitungen schreiben,bTL bª þL -Richtung parallel transportiert wird, während -…2·ª25inª-Richtung parallel qLDa wir als Anfangsbedingung vorgegeben haben, 2»ª5eine zeitartige Geodäte ¬ ist und somitein zeitartiger Einheitsvektor ist, folgt aus der ersten Gleichung dass auch 2·ª25für alle ein zeitartiger¬dass^Einheitsvektor ist. Denn in -Richtung parallel transportiert, also ist die Länge von 2 ¬2»ª5konstant. Daraus folgt unter anderem, dass für alle 2·ª25der 2 die Eigenzeit ist.Aufgabe 18.28 Warum gelten die Beziehungen (18.75) im allgemeinen nicht für alle ?2Parameterª Weltlinien^2»ª25¬2·ª25Jetzt ist es nicht mehr schwierig, die Beschleunigung berechnen, die das Teilchen zu Zeitªerfährt. Es ist die kovariante Ableitung der 4-Geschwindigkeit nach der Eigenzeit, also2 üP2·ª25wirdWir wollen diese näherungsweise für kleine 2 berechnen. Natürlich ist ü(2»ª5denn die Kurve miteine Geodäte. Was uns interessiert, ist demnach die Ableitung von ü nach 2 bei 2 berechnen also die kovariante Richtungsableitung ,Wirzu(18.79)Nun gilt laut (18.77), dass ¬ in Richtung - konstant ist, alsoþ`>`2qd>dqL5 þ`>`ÊList(18.80)Wir vertauschen die kovarianten Ableitungen und erhaltenþ`qd>`>dqL þ`>`ÊL(18.81)Der erste Term verschwindet, denn aus (18.77) folgtLÉ`¥dqÉ þ`qdÇ j þ`qd>d>`qL þ`>`ÊLAlso istþ`>`Ê` 368L`¥d2^ 5ÊLþd Ç LÉ`¥d2^ 5þ`qdqÉ(18.83)

Diese Beziehung gilt für alle 2 . Wenn wir sie für 2

pŽŽL{¡ŽŽŽ`9q[d6qÉŽ,ŽLund insbesondere bei§ Aufgabe 18.30 Man zeige, dass die - Ž Ž Vektoren -‘ und zueinander und ¬ zu senkrecht sind, und dasses sich um raumartige Einheitsvektoren handelt. Sie bilden also im lokalen Ruhesystem des Körpers dieBasis eines zweidimensionalen Unterraumes des Raumes, wobei ein Vektor “nach oben” und des andere“zur Seite” zeigt.Jetzt können wir die Kraft berechnen, die auf ein Teilchen wirkt, das sich innerhalb des Testkörpers imAbstand 2 oberhalb vom Schwerpunkt, also in Richtung des Vektors -BŽ Ž befindet. Wir benötigen dazu dieFormel (18.84), und natürlich die Komponenten des Krümmungstensors in Schwarzschild-Koordinaten.Eine etwas längere Rechnung ergibtEs wirkt also, wie erwartet, für positives 2 eine Kraft in Richtung-BŽ Ž . Ein Teilchen der Masse¦ oberhalbdes Schwerpunktes wird zusätzlich nach unten beschleunigt, damit es mit dem fallenden Körper Schritthalten kann. Ein Teilchen unterhalb des Schwerpunktes, mit negativem 2 , wird entsprechend abgebremst,damit es nicht zu schnell fällt.Die gleiche Rechnung für den Vektor -1 ergibt22&5j€22&5jŒ(18.88)§ 2þ“Ž ¦ 2Ç LÉ`¥d2^ 5þ’Ž „𠡦Diese Kraft wirkt in Richtung des Vektors -1 , das heißt der Körper wird durch sie auseinander gedrückt.Ein Teilchen, dass sich seitlich im Körper befindet, erfährt eine Beschleunigung vom Schwerpunkt weg,damit der Körper nicht kleiner wird.5þ9`qdqÉ LÉ`_d2^ 2Ç ¦ L p22&5j€¡¦ § 2þL 22&5j€(18.89)Aufgabe 18.31 Man verifiziere die Ergebnisse (18.88) und (18.89). Welche Gezeitenkräfte ergeben sich inder Newtonschen Theorie?Da -”Ž Ž und -‘ räumliche Einheitsvektoren im Ruhesystem des Körpers sind, können wir die Ausdrücke(18.88) und (18.89) unmittelbar als die klassischen Kräfte interpretieren, die auf die Teilchen im Körpereinwirken. Wir finden also, dass auf ein Teilchen der Masse¦ im Abstand •Ž Ž oberhalb des Schwerpunktes,bzw. im Abstand % neben dem Schwerpunkt, die folgenden klassischen Kräfte wirken,Was daran zunächst auffällt, ist, dass diese Größen für„𠢦 ¦ ¡£ alle§wohldefiniertsind. Das muss natürlich so sein, denn der Körper passiert diese Stelle in der Raumzeit, ohne dassdort etwas besonderes passiert. Nur die Herleitung mit Hilfe der Schwarzschild-Koordinaten versagt andieser Stelle.„–§ sŽ§ 5(18.90)Aufgabe 18.32 Man führe dieselbe Herleitung mit Hilfe der einlaufenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten durch und zeige, dass das Ergebnis für§auch ist. Warum ist es dazu nichtnötig, den Krümmungstensor nochmal als Funktion der Metrik und ihrer Ableitungen auszurechnen?ö„ð richtigUm die Größenordnung der Kräfte abzuschätzen, genügt es, nur die radiale Kraft¡Ž Ž zu betrachten, diesich von der Kraft¡senkrecht dazu wirkenden Faktor„ nur um einen unterscheidet. Setzen wir zumo;Hkm Ckg Beispiel die Masse mm Radius§und den der sowie¦ Erde ein, und Žnm,!&kgDm.•Žsich¡Ž so ergibt Das ist eine etwas merkwürdige Einheit für eine Kraft. Wir müssensie noch mitŽ&multiplizieren, dannergibt Ž

,ù¦I5Dªwirken,Nun betrachten wir einen Astronauten, der in ein schwarzes Loch fällt. Nehmen wir an, er ist etwa zwei

(19.1)¨Lg`Pj zLg` ‚Lg` r ¨Lg` zLg` ‚La`(19.2)rB ¨Lgdzd_` zLÆd¨d` zLÆdzd` r

‚"±GµLg` ¨Lg` ‚²±GµLa` ¨La` (19.4) zLa`Pj zLi „ zi`–j zLizi ¨Lg`Pj ‚La`kðzk`–j‘AA(19.7)Aufgabe 19.1 Wir nennen ein Koordinatensystem kartesisch, wenn die Hintergrundmetrik¨La`die üblicheDiagonaldarstellung besitzt. Ein solches Koordinatensystem repräsentiert ein Inertialsystem im Sinne derspeziellen Relativitätstheorie. Angenommen, die Komponenten sind in einem Inertialsystemhinreichend klein, so dass wir quadratische Terme vernachlässigen können. Sind sie dann in jedemanderen Inertialsystem auch hinreichend klein? Was bedeutet das für das Konzept einer leicht gekrümmtenRaumzeit?bzw.zLg` vonzLa`Um diese Darstellung eines schwachen Gravitationsfeldes etwas besser zu verstehen, ist es nützlich, denBegriff der Deformation einer Metrik etwas genauer zu erfassen. Eine Deformation wird durch eineMetriken‚"±‹µLg`Scharvon dargestellt, die von einem Parameters abhängen. Der Index in Klammernsteht hier also ausnahmsweise nicht für ein Koordinatensystem, sondern für einen Deformationsparameter.©—–˜Im vorliegenden Fall wird die flache Hintergrundmetrik in eine leicht gekrümmte Metrik 2 deformiert.Das heißt, für sich die Minkowski-Metrik ergeben, 2sollund für 2 deformierte Metrikdie(19.5)Die Richtung der Deformation ist wie folgt durch die Ableitung der Metrik nach definiert,2‚Lg` ‚²±#µLa` ‚Lg` ‚²±#µLg`Dies ist ein Tensorfeld der Stufe25, welches im allgemeinen von abhängt und davon, wie wir die Deformationim einzelnen durchführen, das heißt welchen Weg wir 2 nehmen, um die flacheMetrik‚Lg`Hintergrundmetrikin die leicht gekrümmte zu deformieren.Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Richtung der Deformation konstant ist, so dassvon unabhängig ist. Die deformierte ist dann eindeutig durch die Hintergrundmetrik¨La`2 und die¨La`der Deformation bestimmt. Wir können in diesem Fall die Gleichung(19.6) integrieren und das Ergebnis als Potenzreihe darstellen. Es handelt sich im wesentlichen um eineMetrik‚Lg`Exponentialreihe für dieRichtungzL`MatrixzL`, zL` z±‹µL` ‚±‹µLÆd '‚±‹µd`'2* z±‹µL`'2 ‚±‹µd` '‚±‹µLÆd(19.6) j zLi zi` zi kHier haben wir die Indizes wiederÈzLimit Hilfe der Hintergrundmetrik nach oben bzw. unten gezogen, daszk` „ zLa` ¨Lg` ‚La`heißt für die Tensorenz$Lg` undzLa`wieder die Beziehung (19.3).giltAufgabe 19.2 Man löse die Differentialgleichung (19.6)(19.4). Man zeige, dass sich daraus die deformierte Metrik (19.7) ergibt.mitz±‹µL`der AnfangsbedingungAAundWir können die Deformation einer Metrik so ähnlich verstehen wie den Fluss eines Vektorfeldes, nur dassdieser Fluss nicht in der Raumzeit, sondern im Raum aller Metriken stattfindet. Dasgibtdie Richtung vor, in die diezL`bzw. die inverse Metrik‚"La` “fließt”.Wenn wir annehmen,Tensorfeldz9L`hinreichend klein ist, so dass wir die quadratischen und höheren Ordnungenvernachlässigen können, ergibt sich aus (19.7) wieder die ursprüngliche Darstellung (19.1) einerMetrik‚`¥Lleicht gekrümmten Metrik. Die Näherung in (19.1) ist daher so zu verstehen, dass durch das TensorfelddasszL`373

‘

\bb¨ Lg`

7 undLbbLbbdbbš`bbL¹(19.18) L`¥d \ T` \ Td Ì!$# \ Ì \ TL jËÄ TLbb`b(19.19) Lid¬Ä i`É Ä LiÉ Ä i`¥d ÉÄ(19.20)L`¥d¾jËÄb b b bLz`_d5j€ 2Wz$&5 É Éb`bbibbdik ibLbbik k biiwird zbibbizLa`5jŒ 2Wz&5(19.21)kzLa` *Ao= Å6Lg`(19.26)Aufgabe 19.8 Man zeige, dass die Bewegungsgleichungen (19.13), wenn man dort den Impuls¼Leliminiert,die bekannte Form der Geodätengleichung annehmen,Als nächstes berechnen wir den Krümmungstensor. Für ihn gilt die Formel (9.56),L`¥dÉ bd Ä L`É bDa das Christoffel-Symbol bereits linear inzLa`ÇWas bleibt, istkönnen wir die quadratischen Terme vernachlässigen.ist, „ `z$ÉLb Zwei der sechs Terme,bdie sich aus (19.17) ergeben, heben sich wegen der Antisymmetrie in den Indizesgegenseitig auf. Durch Kontraktion ergibt sich daraus der Ricci-Tensor, dessen Symmetrie in denbeiden Indizes sofort offensichtlich ist, j Lz`É `zdL 2 L`¥dÉ ÇmitMetrik‚²La` der kontrahieren.Jedoch genügt es auch hier, die Kontraktion mit der Metrik¨$Lg` flachen durchzuführen, denn derRicci-Tensor ist bereits linear,inzLg`Lg` Ç dLÆd` „ 2 dz`d j dzLd b`zdd bUm den Krümmungsskalar zu bekommen, müssen wir denÇLa`Ricci-TensorÇUm schließlich den Einstein-Tensor anzugeben, ist es nützlich, einen š Tensorwie folgt zusammenhängt,der mitzLa` Lg` Lg`PjŒ ¨La`Ç 2z&5 bkzibiz^k(19.22)DerÇist die Spur vonzLa`. Umgekehrt gilt, wenn die Raumzeit vierdimensional ist,‚La`ÇSkalarzeinzuführen,jŒ2Wz&5zLg`„ ¨La`z z zdd(19.23) zLg`šzLa`zLa` zLg`(19.24)Aufgabe 19.9 Man zeige, dass (19.23) und (19.24) äquivalent sind, šzddund ist. z x zAbbildungzLa`Die folglich eine Involution. Wegen šsie manchmal als Spurinversionbezeichnet. Es ist die gleiche Abbildung, die auch den Ricci-Tensor auf den Einstein-Tensor abbildet.Es folgt dann nach einer kurzen Rechnung aus (19.21) und (19.22), dass˜šš š š z z ¨La` „ist zLg`Lg` Ç Lg` „ ‚Lg`Ç Ç Lg` „ ¨La`Ç ¨dšj z`ddš ¨Lg` zLdn z2z&5 bDer Einstein-Tensor ist in linearer Näherung durch die zweiten Ableitungen 2 „ vonzLa`jŒzi kHšš gegeben. zLg`š zLg`5jŒi (19.25) 2z&5bzw.Das können wir unmittelbar in die Einstein-Gleichung (19.14) einsetzen, und erhalten so eine Beziehungzwischen dem GravitationsfeldzLa`linearisierten und dem Energie-Impuls-TensorÅ9La`, bj Diesbist die linearisierte Einstein-Gleichung. Wir können sie als Quellengleichung einer vereinfachtenGravitationstheorie aufassen. Sie gilt, solange das Gravitationsfeld schwach ist. Das setzt natürlich voraus,¨Lg` zLd z`ddšdšš zWi ki š376

dass auch der Energie-Impuls-Tensor hinreichend klein ist. Es darf sich also, zumindest in dem Bereichder Raumzeit, den wir beschrieben wollen, nicht zu viel Materie befinden. Sonst wäre die Raumzeit zustark gekrümmt und folglich die lineare Näherung nicht sinnvoll.Um zu verstehen, in welchem Sinne die linearisierte Einstein-Gleichung eine Näherung der vollenEinstein-Gleichung darstellt, betrachten wir die Kontinuitätsgleichung für die Materie, die sich als Konsistenzbedingungaus der Quellengleichung ergibt.Aufgabe 19.10 Man zeige, dass aus (19.26) die Kontinuitätsgleichungfolgt.Die Materie, die in der linearisierten Einstein-Gleichung als Quelle auftritt, erfüllt also die Kontinuitätsgleichungin einer flachen Raumzeit. Das heißt, sie spürt das Gravitationsfeld nicht.Das steht zunächst im Widerspruch zum Ergebnis aus Aufgabe 19.6, denn dort hatten wir gesehen, dassein linearisiertes Gravitationsfeld sehr wohl einen Einfluss auf die Bewegung eines Teilchens hat. Eineinzelnes Teilchen bewegt sich also nicht auf einer Geodäte bezüglich der Hintergrundmetrik, undLŸÅ La`somiterfüllt sein Energie-Impuls-Tensor nicht die Kontinuitätsgleichung in einer flachen Raumzeit.Der scheinbare Widerspruch löst sich jedoch auf, wenn wir die Theorie der schwachen Gravitationsfelderals eine Art Störungstheorie auffassen und die verschiedenen Ordnungen der Entwicklung beachten.Damit die linearisierte Einstein-Gleichung gilt, muss der Energie-Impuls-Tensor von derselben Ordnungklein sein wie die Abweichung der Metrik von der Worten,ÅÁLg`Hintergrundmetrik. Mit anderen ist selbstvon der Ordnung 2Wz5.Andererseits weichen die Bewegungsgleichungen eines Teilchens, oder irgendeiner anderen Art vonMaterie, von denen in einer flachen Raumzeit erst in der Ordnung ab. Die Korrekturen, die derEnergie-Impuls-Tensor dadurch erfährt, sind deshalb von der Ordnung 2z&5. Sie wirken sich in derEinstein-Gleichung erst in der nächsthöheren Ordnung aus. Wenn wir die linearisierte Einstein-Gleichunglösen, können wir daher so tun, als bewege sich die Materie in einer flachen Raumzeit.In eine physikalische Sprache übersetzt bedeutet das, dass die lineare Näherung der Einstein-Gleichungimmer dann sinnvoll ist, wenn wir die Rückwirkung des Gravitationsfeldes auf die Materie, die es erzeugt,2z5vernachlässigen können. Auf der gleichen Annahme, nur mit vertauschten Rollen, beruht das Konzeptdes Testteilchens. Ein Testteilchen ist ein Teilchen, dessen Bewegung zwar durch das Gravitationsfeldbestimmt wird, dessen Rückwirkung auf das Feld jedoch vernachlässigt werden kann. Hier ist es genauumgekehrt. Das linearisierte Gravitationsfeld wird durch eine Ansammlung von Materie erzeugt, aber dieRückwirkung des Feldes auf diese Materie kann vernachlässigt werden.Am Beispiel eines kugelförmigen Sterns ist leicht zu erkennen, wann das der Fall ist. Die Rückwirkungdes Gravitationsfeldes auf den Stern bewirkt, dass sich in seinem Innern ein Druck aufbaut, der ohnedas Gravitationsfeld nicht vorhanden wäre. Die linearisierte Theorie ist also so lange sinnvoll, wie derDruck im Vergleich zur Dichte vernachlässigbar ist, und das ist wiederum genau dann der Fall, wenn dertatsächliche Radius des Sterns groß im Vergleich zu seinem Schwarzschild-Radius ist. Genau dann ist dieRaumzeit in der Umgebung des Sterns nur leicht gekrümmt.Die linearisierte Gravitationtheorie können wir immer dann verwenden, wenn eine klare Hierarchieder folgenden Art vorliegt. Es gibt eine Materieansammlung, die ein Gravitationsfeld erzeugt, jedoch istdieses Gravitationsfeld hinreichend klein, so dass die Rückwirkung auf die erzeugende Materie zunächstvernachlässigt werden kann. Anschließend wirkt das Gravitationsfeld auf andere Testteilchen, die wiederumso klein sind, dass deren Rückwirkung auf das Gravitationsfeld vernachlässigt werden kann.Ein typisches Beispiel für ein Anwendungsgebiet der linearisierten Theorie ist die Raumfahrt in derNähe der Erde, oder natürlich die Gravitationsphysik in einem irdischen Labor. Die Erde erzeugt einschwaches Gravitationsfeld, das heißt die Raumzeit in ihrer Umgebung ist nur leicht gekrümmt, und dieRaumfahrzeuge können als Testteilchen beschrieben werden, da deren Rückwirkung auf das Gravitationsfeldwiederum so klein ist, dass praktische keine Wechselwirkung mit anderen Raumfahrzeugen stattfindet.377

±#µ¥2]VLb¡ ¡t2]V 5 ''2 ±‹µ2WV 5ibii L

‚Lg`–j›§‚La`–j€ 2¨&5 (19.31)b‚±‹µLÆdzd`(j€§‚±‹µLa`(19.34)bbEine Eichtransformation wird also ¦ durch ein Raumzeit-Mannigfaltigkeit§ Vektorfeld auf der erzeugt,und wenn es hinreichend klein ist, können ¡wir den Fluss dieses Vektorfeldes näherungsweisein der Form (19.29) darstellen.§ ¿§Um heraus zu finden, wie sich eine solche Eichtransformation auf ein GravitationfeldzLa`schwachesauswirkt, betrachten wir zwei physikalische Metriken‚Lg`äquivalente und°‚Lg`. Die eine soll sich durcheine Deformation Hintergrundmetrik¨Lg`der RichtungzLa`in ergeben, die andere durch eine zusätzlicheEichtransformation, erzeugt durch ein Vektorfeld ¨L. Wenn wir Terme der Ordnung vernachlässigen,folgt aus (19.28) und (19.29)¨&wobeiAbleitung erzeugt den Fluss eines Vektorfeldes, wenn dieser auf ein beliebiges anderes Tensorfeld wirkt,und deshalb tritt sie hier als Erzeuger einer Eichtransformation auf.Nun wissen wir aber andererseits, aus einer Deformation der Hintergrundmetrik hervorgeht,das heißt es giltdass‚La`€§ ¨ddie Lie-Ableitung in Richtung des VektorfeldesjŒist. Das kennen wir natürlich schon. Die Lie-2¨&5¦d¨É‚LÉ L¨d‚d`(j d‚La`–j ‚Lg`–j °‚Lg`quadratisch sind, denn gemäß unsererAnnahme sind beide von der gleichen Größenordnung. Wenn wir Terme der Ordnungz&vernachlässigen,müssen wir konsequenterweise auch Terme Ordnungz¨der und ¨&vernachlässigen. Es gilt alsozLa`PjŒ ¨Lg`(j B bHier haben wir€§‚Lg`sämtliche Terme vernachlässigt, die oder‚Lg` ¨ L¨`–j 2z&5 inz`¨LmjŒ 2z&¨ z5(19.32)Aufgabe 19.11 Eine andere Möglichkeit, zum selben Ergebnis zu kommen und dabei gleichzeitig die Ter-L¨`–j zLg`(j ¨Lg`Pj °‚Lg`me höherer Ordnung zu berechnen, besteht darin, eine Deformation (19.6) zu betrachten, bei festemzL`, aber zusätzlich, also während der Deformation, noch den Erzeuger eines Flusses auf dieMetrik anzuwenden. Es gilt dann z±‹µL·``¨LjŒ 2z&¨ z¨&5(19.33)Man löse diese Differentialgleichung und zeige, dass sich die resultierende Metrik wie (19.33) schreibenlässt. Man bestimme die Term der nächsthöheren Ordnung.'2 '‚±‹µLa`Aus (19.33) ergibt sich nun folgende Aussage über das linearisierte Gravitationsfeld. Wenn wir eine Transformation(19.35)`¨L L¨`–j zLg`durchführen, wobei irgendein Vektorfeld ist, dessen Index wir mit der Hintergrundmetrik nach untenziehen können, so beschreibt dieses Feld, zumindest in der führenden Ordnung der linearen Näherung,eine physikalisch äquivalente Deformation der Hintergrundmetrik. Mit anderen Worten, die Abbildung(19.35) ist eine Eichtransformation.¨L˜ zLg`(jZwei schwache Gravitationsfelder, die sich nur durch eine Eichtransformation (19.35) unterscheiden,sind physikalisch äquivalent.Um uns das anschaulich klar zu machen, betrachten wir die etwas schematische Darstellung einer Deformationeiner flachen Raumzeit in Abbildung 19.1. Die gerade Linie unten soll jeweils den flachenMinkowski-Raum symbolisieren, den wir uns zu diesem Zweck in einen höherdimensionalen Raum eingebettetvorstellen. Durch die Deformation wird PunktV jeder eine vorgegebene Richtung im©379§ in

§ aufeinander§VVb§¡…2WV 5VVMilchstraßeandere Galaxie(a)(b)Abbildung 19.1: Zwei verschiedene Deformationen sind äquivalent, wenn sie sich nur um den Fluss einesVektorfeldes unterscheiden. Die Pfeile deuten jeweils an, in welche Richtung im Einbettungsraum sich einPunkt während der Deformation bewegt. Die beiden deformierten Räume haben die gleiche Geometrie.Sie werden durch einen Diffeomorphismus aufeinander abgebildet.Einbettungsraum verschoben. Die Richtung der Deformation wird also in diesem Fall durch ein Vektorfeldim Einbettungsraum vorgegeben. Dadurch wird der eingebettete Raum verformt, und somit ändertsich auch seine Geometrie.Nun kann es sein, dass zwei verschiedene Deformationen zu derselben deformierten Geometrie führen.Obwohl wir die einzelnen Punkte des Raumes in Abbildung 19.1(a) und (b) jeweils in eine andere Richtungverschieben, ist das Ergebnis, also die deformierte Geometrie in beiden Fällen dieselbe. Wie man in derAbbildung leicht sieht, werden die beiden deformierten Räume ¡durch einen Diffeomorphismusabgebildet.Die beiden durch die Einbettung induzierten Metriken unterscheiden sich also um eine Eichtransformation.Während die deformierte Metrik im einen¿§Fall gegeben ist, ist sie im anderen Falldurch Was wir in der Abbildung auch sehr deutlich sehen, ist, dass die Größenordnung der°‚Lg`gegeben.Eichtransformation, also der Abstand zwischen den jeweils PunktenV einanderdurch‚Lg`zugeordneten und5,von der gleichen Größenordnung ist wie die Deformation selbst. Solange wir nur kleine Deformation betrachten,treten auch kleine Eichtransformation auf.Jetzt müssen wir nur noch von der Einbettung abstrahieren, um wieder auf das ursprüngliche Bild einerDeformation der Metrik zurück zu kommen. Durch die Verformung im Einbettungsraum wird die Metrikauf dem eingebetteten Raum verändert. Das heißt, jeder Verformung im Einbettungsraum entspricht eineDeformation der Metrik. Statt die Richtung der Deformation im Einbettungsraum¡t2]Vanzugeben, könnenwir daher auch direkt die Deformation der Metrik angeben. Das ändert aber nichts daran, dass gewisseDeformation physikalisch äquivalent sein können.Wir können jetzt sogar leicht einsehen, warum zwei Deformation genau dann äquivalent sind, wennsie sich durch den Fluss eines Vektorfeldes auf der Raumzeit unterscheiden. Betrachten wir die beidenin Abbildung 19.1 gezeigten Vektorfelder im Einbettungsraum, so unterschieden sich diese genau um einVektorfeld, welches, zumindest in der linearen Näherung, zu der eingebetteten Fläche tangential ist. Dasheißt, die Richtungen der beiden Deformationen unterscheiden sich um eine Deformation tangential zureingebetteten Raumzeit. Eine solche Deformation ändert aber nicht die Geometrie der Raumzeit, sondernerzeugt nur eine Abbildung der Raumzeit auf sich selbst.Wir können also anschaulich verstehen, warum der Parameter der Eichtransformation ein Vektorfeldauf der Raumzeit ist. Die Art und Weise, wie ein schwaches Gravitationsfeld transformiert, ergibt sich dannaus dem allgemeinen Transformationsverhalten der Metrik unter Diffeomorphismen. Bemerkenswert andiesem Transformationverhalten ist, dass es einer Eichtransformation in der Elektrodynamik sehr ähnlichist. Der einzige Unterschied ist, dass der Parameter dort ¨Lein skalares ist, Feldl380i L ˜ i LmjLl (19.36)

šbi@2!bbbibbbibb(19.40) bil(19.41)

š '^|

šAlternativ können wir uns auch hier in ein bestimmtes Bezugsystem, also ein Inertialsystem imMinkowski-Raum begeben, und das Ergebnis als dreidimensionales, räumliches Integral schreiben,465 X Å8La`2) 4 šWir schließen daraus, dass sich ein schwaches Gravitationsfeld in der Raumzeit genauso ausbreitet wie einelektromagnetisches Feld. An einemzLa`2)im Minkowski-Raum sieht das Feld quasi die Materie, diesich auf dem Rückwärtslichtkegelf;befindet. Das Gravitationsfeld breitet sich mit Lichtgeschwindigkeitvon der Quelle aus.'š š5 4 vonVEreignisVWenn Materie irgendwo im Raum bewegt wird, so erfährt das Gravitationsfeld an einem anderen Ort erstspäter davon. Im Gegensatz zur Newtonschen Theorie steht die linearisierte Gravitationstheorie daher nichtim Widerspruch zur speziellen Relativitätstheorie und ihrem Kausalitätsprinzip. Die Materieverteilungbestimmt das Gravitationsfeld, aber die Information darüber breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus,nicht instantan.Allerdings sehen wir an dieser Stelle recht deutlich, dass es sich bei der linearisierten Theorie nur um eineNäherung handeln kann. Die Lichtgeschwindigkeit, von der hier die Rede ist, ist die Lichtgeschwindigkeitim Minkowski-Raum, in dem wir das Integral (19.50) ausführen, also diejenige Lichtgeschwindigkeit,die durch die Hintergrundmetrik definiert wird. Eigentlich ist es aber das Gravitationsfeld selbst, welchesbestimmt, welche Richtungen in der Raumzeit lichtartig sind. Das Gravitationsfeld bestimmt quasi selbst,wie schnell es sich in der Raumzeit ausbreitet.Diesen Aspekt der allgemeinen Relativitätstheorie haben wir in der linearen Näherung ausgeblendet.Wir haben also nicht nur die Rückwirkung des Gravitationsfeldes auf die erzeugende Materie, sondernauch die Rückwirkung des Feldes auf sich selbst vernachlässigt. Anschaulich formuliert besteht dieseRückwirkung darin, dass sich das Gravitationsfeld gewissermaßen selbst die Wege schafft, auf denen essich ausbreitet. Wegen dieser Selbstwechselwirkung ist es so schwierig, die Einstein-Gleichung exaktzu lösen. In der linearisierten Theorie sind jedoch die Wege fest vorgegeben, auf denen sich das Feldausbreitet. Es sind die Lichtkegel im Minkowski-Raum, definiert durch die Hintergrundmetrik.Aufgabe 19.15 Man beweise, dass der Tensor (19.50) sowohl die linearisierte Einstein-Gleichung(19.46), als auch die Lorentz-Eichbedingung (19.45) erfüllt.š (19.51)Der klassische GrenzfallWir können nun eine seit einiger Zeit aufgeschobene Frage beantworten, nämlich die nach einer systematischenBeschreibung des Newtonschen oder klassischen Grenzfalls der allgemeinen Relativitätstheorie.Wir hatten diesen schon mehrmals kurz diskutiert, zum Beispiel um die Bewegungsgleichungen einesTeilchens in einer leicht gekrümmten Raumzeit mit denen in einem klassischen Gravitationsfeld zu vergleichen,oder um den Faktor¦o=¨ richtigen in der Einstein-Gleichung zu finden.Um den klassischen Grenzfall zu bekommen, müssen wir neben der Annahme, dass das Gravitationsfeldschwach ist, noch eine zusätzliche Annahme machen. Die Materie muss im Sinne der Aufgabe 14.6nichtrelativistsich sein. Sie darf sich nur langsam relativ zu einem Inertialsystem2)ausgezeichnetenbewegen. Für die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors gilt dannÅ6MºMF Å8MºNF4U5(19.52)Die Energiedichte ist groß im Vergleich zur Impulsdichte bzw. zum Energiestrom, und dieser ist wiederumgroß im Vergleich zum Spannungstensor. Das ist genau dann der Fall, wenn die Geschwindigkeiten allerbeteiligten Materieteilchen klein sind im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit.Zusätzlich müssen natürlich alle Komponenten des Energie-Impuls-Tensors, also insbesondereÅÁMºMhinreichendklein sein, damit die lineare Näherung der Einstein-Gleichung gilt. Es handelt sich also umÅ8Nwvzwei383

Nbbbibšb(19.53)Å8Nwv 495 Å8MºNfb b b bibib(19.55)(19.56)zŃMff zNwvunabhängig voneinder zu stellende Bedingungen an die Materie. Es darf nicht zu viel Materie vorhandensein, und sie darf sich nicht zu schnell bewegen.Es genügt folglich, allein die KomponenteÅUMºMals von Null verschieden zu betrachten. Die Kontinuitätsgleichunglautet dannM»Å6MºM

š'bib465 (19.61)ó ist465 (19.62)bzLg` *| o= Å La` (19.64)§ 1{2§5

')&jª§ (19.70)const,ó des§ ')'\ (19.71)mit®2§5Diese Ausdrücke sind aus der klassischen Mechanik bekannt. Die Funktion ®2§H5definiert die in einer Kugelvom Radius§enthaltene Masse, und ¡2§H5ist das Trägheitsmoment dieser Kugel. Wir übernehmen dieseDefinitionen einfach und nennen ‡2§5die “Masse” einer Kugel Radius§vom und ¡2§5das “Trägheitsmoment”dieser Kugel. Wie wir gleich sehen werden, stimmt die erste Definition mit der Schwarzschild-Masse aus Kapitel 15 überein.Wir können jetzt das Gravitationsfeld außerhalb des Himmelskörpers sehr leicht berechnen. Wir integrierendazu einfach die Differentialgleichungen (19.67) nochmals, diesmal von§bisåjedoch . Da wiruns außerhalb der Materie befinden, ist ®2§5aXG '[Z3ZA&782Z5 ¡2§5 ¦o=

{„=ÁDTag,ª„¡„ ÇÍG óŒ§&Œ.qb ')‚cbM* „ª\jist¼bª(19.74) § „ ó¢óein für§Teilchen, dass zur Ruhe kommt, alle räumlichen Komponenten des Impulses, insbesondereKomponente¼b die .Wegen der Symmetrie der Raumzeit unter \ Drehungen aber eine Erhaltungsgröße.Also gilt auf der gesamten Bahn des Teilchens¼b Interessanterweiseåfolgt daraus aber nicht, dasssich das Teilchen auf einer radialen Bahn nach innen bewegt. Seine ó, gemessenim Koordinatensystem2)§[\5, ist nämlich˜ WinkelgeschwindigkeitŒdie 4-Geschwindigkeit des Teilchens ist. Wichtig ist hier, dass die Indizes alle oben stehen. DieErhaltungsgröße¼b trägt ihren Index jedoch unten. Es ist eine Komponente des dualen Vektors¼L. DarauswobeiqLfolgt‚hbdb¼bjf(19.73)‚Mb‚cbdb óó '\(19.72)x¼b ¼M qMAus (19.71) lesen wir ab, dass‚Mb¼M¼bB ŒSinne, also den vernachlässigen.Wenn der rotierende Himmelskörper einen RadiusÇÈGhat, trifft der fallende Körper also nicht senkrechtª[DÇ|G.Terme„ðauf seine Oberfläche,D§sondern mit einer Um eine Vorstellung vonder Größenordnung zu bekommen, setzen wir die Werte für die Erde ein. Ganz allgemein gilt für dasWinkelgeschwindigkeitŒTrägheitsmoment einer Kugel konstanter Dichte ¡ÇÈG&D{, alsoó „ „ð ¡ûbereitsder OrdnungDa‚Mb zMb2Wz5in‚Êbdb‚hbfbj Evon der Ordnung 2Wz5imD § „ð§&jzWbfbBder linearen Näherung ist, können wir die KorrekturŒ §Die GeschwindigkeitŒtangentiale O, mit der der Testkörper auf die Oberfläche auftrifft, hängt also nur vonder Masse und der Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Himmelskörpers ab. Setzen wir für die Erdemm undóergibt sichŒDas ist nicht gerade eine hohe Geschwindigkeit,;{;{ó ÇÍG ó B Œ O ÇÍG0Œ ó ÇcmDTag.„{Gr O(19.75)im Vergleich zu denkmDsec der vertikalen Geschwindigkeit beim Aufprall. Aber immerhin ist es keineunvorstellbar kleine Geschwindigkeit.Das Teilchen wird also auf seinem Weg nach unten durch die rotierende Erde mitgenommen. Es weichtvon seiner radialen Bahn ab, und zwar in Richtung der Rotation der Erde. Unter extremen Bedingungen,zum Beispiel in der Nähe eines rotierenden Schwarzen Loches, kann dieser Effekt sogar so groß werden,dass es für einen Testkörper in der Nähe gar nicht mehr möglich ist, nicht mitzurotieren. Das können wirim Rahmen der linearen Näherung zwar nicht sehen, aber wir kennen bereits eine analoge Situation ausKapitel 18.Dort hatten wir gesehen, dass es für einen Beobachter, der sich in das Innere eines schwarzen Lochesbegibt, nicht mehr möglich ist, still zu stehen. Er ist gezwungen, sich immer weiter nach Innen zu bewegen,weil die Lichtkegel dorthin zeigen. Durch die Rotation werden ebenfalls die Lichtkegel gekippt. Der')'\-Term in (19.71) bewirkt, dass die Lichtkegel in \ -Richtung geneigt sind, also eine Art Wirbel um denHimmelskörper bilden. Wenn die Neigung der Lichtkegel sehr groß wird, hat das zur Folge, dass jederBeobachter gezwungen wird, mitzurotieren. 22 Die Metrik eines rotierenden schwarzen Loches kann explizit angegeben werden und gehört zu den wenigen bekanntenexakten Lösungen der Einstein-Gleichung. Eine ausführliche Diskussion dieser Reißner-Nordström-Metrik findet man inS.W. Hawking und G.F.R. Ellis: The large scale Structure of space-time.387

ÇÍGfolgtŒ')&jŒ;o= ÇÍG& @2§ ÇkG5 (19.76)\\ó §&Þ¥ßáà&/[ 'S)'\ (19.78)Der Lense-Thirring-EffektEs gibt noch eine andere Möglichkeit, den Mitführungseffekt einer rotierenden Materieverteilung zu beschreiben.Besonders anschaulich wird diese Beschreibung, wenn wir statt eines Himmelskörpers einerotierende Kugelschale betrachten. Die Schale soll den RadiusÇÈGund die Masse haben. Es ist dannund das Trägheitsmoment einer solchen Kugelschale ist ¡ÇÈGD.Außerhalb782§H5der Kugelschale ergibt sich natürlich wieder dieselbe Darstellung der Funktionen (19.69) und„ð ¡ der Metrik (19.71) in Kugelkoordinaten. Interessant ist jetzt aber die Metrik in Innern der Kugelschale.Dort folgt aus (19.67), dass Funktionen132§H5die undsind, und aus der Stetigkeit an derdann, dass innerhalb der KugelschaleStelle§ ¡(19.77) 2§5 „ *gilt. Wählen wie auch hier wieder die Koordinaten wie in Aufgabe 19.21, so ergibt sich die folgendeMetrik im Innern der Kugelschale,ÇÍG G Ç ÇkG x÷ 132§H52§H5konstantmitj „ð DE ÇÍG²'§&j §&'[8&j §&Þ_ßÕà&0[ '\&³'Sî& Dñ „ð„|ŒE(19.79);ÇÍGAuch diese Größe hat wieder die Bedeutung einer Winkelgeschwindigkeit. Wir können nämlich jetzt eineKoordinatentransformation durchführen, um die Metrik in die eines flachen Minkowski-Raumes zuüberführen. ÇÍGó óAufgabe 19.22 Man zeige, dass die Metrik (19.78) die Form§&Þ_ßÕà&0[ [8&j Œ ' Œ Œ §&'ÇÍGE[ Œ §[ Œzuannimmt, wenn wirsetzen. Man beachte, dass auch hierbei alle Terme Ordnung2 derdie lineare Näherung gilt nur fürDÇÍG DÇ|G5& DñC ÇÍGE )* 'Œ )&j 'Œ §&j Œ 'Sî&Œ § D j )ê.(19.80)\&Œvernachlässigen sind, dennó ) (19.81)Die Koordinatentransformation besteht neben einer nicht weiter relevanten Zeitdilatation und einer räumlichenStreckung in wesentlichen aus einer gleichmäßigen Rotation desgeschwindigkeitŒKoordinatensystems mit der Winkel-Koordinatensystem2Œ ó. Das heißt, das \5rotiert relativ zu dem Koordinatensystem2)§[\5.Für einen Beobachter im Innern der Kugelschale ist das \5jedoch ein nichtrotierendesKoordinatensystem, also ein Inertialsystem, denn diesem Koordinatensystem nimmt die§Œ§Œ[Œ )ŒKoordinatensystem2ŒMetrik die gewöhnliche Form der Minkowski-Metrik an. Was heißt das? Wenn wir annehmen, dass derBeobachter durch die Kugelschale hindurch nach draußen schauen kann, so wird er feststellen, dass seinRuhesystem relativ zum Ruhesystem eines Beobachters draußen, weit weg von der Kugelschale, mit derrotiert.[Œ )Œó388WinkelgeschwindigkeitŒ

ibbišzLi f(20.1)Beide Beobachter behaupten jedoch, dass ihr Bezugsystem nicht rotiert. Sie können das ganz einfachfeststellen, indem sie zum Beispiel ein Gyroskop betrachten, also einen frei schwebenden Kreisel, oderdie Corioliskraft messen, die auf eine bewegte Testmasse wirkt. Ein Bezugsystem rotiert nicht, wenn dieKreiselachse stabil ist bzw. keine Corioliskraft auftritt. Die rotierende Kugelschale bewirkt also, dass einInertialsystem im Innern relativ zu einem Inertialsystem außen in großer Entfernung rotiert.Dieser Effekt wird als Lense-Thirring-Effekt bezeichnet. Er gab Anlass zu einer Diskussion darüber,was denn “rotieren” eigentlich bedeutet. Bereits von Newton wurde das Eimer-Paradox diskutiert. Manstelle sich einen mit Wasser gefüllten Eimer im Schwerefeld der Erde vor. Wenn der Eimer mitsamt demWasser rotiert, wölbt sich die Wasseroberfläche zu einer Parabel. Aber woher weiß das Wasser, dass esrotiert? Es ist sicher nicht die Rotation des Wassers relativ zum Eimer, die die Wölbung hervorruft.Es ist auch nicht die Rotation relativ zur Erde, denn auch in einem am Nordpol aufgestellten Eimer, dersich mit derselben Winkelgeschwindigkeit dreht wie die Erde, würde eine leicht Wölbung auftreten. Es iststatt dessen die Drehung des Wassers relativ zu einer wie auch immer definierten, absoluten Klasse vonInertialsystemen. Das ist jedenfalls die Sichtweise der klassischen Mechanik.Der Lense-Thirring-Effekt zeigt, dass das in der allgemeinen Relativitätstheorie nicht mehr uneingeschränktgilt. Eine rotierende Masse hat einen Einfluss darauf, welche Bezugsysteme in ihrer Umgebungund insbesondere in ihrem Innern als rotierend anzusehen sind und welche nicht. Ersetzen wir den Eimerdurch ein Gyroskop und stellen ihm in Innern einer rotierende Kugelschale auf, so hängt das Verhaltendes Gyroskops, und damit die Definition eines nicht rotierenden Bezugsystems davon ab, wie schnell dieKugelschale rotiert.Wir sehen wir an dieser Stelle sehr deutlich, was es bedeutet, dass in der allgemeinen Relativitätstheorieein Inertialsystem immer nur lokal definiert ist. Zwei Inertialsysteme an verschiedenen Orten im Raumkönnen nicht nur relativ zueinander nur beschleunigt sein, sondern auch relativ zueinander rotieren.Aufgabe 19.23 Im Mittelpunkt der Erde befindet sich ein Gyroskop, dessen Achse in der Äquatorebeneliegt. Durch den Lense-Thirring-Effekt führt es relativ zum Fixsternhimmel eine Präzession in östlicherRichtung aus. Man bestimmt die Winkelgeschwindigkeit dieser Präzession und die Periode eines Umlaufs.20 GravitationswellenIm letzten Kapitel haben wir gezeigt, dass sich ein schwaches Gravitationsfeld im wesentlichen wie einelektromagnetisches Feld in einer flachen Raumzeit verhält. Es breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit vonder Quelle aus, wobei die Lichtgeschwindigkeit durch die Hintergrundmetrik, also durch die Metrik derflachen Raumzeit vorgegeben ist. Nun wollen wir zeigen, wie diese Ausbreitung des Gravitationsfeldesstattfindet.Allgemeine Lösung der linearisierten Einstein-GleichungUm die linearisierte Einstein-Gleichung bei vorgegebener Quelle zu lösen, hatten wir die retardierteGreens-Funktion (19.50) verwendet. Diese Methode liefert uns aber nur eine spezielle Lösung einer inhomogenen,linearen Differentialgleichung. Um die vollständige Lösungsmenge zu bekommen, müssen wirnoch eine allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung addieren.Gesucht ist also die allgemeine Lösung der linearisierten Einstein-Gleichung im materiefreien Raum,die zusätzlich noch die Lorentz-Eichbedingung erfüllt, bš i zLa`389

ibišštLi Þ_ßÕà2Ni*tLa` ãaäHÞ2Y V 5 (20.2)i(20.3)V 5 < B tLg` ` (20.4)bbibi(20.5)¨L fb biii

ÎMist,bLlichtartigibtLg`q` ˜ tLa`q` j Lq`Ž`–j `q`ŽL `qLŽ` f(20.13)ŽL Ê 2WLñj „ðÙq`qL5(20.15)tLL ˜ tLL „ðLŽL(20.16) .wobeiSL gegeben, ein positiv zeitartiger Wellenvektor ist und die Amplitude der Welle. Dass die beidenVektoren zueinander senkrecht stehen und die Welle somit transversal ist, folgt auch hier aus derLorentz-Eichbedingung. Und auch hier gibt es eine verbleibende Eichfreiheit. Wenn wir als Parameter derEichtransformationtLil f(20.10)Þ¥ßáà2Y 5 Ž V 5 B bwählen, so transformiert sich die Amplitude wie folgt,2]V lDie Lorentz-Eichbedingung bleibt dabei erhalten, weilist. Dies ist das elektromagnetischeAnalogon zu der Eichtransformation (20.8) einer Gravitationswelle. Um ParameterŽden und damit dieEichung zu fixieren, wählt man einen beliebigen EinheitsvektorqL zeitartigen und verlangt, dass(20.11)˜ i Lmj Ll B tL ˜ tLkj Ž L i(20.12)L˜ tLqL j Ž LqL qL tLDadurch ist der ParameterŽund damit die Eichung vollständig fixiert, denn das Skalarprodukteines zeitartigen Vektors mit einem positiv lichtartigen Vektor ist stets von Null verschieden. Es ist die voneinem mit der bewegten Beobachter gemessene der Welle.i Wir stellen also zusätzlich zur qiLorentz-Eichbedingungó LqL Frequenzónoch die Bedingung Wennt t GeschwindigkeitqLiiwir ein Inertialsystem so wählen, dass so ¬verschwinden in diesem Inertialsystem sowohl dieZeitkomponente tMals auch die Komponente des räumlichen Anteils tNin Richtung des Wellenvektors N.Ist zum undfür eine Welle in4-Richtung, so gilt in dieser Eichungund die Amplitude wird durch zwei freie Parameter und festgelegt. Dies entsprichttL tç tž BeispielSMden beiden transversalen Polarisationen einer elektromagnetischen Wellen.So ähnlich gehen wir jetzt vor, umden in (20.8) festzulegen und so die Eichung einerGravitationswelle vollständig zu fixieren. Auch hier wählen wir zunächst einen zeitartigen EinheitsvektorqL,žden wir als 4-Geschwindigkeit eines Beobachters in einem ausgewähltrenæ Inertialsystemó ç CinterpretierentM tæ CEichparameterŽLkönnen. Wir können dann den ParameterŽLder Eichtransformation so wählen, dassAufgabe 20.2 Dies ist ein lineares Gleichungssystem für die Komponenten vonŽL. Man zeige, dass eseine eindimensionale Lösungsmenge besitzt, wenn ist. tLg`S`Wir können also, in Analogie zur Elektrodynamik, zusätzlich zur Lorentz Eichung noch verlangen, dassalle Komponenten von Richtung eines beliebig vorgegebenen zeitartigen EinheitsvektorsqL ver-tLg`inschwinden. In einem geeignet gewählten Inertialsystem bedeutet das, dass die Zeitkomponenten vonverschwinden. Zusammen mit der Lorentz-Eichung haben wir also die folgenden Eichbedingungen,tLa`(20.14)Jedoch wird dadurch die Eichung noch immer nicht vollständig fixiert, denn die Lösung des Gleichungssystems(20.13) ist nicht eindeutig. Wie man leicht sieht, bleibt die Eichung (20.14) erhalten, wenn wirf tLg`q[` ` tLg`setzen und verwenden, ist. Es bleibt also, anders als in der Elektrodynamik,noch ein Eichfreiheitsgrad übrig, parametrisiert durch eine reelle ZahlÊ.x und"LðL | dassqLqLUm diese zu fixieren, stellen wir noch eine weitere Eichbedingung. Wir verlangen, dass die Spur tLLverschwindet. Für die Spur folgt aus (20.8), dass sie wie folgt transformiert,391

(20.19) ãaäHÞ2YWir können die Eichbedingungen (20.18) natürlich auch unmittelbar als Einschränkungen an das Gravita-5 V *tLa` 5 zLa`2]Vtionsfeld stellen. Sie lauten dannb¬ÎMist,tLg` ` < tLg`q[` tLL

const,£”¤4 ó )5 (20.23)*tç_æ *tžæ tæœæ j tçç j tž‹ž f(20.24)„~£¦¤ ãaäÞ2»óÍ24 )5_5(20.26)ist,In unserem ausgewählten Inertialsystem können wir eine Gravitationswelle dann wie folgt schreiben,wobei die räumliche Matrix und transversal ist, das heißt ihre Komponenten in Richtung destNwv ãaäHÞ2 *tNwv 5 zNv2]V 5 zMºN2WV < 5 zMºM2]VspurlosWellenvektors"Nverschwinden. Die gewählte Eichung nennt sich deshalb auch die spurlose transversaleEichung.Genau wie bei einer elektromagnetischen Welle erfolgt die Oszillation senkrecht zur Ausbreitungsrichtungim Raum. Um etwas genauer zu analysieren, was das bedeutet, wählen wir das räumliche Koordinatensystemso, dass ist. Die Welle breitet sich also in4-Richtung aus. Aus (20.22) folgt dann,wenn wir die einzelnen Komponenten der Gleichungen aufschreiben,æ ó tç_ç, tžž, Es bleiben nur vier Komponenten übrig, die nicht Null sind, nämlich undtMºM tæœæ < *tMž ZtMç tMæ tçžtžç, undnur zweidavon sind unabhängig. Wir führen daher zwei Parameter ein, die wir £ ¤ und £#¥ nennen, und setzen(20.25)Der Grund für diese Notation wird gleich klar werden. Wenn wir das in (20.23) einsetzen, ergeben sichdie folgenden nicht verschwindenden Komponenten vonzLa`, Ztžç tçž„~£¦¤ ltž‹ž tçç„~£¦¥495„~£¦¥Um uns von dieser Welle ein anschauliches Bild zu machen, schreiben wir die deformierte Metrik auf. Eszçž2)zLg`,495undzžç2) ãaäÞ2»óÍ24¨Lg`–j ist‚Lg`daraus ergibt sich das Linienelementzç_ç2)495* zžž2)495 )5_5„~£¦¤ ')&j '4& j u j '"î&£¦¥ãaäHÞ2.óÍ24 ; j)5_5v „~£¦¤ )5¥5v(20.27)ãaäHÞ2.óÍ24 '›&j ãaäÞ2»óÍ24 uñ'›'š&j )5¥5'š. Betrachten wir zuerst £#¤ßàden Fall £¦¥ und Zunächst stellen wir fest, dass dieund)Koordinatenflächenalso die2š6©›5-Ebenen im Raum tatsächlich auch Ebenen sind. Die auf diesenFlächen induzierte Metrik ist 4 constdas heißt wir vernachlässigenfestes4Terme der Ordnung £#¤&. Für und)ist dies eine positive, flache Metrik. Sie ist aber in Zeit undRaum von4nicht konstant, das heißt sie“Einheitskreis”š&hängt und)ab.Stellen wir uns einen in einer solchen Koordinatenebene vor. Wir werdengleich zeigen, dass die Weltlinien const zeitartige Geodäten sind, das heißt wir könnenuns einen solchen Kreis als eine Schar frei fallenden Teilchen vorstellen. Was passiert dann mit denAbständen zwischen diesen Teilchen, wenn eine Gravitationswelle durch sie hindurch läuft?Offenbar ist diejwirklich›&ein Kreis, sondern eine Ellipse, deren großeHalbachse abwechselnd inš-Richtung und in›-Richtung zeigt. Das folgt aus (20.28), wonach der inš- Richtung gemessenemit24©š6©›5 Radius der während der in›-Richtung gemesseneKoordinatenlinieš&jBeide oszillieren mit›&einer Phasenverschiebung von=, das heißt es£¦¤EllipseãaäHÞ2»óÍ24 ãaäHÞ2»óÍ24Radius j£¦¤ £1¤ )5¥5v&'š&j umwobei wir wegen der linearen Näherung annehmen können, dass £ ¤'Sî& j wuHê(20.28) )5¥5v&'›& ãgäHÞ2»óÍ24 ãgäHÞ2.óÍ24)5¥5ist,nicht393)5_5beträgt.

£¦¥Milchstraßeandere Galaxie(a) (b) (c) (d)Abbildung 20.1: Linear (a,b) und zirkular (c,d) polarisierte Gravitationswellen verformen einen aus freifallenden Teilchen gebildeten Zylinder, dessen Längsachse in die Ausbreitungsrichtung der Welle zeigt.Die Abstände zwischen Punkten in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung werden durch dieWelle abwechselnd gestreckt und gestaucht, so dass ein Kreis zu einer Ellipse verformt wird. Bei linearpolarisierten Wellen zeigt die große Hauptachse der Ellipse abwechselnd in zwei zueinander senkrechteRichtungen. Bei zirkular polarisierten Wellen dreht sich die große Hauptachse der Ellipse., ist abwechselnd dieš-Achse und die›-Achse die lange Achse der Ellipse. Nur alsozweimal pro Schwingungsperiode, Koordinatenlinieš&jist die ein Kreis.Ein Kreis, den wir senkrecht zur4-Achse, also zur Ausbreitungsrichtung der Welle aufstellen, wirdbeim Durchlauf der Welle abwechselnd in Richtung derš- und›-Achse gestreckt und gestaucht. Stellenwir viele solche Kreise hintereinander auf, so bilden diese einen Zylinder. Es ergibt sich dann das Bildin Abbildung 20.1(a). Der Zylinder, dessen Längsachse mit der Ausbreitungsrichtung der Wellen übereinstimmt,wird abwechselnd einmal in die eine, einmal in die andere Richtung verformt, wobei diesefürãgäHÞ2.óÍ24 )5¥5 ›& *Verformung als Welle mit Lichtgeschwindigkeit über den Zylinder hinweg rollt.Damit haben wir eine anschauliche Vorstellung von einer Gravitationswelle. Sie bewirkt, dass sich dieEbenen senkrecht zu ihrer Ausbreitungrichtung periodisch verformen, und zwar so, dass Abstände in zweisenkrecht zueinander stehenden Richtungen abwechselnd gestreckt und gestaucht werden. Sie sind in diesemSinne transversal. Die Streckung und Stauchung von Längen erfolgt senkrecht zur Ausbreitungsrichtungder Wellen. Die Phasen gleicher Verformung bewegen sich dabei mit Lichtgeschwindigkeit durch denRaum.Um das zu sehen, führen wir einfach eineKoordinatentransformation durch. Wir setzenUnd wie sieht nun eine Welle mit £”¤x£¦¥à aus?*und(20.29)Œ ) 4 Œ 4 š Œ š Œ › ƒ „ › Œ š j Œ › ƒ „ Das ist eine Drehung um;{4 in der2š8œ›5-Ebene. Eine kurze Rechnung liefert dann die folgende Darstellungdes Linienelementes (20.27) in den neuen Koordinaten, )£¦¤ )5_5v £¦¤ )5¥5v Œ 4& j u j „ Œ ãaäÞ2»óÍ2gŒ 4 Œ ' Œ š&j uñ „ Œ ãaäHÞ2.óÍ2gŒ 4 Œ ' Œ ›&j'"î«&£¦¥* 'Œ )Ÿ&j 4 ')5¥5' Œ š ' Œ Œ ãaäHÞ2.óÍ2gŒ Œ ; j(20.30)Das ist formal mit (20.27) identisch, jedoch haben wir› (20.31)£1¤ Œ394£1¥x Œ£¦¤

465 £>uN2.óÍ24einuN2.óÍ2)um;{§4gesetzt. Eine Rotation der2š6©›5-Ebene entspricht im £”¤ wesentlichen dem Vertauschen von und. £¦¤ £1¥ Eine Welle £¦¥ àmit und sieht daher genauso aus wie die zuvor diskutierte Welle mit, und £¦¥ £1¤»àjedoch ist sie um;{4 gedreht.Eine entsprechende Darstellung ist in Abbildung 20.1(b) gezeigt. Ein Kreis in der2š8œ›5-Ebene wirdf è auch hier abwechselnd in zwei zueinander senkrecht stehende Richtungen zu einer Ellipse verformt. Jedochzeigen die Hauptachsen dieser Ellipse jetzt nicht mehr in Richtung der Koordinatenachsen, sondernentlang der Winkelhalbierenden. Genau das soll durch die Bezeichnungen £ ¤ und £¦¥ angedeutet werden.Eine Gravitationswelle hat also, genau wie eine elektromagnetische Welle, zwei verschiedene Polarisationen.Es gibt jedoch einen wesentlichen Unterschied. Die beiden Polarisationen einer elektromagnetischenWelle gehen bei einer Drehung ineinander über. Hier jedoch wird eine Welle mit derum¥4Polarisation ¨ durch Drehung um;{§4 in eine Welle der Polarisation © überführt.Würden wir den schwingenden Zylinder in Abbildung 20.1(a) drehen, so bekämen wir wiedereine Welle derselben Polarisation , die gegenüber der ersten lediglich phasenverschoben ist. Beium¥4¨einer elektromagnetischen Welle gilt das gleiche, wenn wir umdie Welle drehen. In beidenum=Fällenentspricht das einer Multiplikation aller Felder mit|, also einer¦H4Phasenverschiebung um=.Dieser Unterschied rührt GravitationsfeldzLg`daher, dass das ein Tensor zweiter Stufe ist,Feldiwährend daselektromagnetische Vektor ist. Ein Tensor zweiter Stufe reagiert, etwas vereinfacht ausgedrückt,doppelt so empfindlich auf eine Drehung wie ein Vektor, also ein Tensor erster Stufe. Abgesehenvon dieser etwas gewöhnungsbedürftigen Eigenschaft verhalten sich Gravitationswellen jedoch ansonstenwie ihre elektromagnetischen Vorbilder.LGravitationswellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus und besitzen zwei unabhängigePolarisationen, die durch eine Drehung um ª•«•¬ ineinander übergehen.Aufgabe 20.4 In Abbildung 20.1(c) und (d) sind zwei zirkular polarisierte Gravitationswellen dargestellt.Man zeige, dass sich diese wie folgt schreiben lassen, v2»óÍ24 )5_5 {N2»óÍ24 )5¥5 { v2»óÍ24 (20.32))5_5vjzNwv2) )5¥5)5_5v{N2»óÍ24 )5¥5 { v2»óÍ24 Entstehung von Gravitationswellen465_5 v2»óÍ2) 465¥5j£1®Bis heute wurden keine Gravitationswellen direkt nachgewiesen. Es fehlt also noch ein ganz wesentlicherexperimenteller Beleg für die allgemeine Relativitätstheorie, vergleichbar mit dem Nachweis von elektromagnetischenWellen als Beleg für die Richtigkeit der Maxwellschen Elektrodynamik.Woran liegt es, dass es bis heute nicht gelungen ist, Gravitationswellen nachzuweisen? Wenn wir einmalvon der Möglichkeit absehen, dass es sie vielleicht gar nicht gibt, die Einsteinsche Gravitationstheorie alsofalsch ist, kann die Ursache eigentlich nur darin liegen, dass sie zu schwach sind, um gemessen zu werden.Die vorhandenen Quellen von Gravitationswellen emittieren einfach nicht genug Strahlung, um sie auf derErde nachzuweisen, und an das Erzeugen von Gravitationswellen im Labormaßstab wäre dann ohnehinnicht zu denken.Wie können Gravitationswellen überhaupt entstehen? Elektromagnetische Wellen werden von beschleunigtenLadungen erzeugt. Aus der im letzten Kapitel bereits ausgiebig diskutierten Analogie zwischenelektromagnetischen Feldern und schwachen Gravitationsfeldern, insbesondere der Ähnlichkeit derGreens-Funktion, schließen wir, dass Gravitationswellen von beschleunigten Massen erzeugt werden. Beschleunigtist hier im Sinne der linearen Näherung, also im Sinne der speziellen Relativitätstheorie zuverstehen.395

ç2.óæB {{2\5 2\5(20.33)2»óAls Quellen kommen also vor allem Systeme in Frage, in denen große Massen große Beschleunigungenerfahren. Man kann zwischen Quellen unterscheiden, die über lange Zeit stabil sind und Wellen einerkonstanten Frequenz emittieren, und solchen, die während eines plötzlichen Ereignisses eine Art Schockwelleemittieren. Ein typisches Beispiel für eine über lange Zeit stabile Quelle ist ein Doppelsternsystem,also zwei einander umkreisende Sterne. Die Analogie zu zwei einander umkreisenden Ladungen, die eineelektromagnetische Welle aussenden, ist sofort offensichtlich.Ein typisches einmaliges Ereignis ist der Kollaps eines ausgebrannten Sterns zu einem Neutronensternoder einem schwarzen Loch. Natürlich können wir, um einen solchen Vorgang zu beschrieben, nicht dielineare Näherung verwenden. Jedoch werden bei einem solchen Ereignis sehr große Massen sehr starkbeschleunigt, und in der Realität wird dies nicht, wie wir in Kapitel 18 angenommen haben, kugelsymmetrischgeschehen. Das Gravitationsfeld in der Nähe dieses Ereignisses wird als sehr starken Oszillationenausgesetzt sein, so dass wir in einer größeren Entfernung erwarten können, Spuren des Ereignisses in Formvon Gravitationswellen zu sehen.Da sich solche Einzelereignisse nur sehr schwer analytisch beschreiben lassen, 1 wollen wir hier ein einfachesModell für ein Doppelsternsystem beschreiben. Ziel dieser Rechnung soll es sein, die Größenordnungder Amplitude einer auf der Erde gemessenen Gravitationswelle abzuschätzen, die von einem solchenSystem emittiert wird. Natürlich müssen wir dazu an der einen oder anderen Stelle ein paar vereinfachendeAnnahmen machen, aber solange uns nur die Größenordnungen interessieren, ist das gerechtfertigt.Das erste Problem ergibt sich bereits aus der Tatsache, dass wir ein Doppelsternsystem im Rahmender linearisierten Gravitationstheorie nicht konsistent beschreiben können. Wie wir gesehen haben, vernachlässigenwir in der linearen Näherung die Rückwirkung des Gravitationsfeldes auf die erzeugendeMaterie. Nun ist es aber genau diese Rückwirkung, die ein Doppelsternsystem überhaupt zu einem solchenmacht, also die beiden Sterne aneinander koppelt.Der Ausweg besteht darin, dass wir ein gekoppeltes System von zwei Körpern der Masse betrachten,die nicht durch Gravitation, sondern durch eine feste Stange der Länge„ miteinander verbunden sind.Diese “Hantel” soll mit einer Kreisfrequenzó rotieren. Ein solches System können wir im Rahmen derspeziellen Relativitätstheorie beschreiben. Wir müssen dazu nur einen geeigneten Energie-Impuls-Tensorangeben, der die Kontinuitätsgleichung im Minkowski-Raum erfüllt. Diesen werden wir dann als Quelleeines schwachen Gravitationsfeldes betrachten und in die linearisierte Einstein-Gleichung einsetzen.Wir machen den folgenden Ansatz. Um alles so einfach wie möglich zu machen, betrachten wir diebeiden Körper als punktförmig. Um die Kreisbewegung zu beschreiben, führen wir einen räumlichenEinheitsvektor 2\5sowie einen dazu orthogonalen Einheitsvektor {2\5ein, wobei \ ein Winkel in der24©š5-Ebene ist,ãgäHÞ\ \ ãgäHÞ\ \Man beachte, dass der Strich auch die Ableitung nach \ bezeichnet, was im folgenden sehr nützlich ist.Die beiden um einander rotierenden Körper befinden sich zur Zeit)an den2\5æ Þ_ßÕà ç {2\5 Þ¥ßáà j2.ó Orten‘)5. Für die EnergiedichteÅ6MºMsetzenwir daher Der Parameter ist also genau genommen nicht die Masse, sondern die Energie der beiden Körper. Wiewir gleich sehen werden, ist dies jedoch die “Masse” im Sinne der Newtonschen Näherung, das heißtin großer Entfernung werden wir neben den Gravitationswellen ein statisches Feld sehen, das von einerÅ6MºM2)erzeugt wird. Der Begriff “Masse” ist hier also so zu verstehen wie in Kapitel 15 bei der š @2 )5¥5j j š ¯@2 š5Masse„HDiskussion der Schwarzschild-Metrik.1 Sehr eindrucksvolle numerische Simulationen solcher Ereignisse und der sich daraus ergebenen Gravitationswellen werdenunter anderem am MPI für Gravitationsphysik durchgeführt, http://www.aei-potsdam.mpg.de.)5¥5±°(20.34)396

šš zLa`2)2.ó2.ó2.ó2»ó2.ó2.ó2.ó2.ó2.ó2»óUm zu sehen, wie die anderen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors aussehen, müssen wir dieKontinuitätsgleichung lösen und zusätzlich noch ein paar vernünftige Annahmen machen. Zunächst bestimmenwir die KomponentenÅUMºN,also den Energiestrom. Es muss geltenDiese Gleichung können wir leicht lösen, denn auf der rechten Seite steht bereits eine räumliche Divergenz.Es ist also¯ š5 b{¢2.ó )5 b¢a@2 š j š5³M»Å6MºM2)²ðó{¢2»ó )5 ¯@2 š j š5 Å¢M2)(20.35)b¢Å¢M2))5¥5°(20.36)Das denn‘Ergebnis ist auch vernünftig, sind die Impulse der beiden Körper, soauch, wie es sein sollte, die Impulsdichte darstellt.Etwas komplizierter ist die Bestimmung der räumlichen KomponentenÅ¢©¤.Da die beiden Körper durch)5¥5°dassÅeine Stange aneinander gekoppelt sind, treten in dieser Stange Spannungen auf, das heißt es fließt Impulsdurch die Stange. Wir erwarten daher, dassÅ¢©¤nicht nur an der Orten der beiden Körperóvon Nullverschieden ist, sondern auch entlang der Verbindunglinie.M¢Die Kontinuitätsgleichung)5 {2»ó ²ðóverlangtb¢A@2 )5_5šš @2 )5¥5 )5_5° š Die erste Zeile ist wieder einDivergenz, die zweite Zeile aber nicht. Wir können sie aber als Divergenzeines symmetrischen TensorsÅ¢©¤schreiben, wenn wir diesen wie folgt definieren, š )5¥5,@2 j š ¯@2 )5 ¤2»ó ²ðó–&š5 b b¢Å¢©¤2))5¯´&ó–& )5 b¢A@2 {¤2.ó {¢2»ó š5b¢a@2(20.37) )5¥5°M»Å8M¤2)š j)5¥5j ´&ó & {¢2»ó )5 {¤2.ó )5¯@2 š j )5¥5j @2 š )5¥5±°jÅ¢¥¤2)(20.38)š5 )5 ¤2»ó )5 # X !$#'[Z@2 š Z 2.ó )5¥5Aufgabe 20.5 Man zeige, dass dieser Tensor die Kontinuitätsgleichung (20.37) erfüllt.¢2»ó ²ðó–& Aufgabe 20.6 Die Kraft, die zwischen den beiden Körpern wirkt, ist der Impulsstrom durch eine Fläche,die die Verbindungsstange genau einmal schneidet. Man zeige, dass dieser Impulsstrom und damit dieKraft durch )5gegeben ist. Das ist genau der nichtrelativistische Ausdruck für die Kraft,die nötig ist, um die Körper auf ihrer Kreisbahn zu halten. Er enthält jedoch implizit eine “relativistischeKorrektur”, weil nicht die Masse, sondern die Energie der beiden Körper ist.2.ó & ´ðó ¡Wir haben also jetzt im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie eine rotierende Hantel beschrieben, dieaus zwei gleich großen Massepunkten und einer Stange besteht, deren eigene Masse wir vernachlässigen.Jetzt wollen wir, unter der Annahme dass die beiden Massen hinreichend klein sind, das linearisierteGravitationsfeld ausrechnen. Dazu benutzen wir die retardierte Greens-Funktion (19.51),Auch hier wollen wir alles so einfach wie möglich machen. Wir betrachten daher nur die führende Ordnung4 §setzen,4 šršist. Wir dannwobei§könnender Abstand des Beobachters von der Quelle ist. Das ergibt(20.39)f;PX 'š Å8La`2) 4 š š5 4 š für große Abstände von der Quelle, das heißt wir nehmen an,zLa`2)F465 4dass ;§ X 'š Å8Lg`2) §397465š5(20.40)

š{Aly,{N2»óÍ2)š§.495 (20.41); (20.43)r {mmD§Der abfallende GravitationsfeldeszLg`Anteil des ergibt sich folglich als IntegrationImpuls-TensorsÅ6Lg`des Energieüberdie ganze Quelle, wobei wir aber die Retardierung beachten müssen, das heißtwir “sehen” quasi die Quelle zur Auch das ist aus der Elektrodynamik bekannt. Dort verhältsich der Anteil mitED§Vektorpotentials genauso.Zeit)Das Integral (20.40) können wir sofort auswerten, da der Energie-Impuls-Tensor durch einfache Kombinationenvon Deltafunktionen gegeben ist. Aus (20.34) und (20.36)mitED§ folgtabfallende465 ¦ zMºM2)š zMºN2) §setzen.Allerdings gibt es jetzt auch nicht verschwindende räumlichen Anteile des Gravitationsfeldes. Die Integrationvon (20.38) ergibtDas kennen wir bereits als das Newtonsche Gravitationspotential eines Materieansammlung mit der Gesamtmasse„H. Es entspricht genau dem Ausdruck (19.56), wenn wir dort für das Potential1x„Ÿ§ D§¯ ´&óEigentlich müssten wir jetzt noch eine Eichtransformation durchführen, denn das so definierte Feld šzNwv2) { §5¥5 § & „ð 465zLa`erfüllt nicht die an eine Gravitationswelle gestellten Eichbedingungen (20.20). Das können wir uns abersparen, da wir auch so die wesentlichen Eigenschaften des Gravitationsfeldes ablesen können.Es besteht aus einem statischen Anteil (20.41), der von den Massen selbst erzeugt wird. Er entsprichtgenau dem Newtonschen Gravitationsfeld eines Körpers mit der Masse„ð . Der oszillierende, räumlichenAnteil (20.42) beschreibt offenbar eine Kugelförmige Gravitationswelle. Ihre Polarisation hängt von derBlickrichtung, also dem Winkel zwischen dem Ortsvektor des Beobachters und der Drehachse der Hantelab, und ihre Amplitude fällt ab. mitED§v2»óÍ2) §5¥5 N2»óÍ2) §H5_5 v2.óÍ2) §H5_5°(20.42)Aufgabe 20.7 Man zeige, dass ein Beobachter auf der›-Achse, der das rotierende System “von oben”sieht, eine zirkular polarisierte £Welle mit der Amplitude wahrnimmt. Welche Polarisationsieht ein Beobachter in der24©š5-Ebene? Warum ist die Frequenz der Gravitationwelle nichtó,sondern„Eó?&D§ ¢&ó „– Wir wollen die Details dieser Lösung nicht weiter diskutieren, sondern zu unserer ursprünglichen Fragezurück kommen. Wir hatten uns gefragt, warum wir bis heute keine Gravitationswellen gemessen haben,und wir hatten vermutet, dass diese, wenn es sie denn gibt, einfach zu schwach sind, um nachgewiesen zuwerden.Um die Größenordnung der Amplitude einer Gravitationswelle für ein realistisches Doppelsternsystemzu berechnen, setzen wir folgende Zahlenwerte ein. Wir nehmen an, dass beide Sterne eine Masse voneinigen Sonnen haben, also m. Der Abstand der beiden Sterne sollist etwa der zehnfache Radius der Sterne, das heißt sie sind sehr dicht beieinander. Wie groß ist dann dieUmlauffrequenzó? Hier benutzen wir die Newtonsche Näherung, das heißt wir setzen die Anziehungskraftaus Aufgabe 20.6 gleich der Newtonschen Gravitationskraftr r |#m betragen. DasFür unser Beispiel ergibt dasó rDie Umlaufzeit der Sterne beträgt etwa fünf Tage. Das´ðó–& & ; & B ó–& ¡Iist für ein typisches Doppelsternsystem nicht ungewöhnlich.!}Dsec.H{Die Amplitude der Gravitationswelle ergibt sich aus Aufgabe 20.7 £ zu²lyD§. In!$#µder Milchstraße finden wir Doppelsternsystem dieser Art im Abstand von einigen tausend Lichtjahren.A!&%&.also§Setzen wir dann ergibt sich eine Amplitude der Gravitationswelle £ von r rr {398

Das ist eine unvorstellbar kleine Amplitude. Um uns die Größenordnung klar zu machen, stellen wir unsnoch einmal den Zylinder in Abbildung 20.1 vor. Nehmen wir an, er hat einen Radius von einem Meter.Dann beträgt die Längenänderung, die durch eine solche Gravitationswelle erzeugt wird, weniger als derzehnmillionste Teil des Durchmessers eines Atomkerns. Der Abstand zwischen Erde und Sonne ändert!&%&um sich bei einer Gravitationswelle der gerade mal ein Ångström.Damit ist klar, warum Gravitationswellen nicht unbedingt zu unserer täglichen Erfahrung gehören,Amplitudeundwarum auch ein Nachweis im Labor sehr schwierig ist. Es gibt einfach keine Quellen, die eine ausreichendstarke Welle erzeugen. Jedenfalls keine stabilen Quellen, die über einen längeren Zeitraum hinweg eineWelle konstanter Frequenz abstrahlen.Wenn wir einmalige Ereignisse betrachten, wie zum Beispiel den Kollaps eines Sterns, so ändern sichdie Größenordnungen nicht wesentlich. Wir wollen auch hier eine sehr einfache Abschätzung vornehmen.Die Prozesse, die sich beim Kollaps eines Sterns abspielen, finden in einem Raumgebiet statt, dessenAusdehnung von also„ð der Größenordnung des Schwarzschild-Radius des Sterns ist, .In diesem Raumgebiet sind die Oszillationen des Gravitationsfeldes sehr stark. Die lineare Näherung giltdort natürlich nicht mehr, aber für eine einfache Abschätzung der Größenordnung können wir annehmen,dass die Abweichung Metrik von einer flachen Hintergrundmetrik dort mindestens von der Größenordnungist. Wenn wir jetzt annehmen, dass diese Amplitude mitED§abfällt, dann hat die bei uns ankommendeD2¥{§5. Welle eine Amplitude Setzen wir für| die Masse wieder m, für§und in Falle einesA&Gm£Ereignisses|DSin der ein, so ergibt sich diesmal £eine Amplitude .!&%&, Das!$#~ist zwar schon etwas mehraber solche Ereignisse sind erstens sehr selten, und zweitensMilchstraßelyrtreten diese Wellen in Form von Schockwellen auf, deren Nachweis wesentlich schwieriger ist als der vonalsstabilen Wellen einer Frequenz. Die typischen Zeitskalen, auf denen sich der Kollaps eines Sterns abspielt,sind, wie wir aus Kapitel 18 wissen, ebenfalls von der Größenordnung . Für einen Stern vonr reinigenSonnenmassen hat die Wellenfront also eine Breite von weniger als einer Millisekunde.r Ein anderes typisches Ereignis, von dem eine Gravitationswelle ausgeht, ist der Kollaps eines Doppelsternsystems.Was wir bei der obigen Rechnung nicht berücksichtigt haben, ist, dass das Doppelsternsystemdurch die Abstrahlung der Gravitationswelle Energie und Drehimpuls verliert. Das führt dazu, dassder Abstand der Sterne kleiner und die Umlauffrequenz größer wird. Wir sehen diesen Effekt in unsererRechnung nicht, weil wir in der linearen Näherung die Rückwirkung des Gravitationsfeldes auf dieMassen nicht berücksichtigen.Wir können daher an dieser Stelle nichts über die Dynamik dieses Prozesses sagen. Aber wir könnenetwas über das Endstadium sagen. Nehmen wir einmal an, beide Sterne seien selbst schon zu Neutronensternenoder sogar zu schwarzen Löchern kollabiert. Dann werden sie sich solange umkreisen, bis derAbstand von derselben Größenordnung ist wie der Radius der Sterne bzw. der schwarzen Löcher, also bisist. Dann wird etwas dramatisches geschehen, vergleichbar mit dem Kollaps eines einzelnenSterns, denn die beiden Objekte werden kollidieren und zu einem verschmelzen.„ð rBetrachten wir den Zustand kurz davor. Wenn wir in der obigen Formel für die Umlauffrequenz| rKurz vor dem Zusammenstoß liegt die Umlauffre-„ðsetzen und m, sichó dann ergibtDsec.quenz im Bereich von einigen Kilohertz. Die beiden Neutronensterne oder schwarzen Löcher umkreiseneinander etwa tausend mal pro Sekunde. Die lineare Näherung der Gravitationstheorie ist natürlich auchhier nicht mehr anwendbar, aber mit dem gleichen Argument wir eben können wir eine grobe Abschätzungder Größenordnung vornehmen.„ r rEs ergibt sich auch hier ein Amplitude von , wenn das Ereignis in einer Entfernung voneinigen tausend Lichtjahren stattfindet. Findet es außerhalb unserer Galaxis statt, in einer der GalaxienetwaA!$#~in der Nähe, so reduziert sich die Amplitude noch um ein bis zwei Größenordnungen, das heißt wirbeisind. Es scheint. dass alle typischen Vorgänge im Kosmos, jedenfalls in unserer näheren Umgebung,Gravitationswellen dieser Größenordnung erzeugen. Nur das Frequenzspektrum ist sehr verschieden. Es!$#µreicht von einigen Millihertz für stabile Doppelsternsysteme, bis zu Wellen von einigen Kilohertz, die399

¹typischerweise beim Kollaps von Sternen und Sternsystemen entstehen.Nachweis von GravitationswellenDa wir die Gravitationswellen nicht unmittelbar sehen können, oder wegen des typischen Frequenzbereichssollten wir vielleicht besser hören sagen, müssen wir uns ein paar Tricks einfallen lassen, mit denenwir die minimalen Längenänderungen vielleicht doch wahrnehmen können. Zunächst müssen wir unsdarüber klar werden, wie wir Gravitationswellen prinzipiell messen können. Bisher haben wir nur dieanschauliche Vorstellung eine Welle aus Abbildung 20.1.Daraus geht hervor, dass eine Gravitationswelle irgendwelche Längenänderungen im Raum bewirkt.Aber was heißt das konkret? Was in Abbildung 20.1 dargestellt ist, ist die wellenartige Verformung, dieein Zylinder erfährt, dessen Längsachse in der Ausbreitungsrichtung der Welle liegt. Den Zylinder hattenwir durch Koordinatengleichungš& die Aber eine Koordinatengleichung ist nichtunmittelbar als Definition eines geometrischen Objektes interpretierbar.j›& definiert.Was heißt überhaupt “Zylinder”? Wie wir gesehen Koordinatengleichungš& haben, wird durch dieim geometrischen Sinne gerade kein Zylinder definiert, sondern eine Fläche, deren Geometrieim wesentlichen die in Abbildung 20.1 dargestellte ist, die sich mit der Zeit auch noch ändert. Was istdann eigentlich damit gemeint, wenn wir sagen, dass ein Zylinder durch die Gravitationswelle einerbestimmten Art und Weise verformt wird?Um zu verstehen, wie eine Gravitationswellen Längenänderungen und Verformungen bewirkt, müssenwir uns erst einmal klar machen, welche physikalische Situation wir eigentlich konkret beschreiben wollen.Mit anderen Worten, wir müssen ein konkretes Modell eines Zylinders, oder irgendeines anderenj›& Objektes aus Materie betrachten, und dann die Wirkung des Gravitationsfeldes auf diese Materie beschreiben.Solange wir uns nur auf die Darstellung der Metrik in irgendwelchen Koordinatensystem beziehen,können wir keine sinnvollen physikalischen Aussagen machen.Wir machen zunächst die folgende wichtige Beobachtung. Die Weltlinie eines Teilchens, welches relativzu dem Koordinatensystem2)4©š8œ›5ruht, ist eine zeitartige Geodäte. Dass es eine zeitartige Kurve ist, istunmittelbar klar. Es ist auch offensichtlich, dass)die Eigenzeit auf jeder solchen Weltlinie repräsentiert.Beides können wir unmittelbar aus dem Linienelement (20.27) ablesen.Um zu beweisen, dass es sich um eine Geodäte handelt, müssen wir Weltlinie^zeigen, dass für eine 2Z5Geodätengleichung gilt, alsoDas ist genau dann der Fall, wennÄmit\^ M‹2Z5 *und\^N‹2Z5 fdie(20.44) L`¥d T` \ Td < TL(20.45)j’ÄDa\sämtliche Komponenten des linearisierten GravitationsfeldeszLg`, die mindestens einen Index)haben,verschwinden, folgt aus der Darstellung (19.17), dass diese Bedingungen erfüllt sind.Das folgt sogar allein aus den Eichbedingungen (20.20). Die Aussage gilt daher nicht nur für eine einzelneebene Gravitationswelle, sondern auch für eine beliebige Überlagerung solcher Wellen, also für jedeNMºMf Ä MMºMfLösung der linearisierten Einstein-Gleichung in der gewählten Eichung. Ein relativ zum Koordinatensystem2)4©š8œ›5ruhendes,frei fallendes Teilchen bleibt in Ruhe, auch dann, wenn eine Gravitationswelledurchläuft.Nun könnte man argumentieren, dass die Teilchen die Gravitationswelle deshalb gar nicht spüren? Istdas vielleicht der Grund, dass wir noch keine Gravitationswellen gesehen haben? Man kann sich gar nichtnachweisen, da es sich um Oszillationen der Metrik handelt, die gar nicht messbar sind, weil sie sich aufdie Bewegungsgleichungen der Materie nicht auswirken. Wie soll man ein Nachweisgerät bauen, wennnicht aus einzelnen Testteilchen, die das Gravitationsfeld vermessen, indem sie frei fallen?400

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Milchstraßeandere GalaxieAbbildung 20.2: Ankopplung einer Gravitationswelle an einen Festkörper durch Gezeitenkräfte. Dargestelltist jeweils die Verformung des Körpers und die dadurch auftretenden Rückstellkräfte während derverschiedenen Phasen der Welle. Stimmt die Frequenz der Welle mit der Resonanzfrequenz des Körpersüberein, so kommt es zu einer Anregung.ó ) ó ) †=ÁD„ ó ) f= ó ) fo=ÁD„In Abbildung 20.2 sind diese Kräfte in der2š8œ›5-Ebene während der verschiedenen Phasen der Welleveranschaulicht. Der Festkörper soll klein im Vergleich zur Wellenlänge der Gravitationswelle sein, sodass wir davon ausgehen können, dass sich der gesamte Körper praktische in einer Phasenebene befindet.Nur dann gilt die Formel (20.46) für die Gezeitenkraft, die wir in Kapitel 18 aus einer Entwicklungder Geodätengleichung um den Schwerpunkt des Körpers abgeleitet hatten. Offenbar wird der Festkörperdurch die oszillierenden Anregungen in Abbildung 20.2 in eine bestimmte Schwingungsmode versetzt.Um diese Anregung quantitativ zu beschreiben, betrachten wir den Festkörper als einen gedämpften harmonischenOszillator. Um das ganze wieder so einfach wie möglich zu machen, denn es geht hier nurum eine grobe Abschätzung der Größenordnungen, nehmen wir ferner an, dass die Eigenfrequenz derangeregten Schwingungsmode genau Frequenzó der der Gravitationswelle entspricht. Das heißt, unsereAntenne soll genau auf die ankommende Welle abgestimmt sein.Die betrachtete, SchwingungsmodeÊ2)5spezielle des Festkörpers wird dann durch eine Bewegungsgleichungder Form¦beschrieben. istó Hier auf der linken Seite die Eigenfrequenz der Schwingungsmode, während es auf derrechten Seite die Frequenz der Gravitationswelle repräsentiert.Für den Dämpfungskoeffizient können auch„}wir schreiben, wobei 1 die Güte des Oszillatorsist. Die Güte, oder genauer deren„=-faches, ist der inverse Anteil der Schwingungsenergie, die pro Oszillationdurch Dissipation verloren geht. Auf der rechten Seite haben wir als antreibende Kraft den Ausdruck(20.49) eingesetzt, wobei für die typische Abmessung des schwingenden Festkörpers einzusetzten ist.Um eine grobe Abschätzung zu bekommen, setzen wir einfach den mittleren Radius des Körpers ein.Wir können dann die Differentialgleichung lösen und erhalten, wenn wir nur die angeregte, zeitlichkonstante Schwingung betrachten und die überlagerte, exponentiell gedämpfte Schwingung ignorieren,¹„¾¦ } \ Ê2)5j ¦†ó–&Ê2)5 Ê2)5jóD1„ ¦†ó–&·£œ ãgäHÞ2»ó )5(20.50)£ß1¹Da sich die Oszillator mit der Anregung in Resonanz befindet, ist seine Schwingung genauÊ2)5 Þ¥ßáà2»ó „ um=ÁD„gegenüberder Anregung phasenverschoben.)5(20.51)402

A|Dsec.!&|(20.54)Die in dieser Oszillation enthaltene ist¦ Schwingungsenergiezum Quadrat, alsoóder Schwingungsamplitude&D„ mal(20.52)Um die Empfindlichkeit einer solcher Antenne abzuschätzen, betrachten wir den Fall, dass eine genügendlange, resonante Welle durch den Festkörper läuft, so dass eine stabile Schwingung entsteht. Diese Schwingungist messbar, wenn sie merklich größer ist als die durch thermisches Rauschen angeregte Schwingung¦Ëó–&·£t&M1È&9& y¦Ëó–&·£t&M1|&¸&ÅF Å(20.53)Jetzt setzen wir ein paar Zahlen ein. Wir betrachten eine Kugel aus Kupfer mit einem Durchmesser vonder gleichen Mode. Da jede Schwingungsmode in einem Körper TemperaturÅder eine thermische Anre-wobei die Boltzmann-Konstante ist, ergibt sich die BedingunggungyÅerfährt,etwa drei Meter. 2 Wir setzen für den mittleren Abstand der schwingenden Masse vom Schwerpunkt}‡Aí, das rm. Die ist¦ schwingende Masse selbst kg, und die Resonanzfrequenz der in Abbildung 20.2gezeigten Mode etwaó liegt bei Die Güte eine solchen Kugel beträgt, wenn sie aus sehrreinem Kupfer hergestellt ist, 1 etwa heißt eine Schwingung von einigen Kilohertz klingt erstnach einigen Minuten ab. Kühlen wir dieserKugel was auch ein nicht ganz unerheblichesProblem ist, so ergibt sich die Abschätzung‡ raufÅmK,Geben wir zur Sicherheit noch einen Faktor Hhinzu, so folgt daraus, dass wir mit einer solchen Antennein der Lage sein sollten, Gravitationswellen zu messen, deren Frequenz im Bereich von einigen Kilohertzliegt, und deren die Amplitude größer als !&#ist.Das war auch die Größenordnung der Amplitude eine Gravitationswelle, die von einem Doppelsternsystemausgesandt wird. Allerdings ist der Frequenzbereich ein ganz anderer, so dass die Kupferkugel sichernicht in der Lage ist, eine solche Welle zu empfangen. Die Wellen, die beim Kollaps von Sternen oderanderen einmaligen Ereignissen entstehen, sind aber durchaus im Frequenzbereich von einigen Kilohertzzu finden.Der Kollaps eines Doppelsternsystems irgendwo in der Milchstraße oder in einer Nachbargalaxie solltealso in der Lage sein, die Kugel wie eine Glocke zu einer Schwingung anzuregen. Dasselbe gilt für denKollaps eines Sterns zu einem schwarzen Loch. Wenn man dann noch das Glück hat, dasselbe Ereignismit optischen Teleskopen zu beobachten, hätte man einen sicheren Beleg dafür, dass es sich tatsächlich umeine Gravitationswelle von diesem Ereignis handelt. Sie müsste gleichzeitig mit den elektromagnetischenWellen ankommen, denn beide breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus.£ FAufgabe 20.8 Wenn die Amplitude einer Gravitationswelle groß genug wäre, konnte man sie mit “bloßenOhren” hören. Wie würde sich der Kollaps eines Doppelsternsystems, wie wir ihn am Ende des letztenAbschnitts beschrieben haben, anhören?InterferometerDie zweite und vielleicht etwas elegantere Möglichkeit, Gravitationswellen zu messen, beruht unmittelbarauf einer Längenmessung. Da die Längenänderungen in zwei zueinander zur Ausbreitungsrichtungder Welle senkrechte Richtungen erfolgen, lassen sie sich sehr geschickt mit Hilfe eines Interferometersmessen.2 Ein solches Projekt wurde tatsächlich geplant, wird jedoch vorerst wohl nicht verwirklicht(http://www.nikhef.nl/pub/projects/grail/)403

ÏÑÐmºB»½¼¿¾À§ÀÂÁÄÃÀ§ÀMilchstraßeandere GalaxiemÅ~Æ#ÇÉÈËÊ¿ÌÎÍ(a)(b)Abbildung 20.3: Die Projekte GEO 600 und LISA. GEO 600 ist ein zweiarmiges Michelson-Morley-Interferometer (a). LISA besteht aus drei Satelliten, die in einem gleichseitigen Dreieck angeordnetsind (b).Man verwendet dazu im wesentlich das gleiche Gerät, mit dem Michelson und Morley der Nachweis derKonstanz der Lichtgeschwindigkeit gelang. Wir kennen dieses Interferometer bereits aus Abbildung 2.1.Wie kann man damit eine Gravitationswelle nachweisen? Die Voraussetzung ist, dass man die optischeApparatur und die Spiegel so aufhängt, dass die frei fallen. Das ist natürlich ein Widerspruch in sich,aber wir können das aufhängen so interpretieren, dass damit nur das statische Gravitationsfeld der Erdekompensiert wird.Nehmen wir also an, wir hätten ein Interferometer wie das in Abbildung 20.3(a) gezeigte. Ein Laserstrahlläuft durch einen Strahlteiler, dann entlang der beiden Arme, an deren Ende sich jeweils ein Spiegelbefindet, und schließlich zurück zum Strahlteiler, wo er mit sich selbst zur Interferenz gebracht wird. Wennwir die Armlängen so einstellen, dass sich am Ausgang gerade eine destruktive Interferenz einstellt, dannkönnen wir eine Längenänderung in einem der beiden Arme dadurch nachweisen, dass die destruktiveInterferenz aufgehoben wird, also ein Signal am Ausgang nachgewiesen wird.Wenn sowohl die beiden Spiegel als auch der Strahlteiler mit der gesamten optischen Apparatur frei fallen,so befinden sie sich sich an in Ruhe relativ zu einem geeignet gewählten Koordinatensystem2)4¥š6œ›5,so wie wir dies weiter oben diskutiert haben. Beim Durchlauf einer Gravitationswellen mit der richtigenPolarisation ändern sich dann die metrischen Abstände zwischen den Spiegeln und dem Strahlteiler. Undzwar wird einmal pro Schwingungsperiode der eine und einmal der andere Arm länger.Das Durchlaufen einer Gravitationswelle bewirkt am Ausgang des Interferometers ein periodisches Signal.Dieses Signal kann unmittelbar gemessen werden. Anders als bei einem Festkörper ist es hier keinResonanzeffekt, der die Ankopplung an die Gravitationswelle bewirkt. Die Interferometerantenne ist nichtauf eine bestimmte Frequenz abgestimmt. Es ist mit ihr im Prinzip möglich, den Phasenverlauf einer Welledirekt zu messen. Dafür entfällt der nützliche Effekt, dass sich eine resonante Schwingung “aufschaukeln”kann, was bei einem Festkörper die Empfindlichkeit bei der Resonanzfrequenz deutlich erhöht.404

Zur Zeit sind mehrere solcher Geräte in Bau, zum Teil sogar schon im Probebetrieb. 3 Wir wollen auchhier eine Abschätzung der Empfindlichkeit vornehmen. Allerdings beruht diese zu einem nicht unerheblichenTeil auf diversen optischen und elektronischen Tricks, auf die wir hier nicht eingehen können. Wirkönnen also hier nur sehr grob die Größenordnung ermitteln.Das Projekt GEO 600, das in der Nähe von Hannover gebaut wird, hat eine Armlänge vonHm. Allerdingsläuft der Laserstahl nicht nur etwa{Heinmal hin und zurück, sondern wird Mal reflektiert, soAím dass sich eine effektive Armlänge von ergibt. Für die Wellenlänge des Laserlichts setzen wirm. Wenn wir annehmen, dass bereits eine Phasenverschiebung von einer tausendstel!$#]í.Wellenlänge nachweisbar ist, so entspricht das eine relativen Längenänderung der beiden Arme!~Offenbar genügt das noch nicht, um die zu erwartenden Gravitationswellen mit Amplitudenrvonzu messen. Wie gesagt, lässt sich die Empfindlichkeit jedoch durch verschiedene optische und elektronischeTricks erhöhen. Im wesentlichen wird dabei die Bandbreite des Interferometers eingeschränkt, indemman durch eine geschickte Rückkopplung des Signals eine Resonanz erzeugt. Damit soll es möglichT r AHnm umA!&#sein,!&#zu Signale bis zu Amplituden messen, und bei stabilen Quellen konstanter Frequenz sogar bisA!&í. Allerdings geht dadurch der Vorteil eines Interferometers, die Phasevonder Welle direkt zu messen,wieder verloren.Zwei weitere solche Projekte werden in Italien und in der USA gebaut. Ein weiteres, ganz anderes Projektist im Weltraum geplant. 4 . Es handelt sich ebenfalls um ein Interferometer, jedoch nicht mit zwei,sondern mit drei Armen, die ein gleichseitiges Dreieck bilden, wie es in Abbildung 20.3 dargestellt ist.Der Vorteil dieses Anordnung ist, dass dieses Interferometer für jede mögliche Polarisation einer Gravitationswelleist.Außerdem liegen zwei weitere Vorteile eines Weltrauminterferometer auf der Hand. Hier sind die Spiegelund die optischen Instrumente tatsächlich im freien Fall. Es gibt kein zu eliminierendes statischesGravitationsfeld. Außerdem können die Armlängen fast beliebig lang sein. Es ist nicht erforderlich, einVakuumröhre für die Laserstahlen zu installieren. Tatsächlich soll das Weltrauminterferometer nicht ineiner Erdumlaufbahn stationiert werden, sondern in einer Sonnenumlaufbahn.Es etwa„4 soll der Erde im Abstand von auf ihrer Bahn { folgen, und die Armlänge soll etwa mSbetragen, also fünf Millionen Kilometer des Abstandes von der Erde zur Sonne. In jedem derdrei Satelliten befindet sich ein Laser und ein Strahlteiler, sowie die Spiegel, die die Enden der von der anderenbeiden Satelliten ausgehenden Arme bilden. Mit ähnlichen optischen und elektronischen Tricks solles mit diesem Interferometer möglich sein, Wellen mit Amplituden von bisoderEDH!&im Frequenzbereichvon einigen hundertstel Hertz, also Schwingungen im Minutenbereich zu messen. Das sind die Wellen, diezuvon typischen Doppelsternsystemen emittiert werden, wie wir sie weiter oben beschreiben haben.µAufgabe 20.9 Um sich die Größenordnungen des geplanten Weltrauminterferometers klar zu machen,berechne man die Zeit, die ein Photon benötigt, um einmal Satelliteni vom zum £ Satelliten und wiederzurück zu laufen, um mit seinen quantenmechanischen Zwilling, der inzwischen zum Ò Satelliten undzurück gelaufen ist, zu interferieren. Man vergleiche diese Laufzeit mit der zu erwartenden Schwingungsperiodeeiner Gravitationswelle.Exakte LösungenZum Abschluss dieses Kapitels wollen wir zeigen, dass es auch exakte Lösungen der Einstein-Gleichunggibt, die wir als Gravitationswellen interpretieren können. Die Amplituden solcher Wellen können beliebiggroß werden. Gravitationswellen existieren also nicht nur als Lösungen der linearisierten Theorie, sondernauch als Lösungen der vollen, nichtlinearen Einstein-Gleichung. Es handelt sich dabei um eine der wenigen3 Aktuelle Informationen gibt es auf den Webseiten der einzelnen Projekte, zum Beispiel beihttp://www.geo600.uni-hannover.de.4 Siehe http://sci.esa.int/home/lisa/.405

'Sî& x ')&j '4&j `32) 465&'š&j ‚92) 465&'›& (20.56)bekannten exakten Lösungen der Einstein-Gleichung, von denen wir bisher nur die Schwarzschild-Metrikkennen.Da wir an dieser Stelle allerdings die lineare Näherung verlassen, gilt für diese Lösungen kein Superpositionsprinzipmehr. Es ist daher nicht mehr möglich, Wellen verschiedener Frequenz und Ausbreitungsrichtungzu überlagern. Solche Wellen würden, anders als elektromagnetische Wellen, miteinanderwechselwirken. Nur solange ihre Amplituden hinreichend klein sind, durchdringen sich Gravitationswellenohne einander merklich zu beeinflussen.Anschaulich können wir uns das so vorstellen, dass eine Gravitationswelle selbst Energie und Impulsträgt, so dass sie wiederum ein eigenes Gravitationsfeld erzeugt bzw. das Feld einer anderen Welle spürt.Es sind sogar sehr extreme Situationen denkbar, in denen mehrere “kollidierende” Gravitationswellenein schwarzes Loch oder eine andere singuläre Struktur bilden. Auf solche Phänomene werden wir hierallerdings nicht eingehen.Wir werden hier nur das einfachste Beispiel diskutieren, nämlich eine einzelne, ebene Welle, derenProfil jedoch beliebig vorgegeben werden kann. Um einen geeigneten Ansatz für die Metrik zu finden,betrachten wir zunächst eine entsprechende Lösung der linearisierten Einstein-Gleichung, nämlich eineebene Welle der Polarisation ¨ , die sich in4-Richtung ausbreitet. Die allgemeinste Welle dieser Art istdurchzç_ç zž‹ž „ 22) 465 22) 465 ê (20.55)gegeben. Alle anderen Komponenten verschwinden. Die Funktion465kann beliebig vorgegebenwerden. Sie bestimmt das Profil der Welle. Zum Beispiel können wir für)setzenaußerhalb eines bestimmten, endlichen Intervalls, um eine Stoßwelle endlicher Ausdehnung zu beschreiben,oder 22) vonzLa`465¥5für eineWelle fester Frequenz.465Wenn wir die zugehörige Metrik als Linienelement schreiben, so ergibt sich unter Vernachlässigung vonTermen derY 4465 ãgäHÞ2.óÍ2) 22) 22)Ordnungz&mit(20.57)Die Funktionen22) ‚U2) xñ 465geben an, wie sich die Abstände zwischen Punkten in der2š8œ›5-Ebenen beim`Durchlauf der Welle ändern. Im Prinzip sind das genau die Funktionen, die wir mit dem Interferometer465 x 465 465 22) `¾2)inund‚Abbildung 20.3(a) messen würden.Diese Metrik werden wir jetzt als Ansatz in die Einstein-Gleichung einsetzen. Jedoch werden wir dabeijund‚ nicht mehr die Annahme machen, dass die Funktionen nur ` wenig von Eins abweichen. Wirsuchen also eine Lösung der Einstein-Gleichung, die die typischen Eigenschaften einer Gravitationswellehat, deren Amplitude aber beliebig groß sein `kann. Die einzige Bedingung, die wir an die Funktionenstellen müssen, ist, dass beide positiv sind. Sonst liegt, wie wir gleich sehen werden, eine Koordinatensingularitätund‚vor.Bevor wir die Einstein-Gleichung lösen, wollen wir jedoch eine wichtige Eigenschaften der Metrik(20.56), Koordinatensystems2)4©š6©›5bzw. des diskutieren. Es hat genau die gleiche Eigenschaft wiedas entsprechende der linearisierten Theorie. Es wird durch eine Schar von freifallenden Teilchen definiert, das heißt die sind zeitartige Geodäten und)istdie Eigenzeit auf diesen Weltlinien.Um das zu zeigen, schreiben wir die Metrik zunächst ein wenig um, indem wir Lichtkegelkoordinateneinführen,Weltlinien24¥š6œ›54 )jconstq ) 4undO(20.58) 'q 'O j `¾2q5&'š&j ‚U2q5&'›&406x 'Sî&

¨ pDp*¹\Tr xTd (20.59)(20.61)Die 4-Geschwindigkeit eines ruhenden Teilchens hat dann Komponenten\die. Um zu zeigen, dass dann die GeodätengleichungTp erfüllt ist, brauchen wir die Christoffel-Symbole.Aufgabe 20.10 Man zeige, dass nur die folgenden Christoffel-Symbole, dargestellt in Lichtkegelkoordinaten2qO¥š6œ›5,von Null verschieden sind,jËÄ L`¥d \ T` \ TLTç \ Tž und\ççWp „`¾2q5`{2q5 Ä Ä çpÃç `8{·2q5 `32q5 Ä žžprçç „3‚U2q5‚{2q5 Ä Ä žpž ‚{2q5ržž Ä(20.60)Daraus ergibt sich unmittelbar, dass für die angegebene Weltlinie die Geodätengleichung (20.59)tatsächlich erfüllt ist.Das Koordinatensystem2)4©š8œ›5hat also eine unmittelbare physikalische Interpretation. Es ist durch‚92q5eine Schar von frei fallenden Testteilchen definiert, und die Funktionen dieAbstände zwischen Teilchen in der2š8œ›5-Ebenen, die sich beim Durchlauf einer Welle periodisch ändern.Um die Einstein-Gleichung zu lösen, benötigen wir den Einstein-Tensor.`¾2q5und‚U2q5bestimmenAufgabe 20.11 Man berechne aus (20.60) den Krümmungstensor, den Ricci-Tensor und schließlich denEinstein-Tensor. Dieser hat nur eine einzige nicht verschwindende Komponente, nämlichDie “Wellengleichung”, die die Funktionen `¾2q5und‚92q5erfüllen müssen, lautet also`¾2q5 ‚{{2q5E ‚92q5 j `{{2q5DAls Test kann man leicht nachprüfen wir, dass die bereits bekannte Lösung (20.57) diese Gleichungtatsächlich für hinreichend kleine löst. Aber wie sehen die exakten Lösungen aus? Die AllgemeineLösung von (20.62) kann offenbar durch eine dritte FunktionU2q5parametrisiert werden, so dass22q5`¾2q5 j ‚{{2q5 `{{2q5‚U2q5 f(20.62)(20.63)Wie können also das Profil92q5der Welle, und zusätzlich noch je zwei Anfangsbedingungen für `¾2q5und‚92q5vorgeben.U2q5‚92q5 * ‚{{2q5 92q5`¾2q5 `{{2q5Doch bevor wir die allgemeine Lösung diskutieren, betrachten wir erst ein paar Spezialfälle. Die einfachsteLösung ist offenbar und‚92q5. Dann ist die Raumzeit flach, das heißt es ist gar keineGravitationswelle vorhanden. Eine weiter Schar von einfachen Lösungen ergibt sich, wennsetzen. Es ist dann* wirU2q5 x `¾2q5(20.64)wobeiÊ, ,Ž, undt ‚U2q5 Žq j t Konstanten sind. Die Raumzeit ist dann auch flach, jedoch handelt es sich um einetwas ungewöhnliches Koordinatensystem auf dem Minkowski-Raum.j q Ê `32q5407

Œ ŒŒŒq ª 4G O ª j 4G š šG › ›G (20.68)› 2Ž2·ª 4G5j 5›G(20.69)Aufgabe 20.12 Man zeige, dass die Metrik(20.65)in die gewöhnliche Minkowski-Metrik übergeht,j t5&'š&j 2Žq j 5&'›& q 2Ê j 'O 'q x 'Sî&(20.66)wenn wir die folgende Koordinatentransformation durchführen,›&* ' Œ q 'Œ O j ' Œ š&j ' Œ 'Sî&(20.67)2Ê j Œ j t5š8 O O Ê qWieŽ›&£2Žqkönnen wir das verstehen? Betrachten wir die Weltlinie eines Teilchens, das relativ zu dem Koor-5 q t5 š š&Á2Ê Œ 5› 2Žq › q j q jruht. Wir wissen, dass seine Weltlinie eine zeitartige Geodäte ist. Wennª dieEigenzeit des Teilchens ist, wird ist die Weltlinie in Lichtkegelkoordinaten durchdinatensystem2)4©š8œ›5OŒ š$Œ qŒgegeben. Transformieren wir diese Weltlinie in das Koordinatensystem2gŒ›5, so ergibt sichEntscheidend ist hier nur, dass alle Koordinaten vonª lineare Funktionen sind. Das muss natürlich so sein,denn die Weltlinie ist eine zeitartige Geodäte ›5ist ein kartesisches Koordinatensystem. DieWeltlinie ist eine zeitartige Gerade im Minkowski-Raum.Betrachten wir jedoch die 4-Geschwindigkeiten der einzelnen Teilchen, so sind diese nicht gleich. Dasheißt, die Teilchen bewegen sich relativ zueinander. Das Koordinatensystem2qO¥š6œ›5wird noch immerdurch eine Schar von frei fallenden Teilchen definiert. Aber da diese nicht relativ zueinander in Ruhe sind,ergibt sich kein gewöhnliches, kartesisches Koordinatensystem im Minkowski-Raum. Statt dessen nimmtdie Metrik die etwas ungewöhnliche Form (20.65)und2gŒan.nicht DŽundO ª 4G Œ O ª j 4G Ê šG&2Ê 2·ª 4G5j t5 Ž›G&2Ž2·ª 4G5j 5š 2Ê 2·ª 4G5j t5šG Œ qOŒ š$Œ qŒOffenbar ist diese Metrik an den StellenqnltgDÊmehr wohldefiniert. Dort liegteine Koordinatensingularität vor, denn an diesen Stellen in der Raumzeit stoßen die Teilchen zusammen.Das so definierte Koordinatensystem deckt also nur einen Teil des Minkowski-Raumes ab. Wir hatten diesesProblem bereits weiter oben angesprochen. Wenn ein Koordinatensystem durch frei fallen Teilchenaufgespannt wird, kann es passieren, dass eine Koordinatensingularität auftritt, weil die Teilchen zusammenstoßen.Ein Punkt in Raum ist dann nicht mehr eindeutig durch ein bestimmtes Teilchen definiert.CAber was hat das alles mit Gravitationswellen zu tun? Noch nichts, aber wir werden gleich sehen, dassdieses Problem typischerweise auftreten wird, wenn wir eine allgemeine Lösung der Gleichung (20.62)betrachten, die eine Gravitationswelle beschreibt.Es ist leider nicht möglich, die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung explizit durch einfacheFunktionen auszudrücken. Trotzdem können wir deren Verhalten leicht verstehen. Wir wollen versuchen,eine möglichst realistische Situation zu beschreiben. Wir nehmen an, dass wir zunächst eine flache Raumzeitvorliegen haben. Durch diese läuft dann eine Gravitationswelle mit einem beliebig vorgegeben Profil,aber mit einer endlichen Breite. Danach ist die Raumzeit wieder flach.bzw.2)465-In Abbildung 20.4(a) ist ein solcher Vorgang in einem Raum-Zeit-Diagramm in der2qO5-Ebene dargestellt. Die Welle läuft mit Lichtgeschwindigkeit von links nach rechts. Sie nimmtStreifenq#einen endlichbreiten q&ein. Außerhalb dieses Streifens ist die Raumzeit flach. Die2š8œ›5-Ebene stehtö q ö408

qflachqG‚92q5Oq#sind`¾2q5qqMilchstraßeandere Galaxieq& qGWelleq&q#flachq#(a)(b)q#Abbildung 20.4: Eine Stoßwelle läuft durch eine ansonsten flache Raumzeit. Die Welle nimmt einen hellq& qGunterlegten Ù T Ù BereichT&der Lichtkegelkoordinate ein. Die Funktionen •«ÓTÚund ÓÓTÚbestimmendas Profil der Welle. Im allgemeinen wird die Raumzeit nicht durch ein einziges Koordinatensystemabgedeckt, da an einer Stelle T ÕTGnach dem Durchlauf der Welle eine Koordinatensingularität auftritt.TT#in jedem Punkt dieses Diagramms zur2qO5-Ebene senkrecht. Außerhalb des hell unterlegten Streifens hatsie die gewöhnliche Geometrie, innerhalb des Streifens wird sie durch die Gravitationswelle deformiert.Wie müssen wir nun Funktion92q5die Funktionen die in (20.63) wählen? Fürdie Raumzeit flach sein. Dort setzen fixieren die Anfangsbedingungen so,dass Unser Koordinatensystem im flachen Raum wird also q#durch`¾2q5ö fürqwirU2q5 `¾2q5 und‚92q5 ist.eine Schar von relativ zueinander ruhenden, frei fallenden Teilchen definiert.und‚92q5,bzw.Nun kommt die Gravitationswelle. Wir geben FunktionU2q5ihr Profil beliebig vor, indem wir einewählen, die von Null verscheiden ist. Es ergibt sich dann das in Abbildung 20.4(b)gezeigte Verhalten der Funktionen `¾2q5und‚92q5. Im beide Funktionenfürq#gleich Eins.Im oszillieren sie gegeneinander, aber nicht exakt gegeneinander, denn die zuBereichqintegrierenden Differentialgleichungen (20.63) sind nicht linear.C.q ö q& öIntervallq#soll die Raumzeit wieder flach sein, das heißtödort setzen wir Nun wirdes aber im allgemeinen nicht so sein, dass dort wiederöist.ö q& qImFürq wiederU2q5allgemeinen habendie Funktionen an der irgendeinen Wert und irgendeine erste Ableitung.q&Wenn wir sie dann linear fortsetzen, ergibt sich typischerweise der Verlauf in Abbildung 20.4(b). Wegen£Stelleqder gegenläufigen Oszillation wird in der Regel eine Funktion steigen, die andere fallen.Es liegt also genau der Fall vor, den wir gerade diskutiert haben. Nach dem Durchlauf der Gravitationswelleist die Raumzeit wieder flach, aber das Koordinatensystem2)4©š8œ›5ist nicht mehr kartesisch.`¾2q5 C und‚92q5 Daes durch eine Schar von frei fallenden Teilchen aufgespannt wird,`¾2q5heißtq&das,und‚92q5dass sich diese Teilchen jetztrelativ zueinander bewegen.Für einen ruhenden Beobachter stellt sich das Bild zunächst wie in Abbildung 20.5(a). Vor dem Durchlaufder Welle sieht er eine Schar von ruhenden Teilchen in der2š6©›5-Ebene. NachKoordinatensystem2)4qœ›5dem Durchlauf derWelle sind die Teilchen noch immer relativ zum in Ruhe, aber dieses istkeine kartesisches Koordinatensystem mehr und somit nicht das Bezugsystem des Beobachters. Stattdes-q ö q#soll®und409

›š› ŒšŒMilchstraßeandere Galaxie(a)(b)Abbildung 20.5: Eine Ansammlung von Teilchen in derÓÕØÖ‹ÙoÚ-Ebene, die vor dem Durchlauf einer Gravitationswellerelativ zueinander ruhen (a). Nachdem die Welle durchgelaufen ist, bewegen sich die Teilchenrelativ zueinander (b).sen müssen wir zu einem neuen ›5übergehen, welches sich aus der Koordinatentransformation(20.67) ergibt. Dies ist jetzt dasInertialsystem2ŒInertialsystem eines ruhenden Beobachters.Relativ zu diesem Koordinatensystem bewegen sich jedoch die Teilchen, so dass sich für den Beobachterdas Bild in Abbildung 20.5(b) ergibt. Für ihn stellt sich die Situation so dar, als hätte die Gravitationswelleauf die Teilchen einen Impuls übertragen, der umso größer ist, je weiter sich das Teilchen von ihm entferntbefindet. In Wirklichkeit hat sich aber nur die Geometrie)Œ 4Œ š[Œder Raumzeit geändert. Die Gravitationswelleist eine Art Knick in der ansonsten flachen Raumzeit. Er bewirkt, dass sich Teilchen, die vorher relativzueinander ruhten, nun plötzlich bewegen, obwohl jedes einzelne Teilchen auf einer Geodäten läuft.Wenn eine der beiden Funktion, also oder‚92q5,nach dem Durchlauf der Welle monoton fällt,erreichen wir irgendwann eine qG, an der diese Funktion Null wird. Das ist die Stelle, an der dieTeilchen zusammenstoßen. Dort liegt dann eine Koordinatensingularität vor,Stelleqdas heißt über diese Stellehinaus können wir das ursprüngliche Koordinatensystem nicht fortsetzen. Jedoch ist diese`¾2q5Singularitätvöllig harmlos,denn in dem können wir bereits zu dem neuen Koordinatensystemübergehen, und das können wir zu beliebig š[Œ ›5großenq fortsetzen. Die gesamte Raumzeit wirdalso in jedem Fall durch zwei Karten vollständig abgedeckt.Bereichq&Einen solchen Effekt sehen wir in der linearisierten Theorie nicht, denn dort kehrt das Gravitationsfeldnach dem Durchlauf einer Welle stets auf den zurück,öohneqdass wir das Koordinatensystemwechseln müssen. Das liegt daran, dass die Abweichung der Metrik (20.65) nicht mehr als leichtqGgekrümmt betrachtet werden kann, obwohl sie ja tatsächlich sogar flach ist. Sie weicht aber stark vonöder2Œ )Œ 4ŒHintergrundmetrik ab, und repräsentiert deshalb in diesem Sinne kein schwaches Gravitationsfeld.Was wir hier sehen, und was in der linearisierten Theorie nicht beschrieben werden kann, ist, wie eineGravitationswelle ganz explizit die Information über die sich ändernde die Geometrie der Raumzeit transportiert.Nehmen wir an, wir befinden uns in einemWertzLg`kleinen Raumschiff, das wir als lokales Inertialsystembetrachten können, in der Nähe einer sehr großen stabilen Materieansammlung. Plötzlich wird dies Materieansammlunginstabil und ändert ihre Konfiguration. Dann wird die Information über das sich änderndeGravitationsfeld in Form einer Gravitationswelle, die wir uns in diesem Fall als ein Schockwelle vorstellenkönnen, nach außen transportiert.Wenn die Schockwelle unser Raumschiff erreicht, können wir sie näherungsweise als ebene Welle be-410

)j4)j4(20.70)trachten, denn unser Raumschiff ist klein im Vergleich zu den typischen Längenskalen der Materieansammlung.Aber irgendwie bekommt unser Raumschiff die Änderung der Geometrie der Raumzeit mit.Es knarrt möglicherweise ein wenig wegen der Spannung, die entsteht, weil sich seine Wände plötzlichnicht mehr relativ zueinander in Ruhe befinden. So, als hätte jemand plötzlich gegen das Raumschiff gedrücktoder an ihm gezogen. Nach dem Durchlauf der Welle muss sich das Raumschiff erst mit neuenGeometrie der Raumzeit arrangieren. Wir können auch etwas anschaulicher sagen, dass es sich ein neueslokales Inertialsystem suchen muss.Eine Gravitationswelle tut also genau das, was auch eine elektromagnetische Welle tut. Sie transportiertdie Information darüber, dass sich das Feld ändert, und dieser Transport geschieht mit Lichtgeschwindigkeit.Aufgabe 20.13 Man zeige, dass die letzte Aussage nicht nur im Rahmen der linearen Näherung gilt, sondernauch für die hier konstruierte exakte Lösung. Man betrachte dazu ein masseloses Testteilchen, dassé, die mit der Welle mitbewegt, also auf mit\einer Weltlinie so dass es stets diegleiche Phase der Welle sieht. Man zeige, dass dies eine lichtartige Geodäte ist.O \ š \ › nund\ qAufgabe 20.14 Wie ändert sich das Profil einer Gravitationswelle unter der Koordinatentransformation Welche physikalische Interpretation hat diese Transformation?Þ_ßÕàâ 4½˜ Þ¥ßáàâ ãaäHÞ_â ˜ )ãaäHÞ_â 21 KosmologieWas sagt die allgemeine Relativitätstheorie über das Universum als Ganzes aus? Bisher haben wir nureinzelne Objekte wie Sterne oder schwarze Löcher, sowie die Bahnen von Testkörpern in deren Nähebetrachtet. Wir sind dabei stets davon ausgegangen, dass die Raumzeit in genügend großer Entfernungvon solchen Objekten flach wird, weil sich dort keine Materie mehr befindet. Die schwache Krümmung,die dort vorliegt, können wir durch ein linearisiertes Gravitationsfeld beschreiben. Wir sehen dort imwesentlichen nur noch ein Newtonsches Gravitationspotential, und möglicherweise ein paar auslaufendeGravitationswellen.Aber wie sieht das Weltall auf einer sehr viel größeren Skala aus, wenn wir alle diese “Details” ignorieren,also die einzelnen Sterne und Galaxien übersehen? Dies ist die Frage, mit der sich die Kosmologiebeschäftigt. Sie ist das dritte wichtige Standbein der allgemeinen Relativitätstheorie, neben den Beobachtungenim Sonnensystem und den Laborversuchen, die wir in den vorangegangenen Kapiteln ausführlichbeschrieben haben. Auch über das Weltall im großen Maßstab macht die allgemeine RelativitätstheorieAussagen, die sich durch Beobachtungen bestätigen oder widerlegen lassen sollten.Das kosmologische PrinzipUm ein möglichst einfaches Modell für das Universum als Ganzes zu entwerfen, müssen wir uns zunächstüberlegen, welche grundsätzlichen Eigenschaften die Raumzeit hat, wenn wir über ihre Struktur im Detailhinwegsehen. In unserer nähere Umgebung finden wir allerlei Strukturen: die Planeten, das Sonnensystem,die Milchstraße, ihre Nachbargalaxien, schließlich weitere Galaxien, die sich wieder zu größerenStrukturen gruppieren, den sogenannten Galaxienhaufen.Um die Größenordnung dieser Strukturen zu beschreiben, führen wir eine in der Kosmologie gebräuchlichLängeneinheit ein, die Paralaxensekunde. Eine Paralaxensekunde, abgekürzt “pc”, ist die Entfernung,aus der der Abstand zwischen Erde und Sonne gerade eine Bogensekunde beträgt. Das sind etwa411pc

Die Motivation für diese zunächst etwas merkwürdige Definition einer Längeneinheit ergibt sich aus einerMethode zur Entfernungsbestimmung von Sternen in unserer Nähe.Aufgabe 21.1 Wie kann man den Abstand zu einem Stern in der Nachbarschaft der Sonne bestimmen,wenn man zwei Bilder derselben Himmelsregion vorliegen hat, aufgenommen im Abstand von einem halbenJahr, wobei der Stern jeweils im rechten Winkel zur Sonne stand? Bis zu welcher Entfernung, in etwa,liefert dieses Verfahren ein einigermaßen genaues Ergebnis?Da drei Paralaxensekunden etwa zehn Lichtjahre sind, gäbe es eigentlich keinen Grund, eine solche Einheiteinzuführen. Aber sie ist eben sehr gebräuchlich, und deshalb werden wir sie hier auch verwenden.Unsere nächsten Nachbarsterne haben Entfernungen von einigen pc. Der Durchmesser der Milchstraßebeträgt etwa;Hkpc. Die Andromeda-Galaxie ist etwa {c{kpc von uns entfernt. Galaxienhaufen enthalteneinige hundertausend Galaxien und erreichen Abmessungen von einigen also íbis ~Mpc, Lichtjahren.Das sind die Größenordnungen, in denen die Materie in sehr inhomogener Form auftritt.Anders als Galaxien sind Galaxienhaufen aber keine deutlich voneinander abgegrenzten Objekte mehr.Es handelt sich eher um lokale Dichteschwankungen in einer ansonsten homogenen “Staubwolke”, deren“Staubteilchen” die Galaxien sind. Darüber hinaus findet man keine weiteren Strukturen mehr. Wennwir das Weltall auf einer Skala mehrerenvonMpc anschauen, so sehen wir im wesentlichen einengleichmäßig mit Materie gefüllten Raum.Um das Universum als Ganzes zu beschreiben, werden wir deshalb annehmen, dass es sich um einengleichmäßig mit Materie gefüllten Raum handelt. Es gibt keinen besonders ausgezeichneten Ort, insbesonderekein Zentrum, um das alles kreist, oder etwas derartiges. Wenn wir über eine hinreichend großeSkala mitteln, sieht das Universum überall gleich aus.Eine weitere wichtige Beobachtung, die wir von der Erde aus machen können, ist, dass es auch keinebesonders ausgezeichneten Richtungen gibt. Der Himmel ist zwar nicht gleichmäßig mit Sternen gefüllt,aber auch das ist wieder nur eine lokale Dichteschwankung. Nur die Sterne in der Milchstraße und die Galaxienin ihrer Nähe häufen sich in bestimmten Arealen am Nachthimmel. Wenn wir die weiter entferntenGalaxien betrachten und sorgfältig zählen, so finden wir, dass diese gleichmäßig über alle “Himmelsrichtungen”verteilt sind.Der Raum ist also nicht nur homogen, sondern auch isotrop. Er ist dann sogar isotrop bezüglich allerOrte. Auch auf einem Planeten in einer fernen Galaxie würden wir, wie auf der Erde, einen gleichmäßigmit anderen Galaxien gefüllten Himmel sehen. Wäre dem nicht so, gäbe es nämlich, im Widerspruch zuder ersten Annahme, doch ausgezeichnete Orte im Weltall. Nämlich die, von denen aus das Weltall isotroperscheint.Die Annahme, dass der Raum homogen und isotrop ist, wird meist als das kosmologische Prinzip bezeichnet,manchmal auch als Kopernikanisches Prinzip. Es besagt im wesentlichen, dass es reiner Zufallist, dass wir gerade auf der Erde leben, in diesem Sonnensystem und in dieser Galaxie. Genauso gut könntenwir irgendwo anders leben, ohne dass wir wesentlich andere Beobachtungen machen würden, solangewir nur das Universum im Großen anschauen.Kosmologisches Prinzip: Das Universum ist räumlich homogen und isotrop. Es gibt wederausgezeichnete Orte noch ausgezeichnete Richtungen im Raum.Aus dieser Annahme werden wir im nächsten Abschnitt einen Ansatz für die Geometrie der Raumzeitableiten. Allerdings ergibt sich zuvor noch ein Problem. Was bedeutet eigentlich Raum? A priori gibt esnur eine Raumzeit, und was unter dem Raum zu verstehen ist, hängt vom gewählten Bezugsystem ab, alsovom jeweiligen Bewegungszustand des Beobachters.Ist das kosmologische Prinzip so überhaupt sinnvoll? Müssten wir nicht verlangen, dass nicht nur derRaum, sondern die Raumzeit als Ganzes homogen und isotrop ist, damit es sich um eine vom Bezugsystemunabhängige Aussage handelt? Diese Vermutung liegt zunächst nahe. Dem ist aber nicht so. Es gibt412

4zusammenfassen, ÎMgegeben.constnämlich ein bevorzugtes Bezugsystem, und dieses definiert, was Raum und Zeit ist. Da wie annehmen,dass die Raumzeit mit Materie gefüllt ist, existiert in jedem Ereignis ein lokales Ruhesystem der Materie,also ein besonderes lokales Inertialsystem.Wenn wir über Raum und Zeit sprechen, ist stets der Raum und die Zeit aus der Sicht eines lokal mitder Materie mitbewegten Beobachters gemeint. Nur ein solcher Beobachter sieht einen homogenen undisotropen Raum. Für einen relativ zur Materie bewegten Beobachter muss das nicht der Fall sein. Es kanngar nicht der Fall sein, dass zwei relativ zueinander bewegte Beobachter beide einen isotropen Raumsehen.Aufgabe 21.2 Zwei Raumschiffe begegnen sich im intergalaktischen Raum. Das eine befindet sich geradeim lokalen Ruhesystem der Materie, gemittelt über eine sehr große Skala. Ein Astronaut in diesemRaumschiff sieht deshalb einen gleichmäßig mit Galaxien gefüllten Himmel. Warum sieht seine Kolleginim anderen Raumschiff keinen gleichmäßig mit Galaxien gefüllten Himmel?Aufgabe 21.3 Wie können wir auf der Erde feststellen, ob wir uns im lokalen Ruhesystem der Materiebefinden oder nicht?Aus dem kosmologischen Prinzip ergibt sich also folgendes Bild der Raumzeit. Es gibt in jedem Ereignisein ausgezeichnetes Bezugsystem, und somit eine wohldefinierte Aufspaltung der Raumzeit in Raum undZeit. Die Materie ruht relativ zu diesem Bezugsystem. Wie wir gleich sehen werden, können wir dieseAufspaltung dann sogar global vornehmen. Wir können uns die Raumzeit als einen Raum vorstellen, derzu jedem Zeitpunkt homogen und isotrop ist, dessen Geometrie sich aber im Laufe der Zeit ändern kann.Die Robertson-Walker-MetrikNun wollen wir das kosmologische Prinzip in einen Ansatz für eine Metrik umsetzen. Der erste Schritt istwie immer die Wahl eines geeigneten Koordinatensystems. Da es an jedem Ereignis ein ausgezeichneteslokales Bezugsystem gibt, nämlich das lokale Ruhesystem der Materie, wollen wir unser Koordinatensystemnatürlich daran anpassen.Wir zerlegen die Koordinaten daher in drei räumliche Koordinaten4N, die wir wie üblich zu einem“Vektor”sowie eine Zeitkoordinate).Die räumlichen Koordinaten wählen wir so,dass die Materie relativ zum Koordinatensystem ruht. Die Kurven const sind also die Weltlinienvon Beobachtern, die sich mit der Materie mitbewegen. Jede solche Kurve repräsentiert im Sinne deskosmologischen Prinzips einen Ort im Raum.Nun besagt das kosmologische Prinzip, dass alle Orte gleichberechtigt sind, das heißt jeder Beobachter,der sich entlang einer4Weltlinieconst bewegt, macht die gleichen Beobachtungen. Er sieht insbesonderedie gleichen Prozesse in seiner Umgebung ablaufen, also die gleiche zeitliche Entwicklung desUniversums. Daraus folgt, dass wir jedem solchen Beobachter eine Uhr zuordnen können, und dass wiralle diese Uhren miteinander synchronisieren können. Und zwar so, dass die verschiedenen Beobachterjeweils zur selben Uhrzeit denselben Zustand des Universums in ihrer Umgebung sehen.Mit anderen Worten, wir können die Zeitkoordinate)so wählen, dass sie auf jeder4Weltlinieconstdie Eigenzeit eines ruhenden Beobachters repräsentiert, und dass Hyperflächen) die jeweils denRaum zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Entwicklung des Universums darstellen. Diese Hyperflächensind es dann, von denen wir verlangen müssen, dass sie homogen und isotrop sind, und zwar zu allenZeiten.Jetzt müssen wir diese Schlussfolgerungen nur noch in einen konkreten Ansatz für die Metrik übersetzen.Da sich das Koordinatensystem mit der Materie4 mitbewegt, und die Eigenzeit eines ebenfallsmitbewegten Beobachters ist, ist die 4-Geschwindigkeit der ¬Materie durch Da dies einda)positiv zeitartiger Einheitsvektor ist,ÎMÎMn…. Das ergibt sich natürlich auch direkt aus derTatsache, dass)die Eigenzeit eines relativ zum Koordinatensystem ruhenden Beobachters ist.gilt‚MºM413

\.465 (21.3)Der Raum wird in jedem Ereignis durch die BasisvektorenÎNaufgespannt, Hyperfläche) die zur consttangential sind. Da andererseits im lokalen Bezugsystem des mitbewegten Beobachters der Raum zur Zeitorthogonal sein muss, ergibtÎMÎN

aa ÇŒŒ] b(21.9)î& ñßX Þ_ßÕà&C[ §& '§&j §&£2'[6&j '\&5 Œ 'dann die folgende Form an,(21.4) Þ¥ßÕà&/[Die Funktion `¾2§5müssen wir jetzt allerdings so bestimmen, dass der Raum nicht nur isotrop bezüglich'\&5 §&32'[8&j `¾2§5'§&j 495'4N'4v ‚Nwv2 Œ î& Œ 'des Koordinatenursprungs ist, sondern homogen und folglich auch isotrop bezügliche aller Punkte. Fernermüssen wir als Randbedingung denn sonst wäre der Raum an Stelle§der nichtgenügend glatt, das heißt die Metrik wäre dort nicht wohldefiniert. `¾25Cverlangen,Aufgabe 21.4 Eine ähnliche Überlegung hatten wir schon einmal bei der Herleitung der Metrik im Innerneines kugelsymmetrischen Sterns benutzt. Man zeige auch hier, dass die Metrik bei§genau dannwohldefiniert und differenzierbar ist, wenn `¾2§5differenzierbar und ist. `325 Eine notwendige Bedingung dafür, dass der Raum homogen und überall isotrop ist, ergibt sich wie folgt.Das gleiche Argument, das wir gerade auf die Zeitableitung der Metrik angewandt haben, wenden wir jetztauf einen anderen Tensor Ricci-TensorŒan, nämlich denNwv, den wir MetrikŒaus der ‚Nwvbilden können.Auch hier gilt, proportional zur ‚²N¢Ç ¢vEinheitsmatrix@Nvsein muss, und dass die Proportionalitätskonstantean jeder Stelle im Raum gleich sein muss. Sonst gäbe es wieder ausgezeichneteRichtungen, nämlich die Eigenvektoren dieser Matrix, oder ausgezeichnete Orte, an deren die Krümmungdes Raumes besonders groß oder besonders klein ist.Die Proportionalitätskonstante ist in diesem Fall der Krümmungsskalar, denn es gilt dassÇNv Ç(21.5) Œ Ç Œ ‚Nv B Œ Ç Œ ‚Nwv Œ Ç NwvDer Ricci-Tensor muss als proportional zur Metrik und zum Krümmungsskalar sein, und der Krümmungsskalarmuss konstant sein. Die Bestimmung des Ricci-Tensors ist wieder eine etwas längere Rechnung,Nwv Çdie wir hier nicht explizit ausführen.fürdie Metrik (21.4) die folgenden nicht verschwin-Aufgabe 21.5 Man zeige, dass Ricci-TensorÇ derdenden Komponenten hat,NvEs ergeben sich also zwei Bedingungen an die Funktion `¾2§H5,Œ Œ `32§5& §nämlich §&)`¾2§H5 j `{2§5 §&`{2§5„§`¾2§H5&(21.6)Ç]ÇbwirŒ wobei

[†=ÁD„mitX aŒ î ' XGannimmt, mitT&•EDcXàa½ ñßX §& '§ XG„X§&j€X2§|5v §Gj „ '§. Man zeige, dass dies die Metrik einer dreidimensionalen Sphäre .§GjŒ2§G}5(21.10)ist,HÜÛ–A5Milchstraßeandere Galaxie»¤ÀÔÖÕ À ÔØ× ÀÔ(a) (b) (c)Abbildung 21.1: In einem positiv gekrümmten Raum (a) nimmt der metrische Radius einer Kugelschale,die hier als Kreislinie erscheint, schneller zu als der Oberflächenradius. In einem flachen Raum (b) sindbeide gleich. In einem negativ gekrümmten Raum (c) nimmt der Oberflächenradius schneller zu als dermetrische Radius.Da wir bisher aber nur eine notwendige Bedingung berücksichtigt haben, müssen wir noch zeigen, dassdie so definierte räumliche Geometrie tatsächlich homogen und isotrop ist. Bisher haben wir nur gezeigt,dass der Ricci-Tensor überall proportional zur Metrik ist, und dass der Krümmungsskalar konstant ist.Es ist nützlich, zunächst eine Fallunterscheidung vorzunehmen, und zwar nach dem Vorzeichen vonKrümmungsskalarsŒ, also dem Vorzeichen des . Betrachten wir zunächst den einfachsten Fall,nämlich Xë®. In diesem Fall ist (21.9) das übliche Linienelement eines flachen,›XEuklidischen Raumes,dargestellt in Kugelkoordinaten. Dieser Raum ist natürlich homogen und isotrop.Der Euklidische Raum ist im wesentlichen dadurch charakterisiert,Çdassder Oberflächenradius§Geinergleich dem metrischen Radius also dem Abstand der Kugelschale von ihremMittelpunkt. Wenn ist das nicht mehr der Fall. Der metrische Radius Kugelschale mitGKugelschale§ dem ist dann durch die Länge einer Geodäte gegeben, die den Mittelpunkt mit derX"G §GOberflächenradius§Gverbindet,ist,einer®ist,Für nimmt der metrische Radius schneller zu als der Oberflächenradius§G, während fürder Oberflächenradius§Geiner Kugelschale schneller zunimmt als der metrische Radius G.Abbildung 21.1 veranschaulicht die drei Typen von Räumen. Dargestellt ist jeweils die ÄquatorebeneX Xden \ Koordinatenlinien von§und , eingebettet in den dreidimensionalen Euklidischen Raum.Da der Raum überall gleich aussieht, genügt es, jeweils eine kleine Umgebung£des Koordinatenursprungszubetrachten.In Abbildung 21.1(a) sehen wir einen Raum, in dem der metrische Radius"GeineröKugelschalebei§schnellerwächst als der Oberflächenradius. Ein solcher Raum ist positiv gekrümmt. Es handelt sich offenbar umeinen Ausschnitt aus einer Kugeloberfläche. Tatsächlich ist der Raum in diesem Fall eine dreidimensionaleSphäre.fG au j XGAufgabe 21.6 Es sei X £(21.9) die Form'Man führe eine Koordinatentransformation§…˜ durch, so dass die Metrikî& T&£2'Á&j Þ¥ßÕà&C '[8&j Þ¥ßáà&C Þ_ßÕà&C[ '\&5(21.11)wie folgt in den vierdimensionalen Euklidischen Raum mit den kartesischen Koordinaten2ÚÙdie sichŒ416

ÝXist,wird.ÙÛÙÛÞ¥ßÕàÞ¥ßÕàÞ_ßÕàÞ_ßÕàãgäHÞ\PÞ_ßÕàãaäÞ\PÞ¥ßáà ãgäHÞ[(21.14)einbetten lässt,(21.12) ãgäHÞ T ãaäÞ[Was ist der maximale Wertebereich von , und was ist der maximale Wertebereich von§? Welche TeilmengeÞ¥ßáà Tder Sphäre wird durch das Koordinatensystem2§[\5abgedeckt? Welche geometrische Bedeutung hatbzw.T? Warum ist die Sphäre homogen und isotrop? Was ist die Isometriegruppe ¢ £Ã¥…2§5?[A[\PHT Þ¥ßáà T Þ_ßÕà Der Raum in Abbildung 21.1(b) ist ein flacher RaumÀEuklidischer. Hier ist der Oberflächenradius stetsgleich dem metrischen Radius einer Kugelschale. Diesen Fall müssen wir nicht weiter diskutieren, denn esist, wie schon gesagt, unmittelbar klar, dass dieser Raum homogen und isotrop ist. Seine Isometriegruppe¢ ist £W¥|25, bestehendaus den dreidimensionalen Drehungen und Verschiebungen.Wenn der Oberflächenradius schneller wächst als der metrische Radius, dann ergibt sich der in Abbildung21.1(c) dargestellte negativ gekrümmte Raum. Es ist jetzt gar nicht mehr so einfach, diesen Raumin einen höherdimensionalen Euklidischen Raum einzubetten. Denn in einem Euklidischen Raum ist, anschaulichgesprochen, gar nicht genug Platz, um die immer größer werdenen Kugelschalen unterzubringen.Sie erscheinen deshalb in der Abbildung als leicht verbogene Kreisringe. Wir müssen die Äquatorebeneein wenig falten, um sie im Einbettungsraum darzustellen.Es ist deshalb nicht sofort offensichtlich, dass auch dieser Raum homogen und isotrop ist. Er ist es aber,und es handelt sich sogar um einen Raum, den wir schon kennen. Es ist die Ý Pseudosphäre, also die inAbbildung 4.1 dargestellte, verallgemeinerte Einheitskugel im vierdimensionalen Minkowski-Raum. Siebesteht aus allen Ereignissen, die von einem gegebenen Ereignis den gleichen zeitlichen Abstand haben.Aufgabe 21.7 Es sei X ö(21.9) die Form'Man führe eine Koordinatentransformation§…˜ durch, so dass die Metrikî& T&£2'Á&j Þ_ßÕàâ& '[8&j Þ¥ßáàâ& Þ¥ßÕà&/[ '\&5(21.13)mitT& annimmt, . Man zeige, dass dies die Metrik einer dreidimensionalen Pseudosphäredie sich wie folgt in den vierdimensionalen Minkowski-Raum mit den kartesischen Koordinatenlässt, Û–ADcX … Œ5einbetten T Þ_ßÕàâ TT Was ist der maximale Wertebereich von , und was ist der maximale Wertebereich von§? Welche TeilmengeÞ_ßÕàâ Þ_ßÕàâder Pseudosphäre durch das Koordinatensystem2§[\5abgedeckt? Welche geometrische Bedeutunghat bzw.T? Warum ist die Pseudosphäre ÝÝhomogen5?und isotrop? Was ist die IsometriegruppeX¢¤£W¥|2ÚÝEs gibt also drei Typen von räumlichen Geometrien, die ein homogenes und isotropes Universum beschreiben.[A2ÅÙ[\P Å T ãgäHÞ¥â Der Raum hat entweder eine konstante positive, oder eine verschwindende, oder eine konstantenegative Krümmung.In der Umgebung eines beliebigen Ortes sehen diese Räume stets so aus wie in Abbildung 21.1 dargestellt.Darüber hinaus gibt es noch ein zweites Unterscheidungskriterium zwischen verschiedenen räumlichenGeometrien. Das Universum kann räumlich offen oder geschlossen sein. Ein räumlich geschlossenes Universumhat ein endliches Volumen, während das Volumen eines räumlich offenen Universums unendlichist.417

„=&TgegebenÊ2)5X\ Ê&j Ê& ¨ MºN< ¨ Nwv \ MºM< ¨˜¡&X § ˜ ¡!$#§ (21.16)mit2)5Ê& ‚Nv(21.17)undAufgabe 21.8 Da eine Sphäreein endliches Volumen hat, während der RaumÀEuklidische diePseudosphäre Ýein unendliches Volumen haben, liegt die Vermutung nahe, dass ein positiv gekrümmtesUniversum stets räumlich geschlossen ist, während ein flaches oder negativ gekrümmtes Universum räumlichoffen ist. Das ist aber nicht ganz richtig. Auch ein flaches oder negativ gekrümmtes Universum kannräumlich geschlossen sein. Warum? Kann umgekehrt ein positiv gekrümmtes Universum räumlich offensein?Aufgabe 21.9 Man zeige, dass das Volumen einer dreidimensionalen Sphäreist.durch ¢der Metrik (21.11)Damit kennen wir die möglichen räumlichen Geometrien eines homogenen und isotropen Universums.Das müssen wir jetzt nur noch in den Ansatz (21.2) für die Raumzeit-Metrik einsetzen, das heißt wirmüssen den SkalenfaktorÊ2)5wieder hinzunehmen und die Zeitkoordinate ergänzen,(21.15)D')&j Ê2)5&Dies ist die allgemeinste Metrik einer Raumzeit, die ein sich in der Zeit veränderndes, aber räumlich homogenesund isotropes Universum beschreibt. Sie trägt den Namen Robertson-Walker-Metrik. Wir werdenim folgenden annehmen, dass dies die Geometrie unseres Universum auf einer hinreichend großen Skalaist.x 'Sî&ñßX Þ_ßÕà&C[ '\&5E §&Á2'[6&j '§&j §&Aufgabe 21.10 Man berechne den räumlichen Krümmungsskalar und, für einen positiv gekrümmtenRaum, das Volumen des Weltalls zur Zeit)und zeige,Ê2)5!&und *›X¢gilt.„=&X!Ý&Ê2)5 dassÇs2)5Aufgabe 21.11 Man zeige, dass die Robertson-Walker-Metrik (21.15) unter der folgenden Transformationinvariant ist, die sich aus einer Redefinition des Parameters X und des SkalenfaktorÊ2)5, sowie einerKoordinatentransformation zusammensetzt,¡Konstante ist. Wir können dies verwenden, um eine zusätzliche Bedingung an die Pa-Ê2)5ð˜wobei einerameter zu stellen. Wir können zum Beispiel verlangen, dass der ¡zu einem bestimmtengleich Eins ist, so dass zu diesem Zeitpunkt dietatsächlich denSkalenfaktorÊ2)5Oberflächenradius der entsprechenden KugelschaleKoordinate§£repräsentiert.XDie Friedmann-GleichungZeitpunkt))G (“heute”)Nun wollen wir die Einstein-Gleichung aufstellen und daraus eine Bewegungsgleichung für den SkalenfaktorÊ2)5ableiten. Dazu müssen wir zunächst den Einstein-Tensor für die Robertson-Walker-Metrikbestimmen. Auch das ist wieder eine etwas längere Rechnung, von der wir nur das Ergebnis angeben.Die Kenntnis des räumlichen Ricci-Tensors (21.6) nützt uns leider nichts, denn dort hatten wir dieZeitabhängigkeit der Metrik völlig ignoriert.Aufgabe 21.12 Man berechne der Einstein-Tensor für die Robertson-Walker-Metrik, und zeige, dass ersich wie folgt schreiben lässt,418¹ X Ê j Ê „ Ê&j

¢x\\Ê&j „ Ê ¹4sind.ͦŸ=¼ Ê&(21.21)Ê f(21.22)Auch hier sind die räumlichen Komponenten¨Nwvwieder proportional zur Metrik‚Nwv, wegen der Homogenitätund der Isotropie des Raumes. Der Einstein-Tensor ist also eine Funktion des SkalenfaktorsÊ2)5undseiner Ableitungen. Der Punkt steht im folgenden für die Ableitung nach der Zeitkoordinate). Wir erinnernnoch einmal daran, dass diese Koordinate die Eigenzeit eines mit der Materie mitbewegten Beobachtersrepräsentiert.Nun müssen wir noch einen Ansatz für den Energie-Impuls-Tensor machen. Es bleibt hier nicht vielFreiheit, denn wenn die Einstein-Gleichung(21.18)erfüllt sein soll, muss offenbar für den Energie-Impuls-Tensor geltenÅ8Lg` ¦o= La` ¨und¼ Funktionen von der Zeit), nicht aber vom Ort Das ist der Energie-Impuls-Tensor eineridealen Flüssigkeit mit Dichte7 und Druck¼, die relativ zum Koordinatensystem ruht. Das Strömungsfelddieser Flüssigkeit ¬ istwobei7ÎM, so dass für den Energie-Impuls-TensorÅ6MºM 7 Å6MºN< Å6Nv ¼ ‚Nv (21.19)(21.20)gilt. Wie man leicht nachrechnet, stimmt das mit (21.19) überein.Wir müssen also annehmen, dass das Universum mit einer idealen Flüssigkeit gefüllt ist, die den Raumzu jedem Zeitpunkt gleichmäßig ausfüllt. Dichte und Druck sind räumlich konstant, können sich aber mitder Zeit verändern. Das ist natürlich genau das, was wir von einem homogenen und isotropen Universumerwarten. Wie diese Flüssigkeit im einzelnen aussieht, werden wir gleich noch etwas genauerÅ La`untersuchen.2·7 j ¼5qLq` j ¼ ‚Lg`Zunächst schreiben wir die Komponenten der Einstein-Gleichung auf. Dazu müssen wir nur denEinstein-Tensor (21.17) mit dem Energie-Impuls-Tensor (21.19) vergleichen. Wir bekommen zwei unabhängigeGleichungen für die drei FunktionenÊ2)5,782)5und¼2)5, nämlichX XWenn wir die erste Gleichung ableiten und in die zweite einsetzen, können wir diese ein wenigvereinfachen und insbesondere die zweite Ableitung eliminieren. Es ergibt sich dannÊ&j j Ê \ Ê& LŸÅlässt, wobeiy die in einem mitbewegten Raumelement enthaltene Energie, und ¢ dasVolumen dieses Raumelementes ist. Die Kontinuitätsgleichung beschreibt also die durch das Ausdehnenj ybzw. Schrumpfen des Raumes an der Materie geleistete mechanische Arbeit.\ ¼schreibenWir haben also zwei Bewegungsgleichungen für drei FunktionÊ2)5,782)5und¼2)5. Ohne eine zusätzlicheAnnahme über die Struktur der Materie kommen wir nicht weiter. Wir brauchen noch eine Zustandsgleichung,die eine Beziehung zwischen¼ und7 herstellt.Wir schon erwähnt, können wir im heutigen Stadium des Universums davon ausgehen, dass sich dieeinzelnen Galaxien relativ zueinander, oder relativ zum lokalen Ruhesystem der Materie, nur sehr langsam,also mit nichtrelativistischen Geschwindigkeiten bewegen. Daher verschwindet der Druck. Das stimmt mit419

\º(21.23)7§ÞàßYá ÊTL2Z5¼`2Z5@2]V ^ 2Z5¥5 X '[ZÌ2Z5¼L2Z5¼`2Z5@2]V ^ 2Z5_5(21.24)der üblichen Definition von nichtrelativistischer Materie überein, bei der wir die räumlichen Komponentendes Energie-Impuls-Tensors gegenüber der Zeitkomponente vernachlässigen können.Betrachten wir also zunächst den Fall, dass das Universum nur aus nichtrelativistischer Materie besteht.die Kontinuitätsgleichung (21.22)lautet< ÊFür¼ 7 \ Ê B 7 wobei7§ÞàßYá eine Konstante ist. Der Index “â g ” steht im folgenden für nichtrelativistische Materie.Dass sich die Energiedichte von gewöhnlicher, nichtrelativistischer Materie genau so verhält, ist eigentlichunmittelbar klar. Die Energiemenge in einem Raumelement ist konstant, denn wegen des verschwindendenDruckes wird keine Arbeit geleistet, wenn sich das Raumelement ausdehnt oder zusammenzieht.Die Energiedichte verhält sich wie das inverse Volumen des Raumelementes, also wieÊ!.Die Kontinuitätsgleichungbesagt einfach, dass sich durch die Skalierung des Raumes die Gesamtenergie einerj 7bestimmten Ansammlung von Galaxien nicht ändert.Um ein möglichst allgemeines Modell des Universums zu bekommen, wollen wir neben der nichtrelativistischenMaterie auch noch eine zweite Form von Materie mit einbeziehen, nämlich extrem relativistischeMaterie. Die Teilchen dieser Materie bewegen sich relativ zum lokalen Ruhesystem exakt odernäherungsweise mit Lichtgeschwindigkeit. Es handelt sich im wesentlichen um Photonen, also elektromagnetischeWellen, oder um andere masselose oder sehr leichte Elementarteilchen. Zwar machen dieseTeilchen heute nur einen kleinen Teil der Energiedichte im Universum aus. Aber erstens könnte das zufrüheren Zeiten anders gewesen sein, und zweitens könnte es noch unbekannte solche Teilchen geben, diewir noch gar nicht wahrgenommen haben. Letzteres gilt natürlich auch für die nichtrelativistische Materie.Extrem relativistische Teilchen können wir im weitesten Sinne auch als Strahlung bezeichnen. Wie siehtder Energiedichte7 Zusammenhang zwischen Druck¼ und dem dann aus? Mit anderen Worten, wie siehtder Energie-Impuls-Tensor einer idealen Flüssigkeit aus, die nur aus Photonen oder anderen masselosenTeilchen besteht? Gibt es so etwas überhaupt?Ein typisches Beispiel für eine solche “Flüssigkeit” befindet sich in einem Hohlraum, in dem sich dieStrahlung mit den Wänden im thermischen Gleichgewicht befindet. Im Innern bildet sich dann das typischeSpektrum eines schwarzen Körpers aus. Es fliegen ständig gleich viele Photonen in jede Richtung, so dassder Energie-Impuls-Tensor im Innern des Hohlraumes homogen und isotrop ist, also von der Form (21.19)im Ruhesystem des Hohlraumes. Aber wie groß ist der Druck und die Energiedichte, bzw. wie hängen diebeiden Größen miteinander zusammen?Die Zustandsgleichung lässt leicht aus einer allgemeinen Eigenschaft des Energie-Impuls-Tensors vonmasselosen Teilchen herleiten. Sie gilt universell, das heißt völlig unabhängig vom Spektrum der Strahlung.Der Energie-Impuls-Tensor eines einzelnen Teilchens Weltlinie^auf einer sich wie folgtschreiben,2Z5lässtHier der 4-Impuls des Teilchens, der stets zum proportional.5 X '[Z \ Lg`2WVTangentenvektor\ist¼LÅ

so wählen können, dass zu einer festlegten Zeit)¹\)&die7§ãåß^äÊ|)#eine(21.27)7§ã7ß^äÊ| Beispiel heute, der SkalenfaktorÊ2)G5 ¢7§ãåß^äv Ê&X„ (21.28)Der Druck einer homogenen und isotropen Ansammlung von masselosen Teilchen ist also stets ein Drittelder Energiedichte.Aufgabe 21.14 Man mache sich klar, dass auch eine ideale Flüssigkeit, die aus masselosen Teilchen besteht,in jedem Ereignis ein lokales Ruhesystem besitzt, also ein zeitartiges Strömungsfeld ¬ , obwohl dieeinzelnen Teilchen natürlich kein lokales Ruhesystem besitzen.Falls also die Energiedichte des Universum im wesentlichen aus Strahlungsenergie besteht, oder andersformuliert, wenn sich die einzelnen Teilchen extrem relativistisch verhalten, dann wir¼ müssensetzen. Aus der Kontinuitätsgleichung (21.22) ergibt sich dann7Do7§ã7ß^äÊ|wieder eine Integrationskonstante ist. Der Index “ steht für radiation.wobei7§ã7ß^ä¼/º'”Auch das können wir anschaulich verstehen. Wenn das Universum mit Photonen gefüllt ist, passierenzwei Dinge gleichzeitig, wenn sich der Raum ausdehnt oder zusammenzieht. Einerseits ändert sich dieZahl der Photonen pro Volumen, und zwar wieder mitÊ!, denn die Anzahl der Photonen bleibt gleich,während sich das Volumen ändert. Zusätzlich erfahren die Photonen aber eine Rot- bzw. Blauverschiebung.Die Energie eines einzelnen Photons verhält sich wieÊ!$#, das heißt das Photon erfährt eine Rotverschiebung,wenn sich der Raum ausdehnt, und eine Blauverschiebung, wenn er sich zusammenzieht. Beideszusammen bewirkt, dass sich die wieÊ!| Energiedichte verhält.Ê j ; 7 \ Ê B 7 7(21.26) ¼M y #Aufgabe 21.15 Ein frei fallendes Hyperfläche) Photon Energie¼M habe auf derund auf Hyperfläche) einer Energie¼Manderen jeweils gemessen von einem Beobachterim lokalen Ruhesystem der Materie. Man leite aus der Lagrange-Funktion (16.1) für ein masselosesTeilchen in der Metrik (21.15) die Bewegungsgleichungen her, um zu zeigen, ¼M #Dy dassygilt. Anschaulich können wir uns diese Rot- bzw. Blauverschiebung so vorstellen, dass elektromagnetischeWellen mit der genau der Rate auseinander gezogen werden, mit der sich der Raum ausdehnt. DieWellenlänge verhält sich also wie der Skalenfaktor, und somit die Frequenz wie der inverse Skalenfaktor. Ê2)&5DÊ2)#5Im allgemeinen befindet sich im Universum sowohl gewöhnliche Materie als auch Strahlung. Wenn wirvernachlässigen, dass diese beiden Komponenten auch miteinander wechselwirken, dass also ständig&Strahlung von der Materie emittiert und absorbiert wird, dann können wir folgenden Ansatz für die Dichteund den Druck machen, der sich einfach aus der Summe der beiden Anteile ergibt,y&,7§ÞàßYáj Êist. sind7æÞàßYá und7§ã7ß^ä Dann die Energiedichten der Materie und der Strahlung Zeitpunkt) zumheute. Diese Konvention wollen wir im folgenden stets verwenden.Es bleibt dann nur noch die erste Gleichung in (21.21) zu lösen. Ein wenig umgeschrieben lautet sie)G, alsoDie¼ Größen7§ÞàßYá und7æãåß^ä sind Konstanten. Aus Aufgabe 21.11 wissen wir, dass wir denSkalenfaktorÊ2)57)G, zumDies ist die gesuchte Bewegungsgleichung für den SkalenfaktorÊ2)5, die sogenannte Friedmann-Gleichung. Aus ihr können wir die zeitliche Entwicklung des Universums ableiten. Sie hat offenbar die\ Ê& ;= Ê jForm eine Energiegleichung für ein klassisches Teilchen in einem effektiven Potential. Wenn wir sie noch„einmal nach)ableiten durch\ und teilen,Êergibt sichu7§ÞàßYá{u7§ÞàßYá;= Ê j ¢W¸·U2Ê"57§ã7ß^äv Ê&(21.29)Ê *¢¸·2Ê"5 mit421

62)5 êçGmüssençMilchstraßeandere GalaxieÈÊÉ'ËÈÊÉ'Ë$Ê'·Ê(a) (b) (c)è »¤Àlè × ÀÊÄÚãÎé áAbbildung 21.2: Das effektive Potential der Friedmann-Gleichung für eine verschwindende, ein negativeund eine positive kosmologische Konstante.£Wir können zu einem beliebigen Zeitpunkt)GalsÊ2)G5vorgeben, also die absoluteGröße des Raumes und die Rate, mit der der Raum gerade expandiert. Legen wir, wie bereitsAnfangswertÊ2)G5und\vereinbart,fest, so genügt Ausdehnungsrate\die Angabe der G.Die Größe Gwird als Hubble-Konstante bezeichnet. Sie hat folgende Bedeutung. Betrachten wir eineZ"¨Galaxie mit einer. Da sich die Galaxie auf einer Weltlinie const bewegt, ist dieseÊ2)G5 Ê2)G5Koordinate zeitlich konstant. Der metrische Abstand " zu der Galaxie ist jedoch von der Zeit abhängig. Esx,Koordinate§ist die Länge einer raumartigen Geodätevom Koordinatenursprung den wir in die Milchstraßelegen, zu4der Galaxiebei§bei§,©¨Ê2)5Hier haben wir verwendet, dass Linienelement' das räumliche î, wenn wir den Skalenfaktor abspalten,von der Zeit unabhängig ist. Folglich ist Geschwindigkeit\die der sich die andere Galaxie heutevon uns entfernt oder auf uns zu kommt, proportional zu deren Abstand 82)G5, und die Proportionalitätskonstanteist G.In einem expandierenden Universum würden wir also beobachten, dass sich sämtliche Galaxien von unsentfernen, und zwar mit einer Geschwindigkeit, die proportional zu deren Abstand ist. Das ergibt sich ausŒ"der Tatsache, dass sich der Raum gleichmäßig ausdehnt.' Œ î B \ 62)5 \ Ê2)582)5 B \ 82)G5[2)G5, mitXGXG 'Sî Ê2)5 ê*"Ģ82)G5(21.30)Lösungen der Friedmann-GleichungWir wollen zuerst die Lösungen der Friedmann-GleichungAnfangsbedingungenÊ2)G5ganz allgemeinund\"diskutieren. Zusätzlich zu denwir noch die Dichte der nichtrelativistischenund Strahlungsdichte75ãåß^ä die Zeitpunkt) zum vorgeben. Dann können Materie7§ÞàßYá wir die Bewegungsgleichung(21.29) integrieren und so die weitere Entwicklung des Universums vorhersagen bzw.seine vergangene Entwicklung rekonstruieren. Zusätzlich liefert die Gleichung (21.28) den Wert für , dasXheißt wir können daraus ableiten, ob das Universum positiv gekrümmt, flach, oder negativ gekrümmt ist.Um einen qualitativen Überblick über die Lösungen zu erhalten, ist in Abbildung 21.2(a) das effektivePotential (21.29) dargestellt. Die anderen beiden Potentiale sind Verallgemeinerungen, die wie später Ê2)G5 )Gdiskutieren kleineÊwiewerden. Das Potential verhält sich fürÊ!&, fürÊ!$#. Für das qualitativeVerhalten der FunktionÊ2)5macht es daher kaum einen Unterschied, wieviel EnergiegroßeÊwiein Form vonMaterie und wieviel in Form von Strahlung vorliegt.422

)Gbestimmt.GX G&Es gibt offenbar drei verschiedene Typen von Bahnen, die ein klassisches Teilchen in diesem Potentialbeschrieben kann. nachÊDas Teilchen kann, aus demvonÊUnendlichen kommend, bis “abfallen”, oderumgekehrt “aufsteigen” und im Unendlichen verschwinden. Oder es kann aufsteigen, an einerStelle mit umkehren, und dann wieder abfallen. Es gibt jedoch keine Bahn, auf derdasTeilchennicht irgendwann startet oder endet, und folglich auchkeine beiÊBahn,maximalemÊauf derÊ2)5konstantist.Welcher dieser

ç,# G2ç÷Ê)âMilchstraßeandere Galaxie»¤ÀÔÖÕ À X Ôö6/ë 6ì(a) (b) (c)6 Ž6 Ž6/ë)!Abbildung 21.3: Die typischen Lösungen der Friedmann-Gleichung (21.29). Als Anfangsbedingung istjeweils ëÓÕÔGÚÕ)GÕeinem ZeitpunktÔ Õ Ô! ëÓÕÔGÚund ìvorgegeben. Alle Raumzeiten beginnen mit einer Singularität zu÷der Vergangenheit. Für ÄÚãåé á ist í , das heißt der Raum ist positivgekrümmt (a). In diesem Fall endet die Raumzeit an einer zweiten Singularität beiÔÕ Ôâin der Zukunft. , das heißt der Raum ist flach bzw. negativ gekrümmt (b,c). Die Expansion geht—GFür —Øîô— ÄÚãÎé á ist íÄîdann für immer weiter.in—Die Gesamtenergie das klassischen Teilchens im effektiven Potential ist dann negativ. Folglich wird dasTeilchen irgendwo umkehren. Der SkalenfaktorÊ2)5wird ein Maximum erreichen. Danach wird das Universumwieder schrumpfen, um schließlich an einer anderen bei) Singularität zu enden. Ein räumlichgeschlossenes Universum mit positiver Krümmung ist demnach auch zeitlich geschlossen. Es lebt nur eineendliche Zeitspannebis)â.von)!Aufgabe 21.17 Der Einfachheit nehmen wir an, dass die Energiedichte während der ganzen Lebenszeitdes Universums von der nichtrelativistischen also7Hãåß^ä Materie dominiert wird, gesetzt werden kann.Man zeige, dass für Friedmann-Gleichung wie folgt durch eine implizite Darstellung der FunktionÊ2)5gelöstwird, X £) Ê } 2]¨ Þ¥ßáà ¨5 (21.34)¡mitwobei Konstanten sindund¨ eine Hilfsvariable ist, die vonbis„=läuft. Man bestimme ¡undãgäHÞ¨5 ¡7§ÞàßYá )! und}Universums. Man zeige, dass die Geometrie der Raumzeit, also die gesamte Entwicklung des Universumsvom Anfang bis zum Ende, nur durch einen einzigen Parameter bestimmt wird, und zwar durch die gesamteund}im Universumaus7²Genthaltene Energiey .und "G,sowie die Lebensdauer)âdas maximale Volumen ¢·ÞàßYï desdas heißt der Raum ist flach. In, Falls die Energiedichte7²Ggleich Dichte7èÄÚãåé á der kritischen ist, giltdiesem Fall ergibt sich die in Abbildung 21.3(b) dargestellte Zeitentwicklung des Skalenfaktors. Das Uni-Ê!$#,Xversum dehnt sich immer weiter aus. Für großeÊergibt sich aus der Energie-Gleichung (21.28)\die)&Ý.4Das Universum expandiert also immer weiter, allerdings nimmt die Expansionsgeschwin-Ê&4digkeit ab.alsoÊAufgabe 21.18 Wenn wir auch hier wieder7%ÞàßYálässt sich die Friedmann-Gleichung sogar exakt lösen. Man berechne in diesem Fall das Alter des Universums als Funktionund G." von7G Schließlich bleibt noch der Fall, dass die Energiedichte7SGkleiner ist als Dichte7èÄÚãÎé á die kritische . In diesemFall ist das heißt der Raum ist negativ gekrümmt. Das klassische Teilchen im effektiven Potentialvon Abbildung 21.2 hat in diesem Fall genug Energie, um sich auch im Unendlichen noch mit einerkonstanten Geschwindigkeit zu bewegen. Für X giltöalsoÊ 4 ).Das Universumexpandiert linear, mit einer asymptotisch konstanten Geschwindigkeit.jetzt\großeÊ7G und7æãåß^äsetzen,Ê& r const,424

Aufgabe 21.19 Auch in diesem Fall lässt sich die Friedmann-Gleichung implizit lösen, wir7æÞàßYá wenn• Man verfahre wie in Aufgabe 21.17, ersetze jedoch die FunktionenÞ_ßÕà undãgäHÞ)Gabhängt,ö.7G und7æãåß^äDas unterschiedliche Verhalten in der Zukunft, das Energiedichte7G offenbar von der und der AusdehnungsrateGzum lässt sich auch anschaulich sehr gut erklären.Zeitpunkt) "Zwischen den Galaxien wirkt die Gravitation, wenn wir das klassische Bild verwenden, als Anziehungskraft.Diese Anziehungskraft bremst die Expansion. Je mehr Materie sich im Universum befindet, destostärker ist die Bremswirkung. Es ist sogar möglich, dass die Gravitation die Expansion ganz abbremstund in eine Kontraktion umkehrt. Das gelingt aber nur, wenn sich genug Materie im Universum befindet,also dann, wenn die Energiedichte7"G größer ist als eine kritische Dichte7èÄÚãåé á , die wiederum von dermomentanen Expansionsrate " Gabhängt.setzten.durchÞ_ßÕàâ undãgäHÞ¥â.Aufgabe 21.20 Man diskutiere die Lösungen den Friedmann-Gleichung, die sich Zeitumkehr) aus der)ergeben,Ê2)G5 Gkö ˜oder, was damit gleichbedeutend ist, mit\aus einer Anfangsbedingung.I, Aufgabe 21.21 Fall7"G Man diskutiere den also ein Universum, das gar keine Materie enthält. Manunterscheide die Fälle und Man zeige, dass in beiden Fällen die Raumzeit ein flacherMinkowski-Raum ist. Für die Robertson-Walker-Metrik XXallerdings nur eine Teilmenge davonmöglich?ö Xxab. Welche Teilmenge ist das? Warum ist X £Z"Die kosmologische KonstanteOffenbar folgt aus der Einstein-Gleichung und der Annahme eines auf einer hinreichend großen Skalahomogenen und isotropen Raumes, dass das Universum nicht statisch sein kann. Es gibt keine Lösungder Friedmann-Gleichung, für die der SkalenfaktorÊ2)5zeitlich konstant ist. Darüber hinaus gibt es nochnicht einmal eine Lösung, die für beliebige Zeiten existiert. Es gibt immer entweder einen Anfang oderein Ende des Universums, oder beides.Als das Modell entwickelt wurde, also unmittelbar nach der Veröffentlichung der allgemeinen Relativitätstheorieund somit noch mehr als zehn Jahre vor Hubble’s Entdeckung, widersprach jedoch die Vorstellungeines Universums, das sich mit der Zeit verändert oder sogar nur eine endliche Zeit existiert, derbis dahin üblichen Annahmen eines statischen, schon immer und für immer existierenden Weltalls. Zwarwar diese Annahme nicht wirklich auf exakte Beobachtungen gestützt und zum Teil sogar rein philosophischerNatur, aber trotzdem zog sogar Einstein selbst aus diesem Ergebnis den Schluss, dass mit seinerTheorie etwas noch nicht ganz stimmen konnte.Gab es vielleicht eine Möglichkeit, die Einstein-Gleichung so zu modifizieren, dass sich auf kleinenSkalen nichts wesentliches ändert, die Dynamik des Sonnensystems also die gleiche bleibt, dass sich aberauf großen Skalen eine Änderung ergibt, so dass ein statisches, immer währendes Universum möglichwird? Anschaulich formuliert müsste eine solche Modifikation eine abstoßende Wirkung der Gravitationbei sehr großen Abständen bewirken, so dass die negative Beschleunigung, die der SkalenfaktorÊ2)5durchdie Anziehungskraft der Galaxien erfährt, irgendwie ausgeglichen wird.Erinnern wir uns kurz, wie wir die Einstein-Gleichung hergeleitet haben. Wir haben einen Tensor gesucht,der Metrik‚Nwvaus der und ihren ersten und zweiten Ableitungen gebildet wird, und dertinuitätsgleichung>L¨ÈLg`die Kon-erfüllt, damit wir ihn mit Energie-Impuls-TensorÅdem als Quelle desGravitationsfeldes gleichsetzen können. Außerdem sollte der in einer flachen Raumzeit verschwinden,so dass der Minkowski-Raum eine Lösung der Einstein-Gleichung ohne Materie ist. Dann musstenwir nur noch eine Proportionalitätskonstante so bestimmen, dass sich im klassischen Grenzfall die NewtonscheGravitationstheorie ergab.Was ist, wenn wir die letzte Bedingung fallen lassen, also nicht mehr verlangen, dass die Raumzeit•in Abwesenheit von Materie flach ist? Vielleicht hat eine leere Raumzeit eine sehr schwache, aufLa`kleinendecktnicht425

ç\¹ç÷¨ Lg`(j¤l ‚La`

XççÊÄÚãåéX Ôç)âMilchstraßeandere GalaxieÔ »ÔÖÕyÔÔØ×yÔÆÚðåñ òÆÚðåñ ò(a) (b) (c)6 Ž6 ŽÆÚðåñ ò6/ë6/ëŽ 6/ë 6ì6Abbildung 21.5: ...Die typischen Lösungen fürÊ2)5sind in Abbildung 21.4 dargestellt. Unabhängig vom Vorzeichen vonhat das Universum bei) jetzt stets einen Anfang und bei) ein Ende . Sowohl ein räumlichoffenes, negativ gekrümmtes Universum als auch ein räumlich geschlossenes, positiv gekrümmtes Universumbeginnt und endet in einer Singularität. Den Wert von können wir wieder aus der Materiedichteund)!der Hubble-Konstante X berechnen, allerdings " hängt das Ergebnis jetzt auch vonder kosmologischen Konstante ab,7§ã7ß^ä G ¦o= 7G7§ÞàßYájƒ"G&j¤l(21.39)Es sind also auch hier Energiedichte7"G die und die Expansionsrate G, die darüber entscheiden, ob derRaum positiv oder negativ gekrümmt ist, aber die kosmologische Konstante bewirkt gewissermaßen einezusätzliche Krümmung des Raumes. Eine negative kosmologische Konstante wird sich auf die Krümmung"des Raumes genauso aus wie eine kleinere Energiedichte.Der interessantere Fall ist jedoch der einer positiven kosmologischen Konstante. Das effektive7GPotentialnimmt dann den in Abbildung 21.2(c) dargestellten Verlauf. Es kleineÊsteigt für wie gewohnt an,erreicht dann aber ein Maximum und großeÊfällt für wieder mitÊ&ab. Es gibt jetzt viele neue Typen vonLösungen, darunter auch die gesuchte statische Lösung.Natürlich können wir auch hier wieder den SkalenfaktorÊ2)5mit einer beliebigen Konstante multiplizieren.Wir können also jede statische Lösung so reskalieren,ist. Es ergibt sich dann aus (21.38)und dass der Wert des Potentials andieser Stelle ist. Beides zusammen führt auf die BedingungendassÊ2)5geradeyX[D„die Bedingung, dass das Maximum des Potentials beiÊÄÚãåé áliegt,Ein statisches Universum liegt also genau dann vor, wenn die kosmologische Konstante eine kritischenWert hat, der sich aus der Energiedichte der nichtrelativistischen Materie und der Strahlung ergibt. DerRaum ist dann positiv gekrümmt, das heißt es liegt ein räumlich geschlossenes Universum vor.Allerdings ist diese Lösung der Friedmann-Gleichung nur eine sehr unbefriedigende Antwort auf EinsteinsFrage, ob es möglich ist, durch eine Modifikation der seiner Feldgleichungen ein statisches Universumzu beschreiben. Die Lösung ist nämlich instabil. Das ist unmittelbar aus dem Verlauf des effektiven ;= 2·7§ÞàßYáj lPotentials erkennbar, das an der StelleÊ „¾7§ãåß^ä5X 2 ;=;7§ÞàßYáj7§ã7ß^ä5(21.40)á ein Maximum hat. Die Bedingungen (21.40) müssen alsoexakt erfüllt sein, damit das Universum tatsächlich statisch ist. Das kann aber in der Realität nicht derFall sein, schon weil die Annahme der Homogenität des Raumes darauf beruht, dass wir kleinen Dichteschwankungenvernachlässigen können.In Abbildung 21.5 sind drei typische Lösungen fürlder Friedmann-Gleichung dargestellt, diein der “Nähe” der statischen Lösung liegen. In allen drei Fällen ist als Anfangsbedingung wie immer £427

ç6 ŽGXçÔçMilchstraßeandere GalaxieÔ »ÔØ×yÔÔØÕyÔ(a) (b) (c)6 Ž6 ŽÆÚðåñ òÆÚðåñ òÆÚðåñ ò6ìAbbildung 21.6: ...sowie die Materiedichte7"G und natürlich die kosmologischeund\"vorgegeben,Konstantel. Es gibt dann einen kritischen Wert für , der sich aus der BedingungX £ Ê2)5 Ê2)G5bestimmt. Wenn statischen Lösung, das heißtdas Universum expandiert noch ein wenig und friert dann quasi ein. Diese Lösung ist in Abbildung 21.5(b)dargestellt.XÄÚãåé ¢W¸·92ÊÄÚãåé ᢠá5¸·2ÊÄÚãÎé á5 {Xist, nähert sich die FunktionÊ2)5für) ÄãÎé áLiegt der aus (21.39) ermittelte Wert von jedoch nur ein klein wenig neben dem kritischen Wert X ÄÚãÎé á ,XX á , so ist die Energie desÄãÎé £derdann bricht dieåin die eine oder andere Richtung aus. Ist Xklassischen Teilchens kleiner als die Potentialbarriere. Es fällt zurück, das heißt das Universum kontrahiertFunktionÊ2)5wieder und endet in einer Singularität genau wie es begonnen hat. Diese Lösung ist in Abbildung 21.5(a)dargestellt.Für X öIn diesem Fall expandiert das Universum wieder bis in alle Ewigkeit, wobei der SkalenfaktorÊ2)5nunsogar exponentiell mit der Zeit)zunimmt. Hier wird deutlich, dass eine positive kosmologische Konstanteeffektiv eine Art abstoßende Gravitationskraft auf großen Skalen bewirkt. Ist die anziehende Wirkung derGalaxien bei kleinen Entfernungen erst einmal überwunden, wir die Expansion durch die Abstoßung sogarnoch beschleunigt.XÄãÎé á überwindet das Teilchen die Potentialbarriere und fällt dann auf der anderen Seite hinunter.(21.41)dasAufgabe 21.22 Man fürTzeige, dass Universum exponentiell expandiert, wenn es erst einmal die=GCHE2Ê2)5_5.Potentialbarriere überwunden hat und die Abstoßung einsetzt, das heißt großeÊfür giltÊ2)5 £Aufgabe 21.23 Sind die Universen, die in Abbildung 21.5 dargestellt sind, räumlich offen oder geschlossen?In Abbildung 21.6 sind schließlich noch ein paar exotische Lösungen der Friedmann-Gleichung mit positiverkosmologischer Konstante dargestellt. Sie ergeben sich, wenn wir als Anfangsbedingung ein kontrahierendesund\Universum vorgeben, Einige davon kommen offenbar ganzohne Singularitäten aus, entsprechen aber ganz gar nicht den Beobachtungen, die wir im nächsten*"Abschnitt diskutieren werden. Sie sind deshalb nur der Vollständigkeit halber angegeben.Gmö alsoÊ2)G54Ê2)G5.Aufgabe 21.24 Man zeige, dass auch im Falle einer nicht verschwindenden kosmologischen Konstantestets eine Singularität am Anfang oder am Ende des Universums vorliegt, wenn dieses räumlich offen ist.428

º¸ù 6 Ž÷ötø·úº•ù 6 ŽGúó »õô 6 » 6 Ž\6 » 6 Ž÷ötøûó »yôMilchstraßeandere Galaxieó »¤Àó »¤À»üý”ô ê(a)(b)Abbildung 21.7: ...Die Hubble-KonstanteNachdem wir nun ausführlich die verschiedenen Lösungen der Friedmann-Gleichung diskutiert haben,stellt sich die Frage, welche dieser Lösungen denn nun diejenige ist, die tatsächlich verwirklicht ist.Können wir durch geeignete Beobachtungen die Werte der verschiedenen Parameter ermitteln, von denendie Lösungen abhängen?Das ist ein sehr weites Feld, und viele Fragen sind bis heute offen. Es ist zum Beispiel noch immerungeklärt, ob wir in einem räumlich offenen oder in einem geschlossenen Universum leben, ob die kosmologischeKonstante verschwindet oder nicht, und viele Rätsel, die mit dem Anfang des Universumszusammenhängen, sind auch noch immer ungelöst. Darauf werden wir am Schluss dieses Kapitels nochetwas näher eingehen.Wir wollen zunächst an einem Beispiel deutlich machen, mit welchen prinzipiellen SchwierigkeitenAstronomen konfrontiert sind, wenn es darum geht, kosmologisch relevante Messungen zu machen. AlsBeispiel soll die Messung der Hubble-Konstante Gdienen, die die Geburtsstunde der modernen Kosmologiemarkiert. 1 Damit verbunden war nämlich die Entdeckung, dass sich das Weltall überhaupt mit derZeit verändert, dass also Einsteins Vorschlag, eine kosmologische Konstante einzuführen, um ein statischesWeltall zu ermöglichen, völlig unnötig war."Die physikalische Bedeutung der Hubble-Konstante hatten wir bereits kurz angesprochen. Es ist dieheutige Ausdehnungsrate des Universums, also das Verhältnis aus Geschwindigkeit\der 82)G5, mit der sicheine Galaxie von uns entfernt, und ihrem metrischen Abstand 62)G5,(21.42)Wir müssen also “nur” die Abstände und die Geschwindigkeiten genügend vieler Galaxien hinreichendgenau messen, dann können wir den Wert von Germitteln.Das ist allerdings leichter gesagt als getan. Es gibt nämlich ein Problem. Wir können weder den heutigenAbstand einer Galaxie direkt messen, noch deren Geschwindigkeit. Der Grund dafür ist, dass wirĢ82)G5 "nur einen ganz kleinen Ausschnitt aus dem Universum überhaupt wahrnehmen können. Im kosmischenMaßstab beschränkt sich unser irdisches Dasein im wesentlichen auf ein einziges Ereignis in der Raumzeit.Das einzige, was wir im wahrsten Sinne des Wortes sehen können, ist der Rückwärtslichtkegel diesesEreignisses und eine im kosmischen Maßstab infinitesimale Umgebung desselben.In Abbildung 21.7(a) ist ein Raum-Zeit-Diagramm dargestellt, wobei als Koordinaten die Zeit)undKoordinate§dieradiale aus der Robertson-Walker-Metrik (21.15) aufgetragen sind. Die Galaxien bewegen*"[2)G51 E.P. Hubble: “A relation between distance and radial velocity among extragalactic nebulae”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S. 15(1929) 169.429

› j › Tß^þÿIntegrieren wir beide Seiten, wobei)von)G"&ª&j2·ª&5 óúÚÞ"Gund§von ¨ ')&j Ê2)5& ñßX §& '§& < B ') 'Sî&Ê2)G ª5(21.43)sich in diesem Bild auf senkrechten Weltlinien. Der Ursprung befindet sich in der Milchstraße und sollunser Beobachtungsort sein. Alle unsere Beobachtungen finden an einem einzigen bei§Ereignis und

Zusammenhang zwischenª und ¨)GsindXÊ2)5 ê›3)GinG¨&jŒ2¨&5G$ª&j€)Gund§,M2·ª5(21.46)eine Reihe entwickelt, so dass das Ergebnis korrektbis auf Terme der Ordnungªist. Die Raumkrümmung macht sich in dieser Ordnung offenbar noch nichtbemerkbar, denn der zusätzliche Term unter dem§-Integral ist, wenn wir die Wurzel entwickeln, von derOrdnung§&, so dass das Integral von der Ordnung ¨bzw.ª&ist.')Auch hier haben wirÊ2)5wieder an der Stelle) M!Â"ñƒX B ¨… ª j „ §& ƒXG '§Die Beziehung (21.46) können wir leicht invertieren, wenn wir auch hier wieder Terme der Ordnungbzw.)Êqvernachlässigen,¨(21.47)Wenn wir das in Abbildung 21.44 einsetzen, ergibt sich eine Beziehung zwischen Rotverschiebung›derund dem Koordinatenabstand einer Galaxie,¨" „ ž¨È ªG¨ *"j" „ j JG&¨&jŒ2¨&5Sind wir jetzt am Ziel? Können wir diese Relation durch Messungen bestätigen? Noch nicht ganz, denn wiesollen wir den Koordinatenabstand zu einer Galaxie ermitteln? Welchen Unterschied macht es überhaupt,ob wir den Koordinatenabstand oder die Zeitª, die das Licht benötigt, um zu uns zu kommen, alsReferenzvariable ¨verwenden?Es macht einen Unterschied, denn den Koordinatenabstand können wir unter gewissen ¨Umständenmessen. Der Grund dafür ist, ¨dass die in einer speziellen Art und Weise gewählt wurde.Sie repräsentiert den Oberflächenradius einer Kugelschale, und zwar zum heutigen )G. MitZeitpunkt)Koordinate§(21.48)anderen Worten, die Oberfläche einer Kugelschale Koordinaten) mit den ist;=¨&. DieseOberfläche können wir wie folgt messen.Y¨Nehmen wir an, wir kennen die gesamte Strahlungsleistung eines Sterns. Wenn wir uns dann in einergewissen Entfernung von diesem Stern befinden, können wir die bei uns ankommende Leistung pro Fläche,also die Strahlungsdichte messen. Diese ergibt sich in einer flachen Raumzeit aus der Strahlungsleistunggeteilt durch die Oberfläche der Kugelschale, in deren Mittelpunkt sich der Stern befindet, und aufderenOberfläche wir uns befinden.Nun übertragen wir diese Situation auf ein sich ausdehnendes Universum. Diesmal wählen wir dieinKoordinaten ein wenig anders. Wir legen den räumlichen die ferne Galaxie,so dass Stelle§wir uns an der befinden. Außerdem betrachten nicht unserenKoordinatenursprung§Rückwärtslichtkegelzum )G, sondern den Vorwärtslichtkegel derfGalaxie zu ª, der inw¨Abbildung 21.7(b) dargestellt ist. )G Zeitpunkt) Zeitpunkt)der Milch-Aufgabe 21.25 Warum ist nach dieser Koordinatentransformation die radiale Koordinatestraße dieselbe wie vorher die radiale Koordinate der anderen Galaxie?¨¨Der Stern habe Zeit) zuremittiere in einem Zeitintervall@)ÚÞ eine Anzahl@þ Photonen mit der FrequenzóûÚÞ . Es gilt dannStrahlungsleistung 3 Þ . Der Einfachheit halber nehmen wir an, er)G ª eineÞ(21.49)óòÚÞ')ÚÞ @þ úZeit) Zur diese Photonen gleichmäßig (wegen der Isotropie des Raumes) über eine Kugelschaleverteilt. Diese hat die Oberfläche;=¨&. Zusätzlich haben die Photonen eine Rotverschiebung(21.48) erfahren. Wenn wir die Photonen jetzt messen, haben sie eine ›5.m¨jFrequenzó3ß^þÿóúÚÞD2bei§431

3)Gund§Außerdem wurden nicht nur die Frequenzen der einzelnen Photonen rotverschoben. Es wurde auch derzeitliche Abstand zwischen den Photonen um den gleichen Faktor gestreckt. Wenn die Photonen in einememittiert wurden, so werden sie Zeitintervall@)ß^þÿ Zeitintervall@)ÚÞ jetzt in einem ›5auf derKugelschale Anzahl@þ auftreffen. Die der Photonen ist jedoch die gleiche wie vorher.Wenn wir alle Photonen aufY@)ÚÞ÷2der Kugelschale auffangen würden, ergäbe sich darausdie Leistungž¨ jbei)óòÞ óß^þ[ÿ@þ')ß^þÿ ú @þß^þ[ÿDa sich diese Leistung über eine Fläche;=¨&verteilt, ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischender Strahlungsleistung ÚÞ des Sterns, der gemessenen Strahlungsdichte ¡ ß^þÿ , und dem Oberflächenradiusder Kugelschale , ¨ú 3ÚÞ3(21.50) ›5&8')ÚÞ j ›5& 2 2 j3›5¨û ­ j 2 ¡Þ;=”¡ß^þ[ÿ(21.51)Die Größe ¡ wird auch Leuchtkraft-Entfernung genannt. Es ist die Entfernung, die ein gleichartiges Objekt,also ein Stern mit der gleichen Strahlungsleistung, in einer flachen Raumzeit haben müsste, damit er unsgenauso hell erscheinen würde.Aufgabe 21.26 Warum stimmt die Formel (21.51) auch dann, wenn der Stern, wie es natürlich in derRealität auf der Fall ist, ein ganzes Spektrum von Photonen emittiert und nicht nur eine einzige Frequenz?Wir können also aus der Strahlungsleistung des Sterns, der gemessenen Strahlungsdichte und der Rotverschiebungseine radiale Koordinate bestimmen. Man beachte aber, das dies nicht der metrische Abstanddes Sterns ist, sondern der Oberflächenradius der Kugelschale, auf der sich der Stern heute befindet. DieStrahlungsdichte, oder der Energiestrom einer sich kugelsymmetrischen ausbreitenden Welle fällt nämlich¨in einem gekrümmten Raum nicht mit dem Quadrat des metrischen Abstand ab, sondern mit der Oberflächeder Kugelschalen.Die Rotverschiebung und die Strahlungsdichte können wir direkt messen. Es bleibt nur noch das Problem,die Strahlungsleistung ÚÞ des jeweiligen Objektes zu ermitteln. Das ist das größte Problem beider kosmologischen Entfernungsbestimmung. Die Leuchtkraft-Entfernung eines Objektes können wir nurdann bestimmen, wenn wir die Natur dieses Objektes kennen und so auf dessen Leistung schließen können.3Wir wollen auf die Methoden, die man dabei verwendet, hier nicht im Detail eingehen. Das Prinzip ist,zunächst in unserer Milchstraße, wo wir Entfernungen relativ leicht messen können, nach ganz speziellenSternen oder Gruppen von Sternen zu suchen, die besondere Eigenschaften haben, zum Beispiel periodischeschwankende Strahlungsleistungen oder etwas ähnliches. Meist besteht dann ein Zusammenhangzwischen solchen leicht wiedererkennbaren Eigenschaften und der mittleren Strahlungsleistung. Wennman solche Objekte in fernen Galaxien auch findet, kann man auf diese Weise etwas über deren Strahlungsleistungsagen.Nehmen wir also an, wir würden von genügend vielen und genügend weit entfernten Objekten dieLeuchtkraft-Entfernung und die Rotverschiebung› messen. Dann sollte zwischen den beiden ein Zusammenhangbestehen, der sich aus (21.51) und (21.48) ergibt. Wenn wir das ineinander einsetzen, bekommen¡wir(21.52)›*"G¡jDie ist schließlich die gesuchte Formel, die einen direkten Zusammenhang zwischen zwei Messgrößen,der Rotverschiebung und der Leuchtkraft-Entfernung eines Objektes herstellt.Die Rotverschiebung steigt zunächst linear mit der Leuchtkraft-Entfernung an. Trägt man die entsprechendenDaten für genügend viele Galaxien in einem Diagramm auf, lässt sich daraus der Wert von " Gablesen. Bei hinreichend genauer Messung lässt sich sogar die KonstanteJŸG, also die zweite Ableitung des"„ ’ JaGG¡&j€2¡&5 &432

"r"G&[JaGermittelt.zuSkalenfaktors nach der Zeit bestimmen. Im Prinzip, wenn wir die Rechnung exakt durchführen statt nureine Entwicklung in anzugeben, könnten wir aus dem Zusammenhang zwischen Leuchtkraft-Entfernungund Rotverschiebung sogar die gesamte Geschichte des Universums rekonstruieren.¡Allerdings ist die gerade beschriebene Methode der Entfernungsbestimmung von Objekten außerhalbder Milchstraße viel zu ungenau, um aus dieser Beziehung mehr als nur die Konstante ermitteln.Wegen der Unsicherheit, die sich aus der Unkenntnis der genauen Strahlungsleistung 3 " der gemessenenÚÞObjekte ergibt, kennt man heute Gnur bis auf etwa einen Faktor Zwei. Der Messwert beträgtG ";”áu #~µJahre(21.53)" r secr„”á„ëDa das Inverse der Hubble-Konstante eine obere Grenze für das Alter des Universums ist, ergibt sichBdaraus unmittelbar, dass unser Weltall nicht etwa„älter als Milliarden Jahre sein kann.Hubble selbst hatte zunächst einen um den Faktor Zehn zu hohen Wert für Das standnatürlich im Widerspruch zu dem damals schon bekannten Alter des Sonnensystems und der Erde vonmehr als vier Milliarden Jahren. Der Grund für diesen Messfehler war eine falsche “Eichung” der Entfernungsskala,also genau der systematische Fehler, der sich einstellt, wenn die physikalischen Eigenschaften"der betrachteten Objekte nicht genau bekannt sind.Wie sehen also, dass es gar nicht so einfach ist, kosmologische Beobachtungen zu machen, um darausdie Parameter des Friedmann-Universums zu bestimmen. Die Situation ist völlig anders als im Laborversuch,den wir beliebig oft wiederholen können. Sie ist auch völlig anders als im Sonnensystem, wo wirGzwar keine Experimente machen können, aber dafür auf eine Beobachtungszeit zurück greifen können, dieum ein paar Größenordnungen über den typischen Zeitskalen liegt, nämlich auf ein paar hundert oder sogartausend Jahre. In der Kosmologie ist dagegen die zur Verfügung stehende Beobachtungszeit um vieleGrößenordnungen kleiner als die typischen Zeitskala.kmsec Mpc;{””u¦HAufgabe 21.27 Gegeben sei ein Katalog von Galaxien, aus dem wir für jede Galaxie den Koordinatenabstandablesen können, ermittelt aus der Leuchtkraft-Entfernung und der Rotverschiebung›. Wie lässtsich aus diesen Daten die Raumkrümmung bestimmen?¡X¨Er hängt natürlich mit den anderen Parameters zusammen, das die zweite Ableitung des Skalenfaktorsdurch die Friedmann-Gleichung bestimmt ist. Es folgt aus (21.38), dassDas heißt, aus der vonJ Kenntnis Gund den Energiedichten könnten wir später die kosmologische Konstantebestimmen. Aber noch haben wir ja das Problem, überhaupt einen der Parameter durch Beobachtungenzu bestimmen, noch nicht gelöst.Tatsächlich hat Edwin Powell Hubble im Jahre 1929 genau diese Beobachtung gemacht 2 . Er hat festgestellt,dass sich die Galaxien von uns entfernen, und dass die Geschwindigkeiten tatsächlich proportional. Allerdings ist die Messung dieses Phänomens weniger £;= 2]7§ÞàßYáj„¾7§ã7ß^ä5j lzum momentanen Abstand sind. Es ist alsoeinfach als es zunächst erscheint, so dass wir die genauere Diskussion dieser Beobachtung noch ein wenigverschieben, und den Wert von " Gnoch nicht festlegen.Es handelt sich um die Messung der heute als Hubble-Konstante bezeichneten Ausdehnungsrate G."Die entscheidenden Parameter, von denen die Zeitentwicklung des Universums abhängt, sind die Energiedichtender" Gnichtrelativistischen und Strahlung7æãåß^ä der , die aktuelle Materie75ÞàßYá Ausdehnungsrate(21.54)2 E.P. Hubble: “A relation between distance and radial velocity among extragalactic nebulae”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S. 15(1929) 169.433

X G, die Krümmung des Raumes und die kosmologische Konstantel, wenn wir diese mit einbeziehenwollen. Im Prinzip müssten wir alle diese Größen einzeln messen können. Da sie nicht unabhängig*"sind, sondern über die Beziehung (21.39) X zusammenhängen,Ê2)G5 \ergibt sich zusätzliche sogar eine Konsistenzbedingung. Wenn wir alle darin vorkommenden Größen messen,können wir überprüfen, ob das Friedmann-Modell eine realistische Beschreibung unseres Universumsliefert oder nicht. 2]7§ÞàßYáj¦Ÿ=7§ã7ß^ä5‚"G&j¤l (21.55)434