Physik 10. Klasse g8 Aufgaben - Richard Reindl

Physik 10. Klasse g8AufgabenRichard ReindlDie aktuellste Version der Aufgaben findet man unterhttp://www.stbit.deDas Werk steht unter einer Creative Commons- Namensnennung- Nicht-kommerziell- Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Unported Lizenzhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.de18. Dezember 2013

1 Das astronomische Weltbild1 Das astronomische Weltbild1.1 Geozentrisches und heliozentrisches Weltbild1.1.1. Eratosthenes (276-194 v.Chr.) berechnet den ErdradiusDie ägyptischen Städte Alexandria und Syene(heute Assuan) liegen auf dem gleichenSonnenstrahlenLängengrad (Meridian). Am Tag der Sommersonnwendespiegelte sich zur MittagszeitSyene5000 Stadiendie Sonne im tiefen Brunnen von Syene, d.h. Alexandriadie Sonne stand genau senkrecht über Syene ϕϕ = 7,2(Syene liegt auf dem Wendekreis des Krebses).ZurgleichenZeitwarfdieSonneim5000◦Stadien (≈ 800km) nördlich gelegenen Alexandriaeinen kleinen Schatten (siehe Abb.).Berechne den Erdradius.Welche anderen Argumente für die kugelförmige Gestalt der Erde konnten zur damaligenZeit noch vorgebracht werden, welche gibt es heute?1.1.2. Aristarch aus Samos (315-240 v.Chr.) berechnet das Verhältnis der EntfernungenErde-Sonne und Erde-MondNebenstehende Abbildung zeigt die Lage von Erde, Sonne undMond, wenn von der Erde aus der Mond gerade als Halbmonderscheint. Aristarch aus Samos, der auch ein heliozentrischesWeltbild vorgeschlagen hatte, bestimmte den Winkel Sonne-Erde-Mond etwas ungenau zu ϕ ≈ 87 ◦ . Berechne daraus dasVerhältnis der Entfernungen Erde-Sonne und Erde-Mond.SonneBerechne den wahren Wert des Winkels ϕ aus den heute bekanntenEntfernungen SE = 1,496·10 8 km und ME = 384400km.MondϕErde1.1.3. Das Weltbild des Ptolemäus (90-168 n.Chr.), vereinfachte DarstellungDiePlaneten(Wandelsterne, Wanderer)verändernihre Lage relativ zu den Fixsternen. Dabei führensie schleifenartige Bewegungen aus. Zu deren Erklärungnahm Ptolemäus an, dass ein Planet inder Zeit T 2 um einen Punkt M kreist, der sich wiederumin der Zeit T 1 auf einer Kreisbahn um dieErde bewegt (siehe Abb.). Konstruiere die Planetenbahnpunktweise für T 1 = 1a, T 2 = 1 4 T 1 undr 1 = 2,5r 2 (das entspricht ungefähr dem Merkur).r 1PM r 2ErdeErstelle die Gleichungen der Bahn in Parameterform (t alsParameter, d.h. x = f(t),y = g(t)) und zeichne sie mit einer geeigneten Software.2

1 Das astronomische Weltbild1.1.4. (a) Erkläre anhand geeigneter Skizzen das Zustandekommen einer Sonnen- undeiner Mondfinsternis.(b) Es gibt ringförmige und totale Sonnenfinsternisse. Schätze auf Grund dieserTatsache den Radius der Sonne ab (R Mond = 1738km).1.1.5. Mondentfernung(a) DieOrtePundQliegenaufdem39.Breitengradbei 11 ◦ östlicher und bei 93 ◦ westlicher Länge.Berechne a = PQ.(b) Von P und Q aus wird gleichzeitig ein Punkt Mdes Mondes anvisiert und es werden die Winkelβ = 63,000 ◦ und γ = 64,000 ◦ gegen dieGerade PQ gemessen. Berechne die Entfernungr p = PM.Pβar pQγMh(c) Von P aus erscheint der Monddurchmesser unter dem Winkel δ = 29 ′ 43,5 ′′ .Berechne den Radius R M des Mondes.1.2 Die Gesetze von Kepler1.2.1. Ein kurzer Laserpuls wird von einem TeleskopT am Äquator zu einem Spiegel Srauf dem Mond geschickt, dort reflektiert undR E ∆tbei T wieder empfangen, die Zeit ∆t, dieR Mder Strahl unterwegs war, wird von einerAtomuhr gemessen. Im Verlauf eines Monatsmisst man die kleinste Zeitdifferenz ∆t min = 2,369506841s und den größten Wert∆t max = 2,651082437s. Der Erdradius ist R E = 6378km, der Radius des MondesR M = 1738km.(a) Berechne die kleinste (r min ) und die größte (r max ) Entfernung der Mittelpunktevon Erde und Mond. Ermittle daraus die große Halbachse a M und die kleineHalbachse b M der Mondbahn.(b) Die siderische (in einem zu den Sternen ruhenden Koordinatensystem betrachtete)Umlaufdauer des Mondes ist T M = 27,32166d. Welchen Radius hat diekreisförmige Bahn eines geostationären Satelliten, der die Erde in genau einemsiderischen Tag (Sterntag), d.h. in d sid = 23h56min4s umrundet?(c) Erkläre das Zustandekommen des Zahlenwertes eines siderischen Tages.1.2.2. (a) Der Komet Tempel-Tuttle umrundet die Sonne in T = 33,227a und hat diekleinste Sonnenentfernung r 1 = 0,976AE. Berechne die Halbachsen der Kometenbahnund seine größte Entfernung r 2 von der Sonne. Skizziere die Bahn desKometen und zeichne auch die Erdbahn ein.(b) Der Komet Hale-Bopp hat den Perihelabstand r min = 0,914AE und die Exzentrizitätseiner Bahn ist e = 0,99511. Berechne seine Umlaufdauer und dieHalbachsen seiner Bahn.3

1 Das astronomische Weltbild1.2.3. Der Jupitermond Io umrundet den Planeten in der Zeit T Io = 1,77d auf einer Bahnmit der großen Halbachse a Io = 4,22·10 5 km.(a) Der Jupitermond Europa hat die Umlaufdauer T Eu = 3,55d. Wie lang ist diegroße Halbachse a Eu der Umlaufbahn von Europa?(b) Eine Jupitersonde soll den Planeten so umrunden, dass ihre kleinste Entfernung(Punkt A) vom Planetenmittelpunkt r 1 = 2,00·10 5 km und ihre größteEntfernung (Punkt B) r 2 = 8,00·10 5 km ist. Berechne die Länge a der großenHalbachse, die Umlaufdauer T, die Exzentrizität e und die Länge b der kleinenHalbachse der Sondenbahn.(c) Zeichne von der Sondenbahn die Punkte A, B und die beiden Brennpunkte S 1(Jupiter) und S 2 (10 5 km ̂=1cm). Zeichne auch die Punkte C und D ein, dieaus der Kenntnis der kleinen Halbachse resultieren.Konstruiere (mit kurzer Erläuterung) dieBahnpunkte EundF, dievon Jupiterdie Entfernung r 3 = 3,2 · 10 5 km haben. Welche Entfernung r 4 haben diesePunkte von S 2 ? Beweise, dass EF⊥AB gilt. Skizziere jetzt die Bahn unterAusnutzung von Symmetrien.1.2.4. Ein Planet wird von zwei Monden M 1und M 2 auf kreisförmigen Bahnen umrundet,die Radien sind r 1 = 200000km undr 2 = 450000km. Der Mond M 1 hat dieUmlaufdauer T 1 = 20,0d.Die Enterprise setzt einen Satelliten Saus, dessen Umlaufbahn um den Planetendie kleinste Entfernung r 1 und die größteEntfernung r 2 vom Planeten hat (sieheAbb.).r 2r 1M 2SM 1(a) Berechne die Umlaufdauer T 2 des Mondes M 2 .(b) Berechne die große Halbachse a und die Umlaufdauer T der Satellitenbahn.(c) Berechne die lineare Exzentrizität d, die Exzentrizität e und kleine Halbachseb der Satellitenbahn.1.2.5. Der Satellit Alpha (A) bewegt sich auf einerKreisbahn mit Radius r und der UmlaufdauerT A um die Erde (E). Der Satellit Beta(B) bewegt sich auf einer Ellipsenbahn umE, seine Umlaufdauer ist T B = 8T A und seinekleinste Entfernung zur Erde ist r (sieheAbb.).PErABQ(a) Berechne die Längen der großen (a) und der kleinen (b) Halbachse der Bahnvon Beta, ausgedrückt als Vielfache von r.Zeichne die Bahn von Beta mit r ̂=1cm.(b) WielautetdaszweiteKeplergesetz(Flächensatz)?SchätzedamitdieGeschwindigkeitv 2 von Beta im erdfernsten Punkt Q ab, wenn sie im erdnächsten PunktP v 1 = 8400 m sbeträgt.4

1 Das astronomische Weltbild1.3 Aufbau des Universums1.3.1. In verschiedenen Lehrbüchern findet man verschiedeneDefinitionen der Länge 1pc nämlicha oder b in nebenstehender Abbildung (S: Sonne,E: Erde, SE = 1AE). Um welche Streckeunterscheiden sich die beiden Definitionen undwie groß ist der relative Fehler?1.3.2. Ordne die Erdentfernungen folgender Sterne der Größe nach:Sirius 8,65LJε-Eridani 3,30pcBarnards Stern 5,66·10 16 mα-Centauri 2,75·10 5 AEAltair Erdbahnradius erscheint unter dem Winkel 0,198 ′′ESb1 ′′aP1.3.3. Die Strahlungsintensität (Leistung pro Fläche) der Sonne am Ort der Erde istS = 1367 W m 2(Solarkonstante).(a) Berechne die Strahlungsleistung L ⊙ (Leuchtkraft) der Sonne aus S und derEntfernung Erde-Sonne: 1AE = 1,496·10 11 m (astronomische Einheit).(b) Rigel, ein Stern im Orion (rechts unten), hat die Leuchtkraft L = 4,06·10 4·L ⊙und seine Strahlungsintensität am Ort der Erde ist E = 2,2·10 −8 W m 2 . Wie vieleLichtjahre ist Rigel von der Erde entfernt?1.3.4. (a) Schätze ab, aus wie vielen Protonen das sichtbare Universum besteht (hundertMilliarden Galaxien mit je hundert Milliarden Sonnen). Nimm dazu an, dassdas Weltall nur Wasserstoff enthält.(b) Das Alter des Universums ist 13,8·10 9 a. Wie viele Sekunden sind das?(c) Nimm an, dass sich das All seit dem Urknall mit Lichtgeschwindigkeit ausgedehnthat und dass es kugelförmig ist. Wie groß ist dann die Dichte desUniversums? Wie viele Wasserstoffatome enthält es pro m 3 ?(d) Wie groß ist die gesamte Energie W m der Materie des Universums? Es ist fastunglaublich, dass die aus der Gravitation resultierende potentielle Energie desWeltalls gleich −W m ist und somit seine Gesamtenergie ziemlich exakt null ist!1.3.5. Welche Dichte hat ein Neutronenstern der 1,5-fachen Sonnenmasse und mit demRadius R = 20km? Welche Masse hat ein Kubikzentimeter dieses Sterns?1.3.6. Der Ereignishorizont (Point of no Return) eines schwarzen Lochs der Masse M isteine Kugelfläche mit dem RadiusR S = 2GMc 2(Schwarzschildradius),−11 m3wobei G = 6,67·10 die Gravitationskonstante ist.kgs 2(a) Berechne den Schwarzschildradius der Sonne und der Erde.(b) Das schwarze Loch im Zentrum unserer Galaxis hat den SchwarzschildradiusR S = 7,7·10 6 km. Welche Masse hat dieses Monstrum?5

2 Newtonsche Mechanik2 Newtonsche Mechanik2.1 Masse, Beschleunigung, Kraft2.1.1. Ein Projektil wird in einem s = 50cm langen Gewehrlauf auf v = 400 m sbeschleunigt.Berechne die Beschleunigung a und die Zeitdauer t des Beschleunigungsvorgangs.2.1.2. Ein Auto beschleunigt in t = 10,8s von v 0 = 0 auf v = 100 km hBeschleunigung a und die Beschleunigungsstrecke s.. Berechne die2.1.3. Ein Zug beschleunigt mit a = 0,10 m aus dem Stand auf v = 72 km . Wie langes 2 hdauert der Beschleunigungsvorgang und wie weit fährt der Zug dabei?2.1.4. Ein Auto fährt mit v 0 = 100 km dahin. Plötzlich taucht 125m vor dem Wagen einhReh auf. Nach einer Schrecksekunde bremst der Fahrer und erteilt somit seinemAuto die Beschleunigung a = −4,00 m . Gibt es einen Rehbraten oder nicht?s 2Zeichne das tx-Diagramm.2.1.5. Wie lange braucht ein Stein für den Fall von einem 60m hohen Turm? Mit welcherGeschwindigkeit prallt er auf den Boden?2.1.6. Ein Auto stürzt von einer Brücke in einen Fluss und hat beim Aufprall die Geschwindigkeit20 m . Wie hoch ist die Brücke?s2.1.7. Eine Kanonenkugel wird mit v 0 = 200 m ssenkrecht nach oben geschossen. Berechnedie maximale Höheh, ihre Aufprallgeschwindigkeit v a auf denBoden unddie gesamteFlugdauer t a . Zeichne ein tx- und ein tv-Diagramm der gesamten Bewegung.2.1.8. Eine Sylvesterrakete wird senkrecht nach oben geschossen; dabei wird ihr t 0 = 3,00slang die Beschleunigung a = 17,44 m s 2 erteilt. Berechne die maximale Höhe h und diegesamte Flugdauer. Zeichne ein tv- und ein tx-Diagramm des Fluges.2.1.9. Wie groß ist die Antriebskraft einer Lokomotive, die dem Zug mit der Gesamtmassem = 700t die Beschleunigung a = 0,200 m s 2 erteilt?2.1.10. Auf einen Golf-GTI der Masse m = 900kg wirkt die Antriebskraft F = 1530N. Inwelcher Zeit beschleunigt das Auto von Null auf 100 km h ?2.1.11. Ein Auto fährt mit v 0 = 108 km hgegen eine Wand. Welcher Kraft müssen die Sicherheitsgurtedes Fahrers der Masse m = 70,0kg standhalten, wenn der Wagenauf einer Strecke von ∆x = 1,5m (Knautschzone) zum stehen kommt und einekonstante Beschleunigung mit dem Betrag a angenommen wird?2.1.12. Wie verhalten sich die Bremswege bei sonst gleichen Bedingungen auf dem Mondund auf der Erde? (g Mond ≈ 1 6 ·g Erde)2.1.13. Für die Reibungskraft zwischen Luft und einem Körper (Luftwiderstand) gilt folgenderZusammenhang: R = C ·v 2 . C hängt von der Form des Körpers ab. Für einenFallschirmspringer (m = 80kg) ist C = 0,20 kgkgbei geschlossenem und C = 16m mbei geöffnetem Schirm. Welche konstante Endgeschwindigkeit erreicht der Springerbei geschlossenem (geöffnetem) Schirm?6

2 Newtonsche Mechanik2.1.14. Ein Eisstock der Masse 5,0kg gleitet mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 10 m s50m weit. Wie groß ist die Reibungszahl zwischen Eis und Eisstock?2.1.15. Berechne dieBeschleunigung derMassem 2 sowiedieFadenspannungF S unter Vernachlässigung der Masse undder Reibung der Rolle sowie der Fadenmasse! Die Reibungszahlzwischen dem Klotz mit der Masse m 2 undseiner Unterlage sei µ. Für welches m 1 bewegt sich dieAnordnung mit konstanter Geschwindigkeit?m 1m 22.2 Näherungen2.2.1. Fahrtenschreiberv in m s6050403020100 1020304050tminDie Abbildung zeigt das Ergebnis eines Fahrtenschreibers zwischen zwei Tankstopseines PKW’s. Beim zweiten Halt wird der anfänglich volle Tank mit 12,3 LiternBenzin wieder ganz aufgefüllt. Gesucht ist der möglichst genaue Benzinverbrauchdes Autos auf 100km.(a) Wähle für die Berechnung der Fahrstrecke in den ersten 50min ∆t 1 = 10minund für den Rest ∆t 2 = 3min.(b) Rechne jetzt durchgehend mit ∆t = 1min. Um wieviel Prozent weicht dasungenauere Ergebnis vom genaueren Ergebnis ab?2.2.2. Ein Auto bewegt sich 4s lang nach dem Gesetzx(t) = 1 m10 s 3 ·t3 .Berechne näherungsweise die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Autoszur Zeit t 1 = 3,0000s.7

2 Newtonsche Mechanik2.2.3. Ein Auto startet zur Zeit Null und seine Geschwindigkeit ändert sich nach demGesetz:v(t) = 0,5 m s 3 ·t2Berechne mit Hilfe der Midpoint-Rule einen Näherungswert x n für den Weg, dendas Auto in der Zeit von Null bis 4,8s zurücklegt. Teile dazu das Zeitintervall invier gleich große Teilintervalle. Wie groß ist der relative Fehler des berechnetenNäherungswertes, wenn das exakte Ergebnis x e = 18,432m lautet?2.2.4. Die folgende Abbildung zeigt das tv-Diagramm eines frei fallenden Körpers in derNähe der Erdoberfläche mit Berücksichtigung der Luftreibung.v in m s25201510500 1 2 3 4(a) Berechne näherungsweise möglichst genau den Weg, den der Körper im Zeitintervallvont0 = 0bist 1 = 4,00szurücklegt. WelchenWegwürdederKörperohneLuftwiderstand im gleichen Zeitintervall zurücklegen und welche Geschwindigkeithätte er zur Zeit t 1 ?(b) Ermittle möglichst genau die Beschleunigung des Körpers zur Zeit t 2 = 2,00s.5ts2.3 Die harmonische Schwingung2.3.1. Eine etwas kitschige Uhr hat folgenden Zeitgeber: An einer Feder hängt eine Schaukel,auf der eine Puppe sitzt (zusammen 20g). Wie groß muss die Federkonstantesein, damit die Schaukel in einer Sekunde einmal auf- und abschwingt?2.3.2. Eine Kugel der Masse m = 12,00kg schwingt an einer Feder mit der Härte D =18,95 N . Die Auslenkung zur Zeit t = 0,000s beträgt x m 0 = 1,902cm, die Geschwindigkeitzur selben Zeit ist v(0) = v 0 = 0,7766 cm . Berechne die Kreisfrequenz ω, diesSchwingungsdauer T, die Frequenz f, die Amplitude A und die Phase ϕ inx(t) = Asin(ωt+ϕ).Zeichne x(t), v(t) und a(t) in ein Diagramm.Einheiten: 1cm ̂=1s; 1cm ̂=1cm bzw. 1 cm sbzw. 1 cms 2 .2.3.3. IneinenBusder Masse M = 8000kgsteigenn = 20Personen der durchschnittlichenMasse m = 70kg ein; dabei senkt sich der Bus um ∆x = 15cm. Mit welcherFrequenz f schwingt der volle Bus?8

2 Newtonsche Mechanik2.3.4. Eine Kugel der Masse m = 400g schwingt an einer Feder mit der Frequenz f =0,50Hz und der Amplitude A = 10cm. Mit welcher Amplitude A ′ schwingt diesesFederpendel, wenn die Energie ∆W = 0,01J durch Reibung verlorengegangen ist?2.3.5. Wie ändert sich die Frequenz einer harmonischen Schwingung, wenn ohne Änderungder Gesamtenergie die Amplitude verdoppelt und die Masse vervierfacht wird?2.3.6. Eine Schwingung mit Reibung, eine sogenannte gedämpfte Schwingung, wirddurch die Gleichungx(t) = A 0 ·10 −αt ·sinωtbeschrieben. Zeichne zunächst h 1 (t) = A 0 · 10 −αt und h 2 (t) = −A 0 · 10 −αt (dieEinhüllenden) und dann x(t) für A 0 = 5cm, α = 0,2 1 und ω = 2π 1 im t-Intervalls s[0; 9s].2.3.7. Der Wagen einer neuen Wiesnattraktion mit derGesamtmasse m = 200kg (Wagen plus Insasse)prallt zur Zeit t 0 = 0 mit der Geschwindigkeitv 0 = 8,00 m auf eine starke Feder mit der FederkonstantenD = 5000 N . Die ganze Bewegungsmverläuft reibungsfrei.(a) Um welche Strecke A wird die Feder zusammengedrückt?(b) Wann (t 1 ) ist der rechte Rand R des Wagens wieder bei x = 0?(c) Welche maximale Beschleunigung muss der Insasse aushalten?v 0mRD0 x(d) x(t) ist die Ortskoordinate von R zur Zeit t. Zeichne den Grafen von x(t) mitHilfe von nachvollziehbaren Rechnungen im t-Intervall [0;1s].2.3.8. Nebenstehende Abbildung zeigt Momentaufnahmendes Wagens einer neuen Wiesnattraktion mitder Gesamtmasse m = 180kg (Wagen plus Insasse).Der Wagen startet zur Zeit t 0 = 0 am Ortx 0 = −6,28m und prallt zur Zeit t 1 = 2,00s beix 1 = 0 mit der Geschwindigkeit v 0 auf eine starkeFeder mit der Federkonstanten D. Zur Zeit t 2am Ort x 2 = 1,50m ist gerade v 2 = 0. Die ganzeBewegung verläuft reibungsfrei.(a) Berechne v 0 und D.v 0R tm 0 = 00mDx 0 0 xv 0t 1 = 2,00smxv 2 = 0(b) Berechne t 2 und die Zeit t 3 , zu der der Wagen wieder x 0 erreicht.(c) Welche maximale Beschleunigung muss der Insasse aushalten?t 2x 1 = 0(d) x(t) ist die Ortskoordinate von R zur Zeit t. Zeichne den Grafen von x(t) mitHilfe von nachvollziehbaren Rechnungen im t-Intervall [1s;4,5s].x 2x9

2 Newtonsche Mechanik2.4 Kreisbewegung2.4.1. Das Pferd P eines Kinderkarussells, das sich im Uhrzeigersinn dreht, befindet sichzur Zeit t 0 = 0 am Ort (0|4m), der Drehpunkt des Karussells ist der Koordinatenursprung.Die Bahngeschwindigkeit des Pferdes ist konstant v = 2,5 m s .Berechne die Frequenz f, die Winkelgeschwindigkeit ω und den Ortsvektor von Pzur Zeit t 1 = 8s.2.4.2. Mit welcher Geschwindigkeit v kanneinAutounbeschadet eineKurvemit r = 200mdurchfahren, wenn die Haftzahl µ H = 0,8 (trocken) bzw. µ H = 0,1 (eisig) ist?2.4.3. Astronautenwerdengetestet, wiesieaufdiezehnfacheErdbeschleunigung reagieren.DazuwirddieRaumkapselaufeinerhorizontalenKreisbahnmitdemRadiusr = 8mbewegt. Wie oft muss die Raumkapsel die Kreisbahn in einer Minute durchlaufen?2.4.4. Ein Radfahrer durchfährt eine Kurve (r = 20m) mit v = 36 km . Wie stark muss erhsich in die Kurve legen (Neigungswinkel zur Vertikalen)? Für welche Haftzahlen istseine Kurvenfahrt ohne Unfall möglich?2.4.5. Die Kurve einer Bobbahn (r = 10m) ist gegen die Horizontale um den Winkelβ = 84 ◦ geneigt. Mit welcher Geschwindigkeit v darf die Kurve durchfahren werden,damit sogar bei der Haftzahl µ H = 0 kein Unfall passiert?2.4.6. Der Fotografie eines Karussells entnimmt man folgendeDaten:r 0 = 3,00m ; s = 4,00m ; α = 30,0 ◦Welche ZeitT benötigtdas Karussell für einen vollenUmlauf? Mit welcher Kraft F wird die Sesselaufhängungbei der Gesamtmasse m = 80,0kgvon Sessel und Insasse belastet?αr 0s2.4.7. Ein Massenpunkt bewegt sich auf einem Kreis mit Radius r = 1,00m nach demGesetz ( ) sinϕ⃗r(t) = r mit ϕ(t) = α cosϕ 2 t2 und α = π 1 .s 2Berechne numerisch ⃗v(1s) und ⃗a(1s) sowie die Beträge v(1s) und a(1s)!2.5 Trägheitskräfte2.5.1. Vermischte Flüssigkeiten trennen sich nach längerer Zeit infolge der Gewichtskraft,wobei sich der Stoff mit der größeren Dichte am Gefäßboden absetzt (Sedimentation).Die Trenngeschwindigkeit hängt stark von der Kraft ab, die auf die Molekülewirkt. Zur Sedimentation verwendet man daher Zentrifugen, in denen durch dieZentrifugalkraft eine große Gewichtskraft simuliert wird. Das Wievielfache der Gewichtskraftwirkt auf einTeilchen ineiner ”Ultrazentrifuge“ inder Entfernung 10cmvom Drehpunkt, wenn ihre Umlauffrequenz 1000Hz beträgt?10

2 Newtonsche Mechanik2.5.2. In einem anfahrenden Auto misst ein findigerSchüler die Beschleunigung mit seinem selbstgebasteltenMessgerät. Das Gerät besteht aus einerKugel der Masse m, die an einem Faden im ”Nullpunkt“eines Geodreiecks aufgehängt ist und einerkleinen Wasserwaage. Nachdem die lange Kantedes Geodreiecks ”in der Waage“ ist, wird der Winkelϕ des Fadens gegen die Vertikale gemessen.mWasserwaageϕGeodreieck⃗aDrücke a durch ϕ aus! Berechne a speziell für ϕ = 11,0 ◦ ±0,5 ◦ ! Wie groß ist ϕ beimBremsen mit |a| = 4,0 m s 2 ?2.5.3. (a) Um wieviel Prozent weicht die am Äquator gemessene Fallbeschleunigung g =9,781 m s 2 von der reinen (nur auf die Gravitation zurückzuführenden) Erdbeschleunigungg 0 ab? Bei welcher Tageslänge T 0 würde ein relativ zur Erdoberflächeruhend losgelassener Stein gerade nicht mehr auf den Boden fallen? Wiewürde er sich bewegen?(b) Um wieviel Prozent weicht die in Garmisch (47,5 ◦ nördliche Breite) gemesseneFallbeschleunigung g von der reinen (nur auf die Gravitation zurückzuführenden)Erdbeschleunigung g 0 = 9,821 m s 2 ab? Welchen Winkel ϕ schließen ⃗g und⃗g 0 ein? Bei welcher Tageslänge T 0 würde ein ruhend losgelassener Stein geradenicht mehr auf den Boden fallen? Wie würde er sich bewegen?2.5.4. Im Kaufhaus hat Frau Leicht eine neue Personenwaage erworben, die beim Ausprobierenihre Masse zu 80kg anzeigt. Im Aufzug, der sie vom 3. Stock ins Erdgeschoßbefördert, wird das neue Stück ein weiteres mal getestet. Nach dem Schließen derTüren zeigt die Waage zunächst 2s lang 68kg, dann 2,25s lang 80kg und schließlichbiszumStillstanddesAufzugsnoch1,5slang96kgan.BerechnedieStockwerkshöhemit g = 10 m s 2 !2.5.5. Die Gesamtkraft, die auf eine Flüssigkeit wirkt, steht immer senkrecht auf derFlüssigkeitsoberfläche.(a) EinAuto beschleunigt aufeiner horizontalen Straßemit a = 1 m s 2 . DerBeifahrerhält ein halb gefülltes Bierglas in der Hand. Welche Form zeigt die Oberflächedes Bieres?(b) Einzylinderförmiges, halbgefülltes Wasserglasrotiert mitder Winkelgeschwindigkeitω um die Zylinderachse. Welche Form zeigt die Wasseroberfläche?2.5.6. Ein Steilwandfahrer fährt mit seinem Motorrad an der senkrechten Innenwand einesZylinders mit 12m Durchmesser, die Haftzahl zwischen Bahn und Reifen beträgt0,5. Mit welcher Bahngeschwindigkeit muss der Fahrer im Kreis rasen, um nichtabzurutschen? Um welchen Winkel ϕ ist er gegen die Horizontale geneigt?2.5.7. Künstliche Schwerkraft:InA.C. Clarke’s Roman ”Rendezvous mit 31/439“ wirdein riesiges, zylinderförmigesRaumschiff (Radius: r = 3km) beschrieben, das sich in T = 3min einmal umdie Zylinderachse dreht. Mit Welcher Kraft F wird ein Mensch von innen an die Zylinderwandgedrückt? In welcher Zeit T 0 müsste sich das Raumschiff einmal drehen,damit sich Menschen wie auf der Erde fühlen würden?11

2 Newtonsche Mechanik2.6 Wurfbewegungen2.6.1. (a) Berechne allgemein die Wurfweite x w bei einem waagrechten Wurf (ϕ = 0) mitder Anfangsgeschwindigkeit v 0 und der Abwurfhöhe h!(b) Mit welcher Geschwindigkeit muss ein Stein von einem 40mhohen Turm waagrechtgeworfen werden, damit er 100m vom Turm entfernt auftrifft!2.6.2. Eine Kanonenkugel wird auf Bodenhöhe unter dem Winkel ϕ gegen den Boden mitder Geschwindigkeit v 0 abgefeuert. Für welchen Winkel ϕ erreicht die Kugel diegrößte Höhe bzw. die größte Weite (kein Luftwiderstand)?2.6.3. Ein Fußball wird mit v 0 = 20 m sunter einem 30 ◦ -Winkel gegen die Horizontaleabgeschlagen. Wie hoch und wie weit fliegt er unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes?Mit welcher Geschwindigkeit (Betrag und Richtung) kommt der Ballwieder am Boden auf?2.6.4. Ein Kugelstoßer stößt die Kugel mit v 0 = 11,7 m sin einer Höhe von h = 2m ab.Berechne die Stoßweite w in Abhängigkeit vom Stoßwinkel ϕ und zeichne w(ϕ).Ermittle durch Probieren den Winkel für die größte Weite. Rechne mit g = 10 m s 2 .2.6.5. Die Kugel eines Biathlongewehrshat die Mündungsgeschwindigkeitv 0 = 380 m , die Zielscheibe mit demsDurchmesser d = 4,5cm (liegenderAnschlag) ist s = 50,0m von derMündung entfernt.KornKimmeVisierlinie(a) Magdalena Neuner richtet ihrGewehr so aus, dass die Achsebϕdes Laufs genau auf die Mitteder Scheibe zielt. In welcher Entfernung ∆y vom Zentrum trifft die Kugel aufdie Scheibe (Luftwiderstand vernachlässigen)?syLaufachse(b) Welcher Winkel ϕ muss zwischen Visierlinie und Laufachse eingestellt werden,damit beim Anvisieren des Scheibenzentrums dieses auch getroffen wird? DerMittelpunkt der Mündung hat von der Visierlinie den Abstand b = 2cm. Esdarf angenommen werden, dass die Geschwindigkeit der Kugel in x-Richtungv 0 ist. Zeige nach der Berechnung von ϕ, dass diese Annahme gerechtfertigtist.2.6.6. Ein Fluss der Breite x = 40mvist auf einer Seite von einer Felswandder Höhe h = 20m begrenzt.Der Damm auf der anderenhFlussseite wird als Abhv 0sprungrampe für einen Mororradstuntpräpariert. Der Neigungswinkelder Rampe gegen die Horizontaleist ϕ, das Motorrad er-ϕxreicht das Ende der Rampe mit der Absprunggeschwindigkeit v 0 . Berechne v 0 undϕ so, dass das Motorrad die Kante der Felswand mit einer zur Horizontalen parallelenGeschwindigkeit erreicht (Maximum der Flugbahn). Der Luftwiderstand ist zuvernachlässigen.12x∆y

2 Newtonsche Mechanik2.7 Impulssatz2.7.1. Eine unbemannte Raumsonde explodiert und zerbricht in zwei Teile. Durch fotografischeRegistrierung werden die Geschwindigkeiten der Bruchstücke zu |⃗v 1 | = 700 m sund |⃗v 2 | = 200 m sfestgestellt. Ein Bruchstück wird eingefangen und seine Masse zum 2 = 210kg bestimmt. Berechne m 1 !2.7.2. Ein Kahn mit aufmontierter Kanone feuert eine Kugel der Masse m 2 = 10,0kgab; dabei erhält der Kahn eine Geschwindigkeit vom Betrag v 1 = 3,00 m . Die Gesamtmassevon Kahn, Kanone und Kugel beträgt m 1 = 500kg. Wie schnell ist diesKugel?2.7.3. Ein interplanetarisches Raumschiff bewegt sich antriebslos im Weltall. Genau in derMitte ihrer mit Atemluft gefüllten Kabine schwebt eine nur mit einem BadeanzugbekleideteAstronautin.DieRelativgeschwindigkeit derAstronautinzumRaumschiffist exakt Null, die Wände der Kabine sind außer Reichweite.Wie kann sich die Astronautin aus ihrer misslichen Lage befreien (unsittliche Lösungenausgeschlossen!)?2.7.4. Ein kugelförmiger Eisenmeteorit mit dem Durchmesser d = 1,00km prallt mit derGeschwindigkeit 10000 km sauf die Erde und bleibt tief im Boden stecken. WelcheGeschwindigkeitsänderung erfährt die Erde?2.7.5. EineGewehrkugel derMassem = 5,00gwirdineinenruhendenHolzwürfel derMasseM= 2,00kggeschossen undbleibt inihmstecken. DanachhatderVerbundkörperHolzwürfel-Kugel die Geschwindigkeit u = 1,5 m . Welche Geschwindigkeit v hattesdie Kugel?2.7.6. Die drei Eishockey-Spieler Anton (m A = 100kg), Bertram (m B = 80,0kg) undCharly (m C = 75,0kg) prallen zusammen und bleiben als Dreimann-Knäuel mit derRelativgeschwindigkeit Null relativ zum Eis liegen. Anton kam mit einer Geschwindigkeitvom Betrag v A = 2,50 m sgenau aus Norden und Bertram mit v B = 4,42 m sgenau aus Süd-Westen. Aus welcher Richtung und mit welcher Geschwindigkeitstürzte sich Charly auf die beiden anderen Spieler?2.7.7. Eine Raumsonde mit der Masse M = 100kgvund der Querschnittsfläche A = 16,0m 2 fliegtmit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 2,00 km sin einen großen Bereich interstellaren Staubes(Sternentstehungsgebiet) mit der DichteA̺ = 1,00·10 −16 g . Der ganze Staub, den die̺cm 3Querschnittsfläche der Sonde erfasst, wird inderRaumkapsel gesammelt. BerechnemitHilfedes Impulssatzes die Geschwindigkeit v(x)der antriebslosen Sonde am Ort x. Wie großist v(x) speziell für x = 1,00·10 12 km?Nach welcher Strecke hat sich die Geschwindigkeit der Kapsel halbiert?13

2 Newtonsche Mechanik2.7.8. Ein Meteorit der Masse M = 130·10 9 kgrastmitderGeschwindigkeit v = 3000 m ysgenau auf den Mittelpunkt der ErdeR EM ϕ ⃗v yzu (Erdradius: R E = 6400km). Mutige⃗vErde xAstronauten haben auf dem Meteoriteneine Atombombe installiert. Die Bombewird gezündet, wenn der Meteorit0 xnoch die Entfernung x 0 = 16640kmzumErdmittelpunkthat. Bei der Explosion wird ein Meteoritenstück S der Masse m = 2,0·10 9 kgabgesprengt. Im System des Meteoriten wird S senkrecht zur Bewegungsrichtungabgestoßen, d.h. S und der Restmeteorit R haben in x-Richtung immer noch dieGeschwindigkeit v, die Geschwindigkeit von S in y-Richtung bezeichnen wir mit−u.Bei allen Rechnungen darf die Erdanziehung vernachlässigt werden!(a) Wie groß muss die y-Komponente v y der Geschwindigkeit von R nach derSprengung mindestens sein, damit der Meteorit an der Erde vorbeifliegt? Erstelleeine Zeichnung mit 1000km ̂=1cm und zeichne ⃗v mit der Länge 6cmein. Wenn die Berechnung von v y nicht gelingt, kann als Näherung der Wertaus der Zeichnung verwendet werden.(b) Wie groß muss also u mindestens sein, um eine Katastrophe zu verhindern?2.8 Gravitationsgesetz2.8.1. Eine Bleikugel der Masse m 1 = 10kg hängt an einer Schnur der LängeL = 10m. Um welchen Winkel ϕ bzw. um welche waagrechte Streckex wird die Kugel ausgelenkt, wenn eine zweite Kugel der Masse m 2 =100kgimAbstanda = 25cmnebendererstenKugelangebrachtwird?Lm 1m 2a2.8.2. Welchen Abstand a von der Erdoberfläche muss eine Raumstation haben, die übereinem festen Punkt am Äquator zu ruhen scheint (geostationäre Bahn)? WelcheGeschwindigkeit v hat die Station von einem Inertialsystem aus betrachtet? WelcheAnziehungskraft F wirkt von der Erde auf einen Astronauten der Masse m in derRaumstation? Warum fühlt sich der Astronaut trotzdem schwerelos?2.8.3. Der Planet Nemesis hat den Radius R = 5000km und an seiner Oberfläche herrschtdie gleiche Gravitationsfeldstärke wie an der Erdoberfläche.(a) Berechne die Masse M von Nemesis! [Zur Kontrolle: M = 3,68·10 24 kg](b) Ein Satellit soll Nemesis in genau zehn Stunden umkreisen. In welcher Höheh über der Planetenoberfläche muss die Umlaufbahn des Satelliten verlaufen?Mit welcher Geschwindigkeit v 1 muss der Satellit umlaufen?2.8.4. An welchem Punkt ist die Stärke des von Erde und Mond erzeugten GravitationsfeldesNull?14

2 Newtonsche Mechanik2.8.5. Um wieviel Prozent ist die Gravitationsfeldstärke auf der Zugspitze kleiner als inGarmisch?2.8.6. Doppelstern aus Neutronensternen:Zwei Neutronensterne mit der gleichen Masse m umkreisenihren gemeinsamen Schwerpunkt (siehe Abb.),der Radius der Kreisbahn ist r.⃗vEs gilt m = 5,00·10 29 kg und r = 139km.mrrm(a) Berechne die Umlaufdauer T und die Umlaufgeschwindigkeitv!⃗v(b) Die Dichte der Neutronensterne ist ρ = 1,19 ·10 14 g . Berechne den Radius R und den Ortsfaktorg an der Oberfläche eines dercm 3 Sterne!2.8.7. Eine homogene Kugel (Dichte überall gleich) mit Radius R hat die Masse M. Berechnedas von der Kugel erzeugte Gravitationsfeld g(r).Zeichne g(r) im Intervall [0;4R] für R = 5000km und M = 3,747·10 24 kg.2.8.8. Durch einen Planeten mit Radius R und derkonstanten Dichte ρ wird ein gerader Kanal gebohrt,derzweiStädteAundBmiteinanderverbindet.Durch den Sehnenkanal fällt reibungsfreieine Transportkapsel der Masse m mit derAnfangsgeschwindigkeit Null am Ort A.BRrMmRA(a) Berechne unter Verwendung von Aufgabe2.8.7 den Betrag F G (x) der Kraft auf dieKapsel!−x 00 x 0 x(b) Berechne dieKomponente F(x) der KraftF G (x), die parallel zur x-Achse zeigt!Welche Bewegung führt die Kapsel demnach aus?(c) Berechne die Fallzeit τ von A nach B zunächst allgemein und dann speziell fürdie Erde, und zwar einmal für München-New-York und einmal für München-Sydney!2.8.9. Masse der GalaxisIn dieser Aufgabenehmen wir an, dass die Masse unserer Galaxis radialsymmetrischverteilt ist.(a) Wie berechnet man den Betrag der Gravitationsfeldstärke einer radialsymmetrischenMassenverteilung (Formel und kurze Erläuterung)!(b) Ein Kugelsternhaufen umrundet das Zentrum unserer Galaxis mit der Geschwindigkeitv 2 = 200 km auf einem Kreis mit Radius r 2 = 2,00 · 10 21 m.sWelche Masse M 2 muss demnach unsere Galaxis mindestens haben? Die sichtbareMasse unserer Galaxis ist M G ≈ 3·10 41 kg. Wieviel Prozent der gesamtengalaktischen Masseliegenmindestens inFormvonsogenannter dunkler Materievor?15

3 Relativitätstheorie3 Relativitätstheorie3.1 Brehmediagramm der Galileitransformation3.1.1. Zeichne ein Brehmediagramm der Galileitransformation für v = 0,6c. Zeichne dieMenge aller Ereignisse ein mit (a) x = x ′ (b) x = −x ′ (c) t = 5s(d) x = 4LS (e) x ′ = −3LS (f) x = 03.1.2. Zeichne ein Brehmediagramm der Galileitransformation für v = 0,8c. Zeichne dieWeltlinien durch das Ereignis E(3LS 4s) S ′ mit den Geschwindigkeiten u = c 2 undu ′ = −0,6c ein. Welche Koordinaten hat E besüglich S?3.2 Relativistisches Brehmediagramm3.2.1. Wie groß kann im relativistischen Brehmediagramm die Relativgeschwindigkeit vder beiden Systeme höchstens sein? Zeichne das Diagramm für diese maximale Geschwindigkeit.3.2.2. Zeichne ein Brehmediagramm für v = 0,5c. Zeichne die Menge aller Ereignisse einmit(a) x = x ′ (b) t = t ′ (c) t = 6s (d) t ′ = 6s(e) x = 5LS (f) x ′ = −3LS (g) x = 0 (h) x ′ = 0Zeichne weiter folgende Weltlinien ein:(i) WL eines Körpers mit x = 3LS zur Zeit t = 0 und u = c 3(j) WL eines Körpers mit x ′ = 0 zur Zeit t ′ = −2s und u ′ = −0,8c(k) WL eines Lichtsignals in beide Richtungen mit Start bei x = 3LS zur Zeitt ′ = 4s3.3 Die Zeitdilatation3.3.1. Zeitdilatation bei kleinen Geschwindigkeiten(a) Berechne ∆t ′ mit der Formel ∆t ′ = ∆t √ 1−β 2 für ∆t = 1s und folgendeWerte für β: β 1 = 0,01, β 2 = 0,001, β 3 = 10 −4 , β 4 = 10 −5 und β 5 = 10 −6 .Berechne auch jeweils die Differenz δt = ∆t−∆t ′ .(b) Teilaufgabe(a) entnimmt man, dass für kleine Werte von β der Taschenrechnerδt = 0 errechnet, obwohl δt natürlich größer als null sein muß. Abhilfe schafftfolgende Näherungsformel:√1+x ≈ 1+x2für |x| ≪ 1Überprüfe die Formel für x ∈ {10 −2 ,10 −4 ,10 −6 ,10 −8 } und berechne jeweilsden relativen Fehler des Näherungswertes. Auf wie viele Stellen stimmt derNäherungswert mit dem exakten Wert überein, wenn x = 10 −n ist?(c) Eine Atomuhr U’ wird mit der Geschwindigkeit v = 108 km über die Streckehs = 300km transportiert. Welche Zeitspanne δt zeigt U’ weniger an als dieAtomuhren am Start und am Ende der Strecke?16

3 Relativitätstheorie3.3.2. Zeitdilatation bei großen GeschwindigkeitenFür Geschwindigkeiten sehr nahe an der Lichtgeschwindigkeit kann man schreibenβ = v c= 1−α mit α ≪ 1,z.B. β = 0,999999999 = 1−α mit α = 10 −9 . Für dieses Beispiel gilt1−β 2 = 1−(1−α) 2 = 2α−α 2 = 2·10 −9 −10 −18 = 0,000000001999999999d.h. 1−β 2 ≈ 2α. Also folgtβ = 1−α mit α ≪ 1 =⇒ √ 1−β 2 ≈ √ 2αBerechne die Zeiten ∆t (im System der Erde), ∆t ′ (Eigenzeit im System des bewegtenKörpers) und ∆t′∆t für(a) einen Flug von der Erde zu unserem Nachbarstern Alpha Centauri (s = 4LJ)mit v = 0,8c.(b) ein Proton, das mit v = 0,999999999999999999c von einem s = 10 9 LJ entferntenQuasar zur Erde fliegt.3.3.3. Mit welcher Geschwindigkeit wurde eine Atomuhr über eine 4500km lange Strecketransportiert, wenn sie nach der Ankunft um 0,50ns nachgeht?3.3.4. Freie Neutronen haben die mittlere Lebensdauer τ = 10,6min. Mit welcher Geschwindigkeitfliegt ein Neutron von einer s = 10 5 LJ entfernten Supernova zurErde, wenn im System des Neutrons dazu gerade die Zeit τ vergeht?3.4 Geschwindigkeitsaddition3.4.1. Zwei Raumschiffe fliegen mit den Geschwindigkeitsbeträgen 0,8c und 0,7c einmal ingleicher und einmal in entgegengesetzter Richtung an der Erde vorbei. Mit welchemGeschwindigkeitsbetrag entfernen sich die beiden Raumschiffe voneinander?3.4.2. Ein Flugzeug mit der Geschwindigkeit v = 2160 km relativ zur Erde feuert in Flugrichtungeine Rakete ab, die sich relativ zum Flugzeug mit der Geschwindigkeithu = v bewegt. Wie groß ist der relative Fehler δ, wenn die Raketengeschwindigkeitrelativ zur Erde mit 2v angegeben wird? Für welche v ist δ > 1%?3.5 Relativistische Energie3.5.1. (a) Zeige,dassder relativistische Ausdruck fürdiekinetische EnergiefürkleineGeschwindigkeitennäherungsweise in die klassische (nichtrelativistische) Formelübergeht.(b) Zeige, dass man die relativistische Formel für die kinetische Energie nichterhält, wenn man einfach in der nichtrelativistischen Formel m durch γm ersetzt.3.5.2. Ein Eisenwürfel der Kantenlänge 10cm wird von ϑ 1 = 20 ◦ C auf ϑ 2 = 300 ◦ Cerwärmt. Berechne die absolute und relative Massenzunahme.17

3 Relativitätstheorie3.5.3. Umwieviel Prozent ist Wasser der Temperatur 0 ◦ C schwerer alsEisder Temperatur0 ◦ C?3.5.4. Mit welcher Geschwindigkeit muss sich ein Körper bewegen, damit seine kinetischeEnergie gleich seiner Ruhenergie ist?3.5.5. Zwei Atomkerne mit den Massen m stoßen mit den Geschwindigkeiten v 1 = 0,6cund v 2 = −0,6c total unelastisch zusammen und bilden einen neuen Kern. Berechnedie Masse des neuen Kerns.3.5.6. Beweise: Ein Körper der Masse m und der kinetischen Energie W k bewegt sich mitder Geschwindigkeit v = βc mitβ =√Wk (W k +2mc 2 )W k +mc 23.5.7. Zur Erinnerung: 1eV = e·1V(a) Die Masse des Elektrons ist m e = 9,10938·10 −31 kg. Berechne die Ruhenergiedes Elektrons in MeV.(b) Die Ruhenergie des Protons ist W p = 938,27MeV. Berechne die Masse desProtons.3.5.8. In vielen Büchern findet man folgende Faustregel:Bis zu v = 0,1c darf klassisch gerechnet werden.(a) Berechne den relativen Fehler der kinetischen Energie, wenn für v = 0,1cklassisch gerechnet wird.(b) Bis zu welcher Beschleunigungsspannung U darf nach unserer Faustregel fürElektronen bzw. Protonen klassisch gerechnet werden?3.5.9. (a) Berechne den Lorentzfaktor γ =1√1−β 2 für ein Proton mit W = 400GeV(Superprotonensynchrotron am CERN) und für ein Elektron mit W = 21GeV(Linearbeschleuniger in Stanford, USA). Wie groß ist β in beiden Fällen?(b) In welcher Eigenzeit legt ein Elektron mit der Energie 1J die Strecke vomQuasar 3C48 bis zur Erde (4,8 · 10 9 LJ) zurück? Welche Energie müsste manaufbringen, um ein 100t schweres Raumschiff in der gleichen Eigenzeit zu diesemQuasar zu schicken?3.5.10. 1991 entdeckte der ”Fly’s Eye detector“ in Utha, U.S.A., einen Schauer von hochenergetischenTeilchen, die von einem ursprünglichen Teilchen mit der enormenEnergie W = 51,2J erzeugt wurden. Die Identität des ursprünglichen Teilchenskonnte nicht genau ermittelt werden, aber es könnte ein Proton gewesen sein, waswir für die weiteren Rechnungen annehmen. In welcher Eigenzeit hätte das Teilchendie Strecke s = 2·10 6 LJ von der Andromeda-Galaxie zur Erde zurückgelegt? Umwelchen Betrag weicht die Geschwindigkeit v des Teilchens von der Lichtgeschwindigkeitab?18