Vektoren

KurzübersichtVektorennach "Vektoren (Mathe-Song)" von DorFuchs auf YouTubeMitschrift von Michael KochVielen, vielen Dank an DorFuchs für den Vektoren Mathe-Song und seine anderen, genialen Mathe-Videos aufYouTube. Ihr solltet euch das Video unbedingt ansehen und seinen Kanal abonieren, ohne den diese Kurzübersichtwahrscheinlich nie entstanden wäre.Nochmals vielen Dank."Das mit den Vektoren können nicht nur Professoren. Das kann jeder Mensch, denn er ist im R 3 geboren."1. DARSTELLUNGEs gibt unendlich viele Vektorräume, aber wir betrachten erstmal nur den R 3( 1 3)Dort hat jeder Vektor genau drei reelle Zahlen als Koordinaten, z.B.: 2Vektoren im R 3 können im kartesischen Koordinatensystem als Pfeil dargestellt werden:Die Koordinaten x, y und z des Vektors entsprechen also der x-, y- und z-Achse des kartesischenKoordinatensystems.Vektoren können im Raum übrigens frei verschoben werden, dabei ändern sich nicht ihre Koordinaten.Das hilft uns bei Folgendem ungemein:

2. RECHNEN MIT VEKTORENMehrere Vektoren im gleichen Raum können addiert werden, dabei werden einfach ihre Koordinatenaddiert:( a 1a3) ( b+ 12b3) ( a +b= 1 12a 2+b3)2a b a 3+bIn der Pfeildarstellung verbindet der Summenvektor den Anfang des ersten Vektors und die Spitze deszweiten Vektors, das macht das Erkennen der Summe wiederrum recht einfach:Multipliziert man einen Vektor mit einer Zahl, so mulitpliziert man jede einzelne Koordinate mit der Zahl:( a 1a3) ( a ⋅x⋅x= 12a 2 a a 3⋅x)Im Koordinatensystem bedeutet das, dass der Vektor gestaucht bzw. gestreckt,oder (bei einer negativen Zahl) seine Richtung geändert wird.Die Subtraktion verläuft analog zur Addition, man addiert einfach das Negative des einen Vektors zumanderen:( a 1a3) ( b− 12b3) ( a= 12a3) ( b+(−1)⋅ 12b3)2a b a bIn Pfeildarstellung sieht das folgendermaßen aus:Um also von einem Punkt zu einem anderen zu kommen, rechnet man immer "hinten minus vorn".

3. LINEARKOMBINATIONDie Addition von dem Vielfachen mehrerer Vektoren nennt man allgemein "Linearkombination".v=a 1v 1+a 2v 2+...+a nv n=∑i=1na iv iFindet man bei der Linearkombination zum Nullvektor keine anderen Werte für alle a i als die Null,so spricht man von linearer Unabhängigkeit der Vektoren v i :=( 0 0)0⋅v 1+0⋅v 2+0⋅v 3+...+0⋅v i 0Das bedeutet allgemein, dass die Vektoren nicht in der selben Ebene liegen, oder bei nur zwei Vektoren,dass sie nicht die gleiche RIchtung haben.4. BETRAGDer Betrag eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten:∣( a 1a 2 1a 3)∣=√a 2 +a 2 32+a 3Der Betrag gibt übrigens die Länge eines Vektors an.5. SKALARPRODUKTDas Produkt von zwei Vektoren im R 3 ist eine reelle Zahl.Wir ermitteln das Produkt durch folgende Rechnung:⃗a⋅⃗b=∣a∣⋅∣b∣⋅cosϕϕ ist dabei der Schnittwinkel der Vektoren a und b und kann durch einfaches Umstellen obigerGleichung erhalten werden:cosϕ= ⃗a⋅ ⃗b∣a∣⋅∣b∣Das sieht bis jetzt etwas unhandlich aus, aber an folgendem Beispiel zeigt sich,dass das doch eigentlich recht einfach ist:6)1⋅4= +2⋅5 =32+3⋅6( 1 23) ⋅ ( 4 5Zwei Vektoren sind genau dann zueinander orthogonal (stehen im rechten WInkel zueinander), wenn ihrSkalarprodukt Null ist.Das ergibt sich wieder aus obiger Gleichung:⃗a⋅⃗b=∣a∣⋅∣b∣⋅cos90 °=∣a∣⋅∣b∣⋅0=0

6. ORTSVEKTORENEin Punkt P 1 im R 3 ist bekanntlich durch drei Koordinaten gegeben:( p 1p 2p 3)Die kann man, wie man sieht, auch als Vektor schreiben: Der Ortsvektor vom Nullpunkt zu P 17. GERADENEine Gerade besteht im Grunde genommen aus zwei Vektoren: Einem Stütz- und einem Richtungsvektor.Der RIchtungsvektor gibt, wie der Name schon sagt, die Richtung der Gerade an.Der Stützvektor geht vom Nullpunkt zum Anfang des Richtungsvektors.Somit ist eine Geradengleichung in Parameterform die Summe vom Stützvektor und einem Vielfachen desRichtungsvektors:g= ⃗p+r⋅⃗uDurch geschicktes Wählen von r (in diesem Beispiel) kann man jeden Punkt auf der Gerade beschreiben:

8. EBENENMit dem selben Prinzip, was wir bereits bei den Geraden angewendet haben, lassen sich auch Ebenen in derParameterform erzeugen:E=⃗p+r⋅⃗u+s⋅⃗vEbenen haben also auch einen Stützvektor, aber zwei Richtungsvektoren.Grafisch sieht das folgendermaßen aus:Die Ebene in Parameterform kann man aber auch in die Koordinatenform bringen,indem man drei Gleichungen aufstellt und die Parameter r und s eliminiert:( x y p 2u 2v 2z) = ( p 1p 3) +r⋅ ( u 1u 3) +s⋅ ( v 1x= p 1+r⋅u 1+s⋅v 1y= p 2+r⋅u 2+s⋅v 2z= p 3+r⋅u 3+s⋅v 3Erhalte: ax+by +cz=dv 3)Ebenen kann man auch in der so genannten Normalenform angeben.Dabei hat man nur einen Vektor, den Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht und demnachorthogonal zu allen Richtungsvektoren ist, sowie einen Stützvektor, der die Ebene stützt.Durch die Orthogonalität wissen wir, dass das Skalarprodukt von ⃗x−⃗p und ⃗n Null sein muss.Dadurch erhalten wir die Normalenform:(⃗x−⃗p)⋅⃗n=0Wenn wir den Normalenvektor durch seinen Betrag teilen, erhalten wir den normierten Normalenvektor:⃗n 0= ⃗n∣⃗n∣Wir definieren d=⃗p⋅⃗n 0≥0 (den Abstand der Ebene vom Nullpunkt) und erhalten somit die HessescheNormalenform:⃗x⋅⃗n 0−d =0

8. KREUZPRODUKTDas Kreuzprodukt zweier Vektoren ist wieder ein Vektor und kann folgendermaßen berechnet werden:( 1 3)2 × ( 4 6)5 = ( 2⋅6−3⋅53⋅4−1⋅6"Ey, voll krass."1⋅5−2⋅4)Das Kreuzprodukt ist orthogonal zu den beiden anderen Vektoren.Das kommt uns bei der Bildung der Normalenform ganz gelegen, da wir so den Normalenvektor durch dasKreuzprodukt beider Richtungsvektoren der Ebene ganz leicht berechnen können:⃗n=⃗u×⃗vDIe Koeffizienten a ,b ,c der Koordinatenform lassen sich dadurch auch ganz leicht ermitteln,sie sind die Koordinaten des Normalenvektors:⃗u×⃗v=⃗n=( a c)bE : ax+by+cz=dFür x , y ,z setzt man einfach die Koordinaten des Stützvektors ⃗p ein und erhält so den letztenParameter der Koordinatenform, das dDer Betrag des Kreuzprodukts ∣⃗a×⃗b∣ beschreibt den Flächeninhalt des Parallelograms, das durch dieVektoren ⃗a und ⃗b aufgespannt wird.