vorlesungen zur relativit ¨atstheorie allgemeine ... - THEP Mainz

.,`ªí (18.66)À.Bereich Z[Z der Raumzeit, der durch die Karte in Abbildung 18.7 abgedeckt wird. Es muss sich dabei nichtum eine Geodäte handeln. Man zeige, dass die Eigenzeit dieser Kurve kleiner als=ist.Also ist jede zeitartige Kurve, Z[Z die ganz im Bereich als=der Raumzeit liegt, kürzer . Wenn sich einAstronaut unvorsichtigerweise in den Bereich hinter dem Horizont begibt, dann bleibt ihm höchstens nochdiese Zeit zu leben, Stelleª bevor er sich der nähert und dort auf die gerade beschriebene Weisezerlegt wird. Und das ist natürlich auch die maximale Zeit, die ein Stern noch existieren kann, nachdem erseinen eigenen Horizont durchquert hat, und bevor er zu einem Punkt geschrumpft ist.Wir schließen daraus, dass kein realistisches Objekt eine Annäherung an die Singularitätùder Metrikbzw.§beiüberleben kann. Jedes solche Objekt wird in seine Bestandteile zerlegt. Wir werdendiesen Vorgang gleich noch etwas genauer beschreiben. Für jeden praktischen Zweck erübrigt sich damitdie Frage, ob die Raumzeit dahinter noch weiter geht oder nicht. Denn allein aus der kausalen Strukturder Raumzeit in der Umgebungªfolgtbereits,dass kein räumlich ausgedehntes Objekt eineAnnäherung an diese Stelle überleben kann.èvonªAber heißt das, dass die Raumzeit dort wirklich endet? Wenn ein ausgedehnter Körper eine Annäherungan die nichtübersteht, heißt das noch nicht, dass wir eine Geodäte das mathematischesKonzept nicht vielleicht doch fortsetzen können. Das ist wäre zwar ein naheliegender Schluss, aberStelleªstrenggenommen haben wir noch nicht bewiesen, dass das nicht geht. Wir können es aber beweisen. Allerdingsmüssen wir dazu ganz anders vorgehen als bisher.Bisher haben wir immer nur bewiesen, dass sich die Raumzeit an der einen oder anderen Stelle fortsetzenlässt. Das konnten wir tun, indem wir geeignete Koordinaten eingeführt haben, aus denendasunmittelbarund explizit hervor geht. Ungleich schwieriger ist es jedoch, zu beweisen, dass es solche Koordinatennicht gibt. Wir werden deshalb den Beweis, dass es beiª keine Fortsetzung der Raumzeit gibt, ineiner koordinatenunabhängigen Weise führen. Was wir zeigen wollen, ist, dass es keine metrische Mannigfaltigkeit§zµgibt, die die Kruskal-Szekeres-Raumzeit als echte Teilmenge enthält, und in derwir Geodäten über diehinaus fortsetzen können.±-ODazu folgende Vorüberlegung. Nehmen wir an, es gäbe eine solche zµ,0†§±-O und^2Z5seiStelleªeine Geodäte, oder irgendeine andere glatte Kurve, die