9 Potenzreihen

9 Potenzreihen 47
−ρ 0 ρ
Figure 10: Der Konvergenzradius einer Potenzreihe
Beispiel 9.1 (a) Der Konvergenzradius der Potenzreihe
∞�
n!x n
n=0
ist ρ = 0, denn die Potenzreihe konvergiert für kein x �= 0, da die Quotienten
(n + 1)!(x n+1 )
n!x n
unbeschränkt wachsen.
(b) Der Konvergenzradius der Potenzreihe
∞�
x n
n=0
ist ρ = 1.
(c) Der Konvergenzradius der Potenzreihe
∞�
n=0
1
n! xn
= (n + 1)x
ist ρ = ∞, denn die Potenzreihe konvergiert absolut für jedes x nach dem
Quotientenkriterium: Es gilt
lim
n→∞
|x| n+1
(n+1)!
|x| n
n!
= lim
n→∞
|x| n+1n! |x| n = lim
(n + 1)! n→∞
|x|
= 0.
n + 1
Satz 9.2 Ist |x| < ρ, d.h. x ∈ (−ρ, ρ), so ist � ∞
n=0 anx n absolut konvergent.
Ist |x| > ρ , so ist � ∞
n=0 anx n divergent.
Beweis. Ist |x| < ρ, so gibt es — weil x nicht das Supremum der obengenannten
Menge ist — ein r, so dass |x| < r ≤ ρ und � ∞
n=0 anr n konvergiert. Nach
Satz 9.1 konvergiert dann � ∞
n=0 anx n absolut.
Ist hingegen � ∞
n=0 anx n konvergent für ein x mit |x| > ρ, so gibt es ein r mit
|x| > r > ρ, für das � ∞
n=0 |an|r n konvergiert. Dies steht aber im Widerspruch
dazu, dass ρ das Supremum der obengenannten Menge ist. ✷
Bemerkung 9.1 Ist 0 < ρ < ∞, so werden über x = ±ρ keine Aussagen
gemacht. Das größte Intervall, auf dem eine Potenzreihe konvergiert, nennt
man das Konvergenzintervall. Ist ρ = ∞, so ist das Konvergenzintervall das
Intervall (−∞, ∞) = R. Ist ρ = 0, so reduziert sich das Konvergenzintervall auf
den Punkt {0}. Bei einer Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ρ ∈ R, ρ �= 0,
kann das Konvergenzintervall das Intervall (−ρ, ρ), (−ρ, ρ], [−ρ, ρ) oder [−ρ, ρ]
sein. Für x = ±ρ ist also sowohl Divergenz als auch Konvergenz möglich, wie
die folgenden Beispiele zeigen.