vorlesungen zur relativit ¨atstheorie allgemeine ... - THEP Mainz

¡,7PONzusammen,Auf einen Testkörper Masse¦ der , der sich zur Zeit)am Ort§befindet, wirkt nun eine Gravitationskraftdie proportional zur Masse des Körpers und zum Gradienten des Gravitationspotentials ist,(13.5)Auch dieses Kraftgesetz ist völlig analog zur entsprechenden Gleichung in der Elektrostatik. Wir müssendazu nur die¡Idurch die¦des Testkörpers ersetzen, und das Gravitationspotential durchdas elektrische Potential. Das umgekehrte Vorzeichen in der Quellengleichung (13.3) hat nun eine einfache> 132) §H5LadungJ Masse¦Erklärung. Während sich in der Elektrostatik zwei positive Ladungen abstoßen, ist die Gravitationskraftzwischen zwei positiven Massen anziehend.Es stellt sich nun die Frage, ob es möglich ist, die Newtonsche Theorie relativistisch zu formulieren.Offenbar ist sie in der hier dargestellten Form nicht mit der Relativitätsprinzip verträglich. Betrachten wirnämlich das Kraftgesetz (13.1), so beschreibt dieses eine instantane Fernwirkung. Die Kraft, die auf einemKörper am Ort wirkt, hängt von den Orten§¤aller anderen Körper zur selben Zeit ab.In der Relativitätstheorie ist es aber nicht möglich, Informationen schneller als mit Lichtgeschwindigkeitzu übertragen. Deshalb kann ein Körper an einem bestimmten Ort, bildlich gesprochen, nicht wissen, wosich alle anderen Körper zu dieser Zeit befinden. Das Newtonsche Gravitationsgesetz widerspricht demKausalitätsprinzip der speziellen Relativitätstheorie. Wenn es in dieser Form tatsächlich gelten würde,könnten wir die gravitative Wechselwirkung von Massen benutzen, um Informationen schneller als mit§¢Lichtgeschwindigkeit zu übertragen.Die Einführung des Gravitationspotentials als eigenständiges Objekt ändert daran nichts. Zwar sindsowohl die Quellengleichung (13.3) als auch die Kraftgleichung (13.5) lokal in Raum und Zeit definiert.Es liegt also, zumindest formal, keine Fernwirkung mehr vor. Aber der räumliche Laplace-Operator in derQuellengleichung ist natürlich nicht invariant unter Lorentz-Transformationen, das heißt die NewtonscheTheorie genügt nicht dem Relativitätsprinzip.Aufgabe 13.1 Man zeige durch eine geeignete Regularisierung der Deltafunktion, dass das allgemeineKraftgesetz (13.5) für ein System von Punktteilchen wieder die spezielle Form (13.2) annimmt.Aufgabe 13.2 Wenn die Newtonschen Theorie tatsächlich exakt wäre, wie könnte man eine Kommunikationmit Überlichtgeschwindigkeit zwischen zwei räumlich getrennten Stationen konkret verwirklichen?Eine Newton-Maxwell-Theorie?Um eine relativistische Gravitationstheorie zu formulieren, müssen wir die Newtonsche Theorie in geeigneterWeise modifizieren. Die Ähnlichkeit mit der Elektrostatik legt folgenden Schluss nahe. Die Elektrostatikist eine Näherung der Elektrodynamik. Sie gilt, wenn sich die beteiligten Ladungen relativ zu einemausgezeichneten Inertialsystem nur sehr langsam bewegen. In diesem Grenzfall können wir die magnetischenKräfte vernachlässigen. Es genügt, nur die elektrischen Wechselwirkungen zu betrachten, und auchdie Abstrahlung von elektromagnetischen Wellen kann vernachlässigt werden.Ist die Newtonsche Theorie vielleicht ganz analog eine Näherung einer relativistischen Gravitationstheorie,die immer dann gilt, wenn sich die beteiligten Massen nur sehr langsam bewegen? Tatsächlich bewegensich sowohl die Planeten im Sonnensystem, als auch die typischen Testkörper in irdischen Labors,mit denen die Newtonsche Theorie getestet wurde, sehr langsam im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit.Die Annahme, dass es eine relativistische Gravitationstheorie analog zur Maxwellschen Elektrodynamikgibt, steht also zunächst nicht im Widerspruch zu irgendwelchen Beobachtungen.Wie würde eine solche Theorie aussehen? Betrachten wir zuerst die Quellen des Gravitationsfeldes. Inder relativistischen Elektrodynamik ist die Quelle des elektromagnetischen Feldes die elektrische Ladung,und ihre Verteilung in Raum und Zeit wird durch 4-StromdichteK"L die dargestellt. Sie setzt sich aus derder gewöhnlichen StromdichteK"N räumlichen wobeiO"Ndie225LadungsdichteKM7 und