Beschleunigung

2. Lektion: Beschleunigung
H. Zabel, RUB 2. Lektion Beschleunigung 1

Lernziel
Beschleunigung ist Betrags- und/oder
Richtungsänderung der Geschwindigkeit pro
Zeiteinheit
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Begriffe:
• Beschleunigung
• Konstante Beschleunigung
• Anfangsgeschwindigkeit
• zurückgelegter Weg
• Erdbeschleunigung
• Freier Fall
• Fallhöhe
• Abbremsung
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Jede Änderung der Geschwindigkeit
erfordert Beschleunigung:
x
v
Hinfahrt, positive
Geschwindigkeit
0
RUB,
Parken
Einkaufen
Rückfahrt, negative
Geschwindigkeit
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t
t
Beschleunigung

Zeitlich konstante eindimensionale
Beschleunigung
Zeitlich konstante
eindimensionale
Beschleunigung....
...ergibt eine lineare
Zunahme der
Geschwindigkeit mit
der Zeit....
...und eine quadratische
Zunahme des Ortes mit
der Zeit.
a
v
x
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∆t
∆v
t
t
t
a = konstant
v = a×
x
=
t
1
a×
2
2
t

Beschleunigung:
zweifache Ableitung des Wegs nach der Zeit
�
a =
�
Δv
Δt
=
Δ
( ∆x
∆t)
Δt
m
s
[ a]
2
Einheit : =
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�
=
Δ
2
Δt
�
x
2

Sonderfall: Freier Fall
Höhe in m
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Zeit in s
= Beschleunigung
mit
konstanter
Erdbeschleunigung
a = g
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g
≅
=
9.81m/s
10m/s
2
2

Falltürme zur Bestimmung von g
Galilei, 1600
Bremen, Science Center, 2000
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Höhe in m
Beispiel: Freier Fall
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Zeit in s
Höhe nach Zeit t:
(h 0 = Anfangshöhe, v 0 =
Anfangsgeschwindigkeit)
h(t)
falls
folgt
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=
:
h
v
0
0
±
=
h(t)
v
0
=
0
t −1
h
0
−1
2gt
2
2gt
2

Beispiel:
Nach welcher Zeit trifft ein Ball auf, der aus h 0=10 m,
v 0=0, losgelassen wird?
h 0 = Anfangshöhe, v 0= Anfangsgeschwindigkeit
2
h(t) = h0
± v0t
−1
2gt
= 10 m −
Beim Auftreffen ist h(t fall) = 0, und damit:
t
fall
=
2h
g
0
=
2
fall
0 = h −1
2gt
oder h = 1
0
Auflösen ergibt dann für die Fallzeit:
2×
10m
9.81m/s
= 1.4s
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2
≅
0
2s
2
1
2gt
2gt
2
2
fall

Höhe in m
Beispiel: Freier Fall
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
h =
1
gt
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
Zeit in s
Umkehrung der Fragestellung:
Wenn ein Gegenstand die Zeit
t bis zum Auftreffen braucht,
aus welcher Höhe wurde er
losgelassen?
1s 5m/s2x1s2 = 5m
2s 5m/s2x22s2 = 20m
3s 5m/s2x32s2 = 45m
4s 5m/s2x42s2 = 80m
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Quiz: ?
Ein Körper fällt von der Höhe h 1 auf den Boden (h=0). In
welchem Höhen-Zeit-Diagramm wird die Fallbewegung
richtig dargestellt? (Luftreibung ist vernachlässigt)
A, B, C, D, E?
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Quiz

Beschleunigung Abbremsung
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Beschleunigung-Abbremsung

Quiz: ?
Welche Aussage ist richtig?
Ein Körper bewegt sich nach abgebilderter Weg-Zeit-Kurve
A. Die Beschleunigung ist im Zeitintervall zwischen t 3 und t 4 positiv.
B. Die mittlere Beschleunigung ist im Zeitintervall zwischen t 1 und
t 2 kleiner als im Zeitintervall zwischen t 2 und t 3.
C. Im Zeitintervall zwischen t 2 und t 3 findet keine Beschleunigung
statt
Antwort C ist richtig!
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Quiz

Quiz: ?
Die Bewegung eines
Körpers werde durch
das nachstehende
Weg-Zeit-Diagramm
dargestellt.
In welchem der
Zeitpunkte A - E hat der
Körper die größte
Geschwindigkeit?
A B C D E
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v-t Diagramme für positive und
negative Beschleunigung
v(t)
Positive
Beschleunigung
∆t
∆v
konstante
Geschwindigkeit
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t
Abbremsen=
negative
Beschleunigung

Quiz: ?
Die Bewegung eines Autos wird in einem
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm dargestellt:
v 1
Nach der Zeit t 1 wird die zurückgelegte Wegstrecke
gemessen. Welches Auto, 1 oder 2, ist weiter gefahren?
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t 1
2
t
Quiz

Federpendel:
harmonische Orts-Zeit Abhängigkeit
∆x
∆x
0
v(t) �
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t
t

v(t) �
Beschleunigung = zeitliche Änderung
des Geschwindigkeitsvektors
Sowohl die zeitliche Änderung
des Betrags wie der Richtung
der Geschwindigkeit erfordert
Beschleunigung!
( t ) − v ( t )
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�
a
=
�
v
2
2
t
2
−
�
t
1
1
1
=
�
∆v
∆t
Beschleunigung

Abbremsungen in den
Gehirnbahnen
Mr. Lecturer,
may I be excused,
my brain is full!
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Joke

Bezug zur Medizin
• Beschleunigung von geladenen Teilchen
• Abbremsung von geladenen Teilchen im
Gewebe zur Tumorbehandlung
• Abbremsung von Elektronen zur
Erzeugung von Röntgenstrahlen
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Tumorbehandlung mit
Hochenergiebeschleunigern
Protonenbeschleuniger
am Paul-Scherrer
Institut in der Schweiz
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Röntgenstrahlen
Target oder Anode
W
Beschleunigungsstrecke für
ein Elektron im Vakuum
Zur Erzeugung von
Röntgenstrahlen werden
Elektronen zunächst
beschleunigt und dann auf
einem Target schnell
abgebremst.
e +
Elektronenquelle
H.V.
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Zusammenfassung:
• Beschleunigung = jede Änderung des
Geschwindigkeitsvektors mit der Zeit
• Konstante Beschleunigung ergibt parabolischen Verlauf
des Ortes nach der Zeit
• Abbremsung = negative Beschleunigung
• Linearbeschleuniger werden auch für die Medizin für
Tumorbehandlungen eingesetzt
• Erdanziehung (Gravitation) übt eine konstante (Erd-)
Beschleunigung auf alle Körper aus (g=9.81m/s2 )
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Zusammenfassung