I FLÄCHE UND ECKENSINUS EINES SPHÄRISCHEN DREIECKS ...

Da der Basiswinkel = 2w-x stets > 0 sein muß, kann dV/dx nur dann verschwinden, wenn x = 0.Setzen wir diesen Wert für x in die zweite Ableitung von V ein, so erhalten wir:2dVdx2 x=03 (1- 2 cos(2w))= -2 sin(2w)21sin w < 04,wenn /6 < w < /2. Nun folgt /6 < w < /2 aus 0 < < 2 und 6w = +. Daher besitzt derEckensinus des Dreiecks eine eindeutige Maximalstelle in x = 0, bzw. 2=2w= Bemerkung: Bei zwei flächengleichen gleichschenkeligen Dreiecken bilden wir die Differenz ausdem Winkel an der Spitze und dem Basiswinkel. Ist diese Differenz immer positiv oder immernegativ, so besitzt das Dreieck mit dem kleineren Betrag der Differenz den größeren Eckensinus.Dies folgt aus der obigen Formel V, denn es ist dV/dx < 0 für x > 0 und dV/dx > 0 für x < 0.Beim gleichseitigen Dreieck ist = 2 = (+)/3, und sein Volumen ist durch U = U()gegeben: U( ) = 1 ( cot ) cot12 2+ +3 .6 6Somit ist das Volumen eines sphärischen Dreiecks mit Fläche nie größer U = U(). + Nun ist U( ) = 1 4 (cot -1). Da der Kotangens in (0,/2) streng monoton fällt, ist U'24 6für 0 < < 2 streng monoton fallend. U ist daher in diesem Bereich streng konkav und erreichtsein Maximum 1/6 bei = /2. Für 0 < < /2 ist somit U streng monoton wachsend, und für/2 < < 2 ist U streng monoton fallend.Lemma 3: Unter allen sphärischen Dreiecken mit Fläche und Winkel = ACB hat dasgleichschenkelige, d.h. das Dreieck mit AC = CB, den größten Eckensinus.a b sin Beweis: Mit X = cot , Y = cot ist tan2 2 2 = bzw. XY= sin cot -cos .X Y + cos 2Setzen wir = XY, so ist für gegebenes und festes konstant.2cot (a / 2)Da sin a = = 2 X , ist:2 21+cot ( a / 2)1+X2X 2Y4sinS = sin a sin b sin = sin =2 2 2 2 21+ X 1 + Y (1+ ) + ( X + Y ) .8