Mathematik für Naturwissenschaftler II T. von der Twer

2. VARIATIONSRECHNUNG FÜR SKALARFELDER 57und entsprechend in der Euler-Lagrange-Gleichung lauten, wenn wir kurz w x für ∂∂xu(x, y, z) usw. schreiben (inder Theorie der partiellen Differentialgleichungen sehr üblich und praktisch):( ∂L∂x u(x, y, z), ∂ ∂y u(x, y, z), ∂ )∂z u(x, y, z)= L (u x , u y , u z ) = 1 ( u22 x + u 2 y + u 2 z)und∂∂x L v 1(w x , w y , w z ) + ∂ ∂y L v 2(w x , w y , w z ) + ∂ ∂z L v 1(w x , w y , w z ) = 0, d.h. konkret∂∂x w x + ∂ ∂y w y + ∂ ∂z w z = w xx + w yy + w zz = 0.Die resultierende Differentialgleichung ist im Beispiel linear, sogar mit konstanten Koeffizienten, es ist dieLaplacegleichung, die man auch div grad u = 0 schreiben kann. Das Beispiel ist insofern recht instruktiv, alsman direkt zeigen kann, dass eine Lösung dieser partiellen Differentialgleichung, welche auf einer Randflächeeines Körpers K vorgeschriebene Werte hat, ein solches Minimum darstellt (für die so gegebene Randbedingung).So führt der Zusammenhang dieser partiellen Differentialgleichung mit der Variationsrechnung direkt auf einewesentliche Eigenschaft der Lösungen dieser Differentialgleichung. Umgekehrt schließt man aus der Eindeutigkeitder Lösung der Randwertaufgabe für die Laplacegleichung wieder, dass ein Minimum des Variationsproblemseindeutig bestimmt ist.