9. Mathematik-Wettbewerb 2012/2013 - Rhein-Kreis Neuss

Teilnahmebedingungen
Teilnahmeberechtigt sind alle Schülerinnen und Schüler der Oberstufen des Rhein-Kreises Neuss.
- Für jede Aufgabe ist ein gesondertes Blatt zu verwenden.
- Auf jedem Blatt ist der Name deutlich lesbar einzutragen.
- Am linken Blattrand ist ein Rand von 4 cm für Korrekturen freizuhalten.
- Jede Einsendung muss mit der unterschriebenen Erklärung versehen sein, dass alle Aufgaben
selbstständig gelöst wurden.
- Werden alle Aufgaben gelöst, werden die drei besten bei der Auswertung berücksichtigt.
Bei der Bewertung der Lösungen wird darauf geachtet, dass wesentliche Zwischenschritte aufgeführt
und begründet werden. Die Angabe eines Zahlenwertes allein genügt nicht als Lösung.
Schwer lesbare Arbeiten können von der Bewertung ausgeschlossen werden.
Nach Korrektur und Auswertung werden die erfolgreichen Schülerinnen und Schüler der ersten
Runde den Schulen mitgeteilt und zu einer Klausur, am 17.11.2012, eingeladen, in der dann die
Preisträger ermittelt werden.
Die eingereichten Arbeiten gehen in das Eigentum des Wettbewerbs über, die Rückgabe der korrigierten
Arbeiten ist ausgeschlossen. Daher empfiehlt es sich, vor Abgabe eine Kopie anzufertigen.
Die Korrekturentscheidung ist endgültig und unterliegt nicht dem Rechtsweg.
Die Entscheidung über das Abschneiden des Teilnehmers bedarf keiner Begründung gegenüber
dem Teilnehmer oder seinen Erziehungsberechtigten. Den Teilnehmern werden die an sie vergebenen
Punkte nicht mitgeteilt.
Die Zuschriften (Umschlag DIN A 4) können bei der Kreisverwaltung Neuss im Servicecenter des
Kreishauses Neuss, Oberstraße 91, abgegeben oder ausreichend frankiert eingesandt werden.
Viel Erfolg!
Abgabe der Lösungen
Bitte füllen Sie den nachstehenden Abschnitt in DRUCKBUCHSTABEN aus und senden diesen mit
der Lösung an den Rhein-Kreis Neuss, Amt für Schulen und Kultur, Kennwort "Mathematik-
Wettbewerb", Oberstraße 91, 41460 Neuss. Oder Sie geben die Unterlagen einfach im Servicecenter
des Kreishauses Neuss, Oberstraße 91, ab. Abgabeschluss: 24.09.2012
Absender: Anschrift der Schule:
Name: derzeit besuchte Klasse:
Vorname: Schule:
Straße: Straße:
PLZ / Ort PLZ / Ort
E-Mail:
9. Mathematik-Wettbewerb 2012/2013
für die Oberstufe
ab Klasse 10 an Gymnasien
ab Klasse 11 an Gesamtschulen
Abgabeschluss: Montag, 24.09.2012
Den Platzierten winken:
Siegerurkunden, Sachpreise,
Vorentscheidung für die Teilnahme an der Landesolympiade Mathematik.

Aufgaben Oberstufe, 1. Runde
Hinweis: Der Lösungsweg soll deutlich erkennbar in logisch und grammatisch einwandfreien
Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind
zu beweisen, falls sie nicht aus dem Schulunterricht bekannt sind. Auf eine Beweisangabe
kann außerdem verzichtet werden, wenn die Aussage einen eigenen
Namen besitzt und dadurch als allgemein bekannt angesehen werden kann.
1. Aufgabe: Ein Gleichungssystem
Bestimme alle Tripel reeller Zahlen (a; b; c), die das Gleichungssystem
lösen.
a � b = 20 (1)
b � c = 12 (2)
a + b + c = 12 (3)
2. Aufgabe: Das hungrige Schaf
Ein Schafstall besitzt einen quadratischen Grundriss mit 10m Seitenlänge. Auf die Ostwand
des Stalls stößt senkrecht und mittig ein sehr langer Zaun, durch den das Umkreisen des
Stalls unmöglich wird. Ein Schaf grast südlich dieses Zauns. Es ist mit einem 25m langen
(dünnen) Strick genau an der Stelle angepflockt, an welcher der Zaun auf die Wand stößt –
siehe Skizze unten.
Das Schaf frisst sämtliches Gras, das in der durch Strick, Zaun und Stall begrenzten Reichweite
liegt.
a) Erstelle eine Ergänzung der obigen Skizze mit der Fläche, die das Schaf abgrasen
kann. (Eine Begründung der Korrektheit der Skizze wird nicht erwartet.)
b) Berechne den Inhalt der abgrasbaren Fläche.
c) Der Zaun wird jetzt beseitigt. Dadurch kann das Schaf in beiden Richtungen um
den Stall laufen. Zeichne die jetzt abgrasbare Fläche und berechne auch für diesen
Fall die Größe dieser Fläche.
3. Aufgabe: Bestimmung einer Ortskurve
Aufgaben Oberstufe, 1. Runde
Es sei k ein Kreis mit dem Radius 1, dessen Mittelpunkt der Koordinatenursprung
O eines x-y-Koordinatensystems ist. Der Punkt P liege im ersten Quadranten
dieses Koordinatensystems auf k.
Die Tangente im Punkt P an den Kreis k schneide die x- und y-Achse in den
Punkten S bzw. T. Der Mittelpunkt der Strecke sei M.
Wenn sich der Punkt P auf dem Teil des Kreises k bewegt, der im ersten Quadranten
liegt, dann bewegt sich der Punkt M = M(x, y) auf einer Kurve. Man
ermittle eine Funktion f mit einer Gleichung y = f(x), deren Graph diese Kurve
ist.
4. Aufgabe: Zahlentheorie
Bestimme alle positiven natürlichen Zahlen n, für die die Zahl
durch 7 teilbar ist.
z = 2 n - 1