Übung zu Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung

Übung zu Grundlagen der Logik undLogik-ProgrammierungÜbungsblatt 7 (8.Übung)Florian WittmannUni Erlangen, Informatik 8

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangInhalt1 Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit2 Aufgabe 7-2: Implikation3 Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangBegriffeInhalt1 Aufgabe 7-1: ErfüllbarkeitBegriffeAufgabenstellungLösung2 Aufgabe 7-2: Implikation3 Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangBegriffeBegriffe Teil 1InterpretationEine Interpretation ist eine mögliche Belegungskombination für einAussageschema.BeispielAussageschema: A ∧ BEine mögliche Interpretation: A ist unwahr und B ist unwahrEine zweite mögliche Interpretation: A ist unwahr und B ist wahrusw.Wahrheitswertetafeln untersuchen alle Interpretationen einesAussageschemas.

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangBegriffeBegriffe Teil 2ModellIst eine Interpretation eines Aussageschemas wahr, so nennt mandiese Modell.TautologieAlle Interpretationen des Aussageschemas sind ein Modell.KontradiktionKeine Interpretation des Aussageschemas ist ein Modell.

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangBegriffeBegriffe Teil 3kontingentIst ein Aussageschema weder eine Tautologie, noch eineKontradiktion, so nennt man es kontingent.konsistentMindestens eine Interpretation des Aussageschemas ist einModell.

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangAufgabenstellungAllgemeingültigkeitUntersuchen Sie die aussagenlogischen Formeln aus Aufgabe 6-2hinsichtlich der Eigenschaften kontradiktorisch, konsistent undkontingent. Zeigen Sie, wenn möglich, die klassischeAllgemeingültigkeit mit den Methoden der Wahrheitswertetafelnund der semantischen Tableaux.◮ a) (A ∧ B) → ¬(¬A ∧ B)◮ b) (A → (B ∧ ¬A)) → B◮ c) (¬(A ∨ B)) ∧ (¬B → A)◮ d) ¬(¬A ∧ ¬B) → (A ∨ B)

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangLösungAufgabe 7-1a)a) (A ∧ B) → ¬(¬A ∧ B)A B (A ∧ B) → ¬(¬A ∧ B)0 0 10 1 11 0 11 1 1→ konsistent, Tautologie

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangLösungAufgabe 7-1b)b) (A → (B ∧ ¬A)) → BA B (A → (B ∧ ¬A)) → B0 0 00 1 11 0 11 1 1→ konsistent, kontingent

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangLösungAufgabe 7-1c)c) (¬(A ∨ B)) ∧ (¬B → A)A B ¬(A ∨ B) ∧ (¬B → A)0 0 00 1 01 0 01 1 0→ Kontradiktion

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangLösungAufgabe 7-1d)d) ¬(¬A ∧ ¬B) → (A ∨ B)A B ¬(¬A ∧ ¬B) → (A ∨ B)0 0 10 1 11 0 11 1 1→ konsistent, Tautologie

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangInhalt1 Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit2 Aufgabe 7-2: ImplikationAufgabenstellungLösungBeispiel für eine ungültige Implikation3 Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangAufgabenstellungImplikationZeigen Sie, ob das ’Destruktive Dilemma’ eine gültige Implikationist:A → B, C → D, ¬B ∨ ¬D ≺ ¬A ∨ ¬C

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangLösungImplikation - Lösung Teil 1Wie geht man vor? Zuerst erstellen wir eine Wahrheitswertetafel.Dann suchen wir nach Interpretationen, in denen alle Prämissender Aussage ein Modell sind.A B C D A → B C → D ¬B ∨ ¬D ¬A ∨ ¬C0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 1 1 1 1 10 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 1 1 10 1 0 1 1 1 0 10 1 1 0 1 0 1 10 1 1 1 1 1 0 1

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangLösungImplikation - Lösung Teil 2A B C D A → B C → D ¬B ∨ ¬D ¬A ∨ ¬C1 0 0 0 0 1 1 11 0 0 1 0 1 1 11 0 1 0 0 0 1 01 0 1 1 0 1 1 01 1 0 0 1 1 1 11 1 0 1 1 1 0 11 1 1 0 1 0 1 01 1 1 1 1 1 0 0Diese Interpretationen sind hier im Beispiel grau hinterlegt. Ist fürjede dieser Zeile die Konklusion auch ein Modell, so ist dieImplikation gültig.Dies ist in unserem Beispiel der Fall → das ’Destruktive Dilemma’ist eine gültige Implikation.

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangBeispiel für eine ungültige ImplikationBeispiel für eine ungültige ImplikationBetrachten wir zum Beispiel die Implikation A ∨ B ≺ A ∧ BA B A ∨ B A ∧ B0 0 0 00 1 1 01 0 1 01 1 1 1Hier sind in der zweiten und dritten Belegungszeile allePrämissen 1 ein Model, die Konklusion ist allerdings kein Model.Sobald (mindestens) eine solche Belegungszeile auftritt, ist eineImplikation ungültig.1 In diesem Beispiel gibt es nur eine Prämisse

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangInhalt1 Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit2 Aufgabe 7-2: Implikation3 Aufgabe 7-3: LauflängencodierungAufgabenstellungLösung

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangAufgabenstellungLauflängencodierungBei der Lauflängencodierung werden mehrmals hintereinanderauftretende Zeichen durch das Zeichen selbst und seineHäufigkeit ersetzt. So wird beispielsweise die Folgeaaabbccccabbbb als 3a2b3c1a4b codiert.Eine Gruppe von aufeinanderfolgenden gleichen Zeichen ist durcheinen Term [N, S] darzustellen, wobei N die Anzahl des ZeichensS ist.Example?- encode([a,a,a,b,b,c,c,c,a,b,b,b,b],X).X = [[3,a],[2,b],[3,c],[1,a],[4,b]]

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung AnhangLösungLauflängencodierungLösungencode([H|Ts] , R) :- enc(H, 1, Ts, R).enc(H, N, [], [[N, H]]).enc(H, N, [H|Ts], R) :-NextN is N+1,enc(H, NextN, Ts, R).enc(H, N, [X|Ts], [[N, H] | R]) :-H \= X,enc(X, 1, Ts , R).

Aufgabe 7-1: Erfüllbarkeit Aufgabe 7-2: Implikation Aufgabe 7-3: Lauflängencodierung Anhang[Übungsmaterial] Die Folien und Prologbeispiele sind auch imInternet abrufbar unter:http://wwwcip.cs.fau.de/~ra84nevy/