9 Potenzreihen

9 Potenzreihen 49
Beispiel 9.3
(1) f(x) = e x :
(2) f(x) = sin x :
(3) f(x) = cos x :
(4) f(x) = 1
1−x :
T0f(x) = ∞�
n=0
T0f(x) = ∞�
T0(x) ∞�
n=0
n=0
x n
n! .
n x2n+1
(−1)
n x2n (−1)
2n!
T0f(x) = ∞�
xn .
n=0
(2n+1)!
= 1 − x2
2!
= x − x3
3!
+ x4
4!
+ x5
5!
− . . . .
− . . . .
Man beachte, dass diese Reihe im Punkt x = −1 divergent ist, obwohl f(−1) =
wohldefiniert ist.
1
2
(5) f(x) = ln(1 + x) :
(6) f(x) = arctan x :
T0f(x) = ∞�
n=1
T0f(x) = ∞�
n=0
n xn (−1) n .
n x2n+1 (−1)
2n+1
= x − x3
3
+ x5
5
− x7
7
Man entwickelt eine Funktion in ihre Taylorreihe, um sie durch endliche Teile
dieser Reihe zu approximieren. Man beachte aber, dass die Taylorreihe nicht
im gesamten Definitionsbereich konvergieren muss. Es kann auch vorkommen,
dass der Konvergenzradius ρ = 0 ist, oder aber, dass die Taylorreihe überall
konvergiert, aber nur im Entwicklungspunkt mit der Funktion f übereinstimmt.
Ein Beispiel hierfür ist die Funktion
In diesem Fall gilt
f(x) =
� e − 1
x 2 , x �= 0
0, x = 0.
T0f(x) ≡ 0.
Schließlich halten wir noch folgenden Satz fest:
Satz 9.3 Es sei f(x) = ∞�
an(x−x0) n eine konvergente Potenzreihe mit Kon-
n=0
vergenzradius ρ > 0. Dann ist f(x) in dem Intervall (x0 − ρ, x0 + ρ) beliebig oft
differenzierbar und es gilt
f ′ (x) =
∞�
nan(x − x0) n−1 .
n=1
Insbesondere konvergiert diese Reihe im Intervall (x0 − ρ, x0 + ρ) absolut.
. . . .