9. Mathematik-Wettbewerb 2012/2013 - Rhein-Kreis Neuss

Aufgaben Oberstufe, 1. Runde
Hinweis: Der Lösungsweg soll deutlich erkennbar in logisch und grammatisch einwandfreien
Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind
zu beweisen, falls sie nicht aus dem Schulunterricht bekannt sind. Auf eine Beweisangabe
kann außerdem verzichtet werden, wenn die Aussage einen eigenen
Namen besitzt und dadurch als allgemein bekannt angesehen werden kann.
1. Aufgabe: Ein Gleichungssystem
Bestimme alle Tripel reeller Zahlen (a; b; c), die das Gleichungssystem
lösen.
a � b = 20 (1)
b � c = 12 (2)
a + b + c = 12 (3)
2. Aufgabe: Das hungrige Schaf
Ein Schafstall besitzt einen quadratischen Grundriss mit 10m Seitenlänge. Auf die Ostwand
des Stalls stößt senkrecht und mittig ein sehr langer Zaun, durch den das Umkreisen des
Stalls unmöglich wird. Ein Schaf grast südlich dieses Zauns. Es ist mit einem 25m langen
(dünnen) Strick genau an der Stelle angepflockt, an welcher der Zaun auf die Wand stößt –
siehe Skizze unten.
Das Schaf frisst sämtliches Gras, das in der durch Strick, Zaun und Stall begrenzten Reichweite
liegt.
a) Erstelle eine Ergänzung der obigen Skizze mit der Fläche, die das Schaf abgrasen
kann. (Eine Begründung der Korrektheit der Skizze wird nicht erwartet.)
b) Berechne den Inhalt der abgrasbaren Fläche.
c) Der Zaun wird jetzt beseitigt. Dadurch kann das Schaf in beiden Richtungen um
den Stall laufen. Zeichne die jetzt abgrasbare Fläche und berechne auch für diesen
Fall die Größe dieser Fläche.
3. Aufgabe: Bestimmung einer Ortskurve
Aufgaben Oberstufe, 1. Runde
Es sei k ein Kreis mit dem Radius 1, dessen Mittelpunkt der Koordinatenursprung
O eines x-y-Koordinatensystems ist. Der Punkt P liege im ersten Quadranten
dieses Koordinatensystems auf k.
Die Tangente im Punkt P an den Kreis k schneide die x- und y-Achse in den
Punkten S bzw. T. Der Mittelpunkt der Strecke sei M.
Wenn sich der Punkt P auf dem Teil des Kreises k bewegt, der im ersten Quadranten
liegt, dann bewegt sich der Punkt M = M(x, y) auf einer Kurve. Man
ermittle eine Funktion f mit einer Gleichung y = f(x), deren Graph diese Kurve
ist.
4. Aufgabe: Zahlentheorie
Bestimme alle positiven natürlichen Zahlen n, für die die Zahl
durch 7 teilbar ist.
z = 2 n - 1