1 Weitere Befehle - CFD - TU Berlin

Technische Universität BerlinFakultät Verkehrs- und MaschinensystemeFachgebiet Numerische FluidmechanikProf. Dr. SesterhennGrundlagen der Numerischen Thermofluiddynamik (CFD 1) Wintersemester 2012/2013Aufgaben und Begleitmaterial — Blatt 3 22. November 2012ÜbertragungsverhaltenDie Übungsprogramme sind per Email bis einschließlich zum 07.12. an Flavia Cavalcanti Miranda(flavia.cavalcanti.miranda@tnt.tu-berlin.de) zu schicken unter Angabe der Namen und Matrikelnummer, inGruppen bis zu zwei Personen.Fragen können im Programm als Kommentar beantwortet werden. Bitte geben Sie an, ob Sie Octave oderMatlab und welche Version Sie benutzt haben.Aufgaben1 Weitere Befehle1.1 FunktionenHäufig ist es sinnvoll Funktionen zu definieren. Neben der Arbeits- und Fehlervermeidung erhöht dies die Lesbarkeit.Funktionen werden definiert durchfunction ausgabe = meineFunktion (eingabe)zwischenWert= eingabe+1 ;ausgabe = 2* zwischenWert ;endIn Octave kann dies in die Hauptdatei geschrieben werden, in Matlab muss dies in einer extra Datei mit demNamen meineFunktion.m gespeichert werden. Bei Octave kann es notwendig sein, das Argument vorher zudefinieren.Der Aufruf erfolgt dann mitmeineFunktion (5)ans = 12Mehrere Ein- und Ausgabewerte werden wie folgt angegeben:function [a1 a2 a3 ] = meineZweiteFunktion (e1,e2, e3, e4 )...endAufruf dann z.B.:[a b c]= meineZweiteFunktion(1,2,3,7);1

Aufgabe 1: Übertragungsverhalten der diskreten Ableitungen 6 PunkteGegeben ist die numerische Ableitung (aus Blatt 2) u ′ = Du mit⎛⎞0 1 −1.D = 1−1 .. . .. 0.2h.. . ..⎜.⎝ 0 .. ⎟ 1 ⎠1 −1 0(a)(b)(c)(d)wobei h = ∆x der Gitterabstand ist.AbleitungSchreiben Sie eine Funktion D_cent2Ord(N,h), welche die oben gegebene, periodische Ableitungsmatrixzurückgibt. Dabei ist N die Dimension der Matrix. also D ∈ R N×N .ÜbertragungsverhaltenBelegen Sie diskrete Orte x j = Lj/N als Spaltenvektor mit j = 1, . . . , N, N gerade, sowieL = 2π. Bestimmen sie numerisch die modifizierte Wellenzahlen für ein gebenes n, indem Sie naus n = 0, 1, . . . , N/2 wählen und damit die Wellenzahl k n = 2πn/L bestimmen. Bestimmen Siedazu die numerische Ableitung der Funktion u j = exp(ik n x j ) durch u ′ = D · u. Die modifizierteWellenzahl ergibt sich dann aus k n ′ = u ′ j /(iu j) für ein beliebiges j. Überzeugen Sie sich, dassk ′ unabhängig von j ist, indem Sie k n ′ als Funktion von j plotten. Dabei ist der Imaginär– undRealteil einzeln zu plotten wobei hier der Imaginärteil (numerisch) Null sein sollte.kMod–Funktion Schreiben Sie eine Funktion kMod(D,L) die die modifizierten Wellenzahlen zuallen k n , n = 1, . . . , N/2 einer (periodischen) Ableitungsmatrix berechnet.Tipp: Imaginäre Einheit ist in Octave/ML 1i.Beispiel Bestimmen Sie die modifizierten Wellenzahlen der einfachen Zentraldifferenz. PlottenSie dazu k ′ nh gegen k n h im Vergleich zu dem exakten Ergebnis k n h gegne k n h.Aufgabe 2: Verbessertes Übertragungsverhalten. 6 PunkteGegeben ist die Ableitungu ′ j = α 12h (u j+1 − u j−1 ) + α 24h (u j+2 − u j−2 ) + α 36h (u j+3 − u j−3 ). (1)Die zweite Konsistenzbedingung istα 1 + α 2 + α 3 = 1. (2)Die erste Konsistenzbedingung ist nach Konstruktion automatisch erfüllt. Die Gleichung1α 1 + 4α 2 + 9α 3 = 0beschreibt die Bedingung dafür, dass die Ableitung von vierter Ordnung in h ist,1α 1 + 16α 2 + 81α 3 = 0(a)(b)die Bedingung für sechste Ordnung in h.Bestimmen Sie mit α 3 als freiem Parameter die α 1 und α 2 so, dass eine Ableitung vierter Ordnungvorliegt. Wie ist α 3 fuer die sechste Ordnung zu wählen? Die Bestimmung des α 3 für einVerfahren sechster Ordnung muss dabei nicht schriftlich geschehen. Schreiben Sie eine FunktionD_central(N,h,alpha3), die die entsprechende Ableitungsmatrix zu beliebigen α 3 zurückgibt,(h = ∆x).Bestimmen Sie modifizierte Wellenzahlen für verschiedene α 3 zwischen −2/10 und 2/10 undplotten Sie diese in eine Diagramm. Plotten Sie insbesondere hervorgehoben den Wert von Tamund Webb (α 3 ≈ 0.15912) und die Ableitung sechster Ordnung mit dem oben bestimmten α 3 .Welche ist augenscheinlich besser?2