12Bei der Anwendung auf ein beliebiges Optimierungsproblem (Z, k) tritt die Kostenfunktion k: Z → Ranstelle der Energie E und statt der Temperatur θ wird ein Kontrollparameter c eingeführt. Für konstantesc wird der Übergang von einem Zustand i zu einem Zustand j mit Wahrscheinlichkeit 1 akzeptiert, fallsdamit eine Kostenverbesserung verbunden ist, und mit Wahrscheinlichkeit exp(-(k(j) - k(i))/c), falls k(j) ≥k(i) gilt.Es muß jedoch gezeigt werden, daß bei dem jeweiligen kombinatorischen Optimierungsproblem die Folgeder Metropolisalgorithmen tatsächlich zu einem globalen Optimum konvergiert. Dazu präzisieren wir denAlgorithmus anhand eines mathematischen Modells und stellen im folgenden einige Kriterien auf, umentscheiden zu können, ob für einen fest vorgegebenen Kontrollparameter c ein Metropolisalgorithmuskonvergiert und ob für variables c auch eine Folge solcher Algorithmen gegen ein Optimum strebt. DieFolge der Zustandsübergänge für konstantes c läßt sich als homogene Markoffkette (Xt) t∈N über demendlichen Zustandsraum Z mit Übergangsmatrix P = (p ij ) modellieren [Fell65]. Dabei bezeichne p ij dievon t unabhängige bedingte Wahrscheinlichkeit p(X t =j | X t-1 =i), daß sich das System zum Zeitpunkt t imZustand j befindet, unter der Bedingung, daß es zum Zeitpunkt t-1 im Zustand i war. Sei g ij dieWahrscheinlichkeit, daß Zustand j aus Zustand i erzeugt wird und a ij := min{1, exp(-(k(j)-k(i))/c)} dieoben definierte Wahrscheinlichkeit, mit der der Übergang akzeptiert wird. Dann gilt für dieÜbergangswahrscheinlichkeiten p ij = g ij ⋅a ij .In der statistischen Physik ist die Konvergenz zum thermischen Gleichgewicht garantiert. DiesemGleichgewicht entspricht in unserem Modell eine "ergodische" Verteilung der Zustände.Definition: Sei (X t ) t∈N eine homogene Markoffkette über dem endlichen Zustandsraum Z. EinVektor q∈[0,1]|Z | heißt ergodische Verteilung von (X t ) t∈N , wenn unabhängig von derAnfangsverteilunggilt.∀ i ∈Z : lim p(X t=i) = q it→∞Eine hinreichende Bedingung für die Existenz einer ergodischen Verteilung gibt der folgende Satz.Satz (1): Sei (X t ) t∈N eine homogene Markoffkette über dem endlichen Zustandsraum Z undÜbergangsmatrix P. Ist (X t ) t∈N irreduzibel und aperiodisch, so besitzt (X t ) t∈N eine eindeutigbestimmte ergodische Verteilung q∈[0,1]|Z| und diese ist stationär, d. h. es gilt q = q ⋅ P.Die Voraussetzungen <strong>des</strong> Satzes sind für den Simulated-Annealing Algorithmus z. B. erfüllt, wenn dieZustände gleichverteilt erzeugt werden, d.h. wenn1∀ i, j ∈ Z : g ij=|Z|gilt ([LaAa87]). Die ergodische Verteilung ist dann durchk(i) - kexp( opt- )c∀ i ∈ Z : q i:=k(j) - kexp( opt- )c∑j∈Zgegeben, wobei k opt den optimalen Wert der Kostenfunktion bezeichne. Wie man leicht nachrechnet,konvergiert diese Verteilung für c→0 gegen die Gleichverteilung auf der Menge der optimalen Zustände.Vor der Implementierung dieses Algorithmusses müssen für ein beliebiges kombinatorischesOptimierungsproblem folgende problemspezifische Parameter festgelegt werden ("Cooling-Schedule"):d A f t d K t ll t
- die Länge der einzelnen Markoffketten,- ein Stopkriterium.13