I FLÄCHE UND ECKENSINUS EINES SPHÄRISCHEN DREIECKS ...

Daraus folgt:S = |OA,OB,OC| = OC (OA×OB) = |OC||OA×OB| cos = sin c sin h c .Mit dem sphärischen Sinussatz, den wir auf das rechtwinkelige Dreieck ACF anwenden, folgt:S = sin b sin c sin .Diese beiden Formeln lassen sich zyklisch vertauschen. (Zur Herleitung der Formelns.[5],[43],[55]).(3) Die (sphärische) Fläche eines sphärischen Dreiecks auf der Einheitskugel ist durch denExzeß seiner Winkel gegeben, d.h.: = ++ - . Sind bei einem sphärischen Dreieck zweiSeiten und der eingeschlossene Winkel, z.B. a, b, , gegeben, so gilt (s. [43, §75]): sin tan =.2 a bcot cot + cos 2 2Insbesondere gilt bei einem rechtwinkeligen Dreieck mit den Katheten a und b :tan = tan a b tan2 2 2Zum Beweis dieser Gleichungen bilden wir den Sinus und den Kosinus von /2 = (++ - )/2:sin + += - cos und cos + += sin .2 22 2Dann zerlegen wir die rechten Gleichungsseiten in /2 und (+)/2 und multiplizieren mit cos c/2.Mit den Delambre'schen (Gauß'schen) Formeln erhalten wir dann daraus:c cos sin cos c 2 2 2 sin 2 sin + = - cos c 2 2 cos 2 cos + =2 absin cos22 ) - cos = 2 (sin 2 cos a+b= sin a b(cos ) sin sin ,2 2 2 2bzw.c cos cos cos c cos sin2 2 2 sin + = + cos c 2 2 2 cos + =2 2 a+b = sin cos = + 22 ) + cos 2 (cos 2 cos a bcos a b(sin ) cos sin a bsin cos .2 2 2 2 2 2Durch Division der beiden Gleichungen ergibt sich die gewünschte Formel (4) Wird bei einem sphärischen Dreieck ABC die Kante c = AB fixiert und der Punkt C sobewegt, daß sich die Fläche des Dreiecks nicht ändert, so beschreibt c einen Kreisbogen, der durchdie ursprüngliche Lage von C sowie durch die Gegenpunkte von A und B gegeben ist. Dieser6