Einsichten in die platonischen Körper - AnOAe.org

Grundlagen Geometriezusätzliche Zeichnungen 3Einsichten in die platonischen KörperRaumanordnung 3Einsicht in den Tetraeder 4Zweifache Einsicht in den Tetraeder 5Einsicht in den Hexaeder 6Zweifache Einsicht in den Hexaeder 7Einsicht in den Oktaeder 8Zweifache Einsicht in den Oktaeder 9Einsicht in den Ikosaeder 10Zweifache Einsicht in den Ikosaeder 11Einsicht in den Dodekaeder 12Zweifache Einsicht in den Dodekaeder 13Erstellt durch:AnOA editionAndreas OttigerAmmannFeldheim 1CH-6027 Römerswil LUwww.anoae.orgkontakt@anoae.org1.Version: 07.02.2010

Literatur:Die Masse der Um-, Zwischen-, und Inkugeln sind dem Buch:Mandalas der Heiligen Geometrie von Bruce Rawles, Silberschnur 1999entnommen.Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde,Adam/Wyss, Haupt 1994Die Einsichten sind eine Ergänzung zum Buch:Vom ewig beginnenden Ende von Andreas OttigerAmmann,AnOA edition 2008AnOA 2010 Grundlagen Geometrie AnOAe.org

IIIEinsichtenRaumanordnungEine ineinander verschachtelte Raumanordnung der platonischen Körper:B: Durchdringung von Ikosaeder (grün) und Dodekaeder (rot)C: Durchdringung von Tetraeder (blau) und Tetraeder (orange-gelb)D: Durchdringung von Oktaeder (dunkelblau) und Hexaeder (dunkelgelb)Sie sind gezeichnet mit all ihren Um-, Zwischen- und Inkugeln.DCBInkugel Würfel r = √1 = 1Inkugel Oktaeder r = √(4/3) = 1.154Zw-k Oktaeder/Würfel/In-k Sterntetraeder r = √2 = 1.414Umkugel Würfel r = √3 = 1.732Umkugel Oktaeder/Zwischenkugel Sterntetraeder r = √4 = 2Inkugel Dodekaeder r ≈ 2.752Inkugel Ikosaeder r ≈ 3.023Zwischenkugel Ikosaeder/Dodekaeder r = √5+1= 3.236Umkugel Dodekaeder/Sterntetraeder r = √12 = 3.464Umkugel Ikosaeder r ≈ 3.804AnOA 2010Darstellung der Einsichten: (Seiten 4-13)linke Reihe: Ansicht auf eine Kante des äusseren Körpersrechte Reihe: leicht nach rechts gedrehte AnsichtJeder platonische Körper lässt sich in die anderen Körper einpassen.Die Ecken der eingepassten Körper treffen entweder auf eine Ecke, eineKante oder auf die Mitte der Fläche des sie umgebenden Körpers.AnOA 2010 Grundlagen Geometrie AnOAe.org3

Einsicht in den TetraederIIIEinsichtenNur der Tetraeder lässt sich auch in sich selbst einpassen.U = UmkugelU Tetraeder ≈ 3.00000U Dodekaeder = 1.00000Vier Dodekaeder-Eckenberühren die Tetraeder-FlächenU Tetraeder ≈ 2.3819660112U Ikosaeder = 1.00000Vier Ikosaeder-Flächenberühren die Tetraeder-FlächenU Tetraeder ≈ 1.7320508076U Oktaeder = 1.00000Vier Oktaeder-Flächenberühren die Tetraeder-FlächenVier Hexaeder-Eckenberühren die Tetraeder-FlächenU Tetraeder ≈ 3.00000U Hexaeder = 1.00000U Tetraeder ≈ 3.00000U Tetraeder = 1.00000Vier innere Tetraeder-Eckenberühren die äusseren Tetraeder-FlächenAnOA 2010 Grundlagen Geometrie AnOAe.org4

Zweifache Einsicht in den TetraederIIIEinsichtenNur der Tetraeder lässt sich auch in sich selbst einpassen.U = UmkugelU gr. Tetraeder ≈ 3.00000U Dodekaeder = 1.00000U kl. Tetraeder ≈ 1.00000U gr./U kl. ≈ 3.00000≈ √9U gr. Tetraeder ≈ 2.3819660112U Ikosaeder = 1.00000U kl. Tetraeder ≈ 0.7940045502U gr./U kl. ≈ 3.00000≈ √9U gr. Tetraeder ≈ 1.7320508076U Oktaeder = 1.00000U kl. Tetraeder ≈ 0.5773502692U gr./U kl. ≈ 3.00000≈ √9U gr. Tetraeder ≈ 3.00000U Hexaeder = 1.00000U kl. Tetraeder ≈ 1.00000U gr./U kl. ≈ 3.00000≈ √9U gr. Tetraeder ≈ 3.00000U Tetraeder = 1.00000U kl. Tetraeder ≈ 0.33333U gr./U kl. ≈ 9.00000≈ √27AnOA 2010 Grundlagen Geometrie AnOAe.org5

Die Umkugel und Zwischenkugel von Tetraederund Hexaeder sind gleich grossDer Hexaeder ist um 1.5000 kleiner als in der DurchdringungEinsicht in den Hexaeder III EinsichtenU = UmkugelSechs Dodekaeder-Kantenberühren die Hexaeder-FlächenU Hexaeder ≈ 1.6180339887U Dodekaeder = 1.00000Der Dodekaeder ist um 1.070466 grösserals beim Oktaeder = von Umkugel zu Zw-KugelSechs Ikosaeder-Kantenberühren die Hexaeder-FlächenU Hexaeder ≈ 1.4733704195U Ikosaeder = 1.00000Der Ikosaeder ist um 0.934172 kleinerals beim Oktaeder = von Inkugel zu Zw-KugelDie sechs Oktaeder-Eckenberühren die Hexaeder-FlächenU Hexaeder ≈ 1.7320508076U Oktaeder = 1.00000Die vier Tetraeder-Eckenberühren die Hexaeder-EckenU Hexaeder ≈ 1.00000U Tetraeder = 1.00000AnOA 2010 Grundlagen Geometrie AnOAe.org6

Die Umkugel und Zwischenkugel von Tetraederund Hexaeder sind gleich grossZweifache Einsicht in den HexaederIIIEinsichtenU = UmkugelU gr. Hexaeder ≈ 1.6180339887U Dodekaeder = 1.00000U kl. Hexaeder ≈ 1.00000U gr./U kl. ≈ 1.6180339887≈ Phi (Goldener Schnitt)U gr. Hexaeder ≈ 1.4733704195U Ikosaeder = 1.00000U kl. Hexaeder ≈ 0.7946544730U gr./U kl. ≈ 1.8541019662≈ Phi 4 – 5(0.8541019662 ist einePhi-Endung)U gr. Hexaeder ≈ 1.7320508076U Oktaeder = 1.00000U kl. Hexaeder ≈ 0.7071067812U gr./U kl. ≈ 2.4494897428≈ √6U gr. Hexaeder ≈ 1.00000U Tetraeder = 1.00000U kl. Hexaeder ≈ 0.3333333333U gr./U kl. ≈ 3.00000≈ √9AnOA 2010 Grundlagen Geometrie AnOAe.org7

Der Hexaeder ist um 1.5000 kleiner als in der DurchdringungEinsicht in den OktaederU = UmkugelU Oktaeder ≈ 1.7320508076U Dodekaeder = 1.00000IIIEinsichtenAcht Dodekaeder-Eckenberühren die Oktaeder-FlächenU Oktaeder ≈ 1.376462U Ikosaeder = 1.00000Acht Ikosaeder-Flächenberühren die Oktaeder-FlächenU Oktaeder ≈ 1.7320508076U Hexaeder = 1.00000Die acht Hexaeder-Eckenberühren die Oktaeder-FlächenU Oktaeder ≈ 1.7320508076U Tetraeder = 1.00000Die vier Tetraeder-Eckenberühren die Oktaeder-FlächenAnOA 2010 Grundlagen Geometrie AnOAe.org8

Zweifache Einsicht in den OktaederIIIEinsichtenU = UmkugelU gr. Oktaeder ≈ 1.7320508076U Dodekaeder = 1.00000U kl. Oktaeder ≈ 0.9341723590U gr./U kl. ≈ 1.8541019662≈ Phi 4 – 5(0.8541019662 ist einePhi-Endung)U gr. Oktaeder ≈ 1.376462U Ikosaeder = 1.00000U kl. Oktaeder ≈ 0.8507U gr./U kl. ≈ 1.6180339887≈ Phi (Goldener Schnitt)U gr. Oktaeder ≈ 1.7320508076U Hexaeder = 1.00000U kl. Oktaeder ≈ 0.5773502692U gr./U kl. ≈ 3.00000≈ √9U gr. Oktaeder ≈ 1.7320508076U Tetraeder = 1.00000U kl. Oktaeder ≈ 0.5773502692U gr./U kl. ≈ 3.00000≈ √9AnOA 2010 Grundlagen Geometrie AnOAe.org9

Der Dodekaeder ist um 1.1455 kleiner als in der DurchdringungEinsicht in den IkosaederU = UmkugelU Ikosaeder ≈ 1.258408572U Dodekaeder = 1.00000IIIEinsichtenZwanzig Dodekaeder-Eckenberühren die Ikosaeder-FlächenU Ikosaeder ≈ 1.1755705046U Oktaeder = 1.00000Acht Oktaeder-Eckenberühren die Ikosaeder-KantenU Ikosaeder ≈ 1.258408572U Hexaeder = 1.00000Die acht Hexaeder-Eckenberühren die Ikosaeder-FlächenU Ikosaeder ≈ 1.258408572U Tetraeder = 1.00000Die vier Tetraeder-Eckenberühren die Ikosaeder-FlächenAnOA 2010 Grundlagen Geometrie AnOAe.org10

Zweifache Einsicht in den IkosaederIIIEinsichtenU = UmkugelU gr. Ikosaeder ≈ 1.258408572U Dodekaeder = 1.00000U kl. Ikosaeder ≈ 0.7946544730.794 ist der Kehrwert von 1.258U gr./U kl. ≈ 1.583592133U gr. Ikosaeder ≈ 1.1755705046U Oktaeder = 1.00000U kl. Ikosaeder ≈ 0.726542528U gr./U kl. ≈ 1.6180339887≈ Phi (Goldener Schnitt)U gr. Ikosaeder ≈ 1.258408572U Hexaeder = 1.00000U kl. Ikosaeder ≈ 0.6787159471U gr./U kl. ≈ 1.8541019662≈ Phi 4 – 5(0.8541019662 ist einePhi-Endung)U gr. Ikosaeder ≈ 1.258408572U Tetraeder = 1.00000U kl. Ikosaeder ≈ 0.41946934U gr. Ikosaeder = 1.00000U Tetraeder ≈ 0.7946544725U kl. Ikosaeder ≈ 0.333333333U gr./U kl. ≈ 3.00000≈ √9U gr./U kl. ≈ 3.00000AnOA 2010 Grundlagen Geometrie AnOAe.org11

Der Ikosaeder ist um 1.3819660112 kleiner als in der DurchdringungEinsicht in den DodekaederU = UmkugelU Dodekaeder ≈ 1.258408572U Ikosaeder = 1.00000IIIEinsichtenZwölf Ikosaeder-Eckenberühren die Dodekaeder-FlächenU Dodekaeder ≈ 1.070466269U Oktaeder = 1.00000Acht Oktaeder-Eckenberühren die Dodekaeder-KantenU Dodekaeder = 1.00000U Hexaeder = 1.00000Die acht Hexaeder-Eckenberühren die Dodekaeder-EckenU Dodekaeder = 1.00000U Tetraeder = 1.00000Die vier Tetraeder-Eckenberühren die Dodekaeder-EckenAnOA 2010 Grundlagen Geometrie AnOAe.org12

Zweifache Einsicht in den DodekaederIIIEinsichtenU = UmkugelU gr. Dodekaeder ≈ 1.258408572U Ikosaeder = 1.00000U kl. Dodekaeder ≈ 0.7946544730.794 ist der Kehrwert von 1.258U gr./U kl. ≈ 1.583592133U gr. Dodekaeder ≈ 1.070466269U Oktaeder = 1.00000U kl. Dodekaeder ≈ 0.57735026920.577 ist der Kehrwert von √3U gr./U kl. ≈ 1.8541019662≈ Phi 4 – 5(0.8541019662 ist einePhi-Endung)U gr. Dodekaeder = 1.00000U Hexaeder = 1.00000U kl. Dodekaeder ≈ 0.61803398870.618 ist der Kehrwert von PhiU gr./U kl. ≈ 1,6180339887≈ Phi (Goldener Schnitt)U gr. Dodekaeder = 1.00000U Tetraeder = 1.00000U kl. Dodekaeder ≈ 0.3333330.333 ist 1/3 der gr. UmkugelU gr./U kl. ≈ 3.00000≈ √9AnOA 2010 Grundlagen Geometrie AnOAe.org13