vorlesungen zur relativit ¨atstheorie allgemeine ... - THEP Mainz

§ aufeinander§VVb§¡…2WV 5VVMilchstraßeandere Galaxie(a)(b)Abbildung 19.1: Zwei verschiedene Deformationen sind äquivalent, wenn sie sich nur um den Fluss einesVektorfeldes unterscheiden. Die Pfeile deuten jeweils an, in welche Richtung im Einbettungsraum sich einPunkt während der Deformation bewegt. Die beiden deformierten Räume haben die gleiche Geometrie.Sie werden durch einen Diffeomorphismus aufeinander abgebildet.Einbettungsraum verschoben. Die Richtung der Deformation wird also in diesem Fall durch ein Vektorfeldim Einbettungsraum vorgegeben. Dadurch wird der eingebettete Raum verformt, und somit ändertsich auch seine Geometrie.Nun kann es sein, dass zwei verschiedene Deformationen zu derselben deformierten Geometrie führen.Obwohl wir die einzelnen Punkte des Raumes in Abbildung 19.1(a) und (b) jeweils in eine andere Richtungverschieben, ist das Ergebnis, also die deformierte Geometrie in beiden Fällen dieselbe. Wie man in derAbbildung leicht sieht, werden die beiden deformierten Räume ¡durch einen Diffeomorphismusabgebildet.Die beiden durch die Einbettung induzierten Metriken unterscheiden sich also um eine Eichtransformation.Während die deformierte Metrik im einen¿§Fall gegeben ist, ist sie im anderen Falldurch Was wir in der Abbildung auch sehr deutlich sehen, ist, dass die Größenordnung der°‚Lg`gegeben.Eichtransformation, also der Abstand zwischen den jeweils PunktenV einanderdurch‚Lg`zugeordneten und5,von der gleichen Größenordnung ist wie die Deformation selbst. Solange wir nur kleine Deformation betrachten,treten auch kleine Eichtransformation auf.Jetzt müssen wir nur noch von der Einbettung abstrahieren, um wieder auf das ursprüngliche Bild einerDeformation der Metrik zurück zu kommen. Durch die Verformung im Einbettungsraum wird die Metrikauf dem eingebetteten Raum verändert. Das heißt, jeder Verformung im Einbettungsraum entspricht eineDeformation der Metrik. Statt die Richtung der Deformation im Einbettungsraum¡t2]Vanzugeben, könnenwir daher auch direkt die Deformation der Metrik angeben. Das ändert aber nichts daran, dass gewisseDeformation physikalisch äquivalent sein können.Wir können jetzt sogar leicht einsehen, warum zwei Deformation genau dann äquivalent sind, wennsie sich durch den Fluss eines Vektorfeldes auf der Raumzeit unterscheiden. Betrachten wir die beidenin Abbildung 19.1 gezeigten Vektorfelder im Einbettungsraum, so unterschieden sich diese genau um einVektorfeld, welches, zumindest in der linearen Näherung, zu der eingebetteten Fläche tangential ist. Dasheißt, die Richtungen der beiden Deformationen unterscheiden sich um eine Deformation tangential zureingebetteten Raumzeit. Eine solche Deformation ändert aber nicht die Geometrie der Raumzeit, sondernerzeugt nur eine Abbildung der Raumzeit auf sich selbst.Wir können also anschaulich verstehen, warum der Parameter der Eichtransformation ein Vektorfeldauf der Raumzeit ist. Die Art und Weise, wie ein schwaches Gravitationsfeld transformiert, ergibt sich dannaus dem allgemeinen Transformationsverhalten der Metrik unter Diffeomorphismen. Bemerkenswert andiesem Transformationverhalten ist, dass es einer Eichtransformation in der Elektrodynamik sehr ähnlichist. Der einzige Unterschied ist, dass der Parameter dort ¨Lein skalares ist, Feldl380i L ˜ i LmjLl (19.36)