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Variablen x 1 und x 2 . Dabei sind in jedem Zustand genau die boolschen Variablen wahr, die in demZustand eingezeichnet sind. Die nicht eingezeichneten sind dann falsch. Im Zustand s0 ist also x 1wahr und x 2 falsch, genau umgekehrt verhält es sich in s1. In s2 müsssen x 1 und x 2 falsch sein, in s3sind beide wahr.Möchte man nun den Übergang von s0 nach s1 beschreiben, so muss man sich die Nachfolgewerteder boolschen Variablen x 1 und x 2 anschauen. In s0 gilt x 1⋅x 2 und in s1 gilt x 1⋅x 2 . Schreibenwir x i ' als Nachfolgewert von x i , so gilt für den Übergang von von s0 nach s1:x 1⋅x 2⋅x 1'⋅x 2' .Ingesamt ergibt sich damit für die Übergangsrelationf := x 1⋅x 2⋅x 1'⋅x 2' x 1⋅x 2⋅x 1'⋅x 2' x 1⋅x 2⋅x 1'⋅x 2' x 1⋅x 2⋅x 1'⋅x 2' .Mit dieser Formel ließe sich nun ein ROBDD aufbauen, doch man erkennt bei diesem Bespielschnell, dass dieser triviale Ansatz eine exponentielle Laufzeit hätte, da man prinzipiell nichtsanderes macht, als eine 16zeilige Wahrheitstafel für f mit den Variablen x 1 , x 2 , x 1 ' und x 2 'darzustellen und man immer wenn f wahr liefert, die entsprechenden Variablen mit in dieFormel nimmt.Im übrigen sind Modelle meist nicht in dieser Form gegeben und somit müssen wir uns eine andereLösung überlegen.3.2 ROBDDs aus system-beschreibenden SpachenEin besserer Ansatz wäre hier, wenn man es schafft ROBDDs direkt aus einer systembeschreibendenSprache wie SMV zu gewinnen.SMV erlaubt es uns, Nachfolgezustände direkt als einen Ausdruck von Momentan-Zuständen zudefinieren. Jeder Nachfolgewert x i ' eines Zustandes x i lässt sich also als eine Bool-Funktion f idefinieren, wobei f i durch die momentanen Werte aller Variablen ausgedrückt wird: x i' ⇔ f i(wobei f ⇔ g=1 genau dann wenn f und g die gleichen Werte berechnen)In den folgenden Abschnitten sehen wir zwei Beispiele, die dieses Vorgehen demonstrieren.3.3 Modellierung synchroner AbläufeBei synchonen Abläufen, die sich vor allem im Hardware-Bereich finden lassen, werden alleZustandsvariablen auf einmal geändert. Als Beispiel soll folgende Schaltung dienen, bei welcher derImpuls für die Zustandsänderung bei beiden Variablen gleichzeitig ankommt:6
Der Wert von x 1 wird also jedesmal wieder negiert, der neue Wert von x 2 errechnet sich durch einexklusiv-oder von seinem alten Wert und dem alten x 1 . Daraus ergibt sich für dieÜbergangsrelation:f := x 1' ⇔ x 1⋅ x 2' ⇔ x 1xor x 2 .Nach dem oben genannten Schema, erhalten wir die folgende allgemeine Übergangsrelation:nf :=∏ x i' ⇔ f i .i=13.4 Modellierung asynchroner AbläufeIm Software-Bereich lassen sich vor allem asynchrone Abläufe finden. Dies bedeutet, dass eineVariable ihren Zustand ändern kann, bei den weiteren allerdings keine Zustandsänderung erfolgt.Hier ein Bespiel mit drei nebenläufigen Prozessen auf einem Ein-Prozessor-Rechner:In jedem Prozess gibt es eine Variable x i , die ihren Zustand ändern kann. Da nur ein Prozessgleichzeitig ausgeführt wird, kann auch nur genau eine Variable ihren Zustand ändern, die anderenbeiden bleiben unverändert.Ändert sich also die Variable x i , während die anderen unverändert bleiben, ergibt sich alsallgemeine Übergangsrelation:f := x i' ⇔ f i ⋅ ∏nj=1, j≠i x j' ⇔ x j .In der ersten Klammer wird der Nachfolger von x i durch eine Funktion von Momentan-Wertenerrechnet, in der zweiten Klammer bleiben die Nachfolger immer gleich ihren Momentan-Werten.Da man allerdings nicht weiß, dass sich genau x i ändert, sondern sich eine beliebige Variable ändernkann, ergibt sich tatsächlich dann folgende Formel:7
Seite 8 und 9: nnf := ∑ [ x i' ⇔ f i ⋅ ∏
Seite 10 und 11: Man muss daher die eben genannte De
Seite 12: 5 ZusammenfassungDas Model Checking

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