¨Ubungen zur Einf¨uhrung in die Astronomie und Astrophysik II ...

Übungen zur Einführung in die Astronomie und Astrophysik IIAufgabenblatt 6, 06. Dez. 2007Aufgabe 12Die Verteilung der ursprünglichen kinetischen Energie einer Supernova ist in Wirklichkeit wesentlichkomplizierter als in Aufg. 8b angenommen. Tatsächlich wird die kinetische Energie derSN-Explosion solange durch Stoßwellen in thermische Energie umgewandelt, bis die Geschwindigkeitder thermischen Expansion von einer Anfangsgeschwindigkeit ∼ 5000 km/s auf die Schallgeschwindigkeitdes aufgeheizten Mediums abgebremst wurde.Die Stoßfronten laufen dabei durch das Medium hindurch, und die thermische Expansion schiebtdas ehemals vorhandene interstellare Medium als aufgeheizte dünne Schale vor sich her (BlastWave und Sedov-Phase). Erst dann wird direkt kinetische Energie an das umgebende Medium abgegeben(Schneepflug-Phase). Letztere breitet sich von R 1 ≃ 20 pc mit R(t) ∼ t 1/4 aus.(a) Nehmen Sie eine aufgeheizte Schale mit einer Temperatur von 10 6 K an und berechnen Sie dieSchallgeschwindigkeit. [1 Punkt]Bestimmung der Schallgeschwindigkeit am Ende der Sedov-PhaseFür Wasserstoffgas ist γ = c P /c V =5/3, damit istoder v s = 117.7 km/s.v 2 s = γ P ρ = γ kTm H(b) Die abgeworfene Supernovahülle habe eine Masse M/M ⊙ =10, und das umgebende interstellareMedium die Dichte N H =0.1 cm −3 . Welche Masse befindet sich in der expandierendenSchale zu Beginn der Schneepflug-Phase? Wie groß ist die in der Schneepflug-Phase an das interstellareMedium abgegebene kinetische Energie? Vergleichen Sie das Ergebnis mit der gesamtenkinetischen Energie der Explosion. [3 Punkte]Kinetische Energie in der Schneepflug-PhaseDie Masse in der expandierenden Schale setzt sich zusammen aus der von der Supernova abgeworfenenMasse und der durch die thermische Expansion in der heißen dünnen Schale zusammengepressteMasse des ursprünglich in dem Volumen vorhandenen interstellaren Mediums, also4πM sh = M SN + N H3 R3 sh .Mit R sh = R 1 erhält man eine Gesamtmasse von M sh =92.8 M ⊙ , die in der dünnen Schale mitv = v 1 weiter expandiert.Zu Beginn der Schneepflug-Phase steckt also in der expandierenden Schale die gesamte kinetischeEnergie von E kin = M sh vs 2 /2 =1.269 10 49 erg, welche (maximal) an das interstellare Mediumabgegeben werden kann. Interessant ist aber auch der zeitliche Verlauf der Abbremsung und desdamit verbundenen Energieverlusts.Die Expansion während der Schneepflug-Phase verläuft mit der Funktion r(t) =at 1/4 , die Geschwindigkeitder Expansion also mit v(t) = 1 4 at−3/4 . Zu Beginn der Phase (t = t 1 ) ist dann

v 1 = v s , also a = R 1 t −1/41 bzw. a =4v s t 3/41 . Aus den beiden Gleichungen folgt durch Eliminationt 1 =2.407 10 4 yr and a =6.609 10 16 cgs .In der Schneepflug-Phase verliert die Expansion ihre kinetische Energie durch weitere Abbremsung(ohne weitere Aufheizung),dE = −M sh vdv .Da der Verlauf von v(t) bekannt ist, benutzt man am bestendv = − 3 16 at−7/4 dt ,womit sich bei konstanter Masse M sh der gesamte kinetische Energieverlust durch Integrationergibt. Es gilt somit wiederE kin = − 3 ∫ ∞64 a2 M sh t −5/2 dt =1.269 10 49 ergt 1Da die Anfangsenergie der Explosion mit der Geschwindigkeit v 0 = 5000 km/s E 0 =2.486 10 51erg war, liegt der tatsächlich ans interstellare Medium als kinetische Energie abgegebene Anteilunterhalb von 1% der Gesamtenergie, der Rest geht hauptsächlich in die Aufheizung des interstellarenMediums und in kosmische Strahlung.(c) Das Volumen unserer Milchstraße wird durch einen Zylinder mit Radius 15 kpc und Höhe 200pc abgeschätzt. Ihr Alter ist ∼ 810 9 yr. Wenn in jeder Supernova etwa ein Bruchteil von 10 −4 dergesamten kinetischen Energie in kosmische Strahlung umgesetzt wird, welche Supernova-Rate istdann nötig, um den Wert in der Tabelle auf S. 194 des Vorlesungsmanuskripts zu erreichen?[2 Punkte]Abschätzung der Supernova-RateDas gesamte Galaktische Volumen ist nach dieser Näherung V gal = πRgalh 2 gal =1.414 10 11 pc 3 =4.151 10 66 cm 3 . Mit einer gesamten kinetischen Energie einer einzelnen SN-Explosion von anfangse 0 =2.486 10 51 erg wird der Anteil e cr =2.486 10 47 erg in kosmische Strahlung umgewandelt,erzeugt also einen kleinen Bruchteil der Gesamtenergie kosmischer Strahlung.Um auf den gesamten Beitrag E cr =1.310 −12 V gal =5.410 54 erg zu kommen, sind somitN SN = E cre cr=2.17 10 7Supernovae nötig. Verteilt auf das gesamte Alter der Galaktischen Scheibe ergibt diese Zahl einemittlere Supernova-Rate von 1 SN alle 369 Jahre.Diese Zahl liegt zwar wesentlich über der lokalen historisch dokumentierten Rate (5 oder 6 SNeim letzten Jahrtausend), ist aber immer noch kleiner als die aus anderen Kriterien gewonneneAbschätzung (1 SN alle 20 bis 50 Jahre).Aufgabe 13Die Bestimmung von Temperatur und Dichte einer H II-Region folgt einer Standardmethode, diesich an den in der nachfolgenden Tabelle angegebenen Meßwerten für die Linienintensitäten zweierIonisationsstufen des Sauerstoffs orientiert.

Ion λ Transition A ik [s] −1 I Line[O II] 3726 4 S o 3/2 – 2 D o 3/21.810 −4 254[O II] 3729 4 S o 3/2 – 2 D o 5/24.210 −5 133[O III] 4363 1 D o 2 – 1 S 0 1.71 3[O III] 4959 3 P o 1 – 1 D 2 6.21 10 −3 283[O III] 5007 3 P o 2 – 1 D 2 1.81 10 −2 848(a) Benutzen Sie diese Beobachtungsdaten, zeigen Sie, wie sich daraus für eine gegebene Temperaturvon T = 10000 K die Elektronendichte N e bestimmen läßt. Benutzen Sie Gl. (609) desVorlesungsskripts und setzen Sie dazu Q 21 = Q 31 =8.610 −6 / √ T . Sie können stattdessen auchgleich die Abb. 350 benutzen. [2 Punkte]Bestimmung der Elektronendichte einer H II-RegionDie Methode, verbotene Übergänge des [O II] zu vergleichen, ist in Abb. 350 und Gl. (609) desVorlesungsmanuskripts dokumentiert. Beginnen Sie mit einer ersten Abschätzung der Temperatur,T = 10000 K.Mit den der Tabelle entnommen Daten erhält man I 3729 /I 3726 =0.5236. Löst man Gl. (609) nachN e / √ T auf und setzt ρ = I 3729 /(0.35 I 3726 ) und c =1/8.610 −6 , so ergibt sichN e√T= c (A 3726 − ρA 3729 )ρ − 1.Für ρ berechnet man den Wert 1.4961. Mit den Übergangswahrscheinlichkeiten für die beidenLinien folgt schließlich der Wert N e / √ T =27.46 cm −3 K −1/2 , also eine Elektronendichte vonN e =2.7464 10 3 cm −3 .(b) Berechnen Sie mit diesem Ergebnis aus den Tabellendaten eine verbesserte Temperatur. Wieoft muß man diesen Prozeß iterieren? [2 Punkte]Iteration der Temperatur einer H II-RegionMit N e / √ T als Parameter benutzt man am besten Gl. (606) zur Bestimmung der Temperatur ausden [O III]-Linien, woraus mit dem Intensitätsverhältnis ξ =(I 5007 + I 4959 )/I 4363 = 377T =32900.ln ξ +ln(1+4.510 −4 N e / √ T ) − ln 8.3folgt. Für die erste Iteration der Temperatur erhält man statt 10000 K den Wert T = 8594 K. Setztman diese Temperatur nun wieder in Aufg. 13(a) ein, so folgt eine leicht geänderte Elektronendichte,N e =2.546 10 3 cm −3 .Weitere Iterationen ergeben keine Änderungen mehr, weil N e / √ T ausschließlich durch das Intensitätsverhältnisbestimmt wird und damit unverändert bleibt.