9 Potenzreihen

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9 <strong>Potenzreihen</strong> 47 −ρ 0 ρ Figure 10: Der Konvergenzradius einer Potenzreihe Beispiel 9.1 (a) Der Konvergenzradius der Potenzreihe ∞� n!x n n=0 ist ρ = 0, denn die Potenzreihe konvergiert für kein x �= 0, da die Quotienten (n + 1)!(x n+1 ) n!x n unbeschränkt wachsen. (b) Der Konvergenzradius der Potenzreihe ∞� x n n=0 ist ρ = 1. (c) Der Konvergenzradius der Potenzreihe ∞� n=0 1 n! xn = (n + 1)x ist ρ = ∞, denn die Potenzreihe konvergiert absolut für jedes x nach dem Quotientenkriterium: Es gilt lim n→∞ |x| n+1 (n+1)! |x| n n! = lim n→∞ |x| n+1n! |x| n = lim (n + 1)! n→∞ |x| = 0. n + 1 Satz 9.2 Ist |x| < ρ, d.h. x ∈ (−ρ, ρ), so ist � ∞ n=0 anx n absolut konvergent. Ist |x| > ρ , so ist � ∞ n=0 anx n divergent. Beweis. Ist |x| < ρ, so gibt es — weil x nicht das Supremum der obengenannten Menge ist — ein r, so dass |x| < r ≤ ρ und � ∞ n=0 anr n konvergiert. Nach Satz 9.1 konvergiert dann � ∞ n=0 anx n absolut. Ist hingegen � ∞ n=0 anx n konvergent für ein x mit |x| > ρ, so gibt es ein r mit |x| > r > ρ, für das � ∞ n=0 |an|r n konvergiert. Dies steht aber im Widerspruch dazu, dass ρ das Supremum der obengenannten Menge ist. ✷ Bemerkung 9.1 Ist 0 < ρ < ∞, so werden über x = ±ρ keine Aussagen gemacht. Das größte Intervall, auf dem eine Potenzreihe konvergiert, nennt man das Konvergenzintervall. Ist ρ = ∞, so ist das Konvergenzintervall das Intervall (−∞, ∞) = R. Ist ρ = 0, so reduziert sich das Konvergenzintervall auf den Punkt {0}. Bei einer Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ρ ∈ R, ρ �= 0, kann das Konvergenzintervall das Intervall (−ρ, ρ), (−ρ, ρ], [−ρ, ρ) oder [−ρ, ρ] sein. Für x = ±ρ ist also sowohl Divergenz als auch Konvergenz möglich, wie die folgenden Beispiele zeigen.
9 <strong>Potenzreihen</strong> 48 Beispiel 9.2 (a) Der Konvergenzradius der Potenzreihe ∞� x n n=0 ist ρ = 1. Für x = ±1 divergiert die Reihe. Also ist das Konvergenzintervall das Intervall (−1, −1). (b) Wir zeigen, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe ∞� (−1) n=1 ρ = 1 ist. Dazu betrachten wir die Reihe n=1 n xn n ∞� � � � xn � � � (−1)n � n � = ∞� n=1 und wenden das Quotientenkriterium an. Es gilt lim n→∞ |x| n+1 n+1 |x| n n = lim n→∞ |x| n n n|x| n+1 = lim (n + 1)|x| n n→∞ n|x| = |x|. n + 1 Aus dem Quotientenkriterium folgt, dass die Potenzreihe nur für |x| < 1 absolut konvergent ist. Aus Satz 9.2 folgt ρ = 1. Für x = 1 konvergiert die Reihe nach dem Leibnizkriterium. Für x = −1 erhalten wir die harmonische Reihe, die divergent ist. Also ist das Konvergenzintervall das Intervall (−1, 1]. (c) Wir betrachten die Potenzreihe ∞� (−1) n=0 n x2n+1 2n + 1 = x − x3 3 + x5 5 − x7 7 + · · · . Wie bei Beispiel (b) kann man zeigen, dass der Konvergenzradius ρ = 1 ist. Die Reihe konvergiert für x = 1 und auch für x = −1. Also ist das Konvergenzintervall das Intervall [−1, 1]. Taylorreihen Es sei f : I → R eine auf dem Intervall I = (a, b) beliebig oft differenzierbare Funktion und x0 ∈ I. Definition Die Taylorreihe von f im Punkt x0 ist Tx0f(x) := ∞� n=0 f (n) (x0) (x − x0) n! n .
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