2 Symplektische Geometrie

2 Symplektische Geometrie
Hier werden wir systematischer symplektische Geometrie einführen.
2.1 Symplektische Lineare Algebra
2 SYMPLEKTISCHE GEOMETRIE
Da lineare Algebra die punktweise Variante von Differentialgeometrie aufgefasst werden
kann, fangen wir mit symplektischer linearer Algebra an. Nachdem wir wissen, was es
bedeutet, an einem Punkt symplektisch zu sein, werden wir die zugehörigen globalen
Begriffe betrachten
2.1.1 Symplektische Bilinearformen
Es sei im Folgenden V ein endlich dimensionaler reeller Vektorraum.
Definition 2.1 Eine Bilinearform B : V ×V → R ist alternierend (auch: schiefsymmetrisch)
genau dann, wenn für alle x, y ∈ V
B(x, y) = −B(x, y)
ist. Die Menge aller alternierenden Bilinearformen ist ein Vektorraum, der als A 2 (V )
geschrieben wird.
Definition 2.2 Eine Bilinearform B ist nichtausgeartet (auch: entartet oder nichtdegeneriert)
genau dann, wenn für jeden Vektor v ∈ V ein Vektor w ∈ W derart
existiert, dass
B(v, w) �= 0
ist.
Definition 2.3 Das Paar (V, B), wobei B ∈ A 2 (V ) nichtausgeartet ist, ist ein symplektischer
Vektorraum.
Beispiel 2.4 Es sei V = R 2n und
�
0n 1n
An :=
�
−1n 0n
,
wobei 1n die n × n-Einheitsmatrix ist und 0n die n × n-Nullmatrix ist. Es sei ferner ω0
die durch
ω0(x, y) := t xAny
bestimmte Bilinearform. Dann ist ω0 alternierend. Darüber hinaus kann ω0 in Komponenten
als
ω0(x, y) = x 1 y n+1 + · · · x n y 2n − x n+1 y 1 − · · · − x 2n y n
geschrieben werden. Daraus folgt, dass ω0 nichtausgeartet ist. ♦
Von jeder Basis b1, . . . , bN von V wird einer Bilinearform B eine Matrix A =
(B(bi, bj)) zugeordnet, und umgekehrt wird einer Matrix A eine Bilinearform B(x, y) :=
t xAy zugeordnet. Bezüglich dieser Zuordnung ist
B alternierend ⇔ A schiefsymmetrisch, und
B nichtausgeartet ⇔ A invertierbar.
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2.1 Symplektische Lineare Algebra 2 SYMPLEKTISCHE GEOMETRIE
Satz 2.5 (Symplektische Normalform) Sei (V, B) ein symplektischer Vektorraum, dann
existiert eine Basis e1, . . . , en, f 1 , . . . , f n von V derart, dass für alle 1 ≤ i, j ≤ n
B(ei, ej) = 0, B(ei, f j ) = δ j
i , und B(f i , f j ) = 0.
Beweis. Es sei m = dim V . Wir nehmen an, dass für irgendeine n ≥ 1 wir eine linear
unabhängige Folge e1, . . . , en ∈ V mit B(ei, ej) für alle 1 ≤ i, j ≤ n gefunden haben.
(Dass das möglich ist, folgt aus dem Fakt, dass jeder Vektor e1 so eine Folge ist. Wir
werden die Induktionsmethode mit diesem Startpunkt anwenden). Wir betrachten den
Unterraum
Wn := {w ∈ V : B(ei, w) = 0 ∀1 ≤ i ≤ n}.
Da die Vektoren ei linear unabhängig sind und B nichtausgeartet ist, ist dim Wn = m−n.
Ferner sehen wir, dass n ≤ m − n, weil ei ∈ Wn, 1 ≤ i ≤ n.
Falls n < m − n ist, existiert ein Vektor en+1 ∈ Wn, der linear unabhängig von
e1, . . . , en ist. Es folgt, dass die Folge e1, . . . , en+1
B(ei, ej) = 0, ∀1 ≤ i, j ≤ n + 1
erfüllt. Wiederholung dieses Erweiterungsprozess ist möglich bis n = m − n ist, d.h.
m = 2n.
Als Nächstes, am Punkt m = 2n konstruieren wir die Folge f 1 , . . . , f n . Für jede
j ∈ {1, . . . , n} betrachten wir die n Gleichungen in der Variable w
B(ei, w) = δ j
i , 1 ≤ i ≤ n.
Die obigen Gleichungen sind linear unabhängig, was eine Lösung f j
0 liefert. Jede andere
Lösung hat die Form f j = f j
0 + aijei. Nun zeigen wir, dass die aij ausgewählt werden können, so dass B(f i , f j ) = 0 ist. Sei
bij = B(f i j
0 , f0 ), dann ist
B(f i , f j ) = B(f i 0, f j
0 ) + B(aki ek, f j
0 ) + B(f i 0, a li el) + B(a ki ek, a li el)
= b ij − a ij − a ji + 0,
wo wir in der zweiten Linie die Gleichungen B(ei, f j
0
hinreichend,
a ij = −b ij /2
) = δj
i
angewandt haben. Es ist dann
auszuwählen.
Zuletzt müssen wir nur zeigen, dass die Folge e1, . . . , en, f 1 , . . . , f n eine Basis ist.
Aber jede Gleichung der Form
a i ei + bjf j = 0
liefert
a k = −B(f k , a i ei + bjf j ) = 0, und
bk = B(ek, a i ei + bjf j ) = 0.
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2.1 Symplektische Lineare Algebra 2 SYMPLEKTISCHE GEOMETRIE
Definition 2.6 Eine Basis e1, . . . , en, f 1 , . . . , f n von V derart, dass
B(ei, ej) = 0, B(ei, f j ) = δ j
i , und B(f i , f j ) = 0
für alle 1 ≤ i, j ≤ n gelten, wird eine symplektische Basis genannt.
Folgerung 2.7 Es sei (V, B) ein symplektischer Vektorraum. Bezüglich einer symplektischen
Basis ist die der Bilinearform B zugehörige Matrix A gleich An.
Folgerung 2.8 Sei (V, B) ein symplektischer Vektorraum, dann ist dim V gerade.
2.1.2 Unterräume
Es sei im Folgenden (V, B) ein symplektischer Vektorraum und W ⊂ V ein Unterraum.
Definition 2.9 Das B-Komplement von W ist der Unterraum
Da B nichtausgeartet ist, ist
W ⊥ := {v ∈ V : B(v, w) = 0 ∀w ∈ W }.
�
W ⊥� ⊥
= W,
und falls V endlich dimensional ist, ist ferner
Aber: W ∩ W ⊥ ist nicht unbedingt {0}!
dim W + dim W ⊥ = dim V.
Beispiel 2.10 Es sei e1, . . . , en, f 1 , . . . , f n eine symplektische Basis und L = spanR{e1, . . . , en}.
Dann ist L ⊥ = L. ♦
Definition 2.11 W ⊂ V ist
1. symplektisch genau dann, wenn dim W ∩ W ⊥ = 0,
2. Lagrangesch genau dann, wenn dim W ∩ W ⊥ = n,
3. isotrop genau dann, wenn W ⊆ W ⊥ , und
4. koisotrop genau dann, wenn W ⊥ ⊂ W .
Lemma 2.12 Es sei W ⊆ V.
1. W ist symplektisch genau dann, wenn B| W symplektish ist.
2. W ist Lagrangesch genau dann, wenn dim W = n und B| W = 0.
3. W ist isotrop genau dann, wenn B| W = 0.
4. W ist koisotrop genau dann, wenn W ⊥ isotrop ist (und umgekehrt).
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2.2 Symplektische Mannigfaltigkeiten 2 SYMPLEKTISCHE GEOMETRIE
2.2 Symplektische Mannigfaltigkeiten
Jetzt wissen wir genau, was es bedeutet, an einem Punkt symplektisch zu sein. Wir wissen
aber von der ersten Lektion, dass es uns nicht reicht, dass eine symplektische Form an
jedem Punkt nichtausgeartet ist, und zwar, wir fügen noch eine Bedingung hinzu, dass
eine symplektische Form die globale Eigenschaft hat, dass sie geschlossen ist. Nachdem
wir den Begriff einer symplektischen 2-Form definiert haben, werden wir globale Variante
von den anderen Begriffen der symplektischen linearen Algebra einführen.
Definition 2.13 Eine 2-Form ω ∈ Ω 2 (M) ist genau dann symplektisch, wenn ω geschlossen
und nichtausgeartet ist, was bedeutet, dass an jedem Punkt x ∈ M, die Bilinearform
ωx auf TxM nichtausgeartet ist. Eine symplektische Mannigfaltigkeit (M, ω)
besteht aus einer glatten Mannigfaltigkeit M versehen mit einer symplektischen Form ω.
Lemma 2.14 Es sei ω ∈ Ω 2 (M). Die folgenden Bedingungen sind äquivalent.
1. ω ist nichtausgeartet.
2. Es gilt für alle Vektoren v ∈ T M, dass ω(v, w) = 0 für alle Vektoren w ∈ TxM sei,
dann ist v = 0 ∈ TxM.
3. ω n := ω ∧ · · · ∧ ω (die n-te äußere Potenz von ω) ist eine Volumenform.
4. Die zugehörige Abbildung ω : T M → T ∗ M, die v ∈ T M auf ω(v, ·) ∈ T ∗ M abbildet,
ist invertierbar.
Definition 2.15 Es sei (M1, ω1) und (M2, ω2) symplektische Mannigfaltigkeiten. Eine
Abbildung ψ : M1 → M2 ist genau dann ein Symplektomorphismus, wenn ψ ∗ ω2 = ω1.
2.2.1 Untermannifaltigkeiten
Es sei i : N → M eine glatte Untermannigfaltigkeit, d.h. N ist eine glatte Mannigfaltigkeit
und i : N → M ist eine Einbettung.
Definition 2.16 Eine Untermannigfaltigkeit i : N → M ist
1. symplektisch genau dann, wenn i ∗ ω symplektisch ist,
2. Lagrangesch genau dann, wenn i ∗ ω = 0 ist,
3. isotrop genau dann, wenn i∗TxN ⊆ T i(x)M isotrop ist, und
4. koisotrop genau dann, wenn i∗TxN ⊆ T i(x)M koisotrop ist.
Im Allgemeinen ist es nicht einfach, symplektische (bzw. Lagrangesche, isotrope, oder
koisotrope) Untermannigfaltigkeiten zu finden. Zum Beispiel, aus dem folgenden Satz erwarten
wir topologische Einschränkungen, die nicht ganz oberflächlich oder offensichtlich
sind.
Satz 2.17 Es sei n > 1 und ω ∈ Ω 2 (R 2n ) eine beliebige symplektische 2-Form. Dann ist
keine symplektische Untermannigfaltigkeit i : N 2m → R 2n kompakt.
Beweis. Da R 2n zusammenziehbar ist und n > 1 ist, verschwindet die zweite De-Rham-
Kohomologie H 2 DR (R2n ). Die 2-Form ω ist geschlossen, was liefert, dass eine 1-Form
α ∈ Ω 1 (R 2n ) derart existiert, dass ω = dα, und ferner dass
ω m = d(α ∧ ω m−1 ),
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2.2 Symplektische Mannigfaltigkeiten 2 SYMPLEKTISCHE GEOMETRIE
d.h. ω m ist exakt. Ist N symplektisch, so ist i ∗ ω m eine Volumenform auf N. Wir berech-
nen aber, dass
�
vol(N) =
N
ω m �
=
N
d(α ∧ ω m−1 �
) =
∂N
α ∧ ω m−1 = 0,
wobei wir im letzten Schritt den Fakt angewandt haben, dass ∂N = ∅ falls N kompakt
ist. Dies aber widerspricht, dass das Volumen einer 2m-dimensionalen (orientierbaren)
Untermannigfaltigkeit mit 2m > 0 positiv ist.
2.2.2 Das Kotangentialbündel T ∗ N
Es sei N eine glatte Mannigfaltigkeit und T ∗ N ihr Kotangentialbündel mit natürlicher
Projektion π : T ∗ N → N.
Definition 2.18 Die kanonische 1-Form θ ∈ Ω 1 (T ∗ N) ist
θα(v) := α(π∗(v)), v ∈ Tα(T ∗ N).
Bemerkung 2.19 π∗ ist die Ableitung von π, und ist demzufolge eine Abbildung π∗ :
T (T ∗ N) → T N. Daraus folgt, dass π∗v ∈ T π(α)N falls v ∈ Tα(T ∗ N). Andererseits ist
α ∈ T ∗ π(α) N. Demnach ist a(π∗(v)) die natürliche Wirkung der Elemente a von dem
Dualraum des Tangentialraumes auf einen Vektor im Tangentialraum. ♦
Satz 2.20 θ ist glatt und ω = −dθ ist symplektisch.
Beweis. Wir berechnen ω in lokalen Koordinaten. Es sei x : U ⊂ N → R n eine Karte. Da
die 1-Formen dx 1 , . . . , dx n an jedem Punkt in x ∈ U linear unabhängig sind, existieren
eindeutige Funktionen pi : T ∗ U → R derart, dass für α ∈ T ∗ x U,
a = p1(x)dx 1 + · · · + pn(x)dx n = pj(x)dx j .
Die Funktionen x 1 , . . . , x n , p1, . . . , pn erfassen ein Koordinatensystem auf T ∗ U, in dem
die Projektion
π(x, p) = x
ist. Eine direkte Berechnung liefert, dass θ = pjdx j und ferner, dass
ω = dx j ∧ dpj.
Dass ω nichtausgeartet ist, folgt unmittelbar daraus.
Es stellt sich heraus, dass lokal gesehen, Kotangentialbündel die einzige symplektische
Mannigfaltigkeiten sind, was der folgende Satz von Darboux besagt. Er ist eine globale
Variante des Satzes der symplektischen Normalform.
Satz 2.21 Es sei (M 2n , ω) eine symplektische Mannigfaltigkeit. Dann für jeden Punkt
p ∈ M existiert eine Umgebung U von p mit Koordinaten x 1 , . . . , x n , p1, . . . , pn derart,
dass
ω| U = dx j ∧ dpj
ist.
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2.2 Symplektische Mannigfaltigkeiten 2 SYMPLEKTISCHE GEOMETRIE
Eine wichtige Folgerung ist, dass symplektische Mannigfaltigkeiten keine lokale Invarianten
außer der Dimension haben. Insofern sind symplektische Mannigfaltigkeiten
etwa beweglicher als Riemmansche Mannigfaltigkeiten. Da ein Symplektomorphismus
ψ : (M1, ω1) → (M2, ω2) auch die Volumenform erhält, könnte man fragen, ob Symplektormorphismen
bloß Volumen erhaltende Abbildungen sind. Der folgenden berühmt
Satz von Gromov besagt, dass das nicht der Fall ist, und ist der Anfangspunkt eines sehr
aktives und wichtiges Fachgebiet moderner Mathematik, das sich symplektische Topologie
nennt. (Ausführlicher ist der Satz der Startpunkt des Begriffes der symplektischen
Kapazität.) Wir werden aber das Thema symplektischer Topologie hier abbrechen, und
in eine andere Richtung vorgehen.
Es sei B2n (r) := {(x1 , . . . , x2n ) ∈ R2n : �2n i=1 (xj ) 2 < r} der Ball von Radius r in R2n und Z2n (R) := {(x1 , . . . , x2n ) ∈ R2n : (x1 ) 2 < R} der Zylinder von Radius R.
Satz 2.22 (Gromov’s Nonsqueezing Theorem) Ist ψ : B 2n (r) → Z 2n (R) symplektisch,
so ist r ≤ R.
Der obige Satz besagt, dass keine Abbildung, die die symplektische 2-Form auf R 2n
erhält, den r-Ball in den R-Zylinder zerquetschen kann, es sei denn, r ≤ R... daher der
Name.
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