Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11 ... - Stat4U

Fachdidaktische Aufbereitung
statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige
Schülerinnen und Schüler
Studienrichtung: Statistik
Begutachter:
Ao.Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec
eingereicht von:
Pia Ebhart
DIPLOMARBEIT
zur Erlangung des akademischen Grades
Magistra rerum socialium oeconomicarumque
(Mag. rer. soc. oec.)
Magistra der Sozial- und Wirtschaftswissenschaften
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften
Universität Wien
Wien, im Oktober 2005

Inhaltsverzeichnis i
1. Einleitung und Lehrplan ..................................................................................................... 1
1.1. Vorbemerkung ........................................................................................................... 1
1.2. Aufbau der Arbeit ...................................................................................................... 2
1.2.1. Symbolerklärung ........................................................................................... 3
1.3. Auszug aus dem Lehrplan 2000................................................................................. 4
1.3.1. Kernbereich und allgemeiner Auszug für die Unterstufe.............................. 4
1.3.2. Lehrstoff der 5. Schulstufe ............................................................................ 5
1.3.3. Lehrstoff der 6. Schulstufe ............................................................................ 6
1.3.4. Lehrstoff der 7. Schulstufe ............................................................................ 7
1.3.5. Lehrstoff der 8. Schulstufe ............................................................................ 8
2. Grundbegriffe der Statistik............................................................................................... 10
2.1. Daten........................................................................................................................ 10
2.1.1. Ausreißer ..................................................................................................... 11
2.2. Tabellen und Schaubilder ........................................................................................ 13
2.2.1. Die Tabelle .................................................................................................. 13
2.2.2. Schaubilder/Grafiken/Diagramme............................................................... 14
2.3. Merkmal, Merkmalsträger, Merkmalsausprägung................................................... 17
2.3.1. Nominales Merkmal .................................................................................... 18
2.3.2. Ordinales Merkmal...................................................................................... 18
2.3.3. Metrisches Merkmal.................................................................................... 18
3. Das Maximum, das Minimum und der Mittelwert ......................................................... 20
3.1. Das Maximum und das Minimum ........................................................................... 20
3.2. Der Mittelwert.......................................................................................................... 21
3.3. Beispiele................................................................................................................... 23
4. Die absolute und relative Häufigkeit ................................................................................ 28
4.1. Grafische Darstellungen von Häufigkeiten.............................................................. 33
4.1.1. Das Stabdiagramm ...................................................................................... 33
4.1.2. Das Säulendiagramm................................................................................... 35
4.1.3. Das Balkendiagramm .................................................................................. 37
4.1.4. Das Kreisdiagramm (der Prozentkreis) ....................................................... 38
4.2. Beispiele................................................................................................................... 40

Inhaltsverzeichnis ii
5. Klasseneinteilung................................................................................................................ 46
5.1. Die Verteilungstafel (die Klassenübersichtstabelle)................................................ 46
5.2. Das Histogramm ...................................................................................................... 49
5.2.1. Beispiele ...................................................................................................... 51
5.3. Das Stängel-Blatt-Diagramm................................................................................... 55
5.3.1. Beispiele ...................................................................................................... 58
6. Weitere grafische Darstellungen....................................................................................... 61
6.1. Das Punktdiagramm – das Polygonbild................................................................... 61
6.1.1. Beispiele ...................................................................................................... 63
6.2. Das Piktogramm ...................................................................................................... 66
6.2.1. Beispiele ...................................................................................................... 70
6.3. Fächerübergreifendes Projekt – Geografie und Wirtschaftskunde .......................... 72
6.3.1. Projektbogen................................................................................................ 73
7. Kennzahlen der Lage ......................................................................................................... 74
7.1. Der Modus m (Der Modalwert)............................................................................... 75
7.2. Der Median z (Der Zentralwert), 1. und 3. Quartil................................................. 76
7.2.1. Der Median z (Der Zentralwert).................................................................. 76
7.2.2. Die Quartile ................................................................................................. 78
7.3. Das arithmetische Mittel.......................................................................................... 79
7.3.1. Das gewogene und gewichtete Mittel ......................................................... 81
8. Kennzahlen der Streuung.................................................................................................. 86
8.1. Die Spannweite........................................................................................................ 87
8.2. Der Quartilabstand................................................................................................... 88
8.3. Die mittlere absolute Abweichung vom Median ..................................................... 89
8.4. Die Standardabweichung ......................................................................................... 92
9. Box-and-Whiskers-Plot (das Kastenschaubild)............................................................... 95
10. Beispiele zu Kennzahlen der Lage und Streuung.......................................................... 99

Inhaltsverzeichnis iii
11. Das Streudiagramm (das Punktwolkendiagramm) .................................................... 106
11.1. Beispiele............................................................................................................... 109
11.2. Fächerübergreifendes Projekt – Biologie und Umweltkunde.............................. 112
11.2.1. Erhebungsbogen ...................................................................................... 113
12. Tabellenkalkulation (MS Excel) ................................................................................... 115
12.1. Grundlegende Anwendungen .............................................................................. 116
12.1.1. Kopieren von Inhalten............................................................................. 118
12.1.2. Sortieren der Daten.................................................................................. 119
12.1.3. Filtern von Daten..................................................................................... 120
12.1.4. Die Zählenwenn-Funktion ..................................................................... 120
12.2. Berechnungen mit MS Excel ............................................................................... 121
12.2.1. Summenberechnung ................................................................................ 121
12.2.2. Eingeben und Kopieren von Formeln am Beispiel der Rang-Funktion .. 121
12.2.3. Berechnung von statistischen Kennzahlen.............................................. 124
12.3. Diagramme erstellen mit MS Excel..................................................................... 125
13. Fächerübergreifendes Projekt – Leibeserziehung ...................................................... 128
13.1. Kennzahlen der Lage und der Streuung............................................................... 129
13.2. Grafische Darstellung der einzelnen Merkmale .................................................. 129
13.3. Zusammenhang zwischen den einzelnen Merkmalen ......................................... 130
Anhang .................................................................................................................................. 131
Literaturverzeichnis ...................................................................................................... 131
Datenmaterial................................................................................................................ 132
Lehr- & Schulbuchverzeichnis ..................................................................................... 133

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 1
1. Einleitung und Lehrplan
1.1. Vorbemerkung
Während meiner Studienzeit hatte ich die Möglichkeit Schülerinnen und Schüler der
Unterstufe im Fach Mathematik zu unterrichten. Durch das Arbeiten mit gängigen
Schulbüchern bekam ich den Eindruck, dass der „Teilbereich Statistik“ durchwegs marginal
repräsentiert ist.
Dies motivierte mich im Rahmen meiner Diplomarbeit eine Fachdidaktische Aufbereitung
statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler zu erarbeiten, wobei es
für mich besonders wichtig war, dass diese SchülerInnengruppe für die Statistik und deren
Anwendungsmethoden ein Gefühl und damit Freude am Analysieren von Daten entwickeln
können. Vor allem durch praxisnahe Themen und die sich daraus ergebenden Daten,
verschiedene Gestaltungsmöglichkeiten und fächerübergreifende Anregungen versuchte ich
das Interesse für das gegenständliche Fachgebiet bei den Schülerinnen und Schülern zu
wecken.
Das Hauptziel dieser Diplomarbeit war es eine simple und vor allem computerunterstützende
Erklärung zu den einzelnen Teilkapiteln der Beschreibenden Statistik zu liefern. Es soll eine
Art Nachschlagewerk besonders für Lehrerinnen und Lehrern sein, die mit neuen Medien den
Mathematikunterricht bereichern wollen. Lehrbücher, die Beispiele zu den hier präsentierten
Themen der Beschreibenden Statistik liefern, findet man im Anhang unter
Schulbuchverzeichnis.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 2
1.2. Aufbau der Arbeit
Die Deskriptive oder auch Beschreibende Statistik wird in insgesamt 12 Kapiteln behandelt,
wobei das letzte Kapitel 13. Fächerübergreifendes Projekt – Leibeserziehung sich ganz einem
Projekt widmet, in dem die in den vorhergehenden Kapiteln erlernten Kenntnisse über
statistische Verfahren mit Hilfe vom Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel angewendet
werden.
Die Kapiteln 2. – 11. sind nicht unbedingt voneinander abhängig, jedoch fachdidaktisch
aufbauend angeordnet. In jedem Kapitel wird explizit erklärt, für welche Schulstufe(n) das
behandelte Gebiet der Beschreibenden Statistik geeignet ist. Jedes Kapitel besteht aus einer
einführenden Erklärung mit Zitaten aus Lehr- und Schulbüchern, mindestens einem
Einstiegsbeispiel (mit einem fett gedruckten Großbuchstaben gekennzeichnet), das sowohl
händisch als auch mit MS Excel vorgerechnet ist und mehreren Beispielen (mit fett
gedruckten Zahlen nummeriert), die meist aus Schulbüchern herausgefiltert und abgeändert
bzw. ausgebaut wurden.
Während in den einzelnen Kapiteln nur die jeweiligen MS Excel-Funktionen und Methoden
präsentiert werden, gibt es im Kapitel 12. Tabellenkalkulation (MS Excel) eine ausführliche
Einführung und Vertiefung des Tabellenkalkulationsprogramms MS Excel. Es wurde in der
Diplomarbeit durchgehend die Version MS Excel 2000 verwendet.
Grafiken, die nicht mit dem Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel erstellt werden können,
wurden mit der Hand gezeichnet, da in dieser Diplomarbeit kein weiteres Computerprogramm
für den Mathematikunterricht vorgestellt wird.
Im Laufe dieser Diplomarbeit werden insgesamt drei fächerübergreifende Projektvorschläge
vorgestellt, die den Schülerinnen und Schülern zeigen sollen, dass die Statistik und deren
Methoden nicht nur ein theoretisches Teilgebiet der Mathematik ist, sondern auch in den
anderen Schulfächern und in der Praxis Verwendung finden. Diese Projekte wurden in
abgeänderter Form (je nach Niveau der Schülerinnen und Schüler angeglichen) mit
Schülerinnen und Schülern aus der Hauptschule bzw. im Rahmen eines integrativen
Berufsausbildungs-Programms durchgeführt.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 3
Die Projektangaben sollen lediglich Richtlinien sein und werden wahrscheinlich zuerst an das
Niveau und die Aktivität sowie die Motivation der Schülerinnen und Schüler angepasst
werden müssen.
1.2.1. Symbolerklärung
In dieser Diplomarbeit werden der Einfachheit halber folgende Symbole verwendet:
Der Taschenrechner zeigt die Lösung für das (die) zuletzt gerechnete(n) Beispiel(e).
Der Computer weist darauf hin, dass das Vorzeigebeispiel noch einmal mit dem
Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel gerechnet wird.
Anmerkungen, die zu einem besseren Verständnis führen, sind mit einem Rufzeichen
gekennzeichnet. Hierbei handelt es sich jedoch meist um detaillierte Angaben, die noch zu
umfangreich bzw. komplex für die Kinder der Unterstufe erscheinen und ausschließlich für
die Mathematiklehrerinnen und –lehrer bestimmt sind.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 4
1.3. Auszug aus dem Lehrplan 2000
1.3.1. Kernbereich und allgemeiner Auszug für die Unterstufe
Die Schülerinnen und Schüler sollen praxisorientierte Aufgaben unter dem Aspekt der
Modellbildung möglichst oft rechnerisch, geometrisch und graphisch darstellen, lösen und
kritisch betrachten können. Dabei sollen sie von ihrer unmittelbaren Erlebniswelt ausgehen
und ihre Erfahrungen auch in fächerübergreifende Vorhaben einbringen.
Sie sollen elektronische Hilfen und (auch selbst erstellte) Formelsammlungen in steigendem
Ausmaß ab der 1. Klasse verwenden und wiederholt Gelegenheit haben, ihr
Vorstellungsvermögen auch computerunterstützt zu schulen. 1
In der Unterstufe wird die sogenannte Beschreibende Statistik erarbeitet, wobei auf
Prozentrechnen und grafische Darstellung besonders viel Wert gelegt werden soll. Den
Schülerinnen und Schülern sollen ab der 5. Schulstufe die verschiedenen Typen von Grafiken
vorgestellt werden und sie sollen lernen, nicht nur Schaubilder zu zeichnen, sondern auch von
bereits erstellten Diagrammen Informationen herauszufiltern. Dabei ist es wichtig, dass sie
wissen, worauf man achten muss und wie Ergebnisse von analysierten Daten anhand von
grafischen Darstellungen manipuliert werden können. Ab der 6. Schulstufe sollen die
Schülerinnen und Schüler in der Lage sein, prozentuelle Anteile errechnen, interpretieren und
darstellen zu können.
1 Hauer, Beatrix: Zum Beispiel Mathematik 1 – Lehrerbegleitheft. S. 3.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 5
1.3.2. Lehrstoff der 5. Schulstufe
- entsprechende Fragestellungen finden und Berechnungen durchführen können
- mit realen Gegebenheiten vergleichen
- grundlegende Überlegungen zur Sinnhaftigkeit von Modellen für die Praxis anstellen
- Tabellen und graphische Darstellungen zum Erfassen von Datenmengen verwenden
können 2
Zuerst sollte der Begriff „Statistik“ und seine Verwendung in der Praxis erklärt werden.
Einfache Rechenanwendungen wie Mittelwert, Maximum, Minimum,... können durchgeführt
werden, wobei darauf geachtet werden sollte, dass die verwendeten Daten eher einfach
gehalten werden. Die 5. Schulstufe sollte für eine Art Einführung genutzt werden.
Die Schülerinnen und Schüler sollten in der Lage sein, Tabellen lesen und übersichtlich
erstellen zu können. Sie brauchen noch keine Grafiken zu zeichnen, jedoch sollten ihnen
verschiedene Schaubilder präsentiert und erklärt werden, welche Entwicklung sie darstellen
und welche Aussagen sie haben. Es ist wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler
verschiedene grafische Darstellungen, deren Wirkung auf den Betrachter und die damit
verbundenen Manipulationsmöglichkeiten kennen lernen.
Falls in der Geometrie schon gelernt wurde (wird für gewöhnlich erst in der 6. Schulstufe
erarbeitet), wie man ein Koordinatensystem erstellt, kann man auch einfache Grafiken
anfertigen lassen.
Die SchülerInnen sollen lernen, Daten (auch größere Datenmengen) nach verschiedenen
Gesichtspunkten zu betrachten. Das Auffinden von Daten in großen Tabellen bedarf einer
besonderen Schulung, ebenso das Lesen und Interpretieren von grafischen Darstellungen. 3
2 Hauer, Beatrix: Zum Beispiel Mathematik 1 – Lehrerbegleitheft. S. 4.
3 Hauer, Beatrix: Zum Beispiel Mathematik 1 – Lehrerbegleitheft. S. 7.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 6
1.3.3. Lehrstoff der 6. Schulstufe
- relative Häufigkeiten ermitteln können
- entsprechende grafische Darstellungen lesen, anfertigen und kritisch betrachten können
- Manipulationsmöglichkeiten erkennen 4
Da in der 6. Schulstufe in der Algebra das Prozentrechnen gelehrt wird, folgt nach der
Einführung in die Beschreibende Statistik in der 5. Schulstufe die Berechnung der absoluten,
relativen und prozentuellen Häufigkeit sowie die damit verbundenen grafischen
Darstellungen: das Stabdiagramm, das Streckenschaubild, das Säulendiagramm, das
Balkendiagramm und der Prozentkreis. Neben diesen Grafiken können auch Punkt-, Polygon-
und Piktogramme vorgestellt werden. Es ist wichtig, die in der 5. Schulstufe begonnene
Problematik der Datenmanipulation zu wiederholen, fortzusetzen, zu ergänzen und
anzuwenden.
Zusätzlich sollten die Schülerinnen und Schüler selbst sich Umfragethemen überlegen,
Fragebögen entwerfen und die gewünschten Daten bei den passenden Zielgruppen erheben.
Es geht dabei nur um Darstellung von Häufigkeiten und nicht um Zusammenhangsanalysen.
Neben den reinen Fähigkeiten, die erlernt und geübt werden sollen, werden folgende Inhalte
erarbeitet: das Berechnen von Mittelwerten (gemeint ist hier immer das arithmetische Mittel),
das Bestimmen von absoluten und relativen Häufigkeiten und das selbstständige Anfertigen
von verschiedenen grafischen Darstellungsmöglichkeiten.
Ebenso sollen die SchülerInnen mit dem Lesen, Deuten und Interpretieren grafischer
Darstellungen der Statistik konfrontiert werden.
Im Sinne einer kritischen Betrachtung von Diagrammen sollen SchülerInnen auch
Manipulationsmöglichkeiten von Diagrammen (Abschneiden der y-Achse; Ändern des
Maßstabes, Darstellungen in Würfelform, ...) kennen lernen. 5
4 Hauer, Beatrix: Zum Beispiel Mathematik 2 – Lehrerbegleitheft. S. 5.
5 Hauer, Beatrix: Zum Beispiel Mathematik 2 – Lehrerbegleitheft. S. 9.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 7
1.3.4. Lehrstoff der 7. Schulstufe
- Untersuchen und Darstellen von Datenmengen 6
Die 7. Schulstufe wird vor allem zur Wiederholung und Vertiefung erlernter Kenntnisse
verwendet. Wieder sollen Schülerinnen und Schüler Daten selbst erheben und auch
selbstständig analysieren. Dabei sollte auch das Internet als Informationsquelle offen stehen.
Im Rahmen des Fachs Geografie und Wirtschaftskunde können wirtschaftliche und
gesellschaftliche Informationen aufgesucht, analysiert (prozentuelle Anteile errechnet) und
dargestellt werden (das Punkt-, das Polygon- und das Piktogramm werden wiederholt und
praxisbezogen angewendet). Überdies kann das Baumdiagramm als neue grafische
Darstellung vorgestellt werden.
Die Klasseneinteilung sollte auf jeden Fall erarbeitet werden, da die Erstellung wesentlicher
Diagramme (das Stängel-Blatt-Diagramm und das Histogramm) erlernt werden sollen.
Durch Wiederholungen und Vertiefung der Kenntnisse aus der 1. und 2. Klasse sollen die
SchülerInnen anhand von Sachverhalten Einsicht in Methoden der beschreibenden Statistik
gewinnen. Dabei soll nicht nur vorgegebenes Datenmaterial verwendet werden. SchülerInnen
sollen selbst Daten ermitteln, Daten aus anderen Quellen besorgen, hinterfragen, wie es zu
diesen Datensammlungen kommt, usw.
Bei der Auswertung der Daten sollen die SchülerInnen erfahren, dass je nach Sachsituation
und Untersuchungszweck unterschiedliche statistische Beschreibungsformen (verschiedene
Diagrammtypen, Klasseneinteilung, ... ) sinnvoll und vorteilhaft sein können. 7
Die 7. Schulstufe sollte auch als Einführung in ein Tabellenkalkulationsprogramm dienen. Die
Schülerinnen und Schüler sollen lernen, die bisher erlernten Kenntnisse der Beschreibenden
Statistik auch computerunterstützt anzuwenden, wobei die Erstellung der verschiedenen
Grafiken mit Hilfe des Computers einen großen Stellenwert haben sollte.
6 Hauer, Beatrix: Zum Beispiel Mathematik 3 – Lehrerbegleitheft. S. 5.
7 Hauer, Beatrix: Zum Beispiel Mathematik 3 – Lehrerbegleitheft. S. 12.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 8
1.3.5. Lehrstoff der 8. Schulstufe
- Untersuchen und Darstellen von Datenmengen unter Verwendung statistischer
Kennzahlen (z.B. Mittelwert, Median, Quartil, relative Häufigkeit, Streudiagramm) 8
In der 8. Schulstufe gibt es zwei große Kapiteln der Beschreibenden Statistik: die Kennzahlen
der Lage und der Streuung bzw. der Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen.
Lagemaße, wie der Modus, der Median, das arithmetische Mittel und Streuungsmaße, wie die
Spannweite, der Quartilabstand, die Mittlere absolute Abweichung vom Median und die
Standardabweichung sollten auf jeden Fall erarbeitet werden. Dabei ist es wichtig, dass die
Merkmalsskalen noch einmal wiederholt werden und die Schülerinnen und Schüler lernen,
welche Kennzahl(en) sie bei welchem Merkmal anwenden können. Bei den Beispielen sollten
auch die verschiedenen Maße untereinander verglichen und die Ergebnisse mit dem Lehrer
diskutiert werden. Als neues Diagramm wird das Kastenschaubild vorgestellt.
Um Zusammenhänge zwischen zwei metrischen Merkmalen feststellen zu können, wird das
Streudiagramm präsentiert. Die Schülerinnen und Schüler sollen lernen, anhand von einer
optischen Betrachtung einen Zusammenhang festzustellen.
Die SchülerInnen sollen nachvollziehen können, dass je nach Sachsituation unterschiedliche
statistische Beschreibungen vorteilhaft sein können. Klasseneinteilungen und Stängel-Blatt-
Diagramme sind Möglichkeiten für übersichtliche Darstellungen, anhand derer SchülerInnen
schon Vermutungen gewinnen und Besonderheiten erkennen können.
Arithmetisches Mittel, gewichtetes Mittel, Modus, Zentralwert, Maximalwert, Minimalwert, 1.
und 3. Quartil usw. sind statistische Maßzahlen, die weitere Einsichten ermöglichen. Auch
unterschiedliche grafische Darstellungen unterstützen das Erkennen von Besonderheiten. Das
Untersuchen der Abhängigkeit zweier Merkmale soll nur soweit erfolgen, dass die
SchülerInnen ein „Gefühl“ für Zusammenhänge zwischen Daten bekommen. Dazu dienen
Streudiagramme. 9
8 Hauer, Beatrix: Zum Beispiel Mathematik 4 – Lehrerbegleitheft. S. 5.
9 Hauer, Beatrix: Zum Beispiel Mathematik 4 – Lehrerbegleitheft. S. 10.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 9
Die in der 5. bis 8. Schulstufe erlernten Methoden der Beschreibenden Statistik sollen mit
Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms wiederholt und vertieft werden. Es sollte ein
Anliegen sein, dass die Schülerinnen und Schüler die mittels Computer erstellten Grafiken
und Tabellen formatieren und übersichtlich gestalten können.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 10
2. Grundbegriffe der Statistik
Dieses Kapitel kann man als Einführung in die Beschreibende Statistik sehen. Es ist für die
5. Schulstufe geeignet und sollte angewendet werden, bevor spezifische Methoden der
Statistik präsentiert werden. Es werden einige statistische Begriffe erklärt und
Manipulationsmöglichkeiten bei grafischen Darstellungen vorgestellt.
Zusätzlich sollte noch erwähnt werden, dass dieser Lehrstoff der Beschreibenden Statistik für
die Unterstufe nur ein kleines Teilgebiet der Statistik ist. Weiters dient dies als eine Art
Einleitung für die Schließende Statistik, die in der Oberstufe unterrichtet werden sollte. Deren
statistische Methoden werden in der Arbeitswelt unter anderem zum Testen von
Medikamenten verwendet bzw. werden die daraus resultierenden Ergebnisse als
Entscheidungsgrundlagen genützt.
Was ist die Beschreibende Statistik konkret?
Statistik an sich ist ein sehr breitgefächerter Begriff, zusammengefasst bedeutet die
Beschreibende Statistik nichts anderes, als Daten zu sammeln, erheben, verarbeiten, in
Tabellen und Grafiken festzuhalten und das Ergebnis zu interpretieren. Die
Schülerinnen und Schüler sollen im Laufe der Unterstufe lernen, die Beschreibende
Statistik Schritt für Schritt anzuwenden und mit Daten umzugehen.
Bevor die Schülerinnen und Schüler die verschiedenen Berechnungen und grafische
Darstellungen der Beschreibenden Statistik kennen lernen, werden zuerst noch ein paar
Begriffe, die immer wieder vorkommen, erklärt:
2.1. Daten
Daten sind gesammelte Fakten und die Statistik wird verwendet, um aus Daten Erkenntnisse
zu gewinnen. Eine Datenerhebung muss gut geplant werden:
• Was will ich wissen? – Was ist das Thema der Studie?
• Wen befrage ich? – Was ist die Grundgesamtheit?
• …

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 11
Es gibt verschiedene Arten von Erhebungen:
• Befragung (schriftlich/mündlich): sie wird in der Schule am häufigsten verwendet
• Beobachtung
• Experiment (vor allem im Chemie-, Biologie- und Physikunterricht)
Nachdem genügend Daten erhoben wurden, müssen diese aufbereitet werden. Mit Hilfe eines
Computerprogramms (siehe Kapitel 12. Tabellenkalkulation (MS Excel)) kann ein Datensatz
sehr schnell und unkompliziert analysiert werden. Als Letztes müssen nur noch die
Ergebnisse interpretiert und vielleicht grafisch veranschaulicht werden.
Eine Urliste ist eine Liste von gesammelten Daten, die unmittelbar aus der Erhebung
hervorgehen und somit noch nicht geordnet bzw. analysiert wurden. Sie wird oft in den
Schulbüchern als Angabe eines statistischen Beispieles verwendet.
Besteht die Urliste aus metrischen Werten (zum Beispiel Körpergröße, Alter, Noten, ... ) kann
diese auch als Rangliste notiert werden. Dabei werden die Elemente der Urliste der Größe
nach entweder absteigend (beginnend mit dem größten Wert) oder aufsteigend (beginnend mit
dem kleinsten Wert) geordnet. Wichtig ist, dass jeder Zahlenwert der Urliste in der Rangliste
auftritt, auch wenn dieser mehrmals in der Urliste vorkommt.
Die Rangliste vereinfacht meist simple Berechnungen und wird im Laufe dieser Diplomarbeit
noch öfters erwähnt werden (zum Beispiel kann man das Maximum (der höchste Wert) und
das Minimum (der kleinste Wert) leichter ablesen) .
2.1.1. Ausreißer
Als Ausreißer werden jene Werte bezeichnet, die beträchtlich größer oder kleiner als alle
anderen Werte innerhalb der Daten sind. Meistens erkennt man sie sehr gut in grafischen
Darstellungen.
Das folgende Beispiel ist sehr schlicht gehalten und soll ausschließlich das Ausreißerproblem
demonstrieren. Es dient nicht dazu diverse statistische Methoden praktisch anzuwenden. Die
Werte werden mit einem händisch angefertigten Zahlenstrahl grafisch dargestellt, da dieser

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 12
für die Schülerinnen und Schüler der 5. Schulstufe sowohl am leichtesten zu zeichnen als
auch zu interpretieren ist:
A Zehn Schülerinnen und Schüler einer Klasse (Alice, Bettina, Martin, Stefan, Christian, Nina,
Martha, Alex, Hannes und Julia) vergleichen ihren Schulweg in Minuten. Die erhobenen
Werte werden in der folgenden Tabelle zusammengefasst und aufsteigend geordnet:
Tabelle 2.1 „Ausreißerproblem“
Schülerin/Schüler Schulweg in Minuten
Alice 5 min
Alex 19 min
Hannes 21 min
Stefan 22 min
Bettina 25 min
Martha 26 min
Julia 28 min
Nina 30 min
Martin und
Christian sind Brüder
31 min
31 min
Man sieht schon anhand dieser Tabelle, dass Alice eindeutig eine „Ausreißerposition“
einnimmt. Wenn man nun diese Werte auf einen Zahlenstrahl einzeichnet, kann man den Wert
von Alice „5 min“ sehr gut als Ausreißer identifizieren:
Es gilt folgende Werte grafisch darzustellen: 5, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 30, 31, 31
Grafik 2.1 „Ausreißerproblem“

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 13
Während die Werte der neun anderen Schülerinnen und Schülern eng aneinander liegen, kann
man mit freiem Auge anhand der grafischen Darstellung erkennen, dass Alice einen deutlich
kürzeren Schulweg als alle anderen 9 Schülerinnen und Schüler hat (hier mit Hilfe von zwei
Kreisen noch verdeutlicht).
Woran könnte das liegen?
Alice ist die einzige Schülerin unter diesen zehn Kindern, die neben der Schule
wohnt. Alle anderen wohnen weiter weg und sind vielleicht sogar auch auf
öffentliche Verkehrsmittel angewiesen.
Ausreißer kommen in der Praxis häufig vor (kann auch Fehler bei der Datenerhebung sein)
und somit sollte einem bewusst sein, dass dadurch statistische Ergebnisse beträchtlich
verfälscht werden können. Deshalb ist es wichtig, Ausreißer während einer Datenanalyse
kritisch zu betrachten.
2.2. Tabellen und Schaubilder
2.2.1. Die Tabelle
Daten können mit Hilfe von Tabellen dargestellt werden. Da sie notwendige und konkrete
Informationen über die Daten wiedergeben müssen, ist es wichtig, dass sie übersichtlich
aufgebaut und beschriftet (Überschrift,...) sind. Sie haben den Vorteil, dass die einzelnen
Zahlenwerte des Datensatzes exakt abgelesen werden können (Anmerkung: Außer wenn die
Daten in Klassen eingeteilt werden siehe dazu Kapitel: 5.1. Die Verteilungstafel (die
Klassenübersichtstabelle)).
Aufpassen: Je mehr Informationen in die Tabelle eingetragen werden, desto unübersichtlicher
erscheint sie. Beim Erstellen einer Tabelle sollte man sich auf das Wesentliche und zum
besseren Verständnis auch auf das Wichtigste beschränken.
In dieser Arbeit werden Tabellen vor allem zur Berechnung von Häufigkeiten und zur
einfachen Datenerhebung verwendet.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 14
2.2.2. Schaubilder/Grafiken/Diagramme
Schaubilder müssen – wie Tabellen – eindeutig beschriftet und übersichtlich sein. Da sie die
Aufgabe haben, auf einen Blick zu informieren, sollten sie nicht mit Informationen überladen
werden. 10
Für die grafische Darstellung von Größen in Diagrammen ist wichtig:
- Sinnvolle Maßeinheiten wählen;
- Einteilung der Achsen, am Nullpunkt beginnen;
- Beschriftung der Achsen, Maßeinheit angeben;
- in der Überschrift angeben, was dargestellt ist. 11
Durch die Art der Darstellung kann ein falscher Eindruck erweckt werden. Werden durch
Darstellungsfehler Informationen verschleiert oder sogar absichtlich weggelassen, um einen
bestimmten Eindruck zu erzeugen, spricht man von Manipulation. 12
Es ist wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler lernen, wie man Grafiken interpretiert und
worauf man besonders Acht geben sollte. Die drei nachstehenden Manipulations-
möglichkeiten werden in den folgenden Beispielen illustriert:
� Veränderung der Intervallskalierung (x-Achse und/oder y-Achse)
� Unterdrückung des Nullpunktes
� Manipulation durch Flächen- bzw. Volumenvergrößerung
10 Holland, Heinrich und Scharnbacher, Kurt: Grundlagen der Statistik. S. 24.
11 Lindbichler, Gerhard u. a. : Querschnitt Mathematik 1. S. 203.
12 Lewisch, Ingrid: Mathematik 2. S. 238.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 15
1 Die nächsten 2 Schaubilder zeigen die Anzahl der Flugunfälle von 1958 – 2000. 13
1. Die Abstände zwischen den einzelnen Jahreszahlen sind unregelmäßig.
2. Obwohl beide Diagramme dieselbe Entwicklung der Flugunfälle von 1958 bis 2000
darstellen, hat man den Eindruck, dass bei der zweiten Grafik sich die Anzahl der
Flugunfälle rasanter und stärker geändert hat. Diese Täuschung konnte herbeigeführt
werden, indem die x-Achse vom ersten Schaubild gestaucht und die y-Achse gedehnt
wurde und somit die Abstände zwischen den Werten verändert wurden.
Grafik 2.2a „Flugunfälle 1958 bis 2000“ Grafik 2.2b„Flugunfälle 1958 bis 2000“
180
160
140
120
100
80
60
40
20
34
Flugunfälle 1958 bis 2000
89
80
170
130
92
76
0
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
13 Quelle: Statistik Austria: Statistisches Jahrbuch Österreichs 2002. S. 391.
23
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Flugunfälle 1958 bis 2000
34
89
80
170
130
1 950 1 960 1 970 1 980 1 990 2000 201 0
92
76
23

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2 Das folgende Histogramm zeigt drei mögliche Gewichtsklassen von Eiern. Da die erste
Gewichtsklasse bei 48 g (das heißt, das leichteste Ei besitzt eine Masse von 48 g) beginnt –
und nicht bei Null – kann die x-Achse verkürzt werden:
Grafik 2.3 „Histogramm“ 14
3 Grafik 2.4 „PKW Bestand“ 15
Dieses Zeichen auf einer Achse sagt aus,
dass die Daten, die in diesem Diagramm
dargestellt werden, nicht bei Null
beginnen.
Das heißt, die Achse wird um ein
bestimmtes Intervall verkürzt.
Im Diagramm sieht man die rasante Entwicklung
des Bestands an PKWs und Kombis in
Österreich von 1965 (760 000 Autos) bis 2000
(3 800 000 Autos, also ca. fünfmal soviel).
Diese grafische Darstellung erweckt den
falschen Eindruck, als gäbe es im Jahre 2000
viel mehr als nur fünfmal so viele Autos als im
Vergleichsjahr.
14 Reichel, Hans-Christian u. a. : Das ist Mathematik 2. S. 152.
15 Erber, Gabriele u. a. : Zum Beispiel Mathematik 2 - Lehrermaterialien (CD-Rom).

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2.3. Merkmal, Merkmalsträger, Merkmalsausprägung
Die verschiedenen Werte eines Merkmals nennt man Merkmalsausprägungen. Jedes
Merkmal kann mehrere Merkmalsausprägungen besitzen. Die Menschen oder die Objekte, die
diese Merkmalsausprägung besitzen, heißen Merkmalsträger.
Beispiel
Jeder kennt den faulen und verfressenen Comic-Kater Garfield und seinen Freund Odie.
Will man nun die beiden Freunde anhand ihrer Fellfarbe, vergleichen kommt man zu
folgendem Schluss: 16
„Fellfarbe“ ist ein Merkmal – „Garfield“ ist ein Merkmalsträger – „orange“ ist
die Merkmalsausprägung des Merkmals Fellfarbe
Wieder ist die „Fellfarbe“ das Merkmal – diesmal ist aber „Odie“ der
Merkmalsträger – „gelb“ ist die Merkmalsausprägung des Merkmals Fellfarbe
Es gibt jedoch verschiedene Arten von Merkmalen:
Je nach Art des Merkmals können bestimmte statistische Kennzahlen berechnet werden. Da
diese aber erst Stoff der 8. Schulstufe sind, werden sie erst in den Kapiteln 4. Die absolute
und relative Häufigkeit, 7. Kennzahlen der Lage und 8. Kennzahlen der Streuung präsentiert.
Die folgenden Unterkapitel erklären nicht nur die diversen Merkmalsarten und welche
Kennzahlen berechnet werden können, sondern geben auch ein paar Beispiele an.
16 beide Grafiken: www.garfield.com

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2.3.1. Nominales Merkmal
Daten, deren Ausprägungen keine Struktur aufweisen, bezeichnet man als nominalskaliert.
Sie stehen gleichberechtigt nebeneinander und man kann ihnen Zahlen als eine Art
„Verschlüsselung“ zuweisen. Es können nur absolute und relative Häufigkeiten und der
Modus errechnet werden.
Beispiele: Familienstand, Blutgruppen, Geschlecht, Postleitzahlen, Land, Augenfarbe, ...
2.3.2. Ordinales Merkmal
Daten, die eine Rangordnung aufweisen (vor allem Zahlen, können aber auch zum Beispiel
von Symbolen dargestellt werden), werden als ordinal- oder rangskaliert bezeichnet. Es
können zusätzlich zur absoluten und relativen Häufigkeit und dem Modus auch der Median
und die Quartile (allgemein Quantile) berechnet werden.
Wichtig ist vor allem, dass eine Rangordnung erkennbar sein muss.
Beispiele: Schulnoten, Ranglisten im Sport, militärischer Rang, Güteklassen, ...
2.3.3. Metrisches Merkmal
Daten werden als metrischskaliert bezeichnet, wenn diese nicht nur eine Rangordnung
aufweisen sondern auch die Möglichkeit besteht die einzelnen Abstände zwischen den
Ausprägungen errechnen zu können. Sie können zusätzlich zu den schon erwähnten
Kennzahlen auch mit dem arithmetischen Mittel, der Standardabweichung und der Varianz
beschrieben werden. Hier unterscheidet man zwischen den intervall- und den
verhältnisskalierten Merkmalen. Wichtig ist, dass Ausprägungen von verhältnisskalierte
Merkmalen einen wohldefinierten Nullpunkt aufweisen, während die Wahl des Nullpunktes
bei intervallskalierten Merkmalen beliebig ist.

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Beispiele für intervallsskalierte Merkmale: Temperatur in °C, Jahreszahlen, ...
Beispiele für verhältnisskalierte Merkmale: Gewicht, Länge, Fläche, Volumen, ...
Hier werden noch zu besseren Übersicht die Merkmale tabellarisch zusammengefasst:
Tabelle 2.2 „Merkmalstabelle“
Merkmal Statistische Kennzahlen, die
berechnet werden können
Beispiele
nominalskaliert Absolute, relative & Haarfarbe
prozentuelle Häufigkeit, Land
Modus
Geschlecht
Ordinal-/rangskaliert Zusätzlich: Median, Schulnoten
Quartile (Quantile) Ranglisten im Sport
metrische Merkmale Zusätzlich: Varianz
verhältnisskaliert Standardabweichung Gewicht
intervallskaliert Arithmetisches Mittel Temperatur in °C

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3. Das Maximum, das Minimum und der Mittelwert
3.1. Das Maximum und das Minimum
Wichtige und durchaus leicht errechenbare Kennzahlen der Beschreibenden Statistik sind das
Minimum und das Maximum. Sie begrenzen den Bereich der beobachteten Werte eines
Merkmals und können meist mit freiem Auge berechnet werden. Falls dies nicht der Fall ist,
werden die Daten notwendigerweise sortiert.
xMax ist der größte Wert
xMin ist der kleinste Wert
Der MS Excel-Befehl für das Maximum lautet =max() und für das Minimum =min()
(siehe auch Kapitel 12.2.3. Berechnung von statistischen Kennzahlen).
B Flusslängen auf steirischem Gebiet: 17
Enns 130,4 km
Feistritz 98,6 km
Kainach 59,0 km
Lafnitz 81,8 km
Mur 290,9 km
Mürz 78,9 km
Raab 96,2 km
Um das Weiterrechnen zu vereinfachen, sollte man die Daten der Größe nach anordnen:
Mur 290,9 km
Enns 130,4 km
Feistritz 98,6 km
Raab 96,2 km
Lafnitz 81,8 km
Mürz 78,5 km
Kainach 59,0 km
Jetzt sind die Ergebnisse sehr leicht ablesbar:
xMax = der Fluss, der am längsten ist (auf steirischem Gebiet) = die Mur mit 290,9 km
xMin = der Fluss, der am kürzersten ist (auf steirischem Gebiet) = die Kainach mit 59 km
17 Quelle: Landesamt für Statistik der steirischen Landesregierung: http://www.statistik.steiermark.at/

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Die Flüsse sind natürlich länger aber da diese geografische Datenerhebung vom
statistischen Landesamt der Steiermark ausging, ist für dieses nur die tatsächliche Länge
der Flüsse auf steirischem Gebiet interessant. Dies, ist auch ein gutes Beispiel um zu zeigen,
dass es sehr wichtig ist auf die Fragestellung zu achten. Hier war nicht die ganze Flusslänge,
sondern die Länge auf steirischem Boden gefragt!
3.2. Der Mittelwert
Der Mittelwert ist nicht nur eine wichtige Kennzahl der Beschreibenden Statistik, er wird
auch im alltäglichen Leben verwendet. Dieses Kapitel ist für Schülerinnen und Schüler der 5.
Schulstufe geeignet. Sie sollen lediglich den Durchschnittswert eines metrischen Merkmals
berechnen und aus diesem Ergebnis Schlüsse ziehen können.
Mehr zu diesem Thema siehe Kapitel 7. Kennzahlen der Lage.
Die Formel zur Berechnung des Mittelwertes lautet wie folgt:
Summe der Einzelwerte
Mittelwert =
Anzahlder
Einzelwerte
Das folgende Modell-Beispiel besteht aus praxisnahen Daten und sollte vor allem dazu
verwendet werden, den Schülerinnen und Schülern zu demonstrieren, dass die Berechnung
eines Durchschnittswertes durchaus auch Anwendung im alltäglichen Leben findet. Weiters
ist zu beachten, dass
� die Daten monatlich schriftlich festgehalten wurden (zum Beispiel in Form eines
Haushaltbuches) und sie somit über 12 Monate erhoben worden sind.
� die Aufgabe nun darin besteht den Mittelwert mittels der oben angegebenen Formel
zu berechnen. Der MS Excel-Befehl lautet: =mittelwert(), siehe auch Kapitel
12.2.3. Berechnung von statistischen Kennzahlen.
3 Familie Kramer nun für das kommende Jahr mit Hilfe der Ergebnisse vorausplanen
und somit das Haushaltbudget besser strukturieren kann.

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Davor sollten die Daten aber noch zusammen mit den Schülerinnen und Schülern betrachtet
und besprochen werden. Man kann schon mit freiem Auge erkennen, dass die Ausgaben über
die Monate relativ konstant sind, außer Juli und Dezember. Siehe dazu auch das
vorhergegangen Kapitel 3.1. Das Maximum und das Minimum. Die Schülerinnen und Schüler
sollten in der Lage sein diese Werte zu hinterfragen und mögliche Ursachen dafür zu finden:
Im Juli könnte die Familie auf Urlaub gefahren sein, der in den alltäglichen Ausgaben für
Nahrungsmittel nicht inbegriffen ist. Im Dezember könnte das Weihnachtsfest Grund für
höhere Ausgaben sein.
C Familie Kramer gibt im Laufe eines Jahres folgende Beträge für Nahrungsmitteleinkäufe pro
Monat aus (auf Euro gerundet):
Tabelle 3.1 „monatliche Ausgaben für Nahrungsmittel“ 18
Jänner Februar März April Mai Juni
386 € 358 € 373 € 390 € 384 € 392 €
Juli August September Oktober November Dezember
310 € 336 € 403 € 392 € 383 € 461 €
Berechne die mittleren Monatsausgaben, runde dann in Euro.
Berechne nun auch das Maximum und Minimum und interpretiere die Ergebnisse: Was
bedeuten sie für die Planung des Haushaltsbudgets?
� Gesamtsumme der monatlichen Ausgaben im Jahr: 4 568 Euro
� Beobachtungsdauer = Anzahl der Einzelwerte = 12 (Monate)
386 € + 358€
+ 373€
+ 390€
+ 384€
+ 392€
+ 310€
+ 336€
+ 403€
+ 392€
+ 383€
+ 461€
� Mittelwert =
12
4568 €
= = 380,66666..... ≈ 380,67 Euro
12
xMin = 310 € (Juli) xMax = 461 € (Dezember)
Die Interpretationsvorschläge findet man in der obigen Beispielserklärung.
18 Erber, Gabriele: Zum Beispiel Mathematik 1 - Lehrermaterialien (CD-Rom).

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In diesem Beispiel erkennt man ganz gut folgende Eigenschaft des Mittelwerts:
• manchmal liegen die einzelnen Werte unter dem errechneten Durchschnittswert (in
diesen Monaten bleibt somit Geld übrig)
• manchmal wird zu viel im Monat ausgegeben und deshalb reicht das monatliche
Budget nicht aus.
Da es sich aber um einen Mittelwert des Jahres handelt und sich die monatlichen
Unterschiede zu diesem Durchschnittswert ausgleichen, hat dies für das Jahresbudget keine
Auswirkungen.
Der Befehl für die Errechnung des Mittelwertes mit Hilfe von MS Excel lautet :
= mittelwert(), mehr dazu siehe Kapitel 12.2.3. Berechnung von statistischen Kennzahlen.
3.3. Beispiele
1 Inge, Beate und Claudia fahren während ihrer Radtour 4 Tage die Donau entlang. Beate hat in
ihrem Tagebuch jeden Tag die gefahrenen Kilometer festgehalten.
Tabelle 3.2 „gefahrene Kilometer“ 19
24. 6. Krems – Melk 37,2 km
25. 6. Melk – Ybbs 23,9 km
26. 6. Ybbs – Grein 20,6 km
27. 6. Grein – Mauthausen 33,5 km
Am Ende ihre 4-tägigen Radtour wollen die drei Mädchen nun wissen
a) Wie viele Kilometer haben sie insgesamt an der Donau zurückgelegt?
b) Wie viele Kilometer sind sie durchschnittlich an einem Tag gefahren?
c) An welchem Tag sind sie die meisten Kilometer gefahren?
d) An welchem Tag haben sie die wenigsten Kilometer zurückgelegt?
e) Was könnten die Gründe dafür sein? Spielen die Höhenmeter auch eine Rolle?
19 Schröder, Max; Wurl, Bernd und Wynandy, Alexander: Der Maßstab 1. S. 218.

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Hier nun die Ergebnisse und Interpretationsmöglichkeiten
a) Sie haben insgesamt 115,2 km zurückgelegt.
b) Sie sind im Durchschnitt 28,8 km am Tag gefahren.
c) Sie sind am ersten Tag die meisten Kilometer gefahren.
d) Sie haben am dritten Tag die wenigsten Kilometer zurückgelegt.
e) Bei der Interpretation auf Energie, Motivation, Ausdauer, Höhenmeter, Körper- und
Wegzustand bzw. Straßenverhältnisse achten! Diese und andere Faktoren können eine
Rolle spielen.
Dieses Beispiel soll das Ausreißerproblem, das schon im Kapitel 2.1.1. Ausreißer vorgestellt
wurde, verdeutlichen. Dazu werden die Werte vom Modell-Beispiel A dieses Kapitels noch
einmal hergenommen und genauer betrachtet.
2 Zehn Schülerinnen und Schüler einer Klasse: Alice, Bettina, Martin, Stefan, Christian, Nina,
Martha, Alex, Hannes und Julia vergleichen ihren Schulweg in Minuten. Die erhobenen
Werte werden in der folgenden Tabelle zusammengefasst und aufsteigend geordnet:
Tabelle 3.3 „Ausreißerproblem“
Schülerin/Schüler Schulweg in Minuten
Alice 5 min
Alex 19 min
Hannes 21 min
Stefan 22 min
Bettina 25 min
Martha 26 min
Julia 28 min
Nina 30 min
Martin und
Christian sind Brüder
31 min
31 min
Berechne das Minimum, das Maximum und den Mittelwert. Alice nimmt eindeutig eine
Ausreißerposition ein, errechne zuerst den Mittelwert mit ihrem Wert und danach ohne ihren
Wert – was kann man erkennen?
Alice hat den kürzesten Schulweg mit 5 Minuten.
Martin und Christian haben mit 31 Minuten den längsten Schulweg.
Mittelwert (alle Schülerinnen und Schüler) = 23,8

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Ein Schüler bzw. eine Schülerin dieser Schule hat durchschnittlich einen Schulweg von 23,8
Minuten. Das Ergebnis wird aber etwas verändert, wenn man den Schulweg von Alice als
„Ausreißer“ betrachtet und ihn aus diesem Grund bei der Mittelwertsberechnung weglässt.
Mittelwert (ohne Alice – Ausreißer wird weggelassen) ≈ 25,9
Wird der Wert von Alice weggelassen, da dieser als „nicht repräsentativ“ angenommen wird,
erhöht sich der durchschnittliche Schulweg um 2 Minuten.
3 Viele Bundesländer verwenden manchmal die Statistik der Sonnenscheindauer um Urlauber
sowohl für die Winter- als auch für die Sommersaison zu werben. Errechne Maximum,
Minimum und Mittelwert der Bundesländer bzw. Monate und vergleiche die diversen
Ergebnisse miteinander. Was kann man daraus schließen? Welcher Ort ist bezüglich der
folgenden
Statistik für einen Sommer-/Winterurlaub geeignet, welcher nicht?
Tabelle 3.4 „Sonnenscheindauer 2000 in Stunden“ 20
Beobachtungsstationen
Brgld. Ktn. NÖ OÖ Slbrg. Stmk. Tirol Vlbrg. Wien
Eisenstadt Klagenfurt St.Pölten Rohrbach Salzburg Graz Innsbruck Feldkirch Wien
Jän. 71 134 45 69 101 127 120 106 66
Feb. 146 193 115 84 86 175 114 101 127
März 125 206 93 109 117 161 142 125 113
April 257 191 249 213 187 199 187 177 278
Mai 277 254 278 262 230 256 Ausfall 213 305
Juni 275 290 310 312 251 305 261 253 322
Juli 161 231 176 166 154 201 191 173 173
Aug. 294 281 272 279 261 271 254 253 297
Sept. 182 219 156 175 175 174 190 193 176
Okt. 149 84 113 95 99 134 132 86 139
Nov. 90 54 61 84 101 87 104 98 81
Dez. 42 45 27 60 77 67 97 65 39
Σ 2 069 2 182 1 895 1 908 1 839 2 157 1 792 1 843 2 116
Σ ... Jahressumme (Sonnenscheindauer im ganzen Jahr)
Dieses Beispiel wurde mit MS Excel durchgeführt; neben der Minimums-, Maximums- und
Mittelwertsformel wurde außerdem die Methode Unten Ausfüllen verwendet, siehe dazu
Kapitel 12.1.1. Kopieren von Inhalten bzw. 12.2.3. Berechnung von statistischen Kennzahlen.
20 Quelle: Zentralanstalt für Meterologie und Geodynamik – Statistik Austria: Statistisches Jahrbuch Österreichs
2002. S. 36.

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Tabelle 3.5 „Ergebnis Sonnenscheindauer“
Brgld. Ktn. NÖ OÖ Slbrg. Stmk. Tirol Vlbrg. Wien
Minimum 42 45 27 60 77 67 97 65 39
Maximum 294 290 310 312 261 305 261 253 322
Mittelwert 172,4 181,8 157,9 159 153,25 179,75 162,9 153,58 176,3
Zusätzlich wurden noch berechnet:
Minimum der Mittelwerte: 153,25
Salzburg hat durchschnittlich im Monat die wenigsten Sonnenstunden
Maximum der Mittelwerte: 181,8
Kärnten hat durchschnittlich im Monat die meisten Sonnenstunden
Vergleich der Sommermonate:
Maximum im Juni: 322 – Wien
Maximum im Juli: 231 – Kärnten
Maximum im August: 297 – Wien
Minimum der totalen Sonnenscheindauer im Jahr 2000: 1792
Tirol hat mit 1792 insgesamt die wenigsten Sonnenstunden
(darauf wird später noch genauer eingegangen)
Maximum der totalen Sonnenscheindauer im Jahr 2000: 2182 – Kärnten
Kärnten weist übrigens auch die maximale totale Sonnenscheindauer innerhalb des ganzen
Jahres auf, während Tirol (offensichtlich, weil es im Monat Mai einen Ausfall gab und
deshalb die Stunden des ganzen Monats Mai nicht mitgerechnet werden können) die
niedrigste totale Sonnenscheindauer aufweist.
Schließlich spricht die simple Auswertung für einen netten Sommerurlaub im Land Kärnten.
Der „Ausfall“ in Innsbruck verfälscht das Ergebnis der totalen Sonnenstunden in Tirol und in
Folge dessen in ganz Österreich, verändert aber wahrscheinlich nichts an dem Maximum oder
Minimum, da man annehmen kann, dass es im Mai weder die meisten noch die wenigsten
Sonnenstunden in Tirol gegeben hat. Zusätzlich ist zu beachten, dass man auf Grund des
fehlenden Datenpunktes die jeweiligen Summen nicht vergleichen kann.
In diesem Fall ist es sinnvoller den Mittelwert anzuwenden; man muss sich jedoch bewusst
sein, dass dieser in Tirol durch den Ausfall – da die Sonnenstunden vom Monat Mai (ein
Frühjahrsmonat) beim Berechnen des Durchschnitts fehlen – leicht verändert wird.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 27
Bei „fehlenden Werte“ gibt es mehrere Möglichkeiten, die Datenanalyse fortzusetzen.
MS Excel lässt den fehlenden Wert bei Berechnungen einfach weg. Dies ist beim
Berechnen der Summe ein Problem; für den Mittelwert hingegen werden einfach nur die 11
konkreten Datenpunkte in Betracht gezogen. Das ergibt folgende Formel:
Mittelwert von Tirol =
Summe der 11Werte
.
11
Da man aber in diesem Beispiel schlecht den ganzen Datenpunkt (also entweder das
Bundesland Tirol oder den Monat Mai) weglassen kann, empfiehlt es sich, den Mittelwert der
übrigen Werte einzusetzen. Weitere Hinweise findet man in der entsprechenden Literatur.
Eine detaillierte Angabe würde den Rahmen der Diplomarbeit sprengen. Wichtig ist nur, dass
die Schülerinnen und Schüler sehen, dass es bei realen Daten, also jene, die praktisch erhoben
werden, zu Komplikationen kommen kann und dass man flexibel genug sein muss, um diese
Probleme zu lösen.
Weiters ist darauf hinzuweisen, dass diese Daten nur für ein Jahr bestimmt sind. Es kann sein,
dass das Jahr 2000 nicht typisch war und die Ergebnisse somit für Prognosen der kommenden
Jahre nicht geeignet sein könnten.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 28
4. Die absolute und relative Häufigkeit
Als zentrale Begriffe der Statistik erweisen sich die absolute und die relative Häufigkeit. 21
In diesem Kapitel sollen die verschiedenen Arten von Häufigkeiten von Merkmalen sowohl
als absolute Zahlen, in Dezimalzahlschreibweise und als Prozentsätze, als auch in Grafiken
dargestellt werden. Dieses wesentliche Teilgebiet der Beschreibenden Statistik ist Lehrstoff
der 6. Schulstufe, sollte aber erst in den Mathematikunterricht einfließen, wenn die
Prozentrechnung schon beherrscht wird.
Die Schülerinnen und Schüler lernen aus einer Tabelle zum Beispiel anhand einer Strichliste
nicht nur die gewünschten Häufigkeiten (absolute, relative und prozentuelle) zu berechnen,
sondern auch diese mit den geeigneten Schaubildern (Stab-, Balken-, Säulen- und
Kreisdiagramm) grafisch darzustellen.
Es ist sehr wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler lernen eine Tabelle, in der die
Häufigkeiten eingetragen werden sollen, so übersichtlich wie nur möglich zu gestalten.
Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft eine bestimmte Merkmalsausprägung oder ein
bestimmter Wert innerhalb erhobener Daten auftritt (ist also gleich der Anzahl der
Beobachtungen der einzelnen Merkmalsausprägungen).
Die relative Häufigkeit wird so errechnet:
absolute Häufigkeit
Anzahlaller
Beobachtungen
Die relative Häufigkeit bezieht sich somit immer auf die Gesamtanzahl.
Manchmal wird der Begriff prozentuelle Häufigkeit in den Lehrbüchern verwendet. Sie gibt
die relative Häufigkeit in Prozenten an.
die prozentuelle Häufigkeit = die relative Häufigkeit mal 100%
21 Gollman u. a. (Lehrerarbeitsgemeinschaft): Lebendige Mathematik 4. S.173.

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Im folgenden Modell-Beispiel werden die Resultate einer Klassensprecher(in)wahl mit Hilfe
einer Tabelle präsentiert. Mittels Strichlisten wurde die Datenerhebung (Anzahl der Stimmen
pro Kandidat(in)) erleichtert. Danach wurden die absoluten, relativen und prozentuellen
Häufigkeiten errechnet und in die passenden Spalten eingetragen.
D1 Eine Klassensprecher(in)wahl in der Klasse 2B ging so aus:
Tabelle 4.1 „Klassensprecherwahl“
Schüler
Strichliste Absolute relative prozentuelle
Schülerin
Häufigkeit Häufigkeit Häufigkeit
Melly |||| |||| || 12 12/25 = 0,48 48 %
Doris |||| | 6 6/25 = 0,24 24 %
Alex ||| 3 3/25 = 0,12 12 %
Markus |||| 4 4/25 = 0,16 16 %
Gesamtanzahl 25 1 100 %
Erklärung der Strichliste: Anhand einer Strichliste wird das Errechnen der absoluten
Häufigkeiten erleichtert. Jeder Strich | zählt für eine Stimme; wenn man schon vier Stimmen
gezählt hat und es kommt eine fünfte hinzu, dann streicht man die letzten vier durch ||||. So
entstehen mehrere Blöcke, die man leichter optisch erkennen kann.
Die absolute Häufigkeit ist hier somit die Anzahl der Striche einer Strichliste.
12 Schülerinnen und Schüler aus dieser Klasse haben für Melly gestimmt, das sind 48% der
Schülerinnen und Schüler in der Klasse, also fast die Hälfte. 6 Schülerinnen und Schüler
wollten, dass Doris die nächste Klassensprecherin wird, das sind ca. ein Viertel der Kinder der
Klasse. 3 Schülerinnen und Schüler (12% der Kinder der 2B) stimmten für Alex und 4
Schülerinnen und Schüler (16% der Kinder) stimmten für Markus.
Im Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel wird nicht nur die Datenerhebung effizienter
durchgeführt sondern auch die Berechnung der absoluten, relativen und prozentuellen
Häufigkeiten erleichtert. Die folgenden Absätze erklären anhand des oben vorgestellten
Beispiels, wie man eine Tabelle erstellt und mittels diverser MS Excel-Befehle die
gewünschten Häufigkeiten kalkuliert. Es ist zu beachten, dass die folgenden MS Excel-
Entwürfe nur Vorschläge beziehungsweise Richtlinien sind und die jeweiligen Tabellen je
nach Wunsch, Kenntnissen und Bedürfnissen gestaltet und strukturiert werden können.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 30
Die erste Spalte „Stimmzetteln“ kann man mit der Methode Unten Ausfüllen erstellen (siehe
dazu Kapitel 12.1.1. Kopieren von Inhalten). Danach werden die einzelnen Ergebnisse
erhoben und in die zweite Spalte eingegeben. Nun werden die gewünschten Häufigkeiten in
einer kleineren Tabelle daneben errechnet und angeführt. Dabei hilft die Funktion
Zählenwenn(), wobei zum Beispiel für die Zelle E4 folgendes gilt: B3:B27 ist der Bereich
aller Stimmzetteln und „Melly“ die gewünscht Kandidatin. Diese Funktion errechnet sofort
die absolute Häufigkeit der gewünschten Merkmalsausprägung.
Grafik 4.1 „Zählenwennfunktion“
Um die relativen Häufigkeiten zu berechnen, muss nun eine zweite Spalte in der kleineren
Tabelle erstellt und die jeweiligen absoluten Häufigkeiten durch die Gesamtanzahl der
Stimmen dividiert werden: Melly =E4/$E$8. Durch die Methode Unten Ausfüllen berechnet
man nun die restlichen relativen Häufigkeiten. Zur Überprüfung können die einzelnen
Häufigkeit mit der Summenfunktion (in der folgenden Grafik eingekreist) aufsummiert
werden. Die aufsummierten Häufigkeiten sollten 1 ergeben.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 31
Grafik 4.2a „Häufigkeiten“
Für
die prozentuellen Häufigkeiten reicht es die relativen Häufigkeiten zu kopieren, die Spalte
zu markieren und mit dem Prozent-Schaltknopf (in der vorangegangen Grafik mit einem
Rechteck gekennzeichnet) fertig zu stellen. Auch hier kann man zur Überprüfung die
prozentuellen Häufigkeiten aufsummieren; das Ergebnis sollte 100% ergeben.
�
Hier wird gezeigt, dass die relative Häufigkeit zuerst in die Spalte kopiert werden muss,
bevor man sie mit dem Prozentschaltknopf in die prozentuelle Häufigkeit umwandeln
kann. Während die prozentuellen Häufigkeiten von Melly (48%) und Doris (24%) schon
umgewandelt sind, wurde die relative Häufigkeit von Alex (0,12) erst in die andere Spalte
hinüberkopiert. Normalerweise geschieht dies spaltenweise und nicht Zeile für Zeile. Man
wollte aber die einzelnen Schritte detailliert und nachvollziehbar darstellen.
Beim
Kopieren der Werte ist darauf zu achten, dass nur die Zahlenwerte und nicht die
Formeln der Zellen kopiert werden sollen. Das heißt, es wird nicht die Methode Unten
Ausfüllen (siehe Kapitel 12.1.1. Kopieren von Inhalten) verwendet, sondern man markiert die
Werte (in diesem Beispiel: Datenbereich F4:F7) und kopiert sie mit Hilfe einer der folgenden
drei Methoden:
• Rechte Maustaste � Kopieren
• Bearbeiten � Kopieren
• Taste Strg + Taste C
�

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 32
Danach wird jener Bereich gekennzeichnet, der die kopierten Werte ausgeben soll (in diesem
Beispiel: Datenbereich G4:G7) und die Funktion Inhalte einfügen... mittels einer der beiden
folgenden Methoden aufgerufen:
• Rechte Maustaste � Inhalte einfügen...
• Bearbeiten � Inhalte einfügen...
Grafik 4.2b „Häufigkeiten – Inhalte einfügen“
Wurde das „Inhalte einfügen“-Fenster
geöffnet, wählt man die gewünschten
Optionen und drückt OK. In diesem
Beispiel wurde aus Einfügen die
Untergruppe Werte – jedoch keine Vorgänge
– verwendet.
Mehr zu diesem Thema findet man im
Kapitel 12.1.1. Kopieren von Inhalten bzw.
12.2.2. Eingeben und Kopieren von Formeln
am Beispiel der Rang-Funktion.
Nach dem „Inhalte Einfügen“-Vorgang werden die relativen Häufigkeiten im Datenbereich
G4:G7 angezeigt und man kann mit dem Erstellen einer Häufigkeitstabelle fortfahren.
Da sowohl bei den einzelnen relativen als auch bei den prozentuellen Häufigkeiten meist
gerundet wird, kann es beim Aufsummieren zu Rundungsfehler kommen und das
Ergebnis beträgt dann nur noch näherungsweise 1 bzw. 100%.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 33
Das folgende Beispiel illustriert dieses Rundungsfehler-Problem:
E 21 Schülerinnen und Schüler der Klasse 2b bekommen ihre Mathematikschularbeit zurück
und erstellen dann eine Liste mit den Häufigkeiten ihrer Noten:
Tabelle 4.2 „Schulnoten der Klasse 2b“
Schulnote Absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Prozentuelle Häufigkeit
Sehr gut 3 0,14286 ≈ 0,14 14 %
Gut 7 0,33333 ≈ 0,33 33 %
Befriedigend 8 0,38095 ≈ 0,38 38 %
Genügend 3 0,14286 ≈ 0,14 14 %
Nicht Genügend 0 0 0 %
Gesamt 21 0,99 99 %
4.1. Grafische Darstellungen von Häufigkeiten
Einfachheit halber werden pro Diagrammtyp nur eine Art von Häufigkeit – entweder absolute,
relative oder prozentuelle Häufigkeit – dargestellt. Selbstverständlich können alle vorherigen
erklärten Häufigkeiten mit jedem in diesem Kapitel präsentierten Diagramm sowohl im MS
Excel als auch händisch grafisch dargestellt werden.
4.1.1. Das Stabdiagramm
Das Stabdiagramm ist wohl das einfachste händisch zu zeichnende Diagramm. Es besteht aus
einem Koordinatensystem, wobei auf der x-Achse die Merkmalsausprägungen aufgetragen
werden; auf der y-Achse sollten die jeweiligen absoluten bzw. relativen bzw. prozentuellen
Häufigkeiten abgelesen werden können.
In manchen Schulbüchern wird das Stabdiagramm um 90° nach links gedreht und als
Streckendiagramm bezeichnet.
D2 Für ein Stabdiagramm wird ein Koordinatensystem benötigt:
1. Koordinatensystem:
Teile die x-Achse, die mit den Merkmalsausprägungen beschriftet wird, in 1 cm lange
Teile. In diesem Beispiel lautet die Beschriftung „Melly“, „Doris“, „Alex“ und
„Markus“.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 34
Die y-Achse sollte genau beschriftet sein, damit man die diversen Häufigkeiten sofort
ablesen kann. In unserem Beispiel ist die y-Achse von 0 bist 14 skaliert – diese
Skalierung variiert von Beispiel zu Beispiel und von Häufigkeit zu Häufigkeit. Für die
relative Häufigkeit benötigt man nur eine Skala von 0 bis 1, bei der prozentuellen von
0% bis 100%.
2. Zeichne die Häufigkeiten von den jeweiligen Merkmalsausprägungen mit einem Punkt
ein.
3. Verbinde die Punkte mit der x-Achse senkrecht nach unten, somit hängt die Länge des
Stabes von der jeweiligen Häufigkeit ab.
Grafik 4.3a „ Das Stabdiagramm“

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 35
Grafik 4.3b „Das Stabdiagramm (geordnet)“
4.1.2. Das Säulendiagramm
Man bekommt einen besseren Überblick, wenn man die
Kandidaten zuerst nach der Anzahl ihrer Stimmen ordnet.
Das erleichtert die Platzierungen in der grafischen
Darstellung schnell zu erkennen, also in diesem Beispiel
wäre es: Melly, Doris, Markus und Alex.
In den Medien findet man eher Säulen- bzw. Balkendiagramme als Stabdiagramme. Das
Erstellen eines Säulen- bzw. Balkendiagramms wird nach dem gleichen Schema wie beim
Stabdiagramm durchgeführt. Der einzige Unterschied ist, dass statt Stäbe Rechtecke die
Häufigkeiten darstellen. Wenn man solch ein Diagramm mit der Hand zeichnen will, wird es
am leichtesten sein – wie beim Stabdiagramm – zuerst die x-Achse in gleich große Teile, die
zum Beispiel 2 cm lang sind, zu teilen. Dann kann man anfangen 1cm breite Rechtecke zu
zeichnen. Am besten beginnt man damit 0,5 cm von der y-Achse bis zum ersten Rechteck
freizulassen. Danach kann man das erste Rechteck mit einer Breite von 1cm zeichnen (die
Höhe des Rechteckes hängt von der Häufigkeit ab), dann lässt man 1cm Abstand und zeichnet
das nächste Rechteck. Der Abstand zwischen jedem Rechteck sollte gleich lang sein, in
diesem Fall 1cm.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 36
Die folgenden Säulen- bzw. Balkendiagramme sind mittels Tabellenkalkulationsprogramm
MS Excel erstellt worden, mehr dazu im Kapitel 12. Tabellenkalkulation (MS Excel).
Um im MS Excel ein Diagramm erstellen zu können, muss man davor die entsprechenden
Daten markieren und dann auf diesen Schaltknopf drücken, der den Diagramm-
Assistenten öffnet. Um ein Säulendiagramm zu erstellen, muss man den Diagrammtyp Säule
und dann den aktuellen Diagrammuntertyp Gruppierte Säulen auswählen. Weitere hilfreiche
Hinweise findet man im Kapitel 12.3. Diagramme erstellen mit MS Excel.
Um das folgende Säulendiagramm erstellen zu können, müssen sowohl die Kandidaten, als
auch die dazupassenden relativen Häufigkeiten als Daten in MS Excel eingegeben werden.
Wird die Tabelle aus der Grafik 4.2a „Häufigkeiten“ verwendet, muss man als Datenbereich
sowohl die Kandidaten-Spalte als auch die Spalte mit den relativen Häufigkeiten markieren.
Dies erfolgt, indem man zuerst die Kandidaten-Spalte (D4:D7) markiert, dann die Taste Strg
drückt und danach – während man diese gedrückt hält – die Spalte mit den relativen
Häufigkeiten (F4:F7) markiert. Hier die verallgemeinerte Prozedur: Spalte markieren �
Taste Strg � weitere Spalte markieren � Taste Strg � ... Schließlich wird der Diagramm-
Assistent aktiviert und man setzt den oben angeführten Aufgabenschritt fort.
D3 Grafik 4.4 „Das Säulendiagramm“
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,48
Kassensprecherwahl 2b
0,24
0,16
0,12
Melly Doris Markus Alex
Kandidaten
Das Säulendiagramm zur relativen
Häufigkeit:
Beim Säulendiagramm der relativen
Häufigkeit werden die Namen der
Kandidaten auf die x-Achse aufgetragen
und die y-Achse von 0 bis 1 skaliert.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 37
4.1.3. Das Balkendiagramm
Das Balkendiagramm wird nach dem gleichen Prinzip wie das Säulendiagramm gezeichnet,
nur dass die Merkmalsausprägungen auf der y-Achse und die jeweiligen Häufigkeiten auf der
x-Achse aufgetragen werden.
Der Diagrammtyp für ein Balkendiagramm im MS Excel Diagramm-Assistenten (siehe
Kapitel 4.1.2. Das Säulendiagramm) lautet Balken und der passende Diagrammuntertyp dazu
ist Gruppierte Balken. Weitere Anleitungen zu diesem Thema findet man unter 12.3.
Diagramme erstellen mit MS Excel.
Um das folgende Balkendiagramm erstellen zu können, müssen sowohl die Kandidaten, als
auch die dazupassenden prozentuellen Häufigkeiten als Daten in MS Excel eingelesen
werden. Auch hier muss, sofern die Tabelle der Grafik 4.2a „Häufigkeiten“ verwendet wird,
zuerst die Kandidaten-Spalte (D4:D7) markiert, die Taste Strg gedrückt und gehalten werden
und – nachdem zusätzlich die Spalte mit den prozentuellen Häufigkeiten (G4:G7) markiert
wurde – das Balkendiagramm mit dem Diagramm-Assistenten erstellt werden.
D4 Das Balkendiagramm zur prozentuellen Häufigkeit:
Beim Balkendiagramm der prozentuellen Häufigkeit werden die Namen der Kandidaten auf
die y-Achse aufgetragen und die x-Achse von 0% bis 100% skaliert.
Grafik 4.5 „Das Balkendiagramm“
Melly
Doris
Kandidaten
Markus
Alex
Klassensprecherwahl 2b
16%
12%
24%
48%
0% 20% 40% 60% 80% 100%

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4.1.4. Das Kreisdiagramm (der Prozentkreis)
Die prozentuelle Häufigkeit kann auch mit einem Kreisdiagramm bzw. Prozentkreis
dargestellt werden.
Anhand eines Kreisdiagramms lässt sich gut die Gesamtaufteilung sowie der Anteil einzelner
(bei geschickter Anordnung auch mehrerer) Messwerte an der Gesamtheit erkennen; ein
Vergleich zweier Messwertes ist hingegen schwieriger als beim Stabdiagramm. 22 (siehe
Kapitel 4.1.1. Das Stabdiagramm)
Beim Konstruieren eines Prozentkreises ist Folgendes zu beachten:
100 %
= ˆ 360°
360
12 % = ˆ ° × 12 = 43,2 °
100
360
24 % = ˆ ° × 24 = 86,4 °
100
Prozentsätze in Grad
Prozentwerte entsprechen somit Winkelmaßen!
360
1%
= ˆ = 3,
6°
100
360
16 % = ˆ ° × 16 = 57,6 °
100
360
48 % = ˆ ° × 48 = 172,8 °
100
Um ein Kreisdiagramm im MS Excel erstellen zu können, muss im Diagramm-Assistenten
der Diagrammtyp Kreis mit dem Diagrammuntertyp Kreis ausgewählt werden. Auch hier
müssen – um das unten dargestellte Kreisdiagramm zu erhalten – zuerst die Kandidaten mit
ihren prozentuellen Häufigkeiten eingelesen werden.
22 Kröpfl, Bernhard u. a. : Angewandte Statistik.. S. 11.

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In diesem Schaubild wurden zusätzlich die absoluten Häufigkeiten in der Legende aufgelistet.
D5 Grafik 4.6 „Das Kreisdiagramm“
Klassensprecherwahl 2b
16%
12%
24%
48%
Melly: 12 Stimmen
Doris 6 Stimmen
Markus: 4 Stimmen
Alex: 3 Stimmen
Wird das Kreisdiagramm händisch gezeichnet, ist es für manche Schülerinnen und Schüler
vielleicht am Anfang einfacher mit Schablonen zu arbeiten, weil sie die Genauigkeit beim
Zeichnen vorerst trainieren müssen.
Hier sind zwei Kreise, die den Kindern helfen können, sich die Unterteilung – sowohl in Grad
als auch in Prozenten – besser vorzustellen:
Kreis mit Gradeinteilung Kreis mit Prozenteinteilung
Grafik 4.7 23 Grafik 4.8 24
23 Gollman u. a. (Lehrerarbeitsgemeinschaft): Lebendige Mathematik 2. Anhang.
24 Gollman u. a. (Lehrerarbeitsgemeinschaft): Lebendige Mathematik 2. Anhang.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 40
4.2. Beispiele
Die Schülerinnen und Schüler sollen lernen Häufigkeiten zu errechnen und die Ergebnisse in
Worte zu fassen. Während das Interpretieren noch nicht wesentlicher Bestandteil der
Aufgabenlösung ist, sollten jedoch jene praxisbezogenen Beispiele den Schülerinnen und
Schüler zumindest Anregung sein, sich mit dem Thema der Erhebung und deren Ergebnisse
auseinander zu setzen.
In dem folgenden Beispiel ist die absolute Häufigkeit der Stimmen der einzelnen Parteien
schon vorgegeben. Die Aufgabe liegt nun darin die Tabelle zu vervollständigen, wobei
folgende Reihenfolge der Rechenschritte zu beachten ist:
1 Gesamtanzahl der abgegeben Stimmen
2 die relative Häufigkeit der einzelnen Parteien bzw. ungültigen Stimmen
3 Überprüfung der relative Häufigkeiten (Summe muss 1 ergeben)
4 die prozentuelle Häufigkeit der einzelnen Parteien bzw. ungültigen Stimmen
5 Überprüfung der prozentuellen Häufigkeiten (Summe muss 100 % ergeben)
Dieses Beispiel eignet sich auch ganz gut, die Schülerinnen und Schüler zu motivieren
nachzuforschen welche Parteien bei der letzten Wahl in ihrer Gemeinde kandidierten bzw. das
Ergebnis nachzufragen und grafisch darzustellen.
4 Bei einer Gemeinderatswahl kandidierten 4 Parteien. Die Wahlhelfer zählten nach
Wahlschluss die Stimmen aus und trugen diese in die folgende Tabelle ein. Vervollständige
jene Tabelle und versuche die einzelnen Häufigkeiten grafisch darzustellen.
Tabelle 4.3a „Gemeinderatswahl“ 25
Wahlwerbende Anzahl der Stimmen Relative
Parteien
Häufigkeit
A 5 250
B 4 125
C 875
D 1 975
Ungültige Stimmen
Abgegebene
Stimmen
275
25 Gollman u. a. (Lehrerarbeitsgemeinschaft): Lebendige Mathematik 2. S. 228.
Prozentuelle
Häufigkeit

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Die vervollständigte Tabelle sieht dann wie folgt aus:
Tabelle 4.3b „Gemeinderatswahl (Lösung)“
Wahlwerbende Anzahl der Stimmen Relative
Prozentuelle
Parteien
Häufigkeit
Häufigkeit
A 5 250 0,420 42,0 %
B 4 125 0,330 33,0 %
C 875 0,070 7,0 %
D 1 975 0,158 15,8 %
Ungültige Stimmen 275 0,022 2,2 %
Abgegebene
Stimmen
12 500 1,000 100,0 %
Grafik 4.9 „Gemeinderatswahl (Lösung)“
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
Anzahl der Stimmen (absolute Häufigkeit)
A B D C Ungültige
Stimmen
16%
Prozentuelle Häufigkeit
33%
7% 2%
42%
Par tei A
Par tei B
Par tei D
Par tei C
Ungültige Stimmen
A
B
D
C
Ungültige Stimmen
Relative Häufigkeit
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Anhand der Ergebnisse sieht man, dass es
zwei starke Parteien in dieser Gemeinde
gibt: Partei A und B. Partei A bekam mit
42% die meisten Stimmen. Partei B folgt
dicht mit 33%. Der Anteil der ungültigen
Stimmen ist mit 2,2% nicht sonderlich
erwähnenswert.
Wichtig ist, dass die Schülerinnen und Schüler darauf hingewiesen werden, dass
üblicherweise die ungültigen Stimmen in den Prozentberechnungen nicht einfließen (für diese
Kategorie gibt es keine RepräsentantInnen) und somit das Ergebnis verändert wird. Zum
besseren Verständnis kann man dasselbe Beispiel noch einmal rechnen, allerdings nur mit den
vier Parteien und deren Häufigkeiten.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 42
Die Lösungstabelle würde dann wie folgt aussehen:
Tabelle 4.3c „Gemeinderatswahl – Lösung ohne ungültige Stimmen“
Wahlwerbende Anzahl der Stimmen Relative
Prozentuelle
Parteien
Häufigkeit
Häufigkeit
A 5 250 0,43 43 %
B 4 125 0,34 34 %
C 875 0,07 7 %
D 1 975 0,16 16 %
Gesamtanzahl der
gültigen Stimmen
12 225 1 100 %
Dieses Beispiel eignet sich auch ganz gut um das Thema „Politik“ fächerübergreifend zu
diskutieren. Zusätzlich können die Schülerinnen und Schüler motiviert werden,
Nachforschung anzustellen und die Ergebnisse (Anteil der Nichtwähler, ungültige Stimmen,
Mandatsaufteilung) der zuletzt größeren durchgeführten Wahl (zum Beispiel Nationalrats-
wahl, Landtagswahl,..) zu sammeln und zu interpretieren.
In den folgenden zwei Beispielen müssen die Schülerinnen und Schüler zuerst die richtige
Tabelle erstellen, bevor sie die jeweiligen Häufigkeiten errechnen und in die Tabelle eintragen
können.
Die Schülerinnen und Schüler müssen folgende Aufgaben erfüllen:
1 Wie viele Personen wollten nicht befragt werden?
2 Tabelle erstellen, wobei darauf geachtet werden sollte, dass alle Informationen gut
beschriftet und übersichtlich dargestellt werden
5 Zu einem geplanten Straßenbau wurden 500 Personen befragt. Die Befragung ergab:
310 Personen waren für den Bau, 120 Personen waren dagegen. 60 hatten keine Meinung und
der Rest wollte nicht befragt werden. 26
a) Berechne aus diesen absoluten Häufigkeiten die relativen Häufigkeiten in Prozent.
b) Zeichne ein Stabdiagramm.
c) Zeichne ein Kreisdiagramm (1% =ˆ 3,6°)
26 Url, Liselotte u. a. : Die Welt der Mathematik 2. S. 196.

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So kann eine mit MS Excel erstellte Tabelle aussehen:
Tabelle 4.4 „Straßenbau (Lösung)“
Grafik 4.10 „Straßenbau (Lösung)“
350
300
250
200
150
100
50
0
Straßenbau-Befragung (absolute Häufigkeit)
für den Bau gegen den Bau keine Meinung wollten nicht
befragt werden
für den Bau
gegen den Bau
keine Meinung
wollten nicht
befragt werden
Straßenbau-Befragung (prozentuelle Häufigkeit)
2%
12%
24%
62%
für den Bau
Straßenbau-Befragung (relative Häufigkeit)
gegen den Bau
keine Meinung
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
w ollten nicht befragt
w erden
Die Mehrheit ist klar für den Bau (sie überwiegt). Mit nur 24% sind die Gegner in der
Minderheit. Dieses Beispiel zeigt ganz gut, dass es bei Befragungen – vor allem über
politische und gesellschaftliche Themen – immer wieder vorkommen kann, dass Personen
ihre Meinungen nicht äußern wollen. Dies erschwert und verkompliziert zeitweise das
Interpretieren der Ergebnisse. In diesem Fall ist der Prozentsatz sehr gering, so dass dieser
Anteil nicht ins Gewicht fällt.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 44
Im nächsten Beispiel müssen folgende Aufträge durchgeführt werden: 27
a) Fertige eine Strichliste an!
b) Stelle die absoluten Häufigkeiten fest!
c) Berechne die relativen und die prozentuellen Häufigkeiten!
d) Stelle die absoluten Häufigkeiten mit einem Säulendiagramm dar!
e) Stelle die relativen Häufigkeiten mit einem Balkendiagramm dar!
f) Stelle die prozentuellen Häufigkeiten mit einem Prozentkreis dar!
6 Während der Sommersportwoche konnten die Schülerinnen und Schüler zwischen drei
Kursen wählen (S = Segeln, R = Reiten, T = Tennis). Errechne die diversen Häufigkeiten und
stelle die Ergebnisse grafisch dar. Gibt es eine Sportart, die äußerst beliebt ist?
S S R T R T S T T S R S S T T
T T S S T R R T R T T T R T S
Die von den Schülerinnen und Schülern erstellte Tabelle sollte ähnlich der folgenden sein:
Tabelle 4.5 „Sommersportwoche (Lösung)“
Kurs Strichliste Absolute Relative Häufigkeit Prozentuelle
Häufigkeit
Häufigkeit
Segeln |||| |||| 9 0,3 30 %
Reiten |||| || 7 0, 233&
≈ 0,
23
23 %
Tennis |||| |||| |||| 14 0, 466&
≈ 0,
47
47 %
Gesamtanzahl
der
SchülerInnen
30 1 100 %
Bevor die einzelnen Häufigkeiten grafisch dargestellt werden, sollten die Schülerinnen und
Schüler die Kurse nach ihren Häufigkeiten ordnen, also: Tennis, Segeln und Reiten.
27 Aufgabenstellung und Datensatz: Gollman u. a. (Lehrerarbeitsgemeinschaft): Lebendige Mathematik 2.S.229.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 45
Die Diagramme wurden mit MS Excel erstellt:
Grafik 4.11 „Sommersportwoche (Lösung)“
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Sommersportwoche (absolute Häufigkeit)
Tennis Segeln Reiten
Tennis
Segeln
Reiten
Sommersportwoche (prozentuelle Häufigkeit)
23%
30%
47%
Sommersportwoche (relative Häufigkeit)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Tennis
Segeln
Generell kann man sagen, dass die Wahl der Sportart ziemlich ausgeglichen ist, das heißt,
dass die Gruppen fast gleich groß sind. Tennis ist laut den Ergebnissen auf der
Sommersportwoche der beliebteste und Reiten der unbeliebteste Sport, es gibt jetzt aber keine
außergewöhnliche Tendenz zu einer einzigen Sportart.
Reiten

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 46
5. Klasseneinteilung
Liegen viele Messergebnisse bzw. Daten vor, ist es übersichtlicher, sie in Klassen einzuteilen.
Der Einzelwert nimmt zwar an Bedeutung ab, man erhält aber einen besseren Überblick. 28
Hauptziel in der 7. Schulstufe ist es, dass die Schülerinnen und Schüler auch schon mit großen
und umfangreichen Datenmaterial arbeiten können, deswegen sollte vor allem die
Klasseneinteilung besprochen werden. Diese wird dann verwendet, wenn viele
Messergebnisse grafisch dargestellt werden sollen. Dazu gibt es zwei Hauptmethoden: die
Verteilungstafel mit dem dazugehörigen Histogramm und das Stängel-Blatt-Diagramm. Beide
Verfahren werden hauptsächlich für metrische Merkmale verwendet.
5.1. Die Verteilungstafel (die Klassenübersichtstabelle)
Die Klassengrenzen sind so zu wählen, dass jeder Wert eindeutig eingeordnet werden kann. 29
Will man metrische Merkmale – wie zum Beispiel Körpermaße, Gewichte, Gelderträge,... –
analysieren und darstellen, wird es einfacher sein, sie zuerst in Klassen zu teilen und dann die
erlernten Verfahren auf diese Klassen anzuwenden.
Folgende Schritte erleichtern das Berechnen und Erstellen einer Klassenübersichtstabelle:
� Die metrischen Elemente einer Urliste werden der Größe nach geordnet und in einer
Rangliste notiert. Dabei ist zu beachten, dass jeder Werte der Urliste auftritt, auch wenn
dieser öfters als einmal vorkommt. Ansonsten würden nämlich die Daten und somit die
Ergebnisse verfälscht werden.
� Die Rangliste wird in Intervalle (auch als Klassen bezeichnet) unterteilt.
Für die folgenden Beispiele gilt, dass alle Klassen gleich breit sein sollen.
� Die Anzahl der in den einzelnen Klassen auftretenden Werte (= absolute Häufigkeit) wird
erfasst und in einer Verteilungstafel übersichtlich festgehalten.
28 Lewisch, Ingrid. Mathematik 2. S. 233.
29 Floderer, Florian: Mach mit – Mathematik 4. S.136.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 47
Um im MS Excel eine Klassenübersichtstabelle automatisch erstellen zu können, müssen
zuerst die Analyse-Funktionen installiert werden. Da dies aber nicht vorausgesetzt wird,
werden die Verteilungstafeln in den folgenden Beispielen mit der schon im vorhergegangenen
Kapitel vorgestellten Zählenwenn-Funktion sowie der Vergleich-Funktion mit MS Excel
ermittelt.
Dieses Modell-Beispiel besteht aus einer Urliste und es wird als Lösung eine Verteilungstafel
mit den diversen Klassenhäufigkeiten wiedergegeben.
F1 Bernhard und Brigitte helfen während ihres Urlaubs am Bauernhof beim Einsammeln und
Sortieren der Eier. Mangels Sortieranlage wägen sie jedes Ei (auf g genau) und notieren die
Massen in der folgenden Urliste: 30
59 63 55 57 62 56
59 62 63 51 53 59
49 64 65 52 68 58
57 68 64 63 66 57
64 59 55 67 65 60
Zunächst wird gezeigt wie eine händisch erstellte Verteilungstafel aussehen kann:
Tabelle 5.1 „Klasseneinteilung“
Klasse Merkmal Strichliste absolute Relative Prozentuelle
(Masse in g)
Häufigkeit Häufigkeit Häufigkeit
1 x < 45 0 0 0,0 %
2 45 ≤ x < 50 | 1 1/30 3,3% &
3 50 ≤ x < 55 ||| 3 1/10 10,0 %
4 55 ≤ x < 60 |||| |||| 10 1/3 33,3% &
5 60 ≤ x < 65 |||| |||| 9 3/10 30,0 %
6 65 ≤ x < 70 |||| || 7 7/30 23,3% &
7 70 ≤ x 0 0 0,0 %
Summe 30 1 100,0 %
Damit jeder Wert eindeutig einer Klasse zugeordnet werden kann,
müssen halboffene Intervalle verwendet werden.
30 Anlehnung aus: Reichel, Hans-Christian u.a. : Das ist Mathematik 3. S. 152. (Daten und Klassen geändert)

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 48
Bei einer sinnvollen Klasseneinteilung sollte man beachten, dass
- nicht zu viele Werte in einer Klasse liegen
- nicht zu wenige, aber auch nicht zu viele Klassen gebildet werden (Minimum von 3,
Maximum von 10 31 )
- möglichst „runde“ Werte als Klassengrenzen verwendet werden
In dieser Diplomarbeit wird mit Hilfe der Zählenwenn-Funktion (siehe dazu auch das vorige
Kapitel 4.Die absolute und relative Häufigkeit bzw. 12.1.4. Die Zählenwenn-Funktion) der
Vergleich-Funktion und der Unten Ausfüllen - Methode eine Verteilungstafel im
Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel erstellt. Zuerst müssen die Daten in ein
Tabellenblatt eingetragen werden. In diesem Beispiel Spalte A:
Grafik 5.1 „Klasseneinteilung in MS Excel“
Danach gilt es folgende Schritte zu beachten:
� die Klassen werden bestimmt und in einer anderen Spalte festgehalten:
in diesem Beispiel von Zelle D9 bis Zelle D15 (Tabelle „Klassengrenzen“)
� die Klassen für die einzelnen Werte werden mit der Vergleich-Funktion ermittelt.
Diese wurde hier in der Spalte neben den Originaldaten (Spalte B) angewendet.
Die Eingabe für die Zelle B2 lautet: =VERGLEICH(A2;$D$9:$D$15); mit der Unten
Ausfüllen-Methode werden nun die Klassen für alle restlichen Werte errechnet.
31 Kröpfl, Bernhard u. a. : Angewandte Statistik. S. 53.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 49
� Schließlich wird eine kleine Tabelle oben rechts erstellt, in die die Klassen eingetragen
werden: mit Hilfe der Zählenwenn-Funktion werden die absoluten Häufigkeiten
berechnet. Die Eingabe für die Zelle G2 lautet: =ZÄHLENWENN($B$2:$B$31; E2) und
mit der Unten Ausfüllen-Methode wird die Häufigkeitstabelle fertig gestellt.
Die prozentuellen und relativen Häufigkeiten errechnen sich genauso wie im Kapitel:
4. Die absolute und relative Häufigkeit.
Danach kann die Verteilungstafel beliebig unter anderem mit Format � Zellen… bzw.
Zellen formatieren…(rechte Maustaste) gestaltet werden.
Es kann vorkommen, dass nicht gleich breite Klassen gewählt werden. Diese sind jedoch
für Unterstufenschülerinnen und –schüler schwieriger zu interpretieren. Damit sie
einfacher mit den Verteilungstafeln und grafischen Darstellungen arbeiten können, werden in
dieser Diplomarbeit nur Klasseneinteilungen mit gleich breiten Intervallen verwendet.
5.2. Das Histogramm
Das Säulendiagramm wurde schon im Kapitel 4.1. Grafische Darstellungen von Häufigkeiten
vorgestellt. Das Histogramm wird genauso gezeichnet wie ein Säulendiagramm: Die y-Achse
ist je nach Art der Häufigkeit skaliert und auf der metrischen x-Achse werden die Werte
aufgetragen. Die Längen der Rechtecke sind, so wie beim Säulendiagramm, von der
jeweiligen Häufigkeit abhängig. Einfacher definiert: die Fläche des Rechtecks repräsentiert
die Häufigkeit – je mehr Werte in einer Klasse, desto höher das Rechteck, das diese Klasse im
Histogramm darstellt. Die Intervalle gehen von einer Klassengrenze bis zur nächsten und die
Säulen werden von der unteren Klassengrenze bis zur oberen Grenze einer Klasse gezeichnet,
somit stoßen sie aneinander.
F2 Aus der Tabelle 5.1: Die erste und siebte Klasse besitzen keine Eier. In der zweiten Klasse
findet man nur ein Ei. Während der dritten Klasse 3 Eier zugeteilt werden, befinden sich 10
Eier in der vierten Klasse. Der fünften Klasse werden 9 und der sechsten Klasse 7 Eier
zugeordnet.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 50
Zur Veranschaulichung der absoluten Häufigkeiten wurde ein Histogramm mit dem
Diagramm-Assistenten im MS Excel erstellt:
Für die folgenden Beispiele gilt, dass die x-Achse die verschiedenen Klassen repräsentiert und
auf der y-Achse die absoluten Häufigkeiten aufgetragen werden:
� Man wählt zuerst den Diagrammtyp Säule und dann den aktuellen Diagrammuntertyp
Gruppierte Säulen aus (siehe dazu Kapitel 4.1.2. Das Säulendiagramm) und erstellt
somit ein – schon bekanntes – Säulendiagramm.
� Nun klickt man auf dem bereits fertiggestellten Säulendiagramm mit der rechten
Maustaste auf eine der Säulen und wählt nacheinander Datenreihe formatieren und dann
Option aus.
Grafik 5.2 „Datenreihe formatieren“
Verändert man den aktuellen
Abstand auf Null, grenzen die
Säulen nun an einander und bilden
ein Histogramm.
Aufpassen:
Die Überlappung muss aber stets
unverändert bleiben (Null).
� Das fertiggestellte Histogramm passend zum vorhergegangen Beispiel sieht dann im
Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel wie folgt aus:
Grafik 5.3 „Histogramm“
12
10
8
6
4
2
0
Masse von Eiern in g
unter 45 bis 50 bis 55 bis 60 bis 65 bis 70 und mehr
Histogramme sind sehr nützlich um die Verteilung eines Merkmals darzustellen.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 51
5.2.1. Beispiele
Die Angaben der folgenden drei Beispiele bestehen aus einer Urliste. Praktischerweise sollte
diese zuerst geordnet (aufsteigende Rangliste) werden, damit die gefragten Berechnungen
leichter erstellt werden können. Die Rangliste selbst wird jedoch nicht als Lösung angeführt.
Die Schülerinnen und Schüler sollten im Stande sein, sowohl den Mittelwert berechnen als
auch eine Verteilungstafel mit passendem Histogramm im MS Excel erstellen zu können.
Außerdem sollten sie anhand der grafischen Darstellung versuchen, die Merkmale besser zu
beschreiben.
7 In einer Geburtsstation kamen im Jänner 36 Kinder zur Welt. Ihre Geburtsmassen in Gramm
betrugen auf 50 g genau 32 :
3 900 4 300 3 450 3 450 3 700 4 050
4 550 2 850 2 900 3 500 3 350 3 850
3 200 4 250 3 550 3 700 3 000 3 550
3 550 2 650 3 700 3 350 2 850 3 750
3 300 3 650 3 550 3 900 2 800 3 300
3 750 3 250 3 750 3 100 3 100 3 850
a) Bestimme die mittlere Geburtsmasse eines Babys.
b) Teile sie in Klassen mit der Breite 500 g ein; beginne bei 2 500 bis 3 000, 3 000 bis
3 500. Stelle die Massen übersichtlich in einer Verteilungstafel zusammen.
c) Stelle auch grafisch dar.
Hier nun die Lösungen:
a)
3900 + 4550 + 3200 + 3550 + ....... + 3300 + 3850
x =
= 3507 g
36
b) Tabelle 5.2 „Geburtenmassen“
Klasse Merkmal Strichliste absolute Relative Prozentuelle
(Masse in g)
Häufigkeit Häufigkeit Häufigkeit
1 2500 ≤ x < 3000 |||| 5 0,14 14 %
2 3000 ≤ x < 3500 |||| |||| | 11 0,31 31 %
3 3500 ≤ x < 4000 |||| |||| |||| | 16 0,44 44 %
4 4000 ≤ x < 4500 ||| 3 0,08 8 %
5 4500 ≤ x < 5000 | 1 0,03 3 %
Summe 36 1 100 %
32 Erber, Gabriele u. a. : Zum Beispiel Mathematik 3.S.190.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 52
c) Grafik 5.4 „Geburtsmassen“
20
10
0
Geburtsmassen in Gramm
< 3000 < 3500 < 4000 < 4500 < 5000
Die meisten Neugeborenen wiegen zwischen 3500 und 4000 Gramm. Generell kann man
sehen, dass es mehrere Babys in den Klassen 1 bis 3 gibt; nur sehr wenige wiegen mehr als
4000 Gramm und noch wenigere mehr als 4500 Gramm. Das durchschnittliche
Geburtengewicht ist 3507 Gramm.
8 Vor acht Jahren wurden auf einem vom Sturm heimgesuchten Hang junge Fichten gepflanzt
(Wiederaufforstung). Jetzt werden bei 50 Fichten folgenden Höhen gemessen (in cm) 33 :
174 149 156 175 179 185 119 105 167 192
211 151 143 183 223 148 197 207 137 118
160 209 198 178 130 181 188 165 181 173
202 150 140 209 177 180 116 110 226 200
203 169 189 214 184 171 170 222 168 181
a) Gib die mittlere Höhe einer Fichte an.
b) Führe eine Klasseneinteilung mit einer Breite von 20 cm durch; beginne mit 100 bis
120 usw. Stelle die Klassen in einer Verteilungstafel übersichtlich dar.
c) Zeichen ein dazugehöriges Histogramm.
Hier nun die Lösungen:
a)
174 + 211+
160 + ...... + 173 + 200 + 181
x =
= 173cm
50
b) Tabelle 5.3 „Fichten“
Klasse Merkmal Strichliste absolute Relative prozentuelle
(Höhe in cm)
Häufigkeit Häufigkeit Häufigkeit
1 100 ≤ x < 120 |||| 5 0,10 10 %
2 120 ≤ x < 140 || 2 0,04 4 %
3 140 ≤ x < 160 |||| || 7 0,14 14 %
4 160 ≤ x < 180 |||| |||| ||| 13 0,26 26 %
5 180 ≤ x < 200 |||| |||| || 12 0,24 24 %
6 200 ≤ x < 220 |||| ||| 8 0,16 16 %
7 220 ≤ x < 240 ||| 3 0,06 6 %
Summe 50 1 100 %
33 Erber, Gabriele u. a. : Zum Beispiel Mathematik 3. S. 190.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 53
c) Grafik 5.5 „Fichten“
15
10
5
0
Höhen von Fichten in cm

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 54
Hier nun die Lösungen:
a) Tabelle 5.4 „Post-Pakete“
Klasse Merkmal Strichliste absolute Relative prozentuelle
(in kg)
Häufigkeit Häufigkeit Häufigkeit
1 x < 2 |||| ||| 8 0,13 13 %
2 2 ≤ x < 4 |||| |||| |||| 15 0,25 25 %
3 4 ≤ x < 6 |||| 5 0,08 8 %
4 6 ≤ x < 8 |||| || 7 0,12 12 %
5 8 ≤ x < 10 |||| |||| || 12 0,20 20 %
6 10 ≤ x < 12 |||| | 6 0,10 10 %
7 12 ≤ x < 14 0 0,00 0 %
8 14 ≤ x < 16 |||| 4 0,07 7 %
9 16 ≤ x < 18 || 2 0,03 3 %
10 18 ≤ x < 20 | 1 0,02 2 %
Summe 60 1 100 %
b) Grafik 5.6 „Post-Pakete“
20
15
10
5
0
Gewichtsklassen von Paketen in kg
unter 2 bis 4 bis 6 bis 8 bis 10 bis 12 bis 14 bis 16 bis 18 bis 20
Die meisten Pakete, die verschickt wurden, wogen entweder zwischen 2 und 4 kg
bzw. zwischen 8 und 10 kg. Sehr wenige wogen mehr als 14kg.
c) Porto =
8×
€ 4,5 + 15×
€ 5 + 5×
€ 5,5 + .... + 4×
€ 7,5+
2×
€ 9 + 1 × € 9,25 = € 351,75

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 55
5.3. Das Stängel-Blatt-Diagramm
Das Stängel-Blatt-Diagramm ist eine halbgrafische Darstellung, aus der trotz
Klasseneinteilung noch genauere Informationen über die Originaldaten erhalten bleiben und
darüber hinaus zugleich auch ein optischer Eindruck von der Häufigkeitsverteilung vermittelt
wird. 35
Da es die Verteilung eines Merkmals darstellt, kann es auch bei einem Vergleich von zwei
verschiedenen Merkmalen verwendet werden. Unglücklicherweise gibt es im
Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel keine Funktion, die ein Stängel-Blatt-Diagramm
anfertigt. Deshalb müssen die Schülerinnen und Schüler dieses händisch zeichnen, wobei
beim Sortieren der Daten der Computer natürlich sehr hilfreich sein kann. Wie nun so ein
Stängel-Blatt-Diagramm Schritt für Schritt gezeichnet wird und worauf man beim
Interpretieren achten muss, zeigt folgendes Beispiel:
G Tabelle 5.5 36
Politscher Bezirk Anzahl der Politischer Bezirk Anzahl der
Gemeinden
Gemeinden
Stadtgemeinde Graz 1 Leibnitz 48
Bruck an der Mur 21 Leoben 19
Deutschlandsberg 40 Liezen 51
Feldbach 55 Mürzzuschlag 16
Fürstenfeld 14 Murau 35
Graz-Umgebung 57 Radkersburg 19
Hartberg 50 Voitsberg 25
Judenburg 24 Weiz 54
Knittelfeld 14
� Zuerst finde den kleinsten und den größten Wert, also Minimum und Maximum:
XMin = 01 XMax = 57
� Der „Stamm“ hat dann die Werte von 0 – 5 (das sind die Zehnerstellen vom Minimum und
Maximum)
35 Kröpfl, Bernhard u. a. : Angewandte Statistik. S. 51.
36 Quelle: Statistik Austria und LASTAT Steiermark: http://www.statistik.steiermark.at/

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 56
� Teile nun alle Werte in „Stamm“ (Zehnerstellen) und „Blatt“ (Einerstellen) und trage sie
in das Diagramm ein:
0 1
1
2
3
4
5
0 1
1
2 1
3
4
5
In diesem Diagramm sind nun alle Werte eingetragen:
0 1
1 4 4 9 6 9
2 1 4 5
3 5
4 0 8
5 5 7 0 1 4
� Jetzt werden die Blätter der Größe nach geordnet, beginnend mit dem kleinsten Wert:
0 1
1 4 4 6 9 9
2 1 4 5
3 5
4 0 8
5 0 1 4 5 7
Anzahl der Gemeinden in der
Stadtgemeinde Graz
Anzahl der Gemeinden in Bruck an der
Mur
Achtung:
Dieser Schritt fällt weg, wenn die Daten schon geordnet
wurden bevor das Stängel-Blatt-Diagramm gezeichnet wird.
Es ist zu beachten, dass das obige Bild nicht nur einen grafischen Eindruck der Verteilung
vermittelt, sondern auch alle 17 Einzelwerte rekonstruiert werden können.
� 5|0 steht für 50 Gemeinden in einem Bezirk

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 57
� mittels MS Excel kann auch ein gedrehtes Histogramm als Veranschaulichung der
Datenverteilung erstellt werden (siehe dazu Kapitel: 5.2. Das Histogramm):
Grafik 5.7 „gedrehtes Histogramm“
0
1
2
3
4
5
Aufpassen:
Gemeinden in der Steiermark
der | zwischen zwei Zahlen kann auch für ein „ , “ stehen, zum Beispiel bei Prozenten:
0
1
2
3
:
:
10 8
11
12
:
:
20
10|8 steht dann für 10,8 %
Falls zu viele Zahlen nach dem Komma stehen, kann man diese wieder klassifizieren:
4|3 steht dann für alle Zahlen von 4,30 bis 4,39
Falls zu viele Daten verwendet werden und / oder zu wenig Platz ist, dann kann man die
Blattreihen teilen und die jeweilige Reihe im Stamm mit einem Punkt markieren:
1
2
3 0 0 1 2 2 3 4 4 4 4
. 5 5 6 7 7 8 9 9
4
5
.|5 steht hier für 3,5

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 58
5.3.1. Beispiele
Falls es bevorzugt wird dieses Beispiel mittels MS Excel zu rechnen, müssen die
Schülerinnen und Schüler die Daten zuerst übertragen und nachdem sie markiert wurden dann
mit Hilfe des Schaltknopfs sortiert werden. Erst danach sollte man anfangen ein
Stängel-Blatt-Diagramm zu zeichnen.
10 Erstelle ein Stängel-Blatt-Diagramm für jede der zwei Fast-Food-Ketten und vergleiche die
Fettanteile in Gramm:
Tabelle 5.6 „Nährwertinformation – Burger King“ 37
Produkt Fett(g) Produkt Fett (g)
Whopper 38 King Wings (x6) 26
Double Whopper 54 King Wings (x9) 39
Whopper Junior 20 King Wings (x20) 87
Hamburger 12 Onion Rings (x8) 19
Cheeseburger 15 King Pommes (klein) 10
Big King 38 King Pommes (mittel) 16
Big King XXL 64 King Pommes(groß) 20
Chicken Whopper 23 Country Potatoes 11
Crispy Chicken 33 Country Salat 0
Veggie King 28 Premium Salat 6
Fish King 25 Salad Shaker 0
King Nuggets (x6) 16 King Sundae mit
Vanille/Erdbeer/Schoko 11
King Nuggets (x9) 25 Kind Sundae mit
Karamelgeschmack
King Nuggets (x20) 55 Hot Brownie 32
Hot Brownie mit Eis 38
Tabelle 5.7 „Nährwertinformation – McDonalds“ 38
Produkt Fett(g) Produkt Fett(g)
Hamburger 10 Chicken McNuggets (20) 48
Cheeseburger 14 McSundae 2
Hamburger Royal 29 McSundae – Erdbeer 7
Big Mac 33 McSundae – Karamel 10
FishMac 8 McSundae – Schokolade 12
McChicken 23 McFlurry M&Ms 23
Pommes Frites (klein) 10 Milchshake Erdbeer 12
Pommes Frites (mittel) 22 Apfeltasche 13
Pommes Frites (groß 26 Chefsalat 4
Chicken McNuggets (6) 15 Kleiner Gartensalat 0
Chicken McNuggets (10) 24
37 Quelle: Burger King: http://www.burgerking.at/pages/at0104/naehrwertinformation.pdf
38 Quelle: McDonalds: http://www.mcdonalds.com/mcd_apps/nutrition/categories/nutrition/nutritionfacts.pdf
12

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 59
Die Daten der beiden Restaurantketten wurden sortiert und grafisch dargestellt:
Um das Interpretieren der Ergebnisse zu erleichtern wurden zusätzlich zu den beiden Stängel-
Blatt-Diagrammen die dazupassenden gedrehten Histogramme mit Hilfe von MS Excel
erstellt. Siehe dazu auch Kapitel 5.2. Das Histogramm.
� Stängel-Blatt-Diagramm
Burger King McDonalds
0 0 0 6 0 0 2 4 7 8
1 0 1 1 2 2 5 6 6 9 1 0 0 0 2 2 3 4 5
2 0 0 3 5 5 6 8 2 2 3 3 4 6 9
3 2 3 8 8 8 9 3 3
4 4 8
5 4 5 5
6 6
7 4 7
8 7 8
� gedrehtes Histogramm
Grafik 5.8 „Vergleich: Burger King & McDonalds“
0
2
4
6
8
Burger King
0
2
4
6
8
McDonalds
� Interpretation der Ergebnisse und mögliche Probleme, die auftreten könnten
Da die Produkte zwischen den beiden Fast-Food-Ketten nicht übereinstimmen und beim
Restaurant McDonalds weniger Produkte erhoben wurden, kann es vor allem beim Vergleich
zwischen den beiden zu Problemen kommen. Abgesehen von den paar Ausreißern bei Burger
King, kann man aber schon feststellen, dass die Verteilung des Fettanteils ziemlich ähnlich
ist.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 60
11 Erstelle mit dem Alter der unten aufgelisteten Popstars ein Stängel-Blatt-Diagramm und
interpretiere das Ergebnis.
Tabelle 5.8 „Alter der Popstars“ 39
Popstar Alter Popstar Alter
Bryan Adams 45 Jennifer Lopez 34
Christina Aguilera 24 Madonna 46
Anastacia 29 Kylie Minogue 36
Victoria Beckham 30 Nena 44
Mariah Carey 34 Ozzy Osbourne 56
Cher 58 Kelly Osbourne 20
Sarah o’connor 24 Pink 25
Dido 33 Britney Spears 23
Dj Ötzi 33 Kelly Rowland 23
Beyonce Knowles 23 Justin Timberlake 23
Michael Tschuggnall
Christina Stürmer
(Starmania 2003 – Gewinner) 22 (Starmania 2003 – 2. Platz) 22
Michelle Williams 24 Shania Twain 39
Sophie Ellis Bextor 25 Robbie Williams 30
Eminem 32 Xavier Naidoo 33
Nelly Furtado 26 Yvonne Catterfeld 25
Enrique Iglesias 29 Avril Lavigne 20
Michael Jackson 46 Alicia Keys 23
Um die Daten mit Hilfe des Computers schnell zu sortieren, muss man die Altersangaben ins
MS Excel übertragen und nachdem man sie markiert hat den Schaltknopf drücken.
Siehe auch Kapitel 12.1.2. Sortieren von Daten.
2 Stängel-Blatt-Diagramm 3 gedrehtes Histogramm
2 0 0 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 9 9
3 0 0 2 3 3 3 4 4 6 9
4 4 5 6 6
5 6 8
Unter den ausgewählten Popstars sind die
meisten zwischen 20 und 30 Jahre alt, und nur
sehr wenige älter als 50 Jahre.
39 Quelle: Rennbahnexpress : www.rbx.at
Grafik 5.9 „Popstars“
2
3
4
5
Popstars

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 61
6. Weitere grafische Darstellungen
In diesem Kapitel, das in der 7. Schulstufe als Ergänzung zu den schon bekannten
Schaubildern unterrichtet werden kann, lernen die Schülerinnen und Schüler das Erstellen und
Interpretieren vom Punktdiagramm und dem dazugehörigen Polygonbild, in manchen
Schulbüchern auch als Liniendiagramm bezeichnet, sowie das Piktogramm kennen. Diese
grafischen Darstellungen tauchen vor allem immer wieder im Fach Geografie und
Wirtschaftskunde auf. Deswegen ist auch ein fächerübergreifender Projektvorschlag am Ende
hinzugefügt.
6.1. Das Punktdiagramm – das Polygonbild
Das Punktdiagramm sollte für jeden, der das Erstellen eines Koordinatensystems beherrscht,
keine Probleme bereiten. Verbindet man die Punkte, erhält man ein Polygonbild, auch
Liniendiagramm genannt. Beide Schaubilder werden oft zur Darstellung von zeitlichen
Entwicklungen eines Merkmals verwendet.
H In diesem Beispiel sollen die monatlichen Niederschläge im Jahr 2000 in Eisenstadt sowohl
durch ein Punktdiagramm als auch durch ein Polygonbild dargestellt werden.
Tabelle 6.1 „Niederschläge in Eisenstadt in mm in 2000“ 40
Niederschläge in mm
Jän Feb März April Mai Juni Juli Aug Sept Okt Nov Dez
35 26 90 40 25 24 77 71 69 65 40 37
Wird das Liniendiagramm mit der Hand gezeichnet, ist es notwendig zuerst ein
entsprechendes Koordinatensystem zu erstellen, wo auf der x-Achse die Monate und auf der
y-Achse die Niederschläge aufgetragen werden (Vergleiche: 4.1.1. Das Stabdiagramm).
40 Statistik Austria: Statistisches Jahrbuch Österreichs 2002. S.35

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 62
Mit Hilfe des Tabellenkalkulationsprogramms MS Excel kann ein Polygonbild sehr leicht
erstellt werden. Nachdem die gewünschten Daten markiert wurden, benötigt man nur noch im
Diagramm-Assistenten den Diagrammtyp Linie mit dem Untertyp Linie mit Datenpunkten
auszuwählen (weitere Anwendungshinweise findet man auch im Kapitel 12.3. Diagramme
erstellen mit MS Excel). Das Polygonbild für die Niederschläge 2000 schaut dann so aus:
Grafik 6.1 „Polygonbild – Niederschläge in mm“
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Februar
April
Niederschläge in mm
Mai
Grafik 6.2 „Datenreihe formatieren“
Juni
Juli
August
September
Oktober
November
Dezember
Um ein Punktdiagramm zu erhalten, braucht
man nur mit der rechten Maustaste auf die
Punkte „Datenreihe“ klicken und dann unter
Datenreihe formatieren und Muster bei Linie
„Ohne“ anklicken. Als Endprodukt
verschwinden die Verbindungslinien und es
bleiben nur noch die einzelnen Punkte im
Schaubild erhalten.
Wählt man „Automatisch“ (Farbe, Art und Stärke werden vom Computer ausgewählt) oder
„Benutzerdefiniert“ (Farbe, Art und Stärke können individuell bestimmt werden), kann man
das Polygonbild bzw. Punktdiagramm beliebig verändern.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 63
Das erstellte Punktdiagramm sieht dann wie folgt aus:
Grafik 6.3 „Punktdiagramm – Niederschläge in mm“
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Februar
April
Niederschläge in mm
Mai
Juni
Juli
August
September
Oktober
November
Dezember
Man erkennt hier sehr deutlich, dass es im Jahr 2000 im Monat März sehr viele Niederschläge
gegeben hat. Interessant ist außerdem, dass die Sommermonate und der Oktober annähernd
konstante Niederschläge aufweisen.
Es ist darauf hinzuweisen, dass es zusätzlich noch eine zweite Möglichkeit gibt, im
Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel ein Punkt- bzw. Liniendiagramm zu erstellen.
Wählt man den Diagrammtyp: Punkt (XY) mit Diagrammuntertyp: Punkte mit Linien, wird
ein Liniendiagramm gezeichnet, dessen x-Achse veränderbar ist. Es sind beide Schaubilder
zulässig, es ist jedoch eine Frage des Skalenniveaus (metrisch/nominal/...), welche der beiden
Methoden für die Aufgabenstellung geeigneter ist. Da – aus persönlicher Sicht – die erste
Methode (Diagrammtyp Linie) häufiger in den alltäglichen Medien Verwendung findet,
werden die folgenden Beispiele mit dieser gelöst. Außerdem werden nur Datensätze
präsentiert, die eine „konstante“ Skalierung aufweisen (Monate, Jahrzehnte,...).
6.1.1. Beispiele
Es folgen nun zwei Beispiele aus der Praxis, die vor allem zeigen sollen, wie leicht man
Zahlen, Grafiken und Ergebnisse manipulieren kann. Hier ist es wichtig, dass die
Schülerinnen und Schüler aufgefordert werden, die Schaubilder kritisch zu betrachten und
sich Gedanken über die Endergebnisse und deren Interpretationen zu machen.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 64
Die Polygonbilder können natürlich auch mit der Hand gezeichnet werden, die
Lösungsgrafiken sind hier jedoch mit MS Excel erstellt worden.
12 In der folgenden Tabelle ist das Bevölkerungswachstum in den Entwicklungsländern im
Vergleich zu den Industrieländern in den letzten Jahrzehnten in Milliarden angegeben:
Tabelle 6.2 „Bevölkerungszahlen“ 41
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Entwicklungsländer 1,7 2,1 2,6 3,3 4,1 4,9
Industrieländer 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
Erstelle nun mittels MS Excel ein Polygonbild, das beide Entwicklungen abbildet.
(Diagramm-Assistent => Diagrammtyp Linie/Diagrammuntertyp Linie mit Datenpunkt)
Versuche die Bevölkerungszahlen so darzustellen, dass der Eindruck erweckt wird, dass das
Bevölkerungswachstum der Entwicklungsländer in den letzten Jahrzehnten drastisch
angestiegen ist.
Polygonbild und Interpretation des Ergebnisses
Grafik 6.4 „Bevölkerungszahlen“
6
5
4
3
2
1
0
Bevölkerungszahlen
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Entw icklungsländer
Industrieländer
Während das Bevölkerungswachstum in den Industrieländern in den letzten Jahrzehnten eher
konstant geblieben ist (sehr geringer Anstieg), explodieren die Zahlen regelrecht in den
Entwicklungsländern. Hier ist es wichtig zu beachten, dass das Schaubild und somit die
Ergebnisinterpretation durch die Skalenniveauveränderung leicht manipulierbar ist.
41 Erber, Gabriele u. a.: Zum Beispiel Mathematik 2. S. 200.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 65
Während im vorigen Beispiel zwei verschiedene zeitliche Entwicklungen in einem Schaubild
festgehalten und verglichen wurden, soll im nächsten demonstriert werden, wie ein Ergebnis
mittels zwei verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten manipuliert werden kann.
13 Im Laufe der Jahre sind die Haltungsschäden bei Schülerinnen und Schülern anhand von
schulärztlichen Untersuchungen festgehalten worden. Die Tabelle zeigt die prozentuelle
Häufigkeit vom Jahr 1993 bis 2002.
Tabelle 6.3 „Haltungsschäden“ 42
Jahr
Prozentuelle
93 94 95 96 97 98 99 00 01 02
Häufigkeit von
Haltungsschäden
18% 18% 19% 19% 20% 20% 22% 23% 23% 24%
Stelle das Ergebnis mittels zwei verschiedenen Liniendiagrammen dar, wobei eine Grafik eine
schwache und die andere eine starke Entwicklung darstellen soll. Vergleiche die zwei
Schaubilder und interpretiere das Ergebnis. Welche möglichen Ursachen könnten die
Haltungsschäden der Schülerinnen und Schüler haben?
Polygonbilder und Interpretation
Grafik 6.5a „Haltungsschäden“ Grafik 6.5b „Haltungsschäden“
25%
20%
15%
10%
5%
0%
Haltungsschäden
93 94 95 96 97 98 99 00 01 02
Dieses Beispiel zeigt sehr deutlich, dass es
sehr wohl einen Unterschied macht, wie man
die Skalen der Achsen wählt. Das erste Bild
(Grafik 5.6a) erweckt den Eindruck, dass die
Entwicklung in den letzten Jahren relativ
konstant geblieben ist. Betrachtet man
hingegen das zweite Liniendiagramm (Grafik
5.6b), empfindet man das Ergebnis geradezu
alarmierend.
42 Url, Liselotte u. a. : Die Welt der Mathematik 2. S. 196.
25%
24%
23%
22%
21%
20%
19%
18%
17%
Haltungsschäden
93 94 95 96 97 98 99 00 01 02

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 66
Zusätzlich zur Skalenniveauveränderung, also Streckung und Stauchung der Achsen, wurde
die y-Achse im zweiten Schaubild (Grafik 5.6b) abgeschnitten und beginnt nicht – so wie in
der ersten grafischen Darstellung (Grafik 5.6a) – beim Nullpunkt, sondern bei 17 %.
Zusammenfassend erkennt man in diesem Beispiel zwei wichtige
Manipulationsmöglichkeiten:
• Streckung bzw. Stauchung der Achsen (somit Skalenniveauveränderung)
• Unterdrückung des Nullpunktes
Mögliche Gründe für das Wachstum: Übergewicht, falsche Sitzhaltung, Bewegungsmangel,
falsche Tragehaltung (zum Beispiel Schultasche),...
6.2. Das Piktogramm
Piktogramme, die in manchen Schulbüchern als Bilddiagramm bezeichnet werden, sind vor
allem bei jüngeren Schülerinnen und Schülern beliebt, da sie meist das Erstellen eines solchen
Schaubildes eher mit „Zeichnen“ als mit „Statistik“ in Verbindung bringen. Tatsächlich
werden solche grafischen Darstellungen auch in der Geografie verwendet. Obwohl man das
Thema der Studie in einem Bilddiagramm auf einem Blick erkennt, sind Bilddiagramme einer
eher unvorteilhafte Art Daten grafisch festzuhalten, da sie keine exakten Werte wiedergeben.
Das kann behoben werden, indem die dazupassenden Datenbeschriftungen (zum Beispiel die
absolute Häufigkeit) in das Schaubild eingefügt werden. Wichtig ist aber auf jeden Fall, dass
immer die Einheit, die ein Bild repräsentiert, ablesbar ist. Außerdem ist zu erwähnen, dass
Bilddiagramme meist in der Werbung verwendet werden, das heißt, das Schaubild sollte gut
strukturiert sein und Interesse beim Betrachter erwecken.
Das folgende Modell-Beispiel wurde aus einem Mathematiklehrbuch genommen, man findet
aber solche Darstellung auch oft im Geografieunterricht. Um sich ein genaueres Bild zu
machen, wurden die gerundeten Werte in die Grafik integriert. Dies ist eine Möglichkeit ein
Piktogramm informativer zu gestalten.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 67
I Eine Klasse will die Städte Linz, Salzburg und Graz anhand ihrer Einwohnerzahl vergleichen.
Damit das Piktogramm leichter zu zeichnen ist, werden die Werte gerundet.
Grafik 6.6 „Bilddiagramm“ 43
Man erkennt in diesem Schaubild, dass Graz – dicht gefolgt von Linz – die meisten
Einwohner besitzt und in Salzburg am wenigsten Menschen leben.
Folgendes Beispiel soll demonstrieren, wie ein Bilddiagramm mittels MS Excel erstellt
werden kann:
J In der Tabelle wird der monatliche Umsatz einer Getränkefirma während der ersten 6 Monate
eines Jahres in Millionen Euro präsentiert.
Tabelle 6.4 „Umsatz“ 44
Monat Mai Juni Juli August September Oktober November
Umsatz 59 80 121 134 78 66 53
Es gilt nun ein Piktogramm mit Hilfe von MS Excel zu erstellen, das diese Werte in Bildern
wiedergibt. Zuerst muss eine passende Grafik für die Datenanalyse gefunden werden. Für
dieses Beispiel wurde eine Getränkedose ausgewählt. Wichtig ist, dass ein Bild verwendet
wird, das dem Betrachter hilft, die Problemstellung leicht und schnell zu erkennen.
Wurden die Daten markiert und der Diagramm-Assistent aktiviert, muss vorerst ein
gewöhnliches Säulendiagramm erstellt werden (siehe dazu auch Kapitel 4.1.2. Das
Säulendiagramm). Danach klickt man mit der rechten Maustaste auf einer der Säulen und
wählt Datenreihen formatieren aus:
43 Lewisch, Ingrid: Mathematik 1. S. 243.
44 Abgeänderte Aufgabe aus: Erber, Gabriele u. a.: Zum Beispiel Mathematik 2. S. 200.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 68
Grafik 6.7a „Datenreihe formatieren“
Format
Um eine bessere Übersicht zu bekommen,
sollte die Option „Stapeln und teilen“
ausgewählt werden, wobei man angeben muss,
wie viele Einheiten ein Bild repräsentiert (in
diesem Beispiel erhöhte man nachträglich die
voreingestellten 20 auf 30 Einheiten pro Bild).
Grafik auswählen...
Betätigt man diesen Schaltknopf, kann man
den Dateipfad und somit die gewünschte
Grafik, die man für das Piktogramm verwenden will, angeben.
Unter Muster – Fläche betätigt man
dann den Schaltknopf „Fülleffekte“.
Unter „Grafik“ können dann
folgende Auswahlmöglichkeiten
gefunden werden:
Grafik 6.7b „Datenreihe formatieren“
Will man die exakten Werte im Schaubild angeben, braucht man nur Datenreihe
formatieren, Datenbeschriftung und die Option „Wert anzeigen“ auswählen.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 69
Hat man nun die Datenreihe entsprechend formatiert und auf OK geklickt, erstellt MS Excel
folgendes Piktogramm:
Wichtig ist auch, dass man im Ergebnis immer die Einheit angibt:
1 Getränkedose entspricht 30 Millionen Euro Umsatz der Firma
Grafik 6.8 „Getränkefirma“
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Mai
Umsatz einer Getränkefirma in Millionen €
Juni
Juli
August
September
Oktober
November
Man kann hier erkennen, dass der Umsatz über die analysierten Monate nicht konstant
geblieben ist, das heißt, in den Sommermonaten Juli und August kann man deutlich ein
Umsatzwachstum erkennen. In den Herbstmonaten ging die Nachfrage deutlich zurück, wobei
sie im Oktober und November konstant blieb. Der stärkste Monat (= der Monat, in dem die
Firma am meisten absetzte) war der August.
Selbstverständlich kann statt eines Säulendiagramms ein Balkendiagramm mit dem Tabellen-
kalkulationsprogramm MS Excel erstellt werden (siehe dazu 4.1.3. Das Balkendiagramm). Je
nach Aufgabenstellung, Vorliebe und Interesse steht es jedem und jeder frei den jeweiligen
Diagrammtyp auszuwählen um ein Piktogramm mit Hilfe von MS Excel zu erstellen.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 70
6.2.1. Beispiele
In den folgenden Beispielen geht es mehr darum, dass die Schülerinnen und Schüler die
diversen Möglichkeiten einer grafischen Darstellung entdecken, als eine aussagekräftige
Interpretation zu formulieren. Die Bilddiagramme können natürlich auch mit der Hand
gezeichnet werden, wobei es vor allem für die Erweiterung der Tabellenkalkulations-
kenntnisse der Schülerinnen und Schüler vom Vorteil wäre, MS Excel zu verwenden.
Hinweis zu den Lösungsschaubildern: In den folgenden zwei Beispielen wurden die
Piktogramme mit der unter Fülleffekte – Grafik – Format auffindbaren Option „Stapeln und
teilen“ erstellt. Es kann natürlich auch eine andere Formatmöglichkeit ausgewählt werden,
wenn man diese bevorzugt.
14 In der Tabelle kann man die Anzahl der Sonnentage in einem österreichischen Urlaubsort
ablesen. Finde eine geeignete Grafik und erstelle ein Piktogramm.
Tabelle 6.5 „Sonnentage“ 45
Monat Mai Juni Juli August September Oktober
Sonnentage 17 22 28 27 21 15
Das passende Piktogramm schaut wie folgt aus:
Grafik 6.9 „Sonnentage“
30
25
20
15
10
5
0
Mai
Juni
Sonnentage
Juli
August
September
Oktober
Als Grafik wurde eine Sonne gewählt, wobei eine Sonne fünf Tage repräsentiert.
Klarerweise gab es in den Sommermonaten Juli und August die meisten Sonnentage.
45 Reichel, Hans-Christian u.a. : Das ist Mathematik 1. S. 142.

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15 Andreas hat während eines Monats an neun Regentagen die gefallenen Wassermengen mit
Hilfe eines Messglases festgestellt und in die folgende Tabelle eingetragen:
Stelle die erhobenen Werte in einem Piktogramm dar. Wähle zuerst eine passende Grafik.
Tabelle 6.6 „Regen“ 46
Tag 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Liter 4,8 3,3 2,5 1,7 2,7 4,3 5,3 6,8 0,8
Als Grafik des Piktogramms wurde ein Regenschirm gewählt, wobei
ein Regenschirm ein Liter entspricht.
Grafik 6.10 „Regentage“
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Regenmenge in Liter an 9 Tagen
1. Tag 2. Tag 3. Tag 4. Tag 5. Tag 6. Tag 7. Tag 8. Tag 9. Tag
46 Reichel, Hans-Christian u.a. : Das ist Mathematik 1. S. 142.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 72
6.3. Fächerübergreifendes Projekt – Geografie und Wirtschaftskunde
In dem Projekt „Heimatort“ sollen die Schülerinnen und Schüler ihren Heimatort oder einen
Ort in ihrer Umgebung näher kennen lernen. Während des Projektes, das mehr Zeit außerhalb
des Unterrichtes in Anspruch nehmen wird, sollen sie ein Klima- und ein Bilddiagramm
herstellen. Am Ende des Projektes sollen die einzelnen Gruppen ein Werbeplakat über ihren
Ort für eine bestimmte, jedoch frei gewählte Zielgruppe erstellen und vor der Klasse
präsentieren. Während für die zwei Schaubilder nur Papier, Stifte und Lineal gebraucht
werden, sollten zusätzlich für die Arbeit am Werbeplakat Schere, Klebstoff und Klebestreifen
vorhanden sein.
Dieses Projekt sollte erst ab der 7. Schulstufe durchgeführt werden, weil von den
Schülerinnen und Schülern eine gewisse Selbstständigkeit verlangt wird. Es ist wichtig, dass
die Schülerinnen und Schüler während der Durchführung des Projekts, ihre Arbeit
protokollieren und nicht vergessen Quellenangaben hinzuzufügen. Da sie während einer
Gruppenarbeit lernen Kompromisse einzugehen (welches Symbol wird nun für das
Piktogramm gewählt, wie soll das Werbeplakat aussehen?,...) und in einem Team effizient zu
arbeiten, wird nicht nur aus Zeitgründen empfohlen, die Schülerinnen und Schüler in Gruppen
arbeiten zu lassen. Falls die Schülerinnen und Schüler wirklich in Gruppen geteilt werden,
können sie sich für einen Ort entscheiden.
Bei diesem Projekt geht es nicht nur darum, dass die Schülerinnen und Schüler ihre
Statistikkenntnisse mit dem Wissen, das sie im Unterrichtsfach Geografie und
Wirtschaftskunde erworben haben, zu verbinden, sondern auch um Datenerhebung. Bei den
bisherigen Aufgaben waren die Daten und Informationen schon vorgegeben und die
Schülerinnen und Schüler mussten nur noch die erlernten Verfahren der Beschreibenden
Statistik auf diese Daten anwenden. Während diesem Projekt sollen die Schülerinnen und
Schüler lernen, im Internet (und somit das Anwenden von Suchmaschinen), an
Gemeindeämtern, öffentlichen Institutionen nützliche und richtige Daten zu finden. Viele
Schülerinnen und Schüler in der Unterstufe kennen das Internet nur als
Kommunikationsmedium und nicht als Informationsquelle. Dieses Projekt soll ihnen das
Internet als Informationsportal, aber auch die damit verbundenen tückischen Probleme
(Richtigkeit der Daten, ...) näher bringen.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 73
6.3.1. Projektbogen
Name des Ortes: Quellen:
� Klimadiagramm
Versucht im Internet oder bei öffentlichen Institutionen die monatlichen
Durchschnittstemperaturen und Niederschlagsmengen des letzten Jahres zu finden. Füllt die
Tabelle aus und zeichnet ein Diagramm, in dem sowohl die Temperatur- als auch die
Niederschlagskurve mit einem Polygon dargestellt werden.
Aufpassen: Da Temperaturen und Niederschläge anders gemessen werden, müsst ihr zwei
y-Achsen in euer Diagramm zeichnen.
Tabelle 6.7 „Klimadiagramm“
Jän Feb März April Mai Juni Juli Aug Sept Okt Nov Dez
Niederschläge
In mm
Temperatur
In °C
� Fremdenverkehr
Sucht aus eurem Ort Informationen über den Fremdenverkehr. Wie viele Nächtigungen gibt
es in den Wintermonaten, wie viele in den Sommermonaten? Wählt ein geeignetes Symbol
für die jeweilige Saison (z.B. Betten, Gasthäuser, Schi für den Winter, Segelschiffe für den
Sommer, ... )
Wenn es keinen Fremdenverkehr in eurem Ort gibt, dann erkundigt euch über andere
wirtschaftliche Faktoren und stellt diese mit einem passend gewählten Symbol in einem
Bilddiagramm dar.
3 Abschlussarbeit
Stellt nun mit Hilfe eurer gefundenen und analysierten Informationen ein Werbeplakat her.
Was sind die Vorteile eures Heimatortes (hohe Temperaturen im Sommer, wenige
Touristen,..)? Was macht euren Heimatort einzigartig und berühmt?
Wählt zuerst eine Zielgruppe: Wieso sollte man gerade in eurem Heimatort Urlaub machen?
Oder wieso sollte sich ein Unternehmen gerade in eurem Heimatort ansiedeln? Wieso sollte
eine Familie mit 3 kleinen Kindern in euren Heimatort ziehen?

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 74
7. Kennzahlen der Lage
Statistische Maßzahlen sind Kennzahlen (Parameter), die spezifische Eigenschaften einer
Verteilung kennzeichnen und somit auch zum Vergleich verschiedener Verteilungen (aus
verschiedenen Erhebungen) geeignet sind. 47
In den vorigen Kapiteln wurden Merkmale entweder durch Prozentsätze oder mit Hilfe von
grafischen Darstellungen beschrieben. In der 8. Schulstufe sollten die Schülerinnen und
Schüler die Fähigkeit erlernen, anhand von statistischen Kennzahlen ein Merkmal beschreiben
zu können. Dieses Kapitel stellt die Lageparameter vor. Das folgende Kapitel 8. Kennzahlen
der Streuung sorgt für eine notwendige und zusammenhängende Ergänzung der Maßzahlen.
Kennzahlen der Lage werden benötigt, um vor allem umfangreiche Daten besser beschreiben
und verschiedene Merkmale vergleichen zu können. Zentrale Lagemaße, wie zum Beispiel
der Median oder das arithmetische Mittel geben Auskunft über das „Zentrum“, die Mitte einer
Merkmalsverteilung.
In der 7. Schulstufe kann schon eine Einführung in die Kennzahlen der Lage unterrichtet
werden. Sie sind jedoch eigentlich Lehrstoff der 8. Schulstufe, wo sie auch genau und
detailliert präsentiert werden sollten.
Folgende Maßzahlen werden nun vorgestellt: der Modus, der Median, das arithmetische
Mittel, das gewogene und das gewichtete Mittel.
In den folgenden Unterkapiteln wird gezeigt, wie die statistischen Kennzahlen Schritt für
Schritt mit der Hand und dem Taschenrechner errechnet werden. Die passenden MS Excel-
Funktionen, die das Berechnen der darauf folgenden Beispiele sicherlich erleichtern, findet
man unter 12.2.3. Berechnung von statistischen Kennzahlen.
47 Kütting, Herbert: Beschreibende Statistik im Schulunterricht. S. 73.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 75
7.1. Der Modus m (Der Modalwert)
Der Modalwert ist der einzige Wert, der bei allen Typen von Merkmalen anwendbar ist. 48
Den Modus, oder auch Modalwert genannt, kann man aus nominalen, ordinalen und
metrischen Merkmalen errechnen und wird mit einem kleinen m abgekürzt. Er ist der
Merkmalswert, der am häufigsten in einer Grundgesamtheit vorkommt, das heißt, wo die
absolute Häufigkeit am größten ist. Es kann passieren, dass zwei Merkmalsausprägungen
innerhalb der Daten dieselbe größte Häufigkeit besitzen. Dieses Merkmal hat dann zwei
Modalwerte.
K Monika, Martina, Nora, Lisa, Christoph, Michael und David vergleichen ihre Augenfarben.
Das Ergebnis wurde von Christoph in eine Tabelle eingetragen:
Tabelle 7.1a „Augenfarbe“
Name Augenfarbe
Moni Grün
Martina Braun
Nora Blau
Lisa Braun
Christoph Grün
Michael Blau
David Braun
Monika hat dann eine Strichliste und ein dazugehöriges Säulendiagramm angefertigt:
Tabelle 7.1b „Augenfarbe – Strichliste“
Augenfarbe Strichliste Anzahl der Personen
absolute Häufigkeit
Grün || 2
Blau || 2
Braun ||| 3
48 Kütting, Herbert: Beschreibende Statistik im Schulunterricht. S. 98.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 76
Grafik 7.1 „Säulendiagramm“
absolute
Häufigkeit
4
3
2
1
0
Monikas Säulendiagramm
2 2
grün blau braun
Haarfarbe
3
Wie man sehr schön aus der Strichliste
und dem Diagramm erkennen kann, ist
der Modus hier die Merkmals-
ausprägung „braun“.
Man beachte, dass der Modus innerhalb eines Merkmals nicht immer eindeutig bestimmbar
ist.
7.2. Der Median z (Der Zentralwert), 1. und 3. Quartil
7.2.1. Der Median z (Der Zentralwert)
Der Median, oft auch als Zentralwert bezeichnet, kann nur bei ordinal- oder
metrischskalierten Daten angewendet werden und wird mit einem kleinen z abgekürzt.
Zuerst ordnet man die Werte eines Merkmals der Größe nach, also von klein nach groß.
Dieses Ergebnis nennt man dann Rangliste. Der Median teilt die Daten in zwei Hälften und
liegt genau in der Mitte aller Werte. Das heißt, es müssen gleich viele Werte unterhalb und
oberhalb des Medians liegen (50% der Merkmalsausprägungen sind kleiner oder gleich und
50% sind größer oder gleich als der Zentralwert).
L Sabine, Johanna, Nina, Martin und Christian gehen in verschiedene Klassen. Sabines Klasse
besteht aus insgesamt 26 Kindern. Johannas Klasse ist die größte: dort trifft man 34 Kinder
an. In Ninas Klasse sind 24 Kinder. In Martins Klasse sind 29 und in Christians Klasse
werden 24 Kinder unterrichtet. Um die Daten überschaubarer zu gestalten, sollte man sich
eine kleine Tabelle anlegen.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 77
Tabelle 7.2 „SchülerInnenanzahl“
Klasse Anzahl der Kinder Rang
Sabine 26 3
Johanna 34 5
Nina 24 1
Martin 29 4
Christian 24 2
Jetzt werden die Werte der Größe nach geordnet, dabei hilft eine dritte Spalte in der Tabelle,
in die man, nach sorgfältigem Überlegen, den Rang des jeweiligen Wertes eintragen kann.
Hier sind nun alle fünf Klassen der Reihe nach aufgelistet:
Nina Christian Sabine Martin Johanna
24 24 26 29 34
Der Median ist eindeutig: Sabines Klasse (hier in einem Rahmen) mit 26 Kindern.
Zwei Werte (24,24) liegen unterhalb und zwei Werte (29,34) liegen oberhalb des Medians.
Wenn aber die Anzahl der Werte gerade ist und somit keine eindeutige Mitte erkennbar ist,
nimmt man den Mittelwert von den beiden Werten, die sich in der Mitte befinden, als Median
an. Auch hier müssen die Daten zuerst der Größe nach geordnet werden, bevor man überhaupt
anfangen kann, einen Median zu berechnen.
M Stephan arbeitet an 6 Tagen in der Woche als Kellner in einem Cafe. Eine Woche lang hat er
sein Trinkgeld notiert. Wie viel Trinkgeld er an jedem Tag bekommen hat, kann man aus der
Tabelle ablesen:
Tabelle 7.3a „Trinkgeld“
Tag Mo Di Mi Do Fr Sa
Trinkgeld € 6, 9 € 5 € 13,7 € 16, 2 € 23, 4 € 21, 8

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 78
Nun wird eine zweite Tabelle erstellt, in der man in einer dritten Spalte den Rang notieren
kann:
Tabelle 7.3b „Trinkgeld“
Tag Trinkgeld Rang
Mo € 6,9 2
Di € 5,0 1
Mi € 13,7 3
Do € 16,2 4
Fr € 23,4 6
Sa € 21,8 5
Nachdem man die Werte der Größe nach sortiert hat, kann man ablesen, welche zwei Werte in
der Mitte liegen (hier eingerahmt):
Di Mo Mi Do Sa Fr
€ 5 € 6, 9 € 13, 7 € 16, 2 € 21, 8 € 23, 4
Nun errechnet man den Mittelwert aus diesen beiden Werten:
13,
7 + 16,
2 29,
9
z = = = 14,
95
2 2
7.2.2. Die Quartile
Der Median in diesem Beispiel beträgt € 14, 95. ⇒ z = € 14,95
Durch die Quartile wird die geordnete Datenmenge in vier gleich große „Teile“ aufgeteilt.
Eine genauere Definition lautet: Unter dem ersten (dritten) Quartil versteht man jene Zahl,
für die höchstens ein (drei) Viertel der Merkmalsausprägungen kleiner ist (sind) und für die
höchstens drei (ein) Viertel der Merkmalsausprägungen größer sind (ist). Die Quartile
ermöglichen eine bessere Charakterisierung der Verteilung der Daten. 49
Nachdem der Median die Daten in zwei Hälften geteilt hat, kann danach von jeder Hälfte
wieder der Zentralwert bestimmt werden. Man erhält somit das untere Quartil Q1 und das
obere Quartil Q3.
49 Szirucsek u. a.: Mathematik 5. S. 284.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 79
Für das erste Quartil gilt, dass 25% der Daten kleiner oder gleich als Q1 sind, deshalb
bezeichnet man dieses auch manchmal als 25%-Quantil.
Für das dritte Quartil gilt, dass 25% der Daten größer oder gleich als Q3 bzw. 75% kleiner
oder gleich als Q3 sind, man spricht daher auch vom 75%-Quantil.
Der Median selbst kann somit auch als 2. Quartil (wird selten verwendet) oder als
50%-Quantil (kommt häufig vor) bezeichnet werden.
Die Quantile beschreiben den prozentuellen Anteil der Datenmenge, der kleiner oder gleich
als dieser errechneter Wert ist. Die Quartile und der Median sind sozusagen Spezialfälle der
Quantile und werden auch am häufigsten verwendet.
L1 Nimmt man das vorherige Beispiel zum Median L her, kann man sehr leicht die zwei
weiteren Quartile kennzeichnen.
Nina Christian Sabine Martin Johanna
24 24 26 29 34
1. Quartil 3. Quartil
25%-Quantil 75%-Quantil
Der Median ist im Gegensatz zum arithmetischen Mittel, das im folgende Kapitel präsentiert
wird, unempfindlich gegenüber Ausreißern. Er wird auch als „robustes Lagemaß“ bezeichnet.
7.3. Das arithmetische Mittel
Das arithmetische Mittel ist der wohl bekannteste und am häufigsten gebrauchte Mittelwert. 50
Das arithmetische Mittel wurde schon im Kapitel 3.2. Der Mittelwert als der Mittelwert
vorgestellt. Dieser Lageparameter benötigt metrische Merkmale und sollte nicht für
Rangmerkmale verwendet werden. Er wird mit einem x abgekürzt.
Hier noch einmal die Formel:
Summe der Einzelwerte
x =
Anzahlder
Einzelwerte
50 Kütting, Herbert: Beschreibende Statistik im Schulunterricht. S. 74.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 80
Bei Ausreißern, das heißt bei einzelnen Daten, die sehr weit von den übrigen Werten weg
liegen, „reagiert“ das arithmetische Mittel sehr empfindlich. Diese Tatsache kann zum
Beispiel bei Tipp- oder Angabefehlern zu ausschlaggebenden Ergebnisverfälschungen führen.
Zur Veranschaulichung eignet sich sehr gut das Beispiel A aus dem Kapitel 2.1.1. Ausreißer
und dessen Auswertung mit und ohne Ausreißer aus Kapitel 3.3. Beispiele, wo schon zuvor
das arithmetische Mittel sowohl mit als auch ohne Ausreißer errechnet wurde. Zum Vergleich
wird nun der Median ermittelt:
Tabelle 2.1 „Ausreißerproblem“
Schülerin/Schüler Schulweg in Minuten
Alice 5 min
Alex 19 min
Hannes 21 min
Stefan 22 min
Bettina 25 min
Martha 26 min
Julia 28 min
Nina 30 min
Martin und
Christian sind Brüder
Mittelwert Median
mit Ausreißer 23,8 min 25,5 min
ohne Ausreißer 25,9 min 26,0 min
31 min
31 min
Als Ausreißer wird hier die Schülerin Alice bezeichnet, deren fünfminütiger Schulweg
deutlich von jenen der anderen Schülerinnen und Schüler abweicht. Während beim
arithmetischen Mittel der Unterschied mit 2 Minuten schon relativ hoch ist, bleibt der Median
mit einer halben Minute eher konstant.
Nun ein Beispiel, das zeigt wie man zwei Datensätze und ihre Verteilungen vergleichen kann:
N Zwei Klassen beschließen zu Weihnachten Geld für „Licht ins Dunkel“ zu spenden:
Tabelle 7.4a „Klasse 1a“:
€ 2 € 1,8 € 2 € 1,8 € 1 € 1,5 € 1,5 € 2,2 € 1,7 € 1,5
€ 2,4 € 1,2 € 0,8 € 2 € 1 € 1,5 € 2,3 € 2,6 € 2 € 1,6
Tabelle 7.5a „Klasse 1b“:
€ 1,5 € 2 € 1,5 € 2,8 € 2 € 2 € 1,8 € 1,6 € 1,8
€ 1,2 € 1,5 € 1,5 € 1,6 € 2 € 2,6 € 2,2 € 1,2 € 2,2

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 81
Spende „Klasse 1a“: € 34,4 Gesamtanzahl „Klasse 1a“: 20 Kinder
Spende „Klasse 1b“: € 33 Gesamtanzahl „Klasse 1b“: 18 Kinder
Da die Klassen nicht gleich groß sind, beschließen die Schülerinnen und Schüler nicht die
gesamte Summe der beiden Spenden zu vergleichen, sondern sie schauen, wie viel sie
durchschnittlich in den beiden Klassen gespendet haben und errechnen also das jeweilige
arithmetische Mittel:
x
x
x
x
1a
1a
1b
1b
2 + 1,
8 + 2 + 1,
8 + 1+
1,
5 + 1,
5 + 2,
2 + 1,
7 + 1,
5 + 2,
4 + 1,
2 + 0,
8 + 2 + 1+
1,
5 + 2,
3 + 2,
6 + 2 + 1,
6
=
20
34,
4
= =
20
€ 1,72
1,
5 + 2 + 1,
5 + 2,
8 + 2 + 2 + 1,
8 + 1,
6 + 1,
8 + 1,
2 + 1,
5 + 1,
5 + 1,
6 + 2 + 2,
6 + 2,
2 + 1,
2 + 2,
2
=
18
33
= = € 1,833&
≈ € 1,83
18
7.3.1. Das gewogene und gewichtete Mittel
Wenn eine Grundgesamtheit mehrere gleiche Merkmalswerte enthält, so lässt sich die
Berechnung des Mittelwerts vereinfachen, indem man jede Merkmalsausprägung mit der
jeweiligen Häufigkeit ihres Auftretens multipliziert (=gewichtet).
Während man beim gewogenen Mittel die einzelnen Merkmalsausprägungen mit den
dazugehörigen absoluten Häufigkeiten multipliziert, multipliziert man beim gewichteten
Mittel die dazupassenden relativen Häufigkeiten mit den einzelnen Merkmalsausprägungen.
Beide Lageparameter besitzen dieselben Eigenschaften wie das arithmetische Mittel.
Es ist darauf hinzuweisen, dass es sich dabei um dasselbe Lagemaß handelt (es sind lediglich
die Rechenschritte verschieden), die Ergebnisse sind folglich gleich.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 82
Das gewogene Mittel
x1, ... ,xk
h1, ... ,hk
h × x1
+ h2×
x2
+ ... + hk
x =
n
1 ×
... einzelne Ausprägungen
n
k
... die dazugehörigen absoluten Häufigkeiten
n ... Gesamtanzahl (=Anzahl der einzelnen Ausprägungen)
Das gewichtete Mittel
x = r
×
x1, ... ,xk
r1, ... ,rk
1× x1
+ r2×
x2
+ ... + rk
nk
... einzelne Ausprägungen
... die dazugehörigen relativen Häufigkeiten
N1 Spende „Klasse 1a“: € 34,4 Gesamtanzahl „Klasse 1a“: 20 Kinder
Tabelle 7.4b „Klasse 1a“:
Spende Strichliste Absolute Häufigkeit
hi
relative Häufigkeit ri
€ 0,8 | 1 0,05
€ 1 || 2 0,1
€ 1,2 | 1 0,05
€ 1,5 |||| 4 0,2
€ 1,6 | 1 0,05
€ 1,7 | 1 0,05
€ 1,8 || 2 0,1
€ 2 |||| 4 0,2
€ 2,2 | 1 0,05
€ 2,3 | 1 0,05
€ 2,4 | 1 0,05
€ 2,6 | 1 0,05
Gesamtanzahl 20
n = 20 k = 12

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 83
Das gewogene Mittel „Klasse 1a“:
x
x
1a
1a
1×
0,
8 + 2×
1+
1×
1,
2 + 4 × 1,
5 + 1×
1,
6 + 1×
1,
7 + 2 × 1,
8 + 4 × 2 + 1×
2,
2 + 1×
2,
3 + 1×
2,
4 + 1×
2,
6
=
20
0,
8 + 2 + 1,
2 + 6 + 1,
6 + 1,
7 + 3,
6 + 8 + 2,
2 + 2,
3 + 2,
4 + 2,
6 34,
4
=
= = € 1,72
20
20
Das gewichtete Mittel „Klasse 1a“:
x
x
1a
1a
=
0,
05
+ 0,05×
2,2 + 0,05×
2,3 + 0,05×
2,4 + 0,05×
2,6
=
0,
04
× 0,
8 + 0,
1×
1+
0,
05×
1,
2 + 0,
2×
1,
5 + 0,05×
1,6 + 0,05×
1,7 + 0,1×
1,8 + 0,2×
2 +
+
0,
1
+
0,
06
+
0,
3
+
0,
08
+
0,
085
+
0,
18
+
0,
4
+
0,
11
+
0,
115
+
0,
12
+
0,
13
=
€ 1,72
Spende „Klasse 1b“: € 33 Gesamtanzahl „Klasse 1b“: 18 Kinder
Tabelle 7.5b „Klasse 1b“:
Spende Strichliste absolute Häufigkeit hi relative Häufigkeit ri
€ 1,2 || 2 2/18 = 1/9 = 0,11 &
€ 1,5 |||| 4 4/18 = 2/9 = 0,2 2& € 1,6 || 2 2/18 = 1/9 = 0,11 &
€ 1,8 || 2 2/18 = 1/9 = 0,11 &
€ 2 |||| 4 4/18 = 2/9 = 0,2 2& € 2,2 || 2 2/18 = 1/9 = 0,11 &
€ 2,6 | 1 1/18 = 0,055 &
€ 2,8 | 1 1/18 = 0,055 &
Gesamtanzahl 18
n = 18 k = 8
Das gewogene Mittel „Klasse 1b“:

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 84
x
x
1b
1b
2×
1,
2 + 4×
1,
5 + 2×
1,
6 + 2×
1,
8 + 4×
2 + 2×
2,
2 + 1×
2,
6 + 1×
2,
8
=
18
2,
4 + 6 + 3,
2 + 3,
6 + 8 + 4,
4 + 2,
6 + 2,
8 33
=
= = € 1,833&
≈ € 1,83
18
18
Das gewichtete Mittel „Klasse 1b“:
x
x
1b
1b
1 2 1 1 2 1 1 1
= × 1,
2 + × 1,
5 + × 1,
6 + × 1,
8 + × 2 + × 2,
2 + × 2,
6 + × 2,
8
9 9 9 9 9 9 18 18
=
2
15
+
1
3
+
8
45
+
1
5
+
4
9
+
11
45
+
13
90
+
7
45
= € 1,833&
≈
€ 1,83
Nach sorgfältiger Berechnung des gewogenen und gewichteten Mittels erkennt man, dass die
Ergebnisse dieselben wie beim arithmetischen Mittel sind (Manchmal kann es natürlich durch
Runden der Ergebnisse zu geringen Abweichungen kommen). Man sieht also, dass diese zwei
Arten nur Spezialfälle des arithmetischen Mittels sind und in der Praxis eigentlich nur dann
verwendet werden, wenn die Urliste bereits in einer Tabelle vorliegt (als absolute bzw.
relative Häufigkeit) oder wenn dieselben Werte gehäuft in den Daten vorkommen. Das
folgende kleine Beispiel soll dies besser demonstrieren:
O Schülerinnen und Schüler einer Klasse wollen wissen, wie viel sie durchschnittlich für einen
Taschenrechner ausgegeben haben: zuerst haben sie notiert, dass es insgesamt vier
verschiedene Taschenrechnertypen gibt (Solar, Batterie betrieben, Zusatzfunktionen,...). hier
die Liste der Eurobeträge:
15,9 17,9 15,9 15,9 20,9 15,9 17,9 20,9 17,9 17,9 20,9
17,9 15,9 18,9 18,9 17,9 15,9 18,9 17,9 15,9 20,9 17,9
Da sie bemerkten, dass es mehrere gleiche Beträge gibt, entscheiden sie sich, den
Durchschnitt mit Hilfe des gewichteten bzw. gewogenen Mittels zu berechnen.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 85
Hier die Tabelle mit den Merkmalsausprägungen und den dazugehörigen absoluten bzw.
relativen Häufigkeiten:
Tabelle 7.6 „Taschenrechnerpreise“
Das gewogene Mittel
Preis absolute Häufigkeit Relative
Häufigkeit
15,9 7 0,3182 ≈ 0,32
17,9 8 0,3636 ≈ 0,36
18,9 3 0,1364 ≈ 0,14
20,9 4 0,1818 ≈ 0,18
Gesamtanzahl 22 1
7×
15,9 + 8×
17,9 + 3×
18,9 + 4×
20,9
x =
= 17,
94545 ≈17,
95
22
Das gewichtete Mittel
x = 0,
32×
15,
9 + 0,
36×
17,
9 + 0,
14×
18,
9 + 0,
18×
20,
9 = 17,
94
Durchschnittlich haben sie 17,95 Euro für einen ihrer Taschenrechner ausgegeben. Man
erkennt, dass das Errechnen des Mittelwerts mit dem gewichteten bzw. gewogenen Mittel in
diesem Fall schneller und leichter erfolgte.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 86
8. Kennzahlen der Streuung
Dieses Kapitel sollte als Ergänzung und Fortsetzung vom vorhergehenden in der 8. Schulstufe
unterrichtet werden. Die Berechnung eines Mittelwertes reicht nicht aus, um ein Merkmal
vollständig zu beschreiben. Mittelwerte geben ja nur das „Zentrum“ der Messwerte an.
Streuungsmaße können innerhalb eines Datensatzes
angeben.
• die Abweichung der Messwerte voneinander (Spannweite, Quartilabstand):
es wird somit die Differenz von Lagemaßen berechnet
• die Abweichungssumme von einem Mittelwert
(Mittlere absolute Abweichung vom Median und Standardabweichung)
Diese Kennzahlen der Streuung sind notwendig, weil die Lageparameter alleine keine
ausreichend Daten beschreiben können.
Statistische Maßzahlen der Lage und der Streuung werden gemeinsam benötigt, um eine
vertrauenswürdige Aussage über die vorliegenden Merkmale geben zu können.
Die diversen MS Excel-Funktionen findet man – wie im Kapitel 7. Kennzahlen der Lage –
unter 12.2.3. Berechnung von statistischen Kennzahlen.
Das folgende Beispiel, in dem zwei verschiedene Altersgruppen analysiert werden, soll den
Begriff „Streuung“ besser veranschaulichen und verdeutlichen, dass man zwei Merkmale mit
Hilfe von mehreren statistischen Kennzahlen effizienter vergleichen kann. Obwohl deren
Mittelwert, Minimum und Maximum gleich sind, erkennt man einen deutlichen Unterschied
bei der Standardabweichung. Somit kann man von zwei unterschiedlichen Altersgruppen
ausgehen. 51
Gruppe 1 Gruppe 2
24 34 34 35 23 21 35 35 36 38
30 32 34 38 22 35 36 39 38 39
23 57 54 54 51 34 37 57 37 40
32 21 36 54 53 37 34 37 34 42
Mittelwert 37,05 37,05
Minimum 21,00 21,00
Maximum 57,00 57,00
Standardabweichung 12,34 6,24
51 Beispiel erstellt von Ao.Univ.Prof.Dr.Marcus Hudec

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 87
8.1. Die Spannweite
Die Spannweite ist das einfachste und wohl auch anschaulichste Streuungsmaß für Daten. 52
Die Spannweite, meist mit einem großen R (kommt vom Englischen „range“) abgekürzt, ist
der Unterschied zwischen dem Maximum und dem Minimum, also den größten und kleinsten
Wert einer Datenmenge. Man kann diese leichter ermitteln, wenn man die Daten zuerst der
Größe nach sortiert, das heißt vom kleinsten zum größten. Sie kann bei ordinal- oder
metrischskalierten Merkmalen angewendet werden.
Da die Spannweite nur durch die zwei „äußersten“ Werte (den größten und den kleinsten
Wert) errechnet wird und somit von Ausreißern stark beeinflusst werden kann, ist sie nicht
sehr aussagekräftig. Außerdem gibt sie keine Informationen über die Streuung der Daten
innerhalb dieses Intervalls wieder.
Die Formel lautet: Spannweite = größter Wert – kleinster Wert
R = xMax – xMin
P Hier wird die Angabe vom Beispiel M vom Kapitel 7.2.1. Der Median z (Der Zentralwert)
verwendet.
Tabelle 8.1 „Trinkgeld“:
Tag Trinkgeld Rang
Mo € 6,9 2
Di € 5,0 1
Mi € 13,7 3
Do € 16,2 4
Fr € 23,4 6
Sa € 21,8 5
Durch den Rang erkennt man, dass das Minimum 5Euro und das Maximum 23,4Euro beträgt.
xMin = € 5 xMax = € 23,4 Spannweite = 23,4 – 5 = € 18,4
52 Kütting, Herbert: Beschreibende Statistik im Schulunterricht. S. 102.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 88
8.2. Der Quartilabstand
Die Aussagekraft des Quartilabstandes ist größer als die der Spannweite, da sich der
Quartilabstand nicht nur auf den größten und den kleinsten Wert stützt. 53
Der Quartilabstand definiert ein Intervall, in dem die Hälfte der Daten liegt und sich der
Median befindet. Der Zentralwert muss aber nicht immer genau in der Mitte des
Quartilabstandes liegen. In manchen Büchern wird der Quartilabstand als Halbweite
bezeichnet und zur Verwirrung aller mit einem großen R abgekürzt. Für diese Arbeit gilt, dass
das R für die Spannweite steht, will man den Quartilabstand abkürzen, sind die Buchstaben
QA für Quartilabstand oder w für Halbweite zu verwenden.
Quartilabstand = 3. Quartil – 1. Quartil
QA = Q3 – Q1
Im folgenden Beispiel werden zuerst die zwei Quartile und mit deren Hilfe danach der
Quartilabstand berechnet. Der Median wird hier nur als zusätzliche Information über die
Daten angegeben, ist jedoch für die Berechnung des Quartilabstandes nicht notwendig.
Q Dies ist eigentlich eine Analysefortsetzung des Beispiels N im Kapitel 7.3. Das arithmetische
Mittel.
Tabelle 8.2 „Klasse 1a“:
€ 2 € 1,8 € 2 € 1,8 € 1 € 1,5 € 1,5 € 2,2 € 1,7 € 1,5
€ 2,4 € 1,2 € 0,8 € 2 € 1 € 1,5 € 2,3 € 2,6 € 2 € 1,6
0,8 1 1 1,2 1,5 1,5 1,5 1,5 1,6 1,7 1,8 1,8 2 2 2 2 2,2 2,3 2,4 2,6
1. Quartil Median 3. Quartil
1,
5 + 1,
5
1. Quartil = = 1,
5
2
1,
7 + 1,
8
Median = = 1,
75
2
Quartilabstand = 3. Quartil – 1. Quartil = 2 – 1,5 = 0,5 QA = 0,5
53 Kütting, Herbert: Beschreibende Statistik im Schulunterricht. S. 109.
2 + 2
3. Quartil = = 2
2

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 89
8.3. Die mittlere absolute Abweichung vom Median
Diese Kennzahl der Streuung hat den Median als Bezugswert und kann somit bei
metrischskalierten Werten bzw. für Daten, bei denen eine Differenz-Berechnung sinnvoll
erscheint, angewendet werden. Dieser Parameter zeigt an, wie sehr sich die Datenmenge um
den Median streut.
Bei der mittleren absoluten Abweichung vom Median werden die Beträge von den
Abweichungen zwischen den einzelnen Werten und dem Median aufsummiert und durch die
Anzahl der Werte dividiert. Werden die Betragsstriche weggelassen, heben sich positive und
negative Werte auf und ein verfälschtes Ergebnis läge vor (die Streuung würde stark
unterschätzt werden).
Formel:
d
z
x1
− z + x2
− z + ... + xn
− z
=
n
z ... Median
x1,...,xn ... Merkmalsausprägungen
n ... Gesamtanzahl (=Anzahl der einzelnen Ausprägungen)
Streubereich um z: [z – dz; z + dz] bzw. z ± dz (Median)
Im folgenden Modell-Beispiel werden der Medien und die mittlere absolute Abweichung der
Schülerzahlen zwei verschiedener Schulen errechnet. Dazu werden die Werte des Beispiels L
im Kapitel 7.2.1. Der Median z (Der Zentralwert) hergenommen und mit dem gleichen
Jahrgang einer anderen Schule verglichen:
Als Angabe werden jeweils 5 Klassen einer Schule, die einen Jahrgang bilden, präsentiert.
Folgende Schritte sind bei der Durchführung zu beachten:
� Zuerst werden die beiden Mediane der zwei verschiedenen Schulen berechnet.
� Mit Hilfe vom Median ermittelt man die dazupassenden mittleren absoluten
Abweichungen vom Median.
� Die beiden Ergebnisse werden schließlich verglichen und interpretiert.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 90
R Nun wird die Angabe und der bereits errechnete Median vom Beispiel L aus dem Kapitel
7.2.1. Der Median z (Der Zentralwert) verwendet.
Sabine, Johanna, Nina, Martin und Christian besuchen dieselbe Schule. Obwohl sie im selben
Jahrgang sind, gehen sie doch in verschiedene Klassen. Die folgende Tabelle zeigt an, wie
viele Schülerinnen und Schüler sich in einer Klasse dieses Jahrgangs befinden:
Tabelle 8.3 „Schüleranzahl – 1.Schule“
Klasse von Anzahl der SchülerInnen
Sabine 26
Johanna 34
Nina 24
Martin 29
Christian 24
Median z = 26 und n = 5
dz=
dz = 3
|26 – 26| + |34 – 26| + |24 – 26| + |29 – 26| + |24 – 26|
5
Streubereich um z: [23; 29] bzw. 26 ± 3 (Median)
Nun will man zwei Schulen vergleichen, dazu werden die Schülerzahlen desselben Jahrgangs
jedoch einer anderen Schule erhoben und aufgelistet. Laut Stefan, Susanne, Alex, Martina und
Phillip gelten folgende Werte innerhalb ihres Jahrgangs:
Tabelle 8.4 „Schüleranzahl – 2.Schule“
Klasse von Anzahl der SchülerInnen Rang
Stefan 28 3
Susanne 32 4
Alex 32 5
Martina 27 2
Phillip 14 1

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 91
z = 28
28 − 28 + 32 − 28 + 32 − 28 + 27 − 28 + 14 − 28
dz =
=
5
4,6
Streubereich um z: [23,4; 32,6] bzw. 28 ± 4,6 (Median)
Werden nun die beiden Schulen verglichen, sieht man, dass bezüglich des Zentralwertes in
der zweiten Schule um 2 Schülerinnen bzw. Schüler mehr in eine Klasse gehen als in der
ersten Schule. Im Allgemeinen aber kann man sagen, dass die Schülerzahlen der beiden
Schulen ziemlich gleich verteilt sind, was wiederum interessant ist, wenn man die einzelnen
Werte näher betrachtet: immerhin gibt es in der zweiten Schule eine Klasse mit nur 14
Schülerinnen und Schüler. Diese Tatsache trägt dazu bei, warum die Streuung in dieser
Schule etwas höher ist als in der ersten Schule.
Es ist wichtig – um Missverständnisse zu vermeiden – beim Ergebnis hinzuzufügen, dass
es sich hierbei um den Median handelt. Es hat sich durchgesetzt, dass diese Schreibweise
üblicherweise für das arithmetische Mittel und somit für den Mittelwert verwendet wird. In
dieser Diplomarbeit werden in den Beispielen im Kapitel 10. Beispiele zu Kennzahlen der
Lage und Streuung mehrere statistische Kennzahlen auf einmal ermittelt und damit wird als
Ergebnis eine Tabelle und nicht diese spezifische Schreibweise verwendet.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 92
8.4. Die Standardabweichung
Um die Standardabweichung zu berechnen, benötigt man das arithmetische Mittel und somit
kann sie nur bei metrischen Daten berechnet werden. Sie gibt an wie sehr die Messwerte um
den Mittelwert schwanken.
Um ein gegenseitiges Aufheben der einzelnen Abweichungen zwischen den Werten und dem
arithmetischen Mittel zu vermeiden, werden diese Abweichungen quadriert. Das erzeugt die
Situation, dass größere Abweichungen mehr Einfluss auf das Ergebnis haben.
Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel der Varianz. Da durch die
Quadrierung ausschließlich positive Terme summiert werden, kann die Varianz und somit die
Standardabweichung niemals negativ sein. Man zieht die Standardabweichung vor, weil diese
die gleiche Dimension wie der Mittelwert besitzt und daher leichter zu interpretieren ist.
Eine Varianz und somit eine Standardabweichung von Null bedeutet, dass alle
Merkmalsträger dieselbe Ausprägung haben. Diese Ausprägung ist dann gleich dem
arithmetischen Mittel.
Im Allgemeinen gilt, dass eine große Streuung darauf hinweist, dass die einzelnen Werte
weiter auseinander liegen und somit unterschiedlicher, während sie bei einer kleinen Streuung
dicht gedrängt sind.
Formel der Varianz:
Varianz =
Formel der Standardabweichung:
s
x
=
( x1
− x)
² + ( x2
− x)
² + ... + ( xn
− x)
( x1
− x)
² + ( x2
− x)
² + ... + ( xn
− x)
x ... arithmetisches Mittel
x1, ... ,xn ... Merkmalsausprägungen
n
n
n ... Gesamtanzahl (=Anzahl der einzelnen Ausprägungen)
Streuberei ch um x : [ x - s
±
x; x +
sx]
bzw. x sx

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 93
Im folgenden Modell-Beispiel werden die Werte, die schon im Kapitel 7.3. Das arithmetische
Mittel präsentiert wurden, verwendet und man versucht nun zusätzlich mit Hilfe der
Standardabweichung die Verteilungen der beiden Schulklassen und somit ihr
„Spendeverhalten“ zu vergleichen. Dazu werden folgenden Schritte benötigt:
� Berechnung des arithmetischen Mittels (wurde schon im Kapitel 7.3. Das arithmetische
Mittel durchgeführt).
� Berechnung der jeweiligen Standardabweichung (siehe oben angeführte Formel).
� Schließlich werden die Ergebnisse miteinander verglichen und interpretiert. Dabei ist auf
Ausreißer zu achten, die womöglich das Ergebnis gravierend verändern könnten.
S Hier wird die bereits begonnene Verteilungsberechnung aus dem Beispiel N des Kapitels 7.3.
Das arithmetische Mittel mittels der Berechnung der Standardabweichung fortgesetzt.
Standardabweichung „Klasse 1a“ mit Mittelwert x = 1,72:
Tabelle 8.5 „Klasse 1a“
€ 2 € 1,8 € 2 € 1,8 € 1 € 1,5 € 1,5 € 2,2 € 1,7 € 1,5
€ 2,4 € 1,2 € 0,8 € 2 € 1 € 1,5 € 2,3 € 2,6 € 2 € 1,6
s
s
x1a
x1a
=
( 2 -1,72)
² + ( 1,
8 −1,
72)
² + ... + ( 2 −1,
72)
² + ( 1,
6 −1,
72)
= 0,48623148 ≈ 0,49
20
Streubereich: [1,23;2,21] bzw. 1 , 72 ±
0,
49
²

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 94
Standardabweichung „Klasse 1b“ mit Mittelwert x = 1,83:
Tabelle 8.6 „Klasse 1b“
€ 1,5 € 2 € 1,5 € 2,8 € 2 € 2 € 1,8 € 1,6 € 1,8
€ 1,2 € 1,5 € 1,5 € 1,6 € 2 € 2,6 € 2,2 € 1,2 € 2,2
s
s
x1b
x1b
=
( 1,5 -1,83)
² + ( 2 −1,
83)
² + ... + ( 1,
2 −1,
83)
² + ( 2,
2 −1,
83)
= 0,43790947 ≈ 0,44
18
Streubereich
: [1,39; 2,27]
bzw.
1,83 ± 0,44
Obwohl es sich um zwei verschiedene Klassen handelt, wird durchschnittlich gleich viel
gespendet. Betrachtet man zusätzlich zum arithmetischen Mittel die Standardabweichung, so
kann man sehen, dass sich die Verteilungen sehr ähnlich sind.
Dieses Ergebnis kann man im folgenden Kapitel grafisch anhand eines Kastenschaubildes
(mit Hilfe der schon bekannten Quartile) näher betrachten. Hierbei kann auch schnell
festgestellt werden, dass es in diesem Beispiel – nämlich in der Klasse 1b einen Ausreißer
(mit dem Wert „€ 2,8“) gibt. Dieser hat spürbar mehr gespendet als die restlichen
Schülerinnen und Schüler. Er verändert das Ergebnis jedoch nicht gravierend (arithmetisches
Mittel ohne Wert „€ 2,8“: 1,78).
Abschließend ist noch anzumerken, dass die Streuung generell etwas schwieriger zu
interpretieren ist, weil eine Visualisierung schwer vorstellbar ist. Zur besseren
Veranschaulichung für die Mathematiklehrerinnen und –lehrer (da die Normalverteilung erst
in der 12. Schulstufe unterrichtet wird, ist dieser Hinweis wirklich NICHT für Kinder der
Unterstufe gedacht) wird folgende Regel präsentiert: Folgt die Häufigkeitsverteilung des
Merkmals einer Normalverteilung, gilt Folgendes: zirka 68% der Merkmalsträger, also etwa
zwei Drittel aller Werte, befinden sich im oben angegebenen Intervall (=Streubereich).
²

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 95
9. Box-and-Whiskers-Plot (das Kastenschaubild)
Diese Grafik wird in der Fachliteratur Box-and-Whiskers-Plot, kurz Box-Plot genannt, weil
das 1. und 3. Quartil, sowie der Median eines Merkmals durch eine Box und die Extremwerte
durch „Schnurrhaare“ (Englisch: whiskers) dargestellt werden. In den österreichischen
Schulbüchern findet man oft die deutsche Bezeichnung Kastenschaubild. Dieses Diagramm
wird oft zur Veranschaulichung eines Merkmals verwendet, vor allem wenn man
verschiedene Merkmale anhand ihrer Verteilungen vergleichen will.
Mit der Ausdehnung eines Boxplots wird die Spannweite, mit der Ausdehnung der Box der
Quartilabstand als zwei Streuungsmaße bildhaft dargestellt. Zwischen dem kleinsten
Merkmalswert xMin und den unteren Quartil x0,25 bzw. zwischen dem oberen Quartil x0,75 und
dem größten Merkmalswert xMax liegen jeweils 25% bzw. ein Viertel der Einzelwerte einer
geordneten Urliste. 54
T Nun werden die schon im Beispiel Q des Kapitels 8.2. Der Quartilabstand errechneten
Quartile mittels eines Boxplots (Kastenschaubild) grafisch dargestellt.
Tabelle 9.1 „Klasse 1a“
€ 2 € 1,8 € 2 € 1,8 € 1 € 1,5 € 1,5 € 2,2 € 1,7 € 1,5
€ 2,4 € 1,2 € 0,8 € 2 € 1 € 1,5 € 2,3 € 2,6 € 2 € 1,6
0,8 1 1 1,2 1,5 1,5 1,5 1,5 1,6 1,7 1,8 1,8 2 2 2 2 2,2 2,3 2,4 2,6
1. Quartil Median 3. Quartil
1,
5 + 1,
5
1. Quartil = = 1,
5
2
1,
7 + 1,
8
Median = = 1,
75
2
Quartilabstand = 3. Quartil – 1. Quartil = 2 – 1,5 = 0,5 QA = 0,5
Verteilungsmaßzahlen, die in einem Kastenschaubild verwendet werden:
Kleinster Merkmalswert XMin Minimum 0,8
Unteres Quartil X0,25 1. Quartil: q1 1,5
Mittleres Quartil X0,5 Median 1,75
Oberes Quartil X0,75 3. Quartil: q3 2
Größtere Merkmalswert XMax Maximum 2,6
54 Assenmacher, Walter: Deskriptive Statistik. S. 41.
2 + 2
3. Quartil = = 2
2

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 96
Ein Kastenschaubild kann sehr leicht mit der Hand erstellt werden. Man zeichnet zuerst einen
Zahlenstrahl, der den Datenbereich angibt und markiert die gewünschten Maßzahlen über den
angegebenen Werten auf dem Strahl mit jeweils einem 1 cm langen Strich.
Danach verbindet man die Striche vom Median, 1. und 3. Quartil zu einer Box. Den Strich
vom Minimum verbindet man in der Mitte mit dem vom 1. Quartil und das Maximum wird
mit dem 3. Quartil verbunden. Diese längeren Linien nennt man „Schnurrhaare“.
Manchmal wird auch der Mittelwert mit einem Kreuz eingezeichnet, damit man ihn mit dem
Median vergleichen kann. Das geht natürlich nur, wenn mit metrischen Daten gerechnet wird.
Liegen Ausreißer vor, gibt es eine Sonderregelung: Die Schnurrhaare werden nicht länger
gezeichnet als der ganze + der halbe Quartilabstand. Das heißt: jeder Wert, der
kleiner als das 1. Quartil – der 1.5× Quartilabstand
oder
größer als das 3. Quartil + 1.5× Quartilabstand
wird als Ausreißer bezeichnet und die
Schnurrhaare werden 1.5× Quartilabstand
lang gezeichnet und die Ausreißer mit Punkten
oder Kreisen markiert.
Grafik 9.1 „Erstellung eines Box-Plots“
Klasse 1a
Klasse 1b

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 97
Mit Hilfe der Kastenschaubilder kann man nun die Verteilungen der beiden Klassen
vergleichen und man sieht, dass sie sich sehr ähnlich sind und somit das gleiche
Spendeverhalten in beiden Klassen zu finden ist, wie schon in den vorhergegangenen Kapiteln
mit Hilfe der statistischen Kennzahlen festgestellt wurde.
U Im folgenden Modell-Beispiel wird das Verhalten des Telefonierens einer Klasse dargestellt,
wobei nach Geschlecht unterschieden wird. 55 Mit Hilfe von Kastenschaubildern versucht man
nun die Telefonkosten und somit das Verhalten geschlechtsspezifisch zu untersuchen und zu
interpretieren. Es gilt folgende Frage zu klären: „Geben Mädchen mehr Geld für das
Telefonieren aus als Burschen – oder ist es vielleicht umgekehrt?“
Grafik 9.2a „Telefonkosten – Kastenschaubild“
Mädchen
Burschen
Auf Grund der grafischen Darstellung kann man sehr gut die doch zahlreichen Ausreißer bei
den Mädchen erkennen. Die Kreuze stellen die zwei arithmetischen Mittel dar, die – obwohl
die restlichen statistischen Kennzahlen der Lage doch sehr unterschiedlich sind – nicht sehr
viel voneinander abweichen. Das heißt, durchschnittlich geben die Mädchen fast genauso viel
aus – ja, sogar ein bisschen weniger – also die Schüler. Hier ist es jedoch wichtig, dass die
Ausreißer mit in Betracht gezogen werden. Schaut man sich nun allein die „Schnurrhaare“ an,
merkt man schon sehr deutlich, dass das Verhalten innerhalb der Burschengruppe sehr
unterschiedlich ist, wohingegen die Mädchen gleich hohe Telefonkosten zu haben scheinen.
Die beiden „Kästen“ (=Box) sind unterschiedlich groß: Interessant ist, dass die Schülerinnen
und Schüler dasselbe 25%-Quantil haben, allerdings ist das dritte Quartil bei den Mädchen
der Median bei den Burschen. Hier merkt man nun, dass die Verteilungen schon
unterschiedlich sind und dass die Telefonkosten der Mädchen sich größtenteils zwischen
55 Daten: http://www.schule.suedtirol.it/blikk/angebote/modellmathe/ma2036.htm

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 98
15 und 25 Euro bewegen, während die Burschen unterschiedlich hohe Telefonkosten haben.
Darüber hinaus gibt es bei den Mädchen vier Ausreißer, obwohl ihre höchste
Telefonrechnung 50 Euro beträgt. Die Schüler hingegen weisen mit einem maximalen Wert
von 60 Euro keinen einzigen Ausreißer auf, was darauf hindeutet, dass die Verteilung der
Schüler breiter gestreut ist als jene der Schülerinnen.
Schließlich kann man sagen, dass die Schüler in dieser Klasse ein anderes Verhalten besitzen
als die Mädchen.
Auch schon bekannte Histogramme können bezügliche eines Verteilungsvergleiches sehr
aufschlussreich sein. Hier gilt dieselbe Interpretation, wie oben bei den
Kastenschaubildern. Man sieht hier nur noch deutlicher, dass die Mädchen durchschnittlich
um 15 bis 25 Euro ausgeben, während sich bei den Schülern kein wirklicher Trend
durchsetzen kann.
Grafik 9.2b „Telefonkosten – Histogramm“
Häufigkeit
20
15
10
5
0
Schülerinnen
0-10

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 99
10. Beispiele zu Kennzahlen der Lage und Streuung
Nun werden einige Beispiele zu den vorhergegangenen Kapiteln 7. Kennzahlen der Lage,
8. Kennzahlen der Streuung und 9. Box-and-Whiskers-Plot (das Kastenschaubild) präsentiert.
Vor allem in diesem Kapitel wurde darauf geachtet, dass die ausgewählten Beispiele so
praxisbezogen wie nur möglich sind und dass die Schülerinnen und Schüler auch innerhalb
eines Beispieles die Möglichkeit haben, die verschiedenen Mittelwerte (arithmetisches Mittel
– Median) und Streuungsmaße (Standardabweichung – Mittlere absolute Abweichung vom
Median) untereinander zu vergleichen. Da es besonders in diesem Bereich immer wieder zu
Missverständnissen, Falschanwendungen und Fehlinterpretationen kommt, sollten diese
Beispiele in der 8. Schulstufe Kernbereich des Lehrstoffes der Beschreibenden Statistik sein.
Für dieses Beispiel müssen zuerst die Daten innerhalb der Klasse von den Schülerinnen und
Schülern gesammelt werden. Anhand dieses Beispiels sollen die Schülerinnen und Schüler ein
Gefühl für die verschiedenen Merkmalsskalen und die dazupassenden statistischen
Kennzahlen zu bekommen. Es ist wichtig, dass man sieht, dass es nicht immer Sinn macht,
gleich alle möglichen Berechnungen durchzuführen ohne sich dabei vorher Gedanken über
die Merkmalsstruktur zu machen.
16 Folgende Schritte müssen von den Schülerinnen und Schülern durchgeführt werden:
� Die Vorwahlen der Telefonnummern aller Schülerinnen und Schüler innerhalb der
Klasse werden gesammelt und notiert.
� Berechnung des Modalwerts und Interpretation des Ergebnisses.
� Berechnung des Medians und des arithmetischen Mittels.
� Interpretationsversuch des Ergebnisses:
Sind diese Maßzahlen in diesem Beispiel überhaupt sinnvoll?
Obwohl es sich bei den Daten um Zahlen handelt, können jedoch weder Median noch
Mittelwert sinnvoll berechnet werden. Telefonnummern (egal, ob Mobiltelefon oder Festnetz)
sind nominalskalierte Merkmale und die einzige statistische Kennzahl der Lage, die davor
präsentiert wurde und zur Berechnung dieses Beispiels herangezogen werden kann, ist der
Modalwert. (siehe dazu Kapitel 2.3. Merkmal, Merkmalsträger, Merkmalsausprägung )

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 100
Im folgenden Beispiel werden die Schülerinnen und Schüler aufgefordert, nicht nur
statistische Kennzahlen mit MS Excel zu errechnen, sondern zuerst diverse MS Excel
Anwendung zu gebrauchen, um somit die vorgegebenen Daten optisch aufbereiten zu können.
Nähere Erläuterungen zu einigen MS Excel Verfahren findet man unter 12.1. Grundlegende
Anwendungen sowie 12.2. Berechnungen mit MS Excel. Dieses Beispiel soll vor allem zur
Festigung des Umgangs mit dem Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel dienen.
Nachdem der „Bruttoinlandsprodukt“-Datensatz in ein MS Excel Tabellenblatt übertragen
wurde, müssen die Schülerinnen und Schüler die Länder alphabetisch ordnen (siehe dazu
Kapitel 12.1.2. Sortieren der Daten). Danach sollen sie in einer dritten Spalte mit Hilfe der
Rang-Funktion und der Unten Ausfüllen-Methode die Ränge der Länder bezüglich des BIPS
errechnen. Das heißt, welches Land hat das größte und welches das kleinste BIP. Kapitel
12.1.1. Kopieren von Inhalten und 12.2.2. Eingeben und Kopieren von Formeln am Beispiel
der Rang-Funktion können beim Lösen der Aufgabenstellung auf jeden Fall behilflich sein.
Nachdem dieser computertechnische Teil absolviert wurde, sollen schließlich die in den
vorangegangenen Kapiteln erlernten Kennzahlen mit MS Excel errechnet und dargestellt
werden.
17 Das Bruttoinlandsprodukt (BIP) je Einwohner ist eine wichtige wirtschaftliche Kennzahl. Für
2001 wurden in der EU folgende Werte (in US-Dollar) erhoben (Quelle: Österreichs
Wirtschaft im Überblick 2002/2003, S. 20).
Tabelle 10.1 „BIP pro Einwohner 2001“ 56
Luxemburg 49 800 Dänemark 29 900 Belgien 26 900
Österreich 27 800 Niederlande 28 600 Deutschland 26 500
Frankreich 25 100 Italien 26 100 Schweden 25 600
Finnland 25 900 Großbritannien 25 400 Irland 31 400
Spanien 21 000 Portugal 18 700 Griechenland 17 800
a) Gib diese Daten in das Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel ein (Spalte A und B)
und sortiere alphabetisch nach den Staaten. Grafik 10.1 „BIP 2001“ 57
56 Steiner, Gerald: Mathemaster 4. S. 264.
57 Steiner, Gerald: Mathemaster 4. S. 264.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 101
b) Nummeriere die Ränge in Spalte C absteigend. Verwende dafür die Rang-Funktion.
Wie lautet die Eingabe für C2?
Berechne die diversen statistischen Kennzahlen und zeichne mit Hilfe deiner Ergebnisse ein
Kastenschaubild. Versuche deine Ergebnisse zu interpretieren.
� alphabetisch geordnet und Spalte C mit den Rängen:
Grafik 10.2 „BIP-Ränge“
� statistische Kennzahlen
Lagemaße: Streuungsmaße:
Minimum: 17800 (Grland) Spannweite: 32000
Maximum: 49800 (Luxbrg)
1. Quartil: 25250
3. Quartil: 28200
Quartilabstand: 2950
Median: 26100 Mittlere absolute Abweichung: 4093,33
Mittelwert: 27100 Standardabweichung: 7322,18
� Kastenschaubild und Interpretation
Die Spannweite mit 32 000 US-Dollar ist schon ziemlich groß, betrachtet man hingegen die
Quartile und den Quartilabstand ist hier der Unterschied nicht besonders erwähnenswert. Das
deutet darauf hin, dass einige Staaten ähnliche BIP vorweisen können und dass es einige gibt,
die extreme Werte annehmen – sogenannte Ausreißer sind. Dies sieht man auch anhand des
Kastenschaubildes.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 102
Grafik 10.3 „BIP-Kastenschaubild“
Interessant ist hier auch die Streuung im Vergleich zur mittleren absoluten Abweichung des
Medians. Dieses Beispiel zeigt sehr gut, dass Ausreißer das Ergebnis „verzerren“ können, was
jetzt beim arithmetischen Mittel nicht unbedingt sichtbar ist, merkt man aber dann bei der
Standardabweichung; mit 7322,18 US-Dollar ist sie doch beachtlich hoch, während die
robuste (gegenüber Ausreißer) mittlere absolute Abweichung nur 4903,33 US-Dollar
aufweisen kann. Zusammenfassend kann man sagen, dass die meisten Staaten der EU doch
ein ähnliches BIP vorweisen können, jedoch gibt es einige Staaten, deren BIP sowohl
beträchtlich kleiner als auch größer im Vergleich zu den anderen sein kann.
Das folgende Beispiel wurde vor allem gewählt, damit Schülerinnen und Schüler der
8.Schulstufe, die sich vorstellen können nach der 9. Schulstufe eine Lehre zu beginnen, schon
einen Einblick in den Arbeitsmarkt bekommen. Die Ergebnisse sollten bei der Wahl eines
Lehrberufes weiterhelfen bzw. unterstützen, jedoch nicht entscheidend sein.
Hier sind natürlich nur einige genannt, es gibt auf dem Arbeitsmarkt weitaus mehr
Lehrberufe.
18 Die Tabelle zeigt monatliche Lehrlingsentschädigungen im 1. Lehrjahr für ausgewählte
Berufe (gerundet, brutto): Grafik 10.4 „Lehrlingsentschädigung“ 58
58 Steiner, Gerald: Mathemaster 4. S. 265.
Versuche dir mit Hilfe statistischer Kennzahlen
und eines Boxplots ein besseres Verständnis
für die Gehaltsverteilung im 1. Lehrjahr zu
verschaffen.
Hinweis: Diese Tabelle zeigt keine aktuellen
Lehrlingsentschädigungen an (siehe Lehrbuch-
Tabelle aus dem Jahr 2003).

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 103
� statistische Kennzahlen
Lagemaße: Streuungsmaße:
Minimum: 259 (Friseur) Spannweite: 344
Maximum: 603 (Maurer)
Modalwert: 376
1. Quartil: 339
3. Quartil: 391 Quartilabstand: 52
Median: 376 Mittleres absolute Abweichung: 54,73
Mittelwert: 385 Standardabweichung: 85,29
� Boxplot (Kastenschaubild)
Grafik 10.5 „Lehre – Kastenschaubild“
Betrachtet man sowohl das Kastenschaubild als auch die diversen statistischen Kennzahlen,
bemerkt man, dass es doch einen erheblichen Unterschied bezüglich des Gehalts gibt, für
welchen Lehrberuf man sich entscheidet. Durchschnittlich verdient ein Lehrling im ersten
Lehrjahr 385 Euro. Da es aber Berufe gibt, in denen man gravierend weniger bzw. mehr
verdient, ist die Streuung mit 85,29 also fast 100 Euro verhältnismäßig hoch. Dies zeigt, dass
man sich vor Augen halten sollte, dass die Ausreißer das Ergebnis „manipulieren“ können.
Median und arithmetisches Mittel sind sehr ähnlich. Interessant ist hier auch der Modalwert,
das heißt, es gibt ein paar Lehrberufe, in denen man 376 Euro verdient.
Abschließend können die Ergebnisse soweit interpretiert werden, dass sie bei der Wahl des
Lehrberufes weiterhelfen.
Das folgende Beispiel soll zeigen, dass die Statistik auch in der Industrie seine Anwendung
findet. In der Praxis wird die Statistik in der Industrie, vor allem zur Qualitätssicherung
verwendet: Die Daten sind dann natürlich umfangreicher, dieses Beispiel sollte lediglich nur
einen Einblick der Kapazität einer Datenanalyse verschaffen.
Die Schülerinnen und Schüler sollen die diversen Kennzahlen innerhalb einer „Gruppe“
berechnen und mit Hilfe eines Vergleiches sich Gedanken über die gesamte Produktion der
Sechskantschrauben machen.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 104
19 Bei einer Erzeugung von Sechskantschrauben wird alle 30 Minuten die Schlüsselweite von je
10 zufällig ausgewählten Schrauben mit einem Mikrometer gemessen. 59
10:00 Uhr: 11,89 mm 11,94 mm 12,02 mm 11,97 mm 12,03 mm
11,90 mm 11,95 mm 12,01 mm 11,92 mm 11,98 mm
10:30 Uhr: 11,95 mm 11,99 mm 12,01 mm 12,04 mm 12,05 mm
11,99 mm 11,94 mm 11,93 mm 12,00 mm 11,96 mm
11:00 Uhr: 11,90 mm 11,95 mm 11,92 mm 11,99 mm 12,02 mm
12,01 mm 11,92 mm 11,87 mm 11,93 mm 11,95 mm
Berechne für jede Uhrzeit einige statistische Kennzahlen, die dir helfen die drei verschiedenen
„Gruppen“ so gut wie möglich vergleichen zu können, sodass du die ganze Produktion
analysieren kannst.
� statistische Kennzahlen
10:00 Uhr:
Lagemaße: Streuungsmaße:
Minimum: 11,89 Spannweite: 0,14
Maximum: 12,03
1. Quartil: 11,925
3. Quartil: 12,0025 Quartilabstand: 0,08
Median: 11,96 Mittleres absolute Abweichung:0,04
M ittelwert: 11,961 Standardabweichung: 0,05
10:30 Uhr:
Lagemaße: Streuungsmaße:
Minimum: 11,93 Spannweite: 0,12
Maximum: 12,05
1. Quartil: 11,9525
3. Quartil: 12,0075 Quartilabstand: 0,06
Median: 11,99 Mittleres absolute Abweichung:0,03
Mittelwert: 11,986 Standardabweichung: 0,04
11: 00 Uhr:
Lagemaße: Streuungsmaße:
Minimum: 11,87 Spannweite: 0,15
Maximum: 12,02
1. Quartil: 11,92
3. Quartil: 11,98 Quartilabstand: 0,06
Median: 11,94 Mittleres absolute Abweichung:0,04
M ittelwert: 11,946 Standardabweichung: 0,05
59 Gollman u. a. (Lehrerarbeitsgemeinschaft): Lebendige Mathematik 3.S.212.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 105
� Interpretation
Werden nun die einzelnen statistischen Kennzahlen miteinander verglichen, ist festzustellen,
dass die drei Gruppen nur minimalste Abweichungen aufweisen. Aus dieser Auswertung kann
man nun schließen, dass die Produktion fehlerfrei ist und die Sechskantenschrauben ihrer
Norm entsprechen.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 106
11. Das Streudiagramm (das Punktwolkendiagramm)
Da dieses Kapitel eine Vorbereitung für die folgende Schließende Statistik, die in der
Oberstufe gelehrt wird, ist, sollte es als letztes großes Teilgebiet der Beschreibenden Statistik
in der 8. Schulstufe behandelt werden.
Die Schülerinnen und Schüler sollen lernen, mit Hilfe von Streudiagrammen optisch
herauszufinden, ob ein linearer Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen besteht. Das heißt,
ob zwei Merkmale eines erhobenen Datensatzes abhängig von einander sind. Die
Schülerinnen und Schüler müssen keine statistischen Tests rechnen und es werden auch keine
signifikanten Ergebnisse erwartet. Hier geht es ausschließlich um Interpretationen von
Schaubildern.
Um einen Zusammenhang zwischen zwei metrischskalierten Merkmalen darzustellen, wird
ein Streudiagramm, in manchen Schulbüchern auch als Punktwolkendiagramm bezeichnet
– sowie ausgehend von der (englischen) Fachliteratur unter Scatterplot bzw. Scattergram
bekannt – erstellt, wobei das eine Merkmal auf der x-Achse und das andere auf der y-Achse
aufgetragen werden. In der 8. Schulstufe sollte das Zeichnen eines Koordinatensystems keine
Probleme mehr bereiten. Nachdem alle Daten in das Diagramm eingetragen worden sind,
können die Schülerinnen und Schüler allein durch eine optische Anschauung entscheiden, ob
ein linearer Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen vorliegt oder nicht.
Um zwei metrische Merkmale mit Hilfe eines Computers grafisch darstellen zu können, muss,
nachdem die Werte in das Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel eingetippt und markiert
wurden, der Diagramm-Assistent geöffnet und der Diagrammtyp Punkt (XY) mit dem
Untertyp Punkte. Vergleicht Werte paarweise. ausgewählt werden (weitere
Anwendungshinweise findet man auch im Kapitel 12.3. Diagramme erstellen mit MS Excel)
Die folgenden Schaubilder wurden mit MS Excel erstellt und zeigen, wie ein Streudiagramm
aussehen kann und wie das dazupassende Ergebnis interpretiert wird. Es muss erwähnt
werden, dass in dieser Diplomarbeit nur der „lineare Zusammenhang“ und „kein linearer
Zusammenhang“ vorgestellt wird. Es gibt jedoch noch weitere Fälle von Abhängigkeit, wie
zum Beispiel „quadratisch“, „exponentiell“, ... die aber in der Unterstufe aus
Verständnisgründen noch nicht gelehrt werden.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 107
Schaut das Streudiagramm so aus: Bei diesem Punktwolkendiagramm:
Grafik 11.1a Grafik 11.1b
spricht man von einem sieht man einen schwachen
starken positiven linearen Zusammenhang. positiven linearen Zusammenhang.
In beiden Fällen gilt: Je größer das eine Merkmal, umso größer das andere Merkmal.
Erstellt man solch ein Streudiagramm:
Grafik 11.1c
Dieses Punktwolkendiagramm
Grafik 11.1d
kann man keinen linearen Zusammenhang erkennen,
das heißt, die beiden Merkmale sind nicht von einander
abhängig und es gibt keinen linearen Zusammenhang
zwischen diesen Merkmalen.
zeigt einen starken negativen linearen Zusammenhang,
jedoch gilt:
je größer das eine Merkmal, umso kleiner das andere
Merkmal.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 108
V Alex würde gerne wissen, ob es einen Zusammenhang zwischen der Körpergröße und der
Schuhgröße gibt, das heißt „Leben große Menschen auch wirklich auf großem Fuß“?
Er hat alle seine Freunde, Verwandten und Bekannten nach ihrer Körper- und Schuhgröße
befragt und diese Daten in der folgenden Tabelle festgehalten:
Tabelle 11.1 „Körpergröße – Schuhgröße“
Name Alex Robert Susi ………… Nina Anita Andreas
Körper in cm 180 173 182 ................ 168 160 188
Schuh 43 38 43 ................ 38 37 45
Nachdem er insgesamt 36 Personen befragt und die Tabelle fertig gestellt hatte, erstellte er ein
Streudiagramm:
- Koordinatensystem: x-Achse „Körpergröße“ Intervall von 155 bis 205
y-Achse „Schuhgröße“ Intervall von 35 bis 47
- Punkte werden nacheinander eingezeichnet, wobei die Körpergröße die x-Koordinate
und die Schuhgröße die y-Koordinate sind.
Grafik 11.2 „Ergebnis: Körpergröße – Schuhgröße“
Schuhgröße
47
45
43
41
39
37
35
Streudiagramm
155 160 165 170 175 180 185 190 195 200
Körpergröße
Alex
Nach Betrachtung des Schaubildes, stellt er fest, dass es einen linearen Zusammenhang
zwischen der Körpergröße eines Menschen und dessen Schuhgröße gibt, das heißt: je größer
ein Mensch, desto größer seine Füße.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 109
11.1. Beispiele
Um das Ergebnis besser zu erkennen, werden die Koordinatensysteme (die Grafikachsen in
MS Excel) in den folgenden Beispielen den Skalen der jeweiligen Merkmale angepasst.
Deshalb ist darauf zu achten, dass die Intervalle meist nicht bei Null beginnen.
20 Bei 14 Vätern und ihren ältesten Söhnen wurde jeweils die Körpermasse in kg erhoben. Stelle
die Merkmale in einem Streudiagramm dar und beschreibe den Zusammenhang zwischen den
Daten mit Worten!
Tabelle 11.2 „Körpermasse“ 60
Vater(kg) 64 68 70 68 69 65 67 63 62 66 82 67 85 71
Sohn (kg) 65 69 68 71 68 68 67 66 66 65 80 68 83 70
Grafik 11.3 „Streudiagramm Vater-Sohn“
Körpermasse - Sohn
85
80
75
Vater - Sohn (Körpermasse in kg)
70
65
60
60 65 70 75 80 85
Körpermasse - Vater
Je schwerer der Vater, desto schwerer dessen Sohn. Das heißt, schwere Söhne haben auch
schwere Väter bzw. besitzt der Sohn ein eher niedrigeres Gewicht, kann man davon ausgehen,
dass dessen Vater auch keine überdurchschnittlich große Masse hat. Das Körpergewicht des
Sohnes ist somit vom Körpergewicht des Vaters positiv linear abhängig.
Interessant sind hier auch die beiden Ausreißer, also jene Werte, die offensichtlich
beträchtlich von den restlichen Werten abweichen. Da sie aber die „Linearität“ der
Punktwolke nicht verändern, bedeutet dies, dass sowohl der Vater als auch der Sohn
überdurchschnittlich schwer sind.
60 Erber, Gabriele u. a.: Zum Beispiel Mathematik 4. S. 196.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 110
21 Hier wurden sowohl das Alter als auch der Blutdruck von Patientinnen erhoben.
Untersuche, ob bei Frauen die Höhe des Blutdrucks vom Alter abhängig ist. Es werden zwei
Blutdruckwerte unterschieden. Die Angaben beziehen sich auf den größeren Wert, den
systolischen Druck.
Tabelle 11.3 „Blutdruck“ 61
Alter in Jahren 24 32 35 38 40 42 50 52 60 68 70
Blutdruck in mm Hg 131 122 135 132 128 138 168 152 166 188 180
Grafik 11.4 „ Streudiagramm Alter-Blutdruck“
Blutdruck in mm Hg
Alter - Blutdruck
200
180
160
140
120
100
20 40 60 80
Alter in Jahren
Man kann sehr deutlich sehen, dass die Höhe
des Blutdrucks positiv abhängig ist vom Alter
der Patientin. Für die Praxis heißt das, dass
im zunehmenden Alter die Frauen auf ihren
Blutdruck achten müssen und regelmäßig zur
Kontrolle gehen sollten. Je älter die Patientin,
umso höher ihr Blutdruck.
22 Untersuche, ob bei Sportautos die mögliche Spitzengeschwindigkeit von der Motorleistung
abhängig ist. Zeichne ein Streudiagramm für die Bereiche: Leistung 55-75 kW und
Geschwindigkeit 120-180 km/h.
Tabelle 11.4 „Spitzengeschwindigkeit“ 62
Leistung in kW 70 63 72 60 66 70 74 62 67 65 68
Geschwindigkeit in km/h 155 150 180 135 156 168 178 132 145 139 152
Grafik 11.5 „Streudiagramm Spitzengeschwindigkeit“
Geschwindigkeit in
km/h
180
160
140
Sportauto
120
55 60 65 70 75
Leistung in kW
61 Lewisch, Ingrid: Mathematik 4. S. 247.
62 Lewisch, Ingrid: Mathematik 4. S. 247.
Man kann einen linearen positiven
Zusammenhang erkennen, auch wenn die
Punkte nicht ganz dichtgedrängt eine Linie
ergeben. Das heißt, je höher die Leistung
eines Autos, umso höher ist dessen
Geschwindigkeit und umgekehrt: ein

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 111
schnelles Auto braucht somit mehr Leistung als ein langsameres bzw. hat ein Auto eine große
Motorleistung, kann man davon ausgehen, dass auch dessen Spitzengeschwindigkeit
überdurchschnittlich hoch ist.
23 Von einigen Wetterstationen in Europa sind in der Tabelle die mittlere Jahrestemperatur
(in °C) und die Seehöhe (in Meter) angegeben.
Tabelle 11.5 „Wetterstationen in Europa“ 63
Wetterstation Mittl. Temp. In °C Seehöhe in m
Berlin 9,1 49
Budapest 10,9 130
Dobratsch 0,1 2 140
Feuerkogel 3,3 1 592
Graz 9,4 342
Innsbruck 8,4 579
Klagenfurt 8,1 448
Lugano 13,0 276
Prag 7,9 374
Salzburg 8,6 437
Säntis -2,3 2 496
Sonnblick -6,4 3 106
Wien 9,1 203
Zugspitze -5,0 2 962
Grafik 11.6 „Streudiagramm Wetterstationen in Europa“
Seehöhen in m
4000
3000
2000
1000
Wetterstationen
0
-10 -5 0 5 10 15
Mittlere Temperatur in °C
Hierbei handelt es sich um einen negativen
linearen Zusammenhang: Mit zunehmender
Höhe nimmt die mittlere Temperatur ab, das
heißt, ist die mittlere Jahrestemperatur sehr
niedrig, handelt es sich um eine
Wetterstation, die sehr hoch liegt. Die
Wetterstation Lugano liegt mit 13 °C und
276m bemerkbar außerhalb der kleinen Punktwolke (hier eingekreist), besitzt daher –
verglichen mit den anderen Datenpunkten – eine zur Seehöhe unpassende mittlere
Jahrestemperatur und kann somit als eine Art Ausreißer bezeichnet werden. Hier sieht man,
dass der negative Trend im unteren Bereich abschwächt und somit noch andere Faktoren
berücksichtigt werden müssen, wie zum Beispiel Klima, Wind und andere äußere Umstände,
63 Erber, Gabriele u. a.: Zum Beispiel Mathematik 3. S. 194.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 112
die mit der Lage der Wetterstation in Zusammenhang stehen. Abgesehen davon, erkennt man
sehr gut, dass im Gebirge nur einige 100 Meter Seehöhe ausreichen um die mittlere
Jahrestemperatur stark zu verändern.
Um die Interpretation zu konkretisieren, kann man zusätzlich fächerübergreifend mit dem
Fach Geografie die betreffenden Wetterstationen genauer beschreiben und somit die
verschiedenen Umwelteinflüsse untersuchen.
11.2. Fächerübergreifendes Projekt – Biologie und Umweltkunde
Da besonders auf die Lebensräume und die damit verbundenen Lebensstile der verschiedenen
Tiere Acht gegebenen wird, ist dieses Projekt speziell für die 7. Schulstufe geeignet. Es
besteht aus zwei Teilen: Zuerst wird ein Erhebungsbogen erstellt, der während einer
Exkursion in den Schönbrunner Tiergarten mit Hilfe einer Führung ausgefüllt wird. Am Tag
darauf werden die Ergebnisse in der Schule in Gruppenarbeit analysiert und präsentiert.
Sowohl für den Erhebungsbogen als auch für die darauffolgende Analyse benötigen die
Schülerinnen und Schüler nur Stifte, Papier, Lineal & Geodreieck und einen Taschenrechner.
Als Alternative können die Daten auch im Internet oder aus anderen Informationsquellen
erhoben werden.
Welche Tiere und wie viele für das Projekt ausgewählt werden, bleibt den Lehrerinnen und
Lehrern überlassen, es sollte nur darauf geachtet werden, dass sowohl von Säugetieren als
auch von Reptilien und Vögeln Daten erhoben werden.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 113
11.2.1. Erhebungsbogen
Eine Unterrichtsstunde vor der Exkursion in den Tiergarten Schönbrunn, wird der
Erhebungsbogen zusammen mit den Schülerinnen und Schülern erstellt. Es müssen folgende
Informationen des Tieres untersucht werden: um welches Tier handelt es sich, zu welcher
Klasse es gehört, in welchem Lebensraum es lebt, wie hoch die durchschnittliche
Lebenserwartung ist, wie schwer durchschnittlich ein solches Tier ist und wie viel Futter (in
Gewicht gemessen) täglich es frisst. Ein Erhebungsbogen kann zum Beispiel so aussehen:
Tier:
Klasse: � Säugetiere � Reptilien � Vögel
Lebensraum: � Wasser � Luft � Steppe
Lebenserwartung: Jahre
Körpergewicht:
Futter:
� Wiese � Urwald � sonstiges

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 114
11.4.2. Auswertung
1 Lebensräume (absolute und prozentuelle Häufigkeit)
Tragt die Lebensräume und ihre absoluten Häufigkeiten in einer Tabelle ein. Errechnet die
jeweiligen prozentuellen Häufigkeiten und erstellt folgende Schaubilder:
Stellt die absoluten Häufigkeiten in einem Säulen- oder Balkendiagramm dar und die
prozentuellen mit einem Prozentkreis.
Interpretiert das Ergebnis!
2 Lebenserwartung (Stängel-Blatt-Diagramm)
Sortiert die Lebenserwartung der einzelnen Tiere der Größe nach und stellt diese dann mit
Hilfe eines Stängel-Blatt-Diagramm dar.
Danach teilt die Tiere in Klassen ein: Säugetiere, Reptilien und Vögel. Sortiert nun die
Lebenserwartung der Größe nach innerhalb der Klassen und veranschaulicht diese wieder mit
einzelnen Stängel-Blatt-Diagrammen. Vergleicht die drei Schaubilder miteinander und
interpretiert die Ergebnisse. Diskutiert die Analyse mit euren Lehrerinnen und Lehrern und
versucht in Büchern und im Internet Informationen zu diesem Thema zu finden.
3 Körpergewicht – Futtermenge (Streudiagramm)
Nun sammelt die Messwerte der verschiedenen Körpergewichte und die Futtermenge. Findet
zu den beiden Merkmalen geeignete Einheiten. Bevor ihr den Zusammenhang zwischen den
beiden Merkmalen überprüft, teilt die Daten in die drei Klassen Säugetiere, Reptilien und
Vögel und errechnet jeweils (Klasse und Merkmal) den Mittelwert, den Median, das
Minimum, das Maximum, die Spannweite, die Mittlere absolute Abweichung vom Median
und die Standardabweichung.
Zeichnet für beide Merkmale Kastenschaubilder und vergleicht mit Hilfe von diesen die drei
Klassen Säugetiere, Reptilien und Vögel.
Nun stellt das Körpergewicht eines Tieres und die Futtermenge, die von diesem täglich
verzehrt wird, in einem Streudiagramm dar. Kann man einen Zusammenhang erkennen?
Wenn ja, wie stark würdet ihr in schätzen? Interpretiert das Ergebnis!

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 115
12. Tabellenkalkulation (MS Excel) 64
Ab der 7. Schulstufe sollten die Schülerinnen und Schüler mit einem
Tabellenkalkulationsprogramm im Unterricht konfrontiert werden. Während weitaus mehrere
Themengebiete (Bewegungsbeispiele, Zinsberechnung, ...) der Mathematik
computerunterstützt präsentiert werden können, beschränkt sich dieses Kapitel nur auf
rechnerische Verfahren und grafische Darstellungen der Beschreibenden Statistik. Die in den
Kapiteln 2. – 11. erlernten Kenntnisse sollen mit Hilfe eines Computers vertieft werden.
Was ist ein Tabellenkalkulationsprogramm?
Ein Tabellenkalkulationsprogramm ist genau betrachtet ein elektronisches Rechenblatt, das
ähnlich aufgebaut ist wie eine karierte Seite in einem Mathematikheft. Mit Hilfe dieser
Rechenblätter kann man
- Zahlen in übersichtlicher Form darstellen
- dieselben Rechenoperationen mit geänderten Zahlen immer wieder durchführen
- Zusammenhänge zwischen Zahlen schnell und mühelos grafisch darstellen
- einmal erstellte Arbeitsblätter für eine spätere Verwendung speichern 65
In diesem Kapitel wird das Tabellenkalkulationsprogramm Excel der Firma Microsoft
verwendet, da es im MS Office enthalten ist und oft, insbesondere im kaufmännischen
Bereich, im Berufsleben verwendet wird.
Es sollte ein großes Anliegen sein, auch in den Hauptschulen einen computerunterstützten
Mathematikunterricht zu führen, weil nicht nur von Schülerinnen und Schülern, die nach der
Pflichtschule eine BHS besuchen werden, sondern auch von jenen, die sich für eine Lehre
entscheiden, EDV-Kenntnisse erwartet und in den Berufsschulen verlangt werden.
Die Schülerinnen und Schüler sollten sich während des Unterrichts eine Mappe anlegen, in
der sie ihre ausgedruckten Tabellen und Schaubilder sammeln können. Außerdem sollten
regelmäßig alle Formeln und Anwendungen genau und übersichtlich protokolliert werden,
damit sie sich später leichter tun, wenn Beispiele selbstständig gelöst werden müssen.
64 Dieses Kapitel sollte nicht als allgemeine Computereinführung gesehen werden.
65 Erber, Gabriele u. a. : Zum Beispiel Mathematik 3. S. 195.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 116
12.1. Grundlegende Anwendungen
In einer Excel-Datei findet man mehrere Arbeitsblätter, die aus Zellen, auch manchmal
Felder genannt, bestehen. Jede Zelle kann mit Hilfe von Koordinaten (Spalten-Buchstaben
und Zeilen-Nummern) genau angegeben werden. Die erste Zelle hat die Koordinaten A1.
Grafik 12.1 „Excel-Oberfläche“
�
Zeilennummer
�
�
�
�
�
�
Symbolleiste
Spaltenname
� Menüzeile: Hier findet man alle notwendigen Anwendungen auf einem Datensatz – von
den Standard-Funktionen, die in jedem Microsoft-Programm vorhanden sind, bis hin zu
Befehlen, die spezifisch der Statistik dienen.
� Hier erscheint der Inhalt der Zelle. In diesem Feld werden auch die gewünschten Formeln
eingetippt.
� aktuelle Zelle: Du kannst immer nur in die aktuelle Zelle einen Inhalt oder eine Formel
eintippen. Die aktuelle Zelle erkennt man durch einen schwarzen Rahmen. Mehr über
dieses Thema unter Wie gibt man Inhalte in eine Zelle ein?.
� Arbeitsblätter, die sich in dieser Excel-Datei befinden: das aktuelle Arbeitsblatt (hier:
„Daten“) ist markiert. Um neue Arbeitsblätter hinzuzufügen, bestehende zu löschen oder
umzubenennen, muss nur der Mauszeiger zu den Arbeitsblättern hinbewegt werden und
die rechte Maustaste gedrückt werden.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 117
� Hier werden die Koordinaten (in dem Fall: Spalte C und Zeile 8) der aktuellen Zelle
ausgegeben. Wenn du die Bezeichnung der Zelle, die du zur aktuellen Zelle machen
willst, kennst, kannst du hier auch deren Koordinaten eingeben und die Enter-Taste
drücken, ohne dass du den Mauszeiger eigentlich auf diese Zelle hinbewegen musst.
Diese Koordinaten zeigen außerdem an, in welcher Zelle das Ergebnis der eingtippten
Formel ausgegeben wird.
� Liegt der Mauszeigern auf diesem Kreuz, kann man den Inhalt bzw. die Formeln in
andere Zellen kopieren, mehr dazu siehe 12.1.1. Kopieren von Inhalten
Die Symbolleiste besteht aus mehreren Schaltknöpfen, auch Buttons genannt, die dem
Benutzer ermöglichen das aktuelle Arbeitsblatt zu bearbeiten. Neben den Standard-
Schaltflächen, die einem das Layouten und Verarbeiten des Arbeitsblattes erleichtern, sind
noch die eingekreisten Schaltknöpfe � für die folgenden statistischen Verfahren interessant.
Wie gibt man Inhalte in eine Zelle ein?
Um in eine Zelle Text oder eine Zahl einzugeben, muss man sie zur aktuellen Zelle machen!
Dazu kann man entweder mit der Maus auf die gewünschte Zelle klicken, oder sich mit den
Cursortasten (Pfeiltasten) hinbewegen. Dann tippt man den gewünschten Inhalt ein und
beendet die Eingabe mit der Enter-Taste. Wenn man eine Formel eingegeben hat, wird das
Ergebnis der Berechnung sofort angezeigt! 66
Während Texte immer linksbündig (an den linken Rand der Zelle) geschrieben werden,
werden Zahlen rechtsbündig (an den rechten Rand der Zelle) angeordnet.
Um eine Zelle und ihren Inhalt zu bearbeiten, braucht man nur in der Menüleiste auf die
Option Format ⇒ Zellen... gehen oder wenn der Mauszeiger in der gewünschten Zelle ist,
einfach die rechte Maustaste drücken und Zellen formatieren ... auswählen. In diesem Menü
kann man sowohl die Zelle selbst (Rahmen, Muster, ...) als auch den Inhalt (Dezimalstellen,
Art der Zahlen (Prozent, Währung, ...), Schriftart, ...) bearbeiten.
Will man den eingegebenen Inhalt einer Zelle löschen oder verändern, braucht man nur die
Zelle wieder zur aktuellen Zelle machen und den Inhalt verändern.
Um Daten in einem Diagramm darstellen oder statistische Kennzahlen errechnen zu können,
muss zuerst der gwünschte Datenbereich markiert werden:
66 Steiner, Gerald: Mathemaster 2. S. 286.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 118
Man markiert zuerst die erste Zelle des Bereiches, drückt die linke Maustaste, hält sie
gedrückt und bewegt den Mauszeiger zur letzten Zelle des gewünschten Bereiches.
12.1.1. Kopieren von Inhalten
Eine Methode nennt man Unten Ausfüllen und sie erleichtert das Erstellen eines
Arbeitsblattes ungemein, weil man sowohl Inhalte als auch Formeln in andere Zellen
transportieren kann. Es gibt mehrere Arten, den Inhalt einer Zelle vertikal oder horizontal in
andere Zellen zu kopieren. Die effizienteste und wahrscheinlich auch schnellste ist jene, die
folgendermaßen erklärt wird:
Um den Inhalt einer Zelle kopieren zu können, muss man diese zur aktuellen Zelle machen.
Danach muss man den Zeiger auf das kleine schwarze Quadrat im rechten unteren Eck der
aktiven Zelle (siehe � ) bewegen. Der Mauszeiger wird dann zu einem kleinen Kreuz.
Schließlich muss man nur noch mit gedrückter linken Maustaste bis zur letzten Zelle des
gewünschten Bereiches, in den der Inhalt kopiert werden soll, ziehen.
Will man zum Beispiel einen Stundenplan erstellen, in dem die Wochentage in der zweiten
Zeile stehen, braucht man nur „Montag“ in die erste Zelle des gewünschten Bereiches tippen
und mit der Maus solange nach rechts ziehen, bis der gewünschte letzte Tag erscheint, zum
Beispiel „Samstag“. Dieselbe Methode funktioniert auch bei den Monaten. Nun will man aber
die Stunden in eine Spalte eingeben. Hier braucht man auch nur „1. Stunde“ in die erste Zelle
eingeben und dann soweit hinunterziehen, bis man zum Beispiel zur „6. Stunde“ kommt.
Man sieht, man erspart sich mit der Methode Unten Ausfüllen sehr viel Tipparbeit.
Zusätzlich zum Thema „Kopieren von Inhalten“ sollte noch die Funktion Inhalte einfügen...,
die man sowohl mit der rechten Maustaste als auch unter Bearbeiten finden und nach dem
Markieren eines Datenbereichs aufrufen kann, erwähnt werden. Zuerst müssen die Daten mit
einer der folgenden drei Methoden kopiert werden:
• Rechte Maustaste � Kopieren
• Bearbeiten � Kopieren
• Taste Strg + Taste C

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 119
Besteht die kopierte Zelle(n) aus einer Formel bzw. einem Verweis wird dieser – und nicht
der gegenständliche Wert – kopiert, wenn man eine von den drei folgenden Methoden zum
Einfügen verwendet:
• Rechte Maustaste � Einfügen
• Bearbeiten � Einfügen
• Taste Strg + Taste V
Mit der Inhalte einfügen...-Methode kann man manuell die Einfüge-Option auswählen. Sie
kann wie folgt aufgerufen werden:
• Rechte Maustaste � Inhalte einfügen...
• Bearbeiten � Inhalte einfügen...
Grafik 12.2 „Häufigkeiten – Inhalte einfügen“
12.1.2. Sortieren der Daten
Wurde das Inhalte einfügen-Fenster geöffnet,
wählt man die gewünschten Optionen und
drückt OK. In dieser Diplomarbeit werden
unter Einfügen vor allem Formeln und
Werte angewendet.
Um jene Werte in einer Spalte zu sortieren, muss man nur diese Spalte markieren und auf den
Schaltknopf (= aufsteigend) oder den Schaltknopf (=absteigend) in der
Symbolleiste drücken.
Markiert man nun eine ganze Tabelle und geht in der Menüleiste auf Daten und wählt die
Option Sortieren, hat man die Möglichkeit detailliert anzugeben, nach welcher Spalte zuerst

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 120
sortiert werden soll und nach welcher zuletzt. Außerdem kann man sich bei jeder Spalte
entscheiden, ob absteigend oder aufsteigend sortiert wird.
12.1.3. Filtern von Daten
Daten werden gefiltert, indem man, wie bei der Sortieren-Methode, zuerst die Spalte bzw. die
Tabelle markiert und dann in der Menüleiste auf Daten geht und die Option Filter wählt.
Danach kann man sich zwischen einem Autofilter und einem Spezialfilter entscheiden.
Wählt man den Autofilter, erscheinen bei den Überschriften aller Spalten neue Buttons mit
einem Pfeil nach unten.
Grafik 12.3 „Autofilter“
12.1.4. Die Zählenwenn-Funktion
Drückt man auf diesen
Schaltknopf, kann man
wählen, was gefiltert, also
welche Werte von der Spalte
bzw. Tabelle angezeigt
werden, werden sollen.
Eine weitere nützliche Funktion ist die ZÄHLENWENN-Funktion. Mit dieser Formel kann
man sich errechnen lassen, wie oft sich ein bestimmter Wert oder eine bestimmte
Bezeichnung in einem ausgewählten Bereich befindet. Diese Funktion wird detailliert im
Kapitel 4.Die absolute und relative Häufigkeit erklärt und unter anderem auch im Kapitel
5.Klasseneinteilung vor allem für die Verteilungstafel vorzugsweise verwendet. Der
Anwendungsbereich ist somit sehr weit gestreut und sie ist wichtig für übersichtlichere
Darstellung zahlreicher Daten.
Die MS Excel-Formel lautet: ZÄHLENWENN(Bereich;Suchkriterium)

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 121
12.2. Berechnungen mit MS Excel
12.2.1. Summenberechnung
Nachdem das Arbeitsblatt übersichtlich gestaltet wurde, kann man die gewünschten
Rechenschritte bzw. Formeln auf die erstellten Daten anwenden.
Will man die Werte in einer Spalte aufsummieren, braucht man nur die Zelle unter dem
letzten Wert zur aktiven Zelle machen und den Schaltknopf in der Symbolleiste
drücken. Automatisch wird die Summen-Funktion in der aktuellen Zelle angewendet und das
Ergebnis in derselben Zelle ausgegeben.
12.2.2. Eingeben und Kopieren von Formeln am Beispiel der Rang-Funktion
Um in eine Zelle eine Formel einzugeben, muss man sie zuerst markieren, damit sie zur
aktuellen Zelle wird. Jede Formel beginnt immer mit dem Gleichheitszeichen „ = “ . Nach
dem Gleichheitszeichen kann man nun den gewünschten Rechenschritt eintippen. Für
Rechnungen im Excel gelten folgende Zeichen:
Excel – Symbole für die Grundrechnungsarten
Addition „ + “
Subtraktion „ – “
Multiplikation „ * “
Division „ / “
Will man den Wert der Zelle B2 mit dem Wert der Zelle C5 addieren, lautet die Formel in der
aktuellen Zelle: =B2+C5. Anstatt die Koordinaten der Zellen in die Formel einzutippen, kann
man sie auch mit der Maus anklicken, Excel schreibt dann automatisch die Koordinaten der
Zellen B2 und C5 in die Formeln, das heißt, als Erstes tippt man das Gleichheitszeichen in die
aktuelle Zelle ein, danach klickt man mit der Maus in die Zelle B2, dann tippt man das

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 122
„ + “-Zeichen ein und klickt danach in die Zelle C5. Damit das Ergebnis in der aktuellen Zelle
ausgegeben wird, muss man noch die Enter-Taste drücken.
Der Vorgang ist immer derselbe, auch wenn man mit im Excel schon vorgefertigten Formeln,
wie zum Beispiel der folgenden Rang-Funktion, arbeitet:
Anstatt Daten zu sortieren, kann man die Rang-Funktion auf diese Daten anwenden, um
herauszufinden, welchen Rang die einzelnen Werte im Vergleich zum markierten Bereich
haben.
Diese Funktion besteht aus 3 Eingabebereichen: Zuerst wird der Wert, von dem man den
Rang wissen will, in die Funktion eingegeben, dann gibt man den ganzen Datenbereich an.
Als letzter Wert wird noch angegeben, ob die Ränge aufsteigend (≠ 0) oder absteigend (= 0)
errechnet werden sollen.
W In diesem Beispiel wird die Rangfunktion in die Zelle D3 eingegeben. Es wird der Rang vom
Wert in der Zelle B2 im Vergleich zu den Werten in der ganzen Temperatur-Spalte B3 bis
B14 absteigend errechnet. Das heißt, jener Wert, der die höchste Temperatur angibt, bekommt
den Rang 1 zugeordnet. Die Funktion lautet demnach: =RANG(B3;B3:B14;0)
Grafik 12.4 „Rang-Funktion“

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 123
Jetzt will man aber nicht nur von diesem einen Wert den Rang wissen, sondern von allen
Werten, die in dieser Spalte zu finden sind. Hier wird die Methode Unten Ausfüllen, die
schon im Kapitel 12.1.1. Kopieren von Inhalten diskutiert wurde, angewendet. Man zieht die
Funktion einfach bis zur Zelle C14 hinunter und somit werden von allen Werten in der Spalte
B3 bis B14 die Ränge ausgegeben. Sieht man sich die einzelnen Formeln an, erkennt man
jedoch, dass immer ein anderer Vergleichsbereich verwendet wurde und die Ergebnisse somit
falsch sind. Um diesen fatalen Fehler auszubessern, braucht man den Vergleichsbereich in der
Formel der ersten Zelle, in diesem Fall die Zelle C3, nur „fixieren“, das heißt einen absoluten
Bezug herstellen. Dies geschieht, wenn man den Zeiger in der Formel zu den Koordinaten des
Vergleichsbereiches bewegt und die F4-Taste einmal betätigt. Automatisch erscheint das
$-Zeichen sowohl vor den Spalten- als auch vor den Zellenkoordinaten. Wendet man jetzt die
Methode Unten Ausfüllen an, ändern sich zwar die Zellenkoordinaten des Wertes, von dem
man den Rang wissen will, die Koordinaten des Vergleichsbereiches bleiben aber diesselben:
C3:C14. Der Vergleichsbereich wird somit während dem „Hinunterziehen“ nicht angepasst,
während der Wert, von dem man den Rang wissen will, in jeder Zelle neu angepasst wird.
Die folgende Tabelle beschreibt die Anwendung der F4-Taste und ihre Auswirkungen auf den
Bezug während der Methode Unten Ausfüllen.
Tabelle 12.1 „Bezug“ 67
Drücken auf F4 Anzeige Wirkung beim „Unten Ausfüllen“
0-mal A1 Bezeichnung wird angepasst (relativer Bezug)
1-mal $A$1 Keine Anpassung (absoluter Bezug)
2-mal A$1 Anpassung der Spaltenbezeichnung
3-mal $A1 Anpassung der Zeilenbezeichnung
4-mal A1 Relativer Bezug
… … …
67 Erber, Gabriele u. a.: Zum Beispiel 3. S. 199.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 124
12.2.3. Berechnung von statistischen Kennzahlen
Ist man nun mit den diversen Excel-Anwendungen vertraut, kann man sich auf statistische
Berechnungen spezialisieren. Excel besitzt zahlreiche vorgefertigte mathematische Formeln.
Eine, die Rang-Funktion, wurde ja schon vorgestellt. Diese und viele mehr findet man unter
Einfügen ⇒ Funktion (diese Option besitzt auch einen Schaltknopf in der Symbolleiste), wo
man in einem neuen Fenster zuerst eine Funktionskategorie und dann die gewünschte
Funktion auswählen kann.
Grafik 12.5 „Mittelwert-Funktion“
Diese Abbildung zeigt, dass der Mittelwert der Zahlen, die im Datenbereich C3 bis C14
liegen, berechnet und das Ergebnis in der Zelle D10 (mit einer Ellipse umrahmt) ausgegeben
wird.
In der folgenden Tabelle werden statistische Kennzahlen und ihre MS Excel-Funktionen
angeführt, die in den Kapiteln 2. – 11. vorgestellt wurden und bei jeder Datenverarbeitung im
MS Excel verwendet werden sollten.
Tabelle 12.2 „MS Excel-Funktionen“
Statistische Berechnung Excel-Funktion
Mittelwert =mittelwert()
Minimum =min()
Maximum =max()
Modus =modalwert()
Median, 50%-Quantil =median(), =quantil(....;0,5)
1. Quartil, 25%-Quantil =quartile(...;1), =quantil(…;0,25)
3. Quartil, 75%-Quantil =quartile(...;3), =quantil(...;0,75)
Standardabweichung =stabwn()
Varianz =varianzen()
Im MS Excel findet man auch die Funktionen =stabw() und =varianz(), in denen aber die
aufsummierten, quadrierten Abweichungen durch n-1 und nicht – wie im Kapitel 8.
Kennzahlen der Streuung vorgestellt – durch n dividiert werden. Diese Berechnungsart wird
vor allem bei Stichproben, die meist aus einer großen Grundgesamtheit entnommen werden,
verwendet.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 125
12.3. Diagramme erstellen mit MS Excel
Im Excel werden Schaubilder mit Hilfe des Diagramm-Assistenten erzeugt.
Grafik 12.6 „Bereich markieren“
Um ein Diagramm mit Excel zu
erstellen, muss man zuerst den
gewünschten Datenbereich, wie in
der Grafik gezeigt, markieren (in
diesem Fall markierte man den
Bereich von A2 bis C14).
Danach geht man mit dem Mauszeiger auf die Symbolleiste und klickt auf den Button
Diagramm-Assistent:
Damit öffnet sich automatisch der gewünschte Diagramm-Assistent in einem neuen Fenster.
Das gewünschte Fenster kann man auch über die Menüleiste öffnen:
Einfügen ⇒ Diagramm
Diagramm-Assistent
� Diagrammtyp auswählen
Grafik 12.7 „Diagrammtyp“
Der erste Schritt des Diagramm-Assistenten
präsentiert alle möglichen Diagramme und der
Benutzer kann durch einfachen Mausklick aus
über 10 Standardtypen (mit mehreren
Untertypen) plus noch weiteren
benutzerdefinierten wählen.
Der aktuelle Diagrammtyp Säule besitzt 7
Untertypen (aktueller Untertyp: Gruppierte
Säulen) und zeichnet Säulendiagramme in
verschiedenen Varianten.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 126
Unter welcher Diagrammtypbezeichnung die in den Kapiteln 2. – 11. vorgestellten
Schaubilder im Schritt 1 zu finden sind, zeigt die folgende Tabelle:
Tabelle 12.3 „Bezeichnung der Diagrammtypen“
Diagrammtyp erstelltes Diagramm
Säule Säulendiagramm, Histogramm (mit
konstanter Klassenbreite), Piktogramm
Balken Balkendiagramm, Piktogramm
Linie Liniendiagramm/Polygon, Punktdiagramm
Kreis Kreisdiagramm/Prozentkreis
Punkt (XY) Streudiagramm/Punktwolke,
Punktdiagramm
Es sollte beachtet werden, dass diverse Grafiken (zum Beispiel das Piktogramm, das
Punktdiagramm) von mehreren Diagrammtypen erstellt werden können. Dem MS Excel-
Benutzer und der MS Excel-Benutzerin steht es somit frei zu wählen – je nach individueller
Vorliebe – welchen Diagrammtyp er und sie für die grafische Darstellung der Daten
verwenden will.
Wenn der gewünschte Diagrammtyp und der dazugehörige Untertyp ausgewählt wurde, klickt
man auf die Schaltfläche um zum nächsten Schritt des Diagramm-Assistenten
zu gelangen.
� Diagrammquelldaten kontrollieren
Wenn man den richtigen Datenbereich schon markiert hat, bevor man auf den Diagramm-
Button klickt, sollte man bei diesem Schritt nur kontrollieren, dass der richtige
Datenbereich zur Erstellung genommen wurde und ob die Zeilen oder die Spalten des
Datensatzes genommen werden sollen.
Wählt man zusätzlich die Karteikarte Reihe, hat man die Möglichkeit die verschiedenen
Datenreihen und die x-Achse zu beschriften.
Mit einem Mausklick auf kommt man zum Schritt 3 von 4 des Diagramm-
Assistenten.
� Diagrammoptionen

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 127
In diesem Schritt befinden sich mehrere Karteikarten, die man nacheinander anwählen kann,
um das Diagramm mit diversen Beschriftungen, Gitternetzlinien und Legenden auszustatten.
Bei diesem Diagramm wurde unter der Karteikarte Legende schon die Legende entfernt. Um
das Diagramm und dessen Achsen zu betiteln, füllt man einfach die dafür vorgesehenen
Felder in der Karteikarte Titel aus.
Grafik 12.8 „Diagrammoptionen“
Hat man das Diagramm mit allen Optionen der jeweiligen Karteikarten nach seinen
Wünschen und Vorstellungen vervollständigt, klickt man wieder auf .
� Diagrammplatzierung
Beim letzten und vierten Schritt des Diagramm-Assistenten hat man die Möglichkeit, das
erstellte Diagramm entweder in das aktuelle Arbeitsblatt einzufügen oder als ein neues Blatt
mit eigenem Namen abzuspeichern. Hat man sich für eine von diesen Möglichkeiten
entschieden, drückt man nun auf um das Diagramm fertig zu stellen.
Das fertig gestellte Schaubild, die Achsen, die Datenquelle, die Zeichnungsfläche und alle
anderen Diagrammteile können nun ganz leicht bearbeitet und verändert werden, indem der
Mauszeiger zum gewünschten Objekt hinbewegt und die rechte Maustaste gedrückt wird.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 128
13. Fächerübergreifendes Projekt – Leibeserziehung
Das Fach Leibeserziehung dient der Statistik vor allem zur Erhebung von metrisch- und
ordinalskalierten Daten. Bei diesem Projekt sollen die Schülerinnen und Schüler ihre eigene
Körpermaße und die erbrachten sportlichen Leistungen erheben.
Die Auswertung der erhobenen Daten dieses Projekts soll mit einem
Tabellenkalkulationsprogramm erfolgen. In den folgenden Anwendungsbeschreibungen wird
davon ausgegangen, dass mit dem Programm Excel der Firma Microsoft gearbeitet wird.
Da diverse Kenntnisse sowohl über die Berechnung von Kennzahlen der Lage und der
Streuung als auch die Fähigkeiten, aus einem Diagramm einen linearen Zusammenhang zu
erkennen, vorausgesetzt und notwendig sind, um die erhobenen Daten auszuwerten, sollte
dieses Projekt erst in der 8. Schulstufe durchgeführt werden.
Da man keine Turngeräte zur Datenerhebung braucht, benötigt man maximal zwei
Doppelstunden Leibeserziehung. Zur Messung der sportlichen Leistungen wird eine Stoppuhr
und ein Messband verwendet. Will man die Körpermaße der Schülerinnen und Schüler
erfassen, sollten ein Messband und eine Waage vorhanden sein. Es ist darauf zu achten, dass
beim Erheben der einzelnen Daten die Schülerinnen und Schüler in Gruppen arbeiten und sich
gegenseitig messen und bewerten müssen. Beim Auswerten der Daten kommt es darauf an, ob
die Schülerinnen und Schüler wieder Gruppen bilden und ob man die Daten auch grafisch
darstellen lässt. Je nach Umfang der Fragestellung, könnte sich der benötigte Zeitraum
zwischen zwei und vier Unterrichtsstunden bewegen. Da die Schülerinnen und Schüler die
Auswertung mit Hilfe des Computers, also mit einem Tabellenkalkulationsprogramm,
durchführen sollen, wird der Zeitraum natürlich verkürzt.
Zuerst muss eine Tabelle erstellt werden, in die folgende Daten pro Schüler bzw. Schülerin
eingetragen werden: Name, Körpergröße, Körpergewicht, Armlänge, 60-m Lauf, Weitsprung,
Schlagball. Die Schülerinnen und Schüler sollen sich überlegen, in welchen Einheiten die
Ergebnisse eingetragen werden, wobei zu beachten ist, dass die diversen Merkmale später
grafisch dargestellt werden.
Es wird wahrscheinlich unkomplizierter sein, wenn man die Daten schriftlich sammelt und
dann erst in die Tabellenkalkulation eintippt, wenn die Tabelle vollständig erstellt wurde.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 129
13.1. Kennzahlen der Lage und der Streuung
Von jedem Merkmal (außer dem Merkmal „Name“ natürlich) – falls es überhaupt möglich ist
– sollen folgende Kennzahlen errechnet werden: Minimum, Maximum, Spannweite, Modus,
Median, arithmetisches Mittel, Quartile, Mittlere absolute Abweichung vom Median und
Standardabweichung.
Da alle gemessenen Merkmale metrischskaliert sind, dürfte es keine Probleme bei den
Berechnungen und den verbundenen Ergebnissen geben.
Die Schülerinnen und Schüler sollten dann anhand ihrer Ergebnisse Schlüsse ziehen können
und mit ihren Lehrerinnen und Lehrern über Interpretationen diskutieren: Durchschnitte, gibt
es erhebliche Ausreißer (gibt es einen auffallenden Datenpunkt, ....)?
Wird das Projekt sowohl mit Schülerinnen als auch mit Schülern durchgeführt, teilt man die
Merkmale in männlich und weiblich und kann somit die Körpermaße und Leistungen der
Schülerinnen mit jenen der Schüler vergleichen.
Hat man mehr Zeit, können zusätzlich Kastenschaubilder für die Maße und Leistungen der
Schülerinnen und Schüler getrennt erstellt und verglichen werden. Kastenschaubilder können
im Excel nicht erstellt werden und müssen somit mit der Hand gezeichnet werden.
13.2. Grafische Darstellung der einzelnen Merkmale
Da mit metrischen Merkmalen gearbeitet wird, müssen diese zuerst in Klassen eingeteilt
werden, um sie vorteilhaft grafisch darstellen zu können. Es ist Aufgabe der Schülerinnen und
Schüler geeignete Grenzen für jedes Merkmal zu finden und das passende Histogramm mit
MS Excel oder mit der Hand zu zeichnen. Auch hier kann man getrennt nach Schülerinnen
und Schülern vorgehen und die Schaubilder vergleichen. Die Histogramme sollten groß und
übersichtlich, falls mit der Hand gezeichnet: am besten auf einem Zeichenpapier oder auf
einer ganzen A4-Seite (Quer- oder Hochformat) gezeichnet werden. Es ist wichtig, dass die
Ergebnisse mit den Lehrerinnen und Lehrern besprochen werden, damit die Schülerinnen und
Schüler ein Gefühl für die Aussagekraft einer Grafik bekommen.

Fachdidaktische Aufbereitung statistischer Inhalte für 11- bis 14-jährige Schülerinnen und Schüler 130
13.3. Zusammenhang zwischen den einzelnen Merkmalen
Wenn alle Merkmale mit statistischen Kennzahlen und Schaubildern beschrieben wurden,
können die Schülerinnen und Schüler Zusammenhangsanalysen beginnen. Gibt es einen
Zusammenhang zwischen den sportlichen Merkmalen und den Körpermaßen? Die
Schülerinnen und Schüler sollen zu jedem Punkt sowohl mindestens 2 Streudiagramme
zeichnen und interpretieren als auch Daten von LeistungssportlerInnen suchen und diese mit
ihren Ergebnissen vergleichen. Das folgende Arbeitsblatt ist so aufgeteilt, dass die
Schülerinnen und Schüler drei Gruppen bilden können und jede Gruppe eine Aufgabe von den
dreien folgenden zugeteilt bekommt.
1 60-m-Lauf
Zeichnet ein Streudiagramm mit dem Merkmal 60-m-Lauf und jeweils einem Körpermaß!
Laufen große Menschen schneller als kleinere? Holt euch Körpermaße von ProfisportlerInnen
aus dem Internet oder einer anderen Informationsquelle! Sind das eher größere oder eher
kleinere Menschen. Gibt es vielleicht gar keinen Zusammenhang? Ist vielleicht die Masse
(das Körpergewicht) eines Sportlers/einer Sportlerin für die Schnelligkeit ausschlaggebend?
Vergleicht außerdem die Körpermaße von SprinterInnen und LangstreckenläuferInnen!
2 Weitsprung
Zeichnet ein Streudiagramm mit dem Merkmal Weitsprung und jeweils einem Körpermaß!
Springen leichtere Menschen weiter als Personen, die mehr Masse besitzen? Oder ist das
Körpergewicht gar nicht für einen besseren Sprung verantwortlich? Holt euch Körpermaße
von ProfisportlerInnen aus dem Internet oder einer anderen Informationsquelle! Wie sind
Personen, die die Disziplin Weitsprung als Leistungssport betreiben, gebaut? Gibt es
überhaupt einen Zusammenhang?
3 Schlagball
Zeichnet ein Streudiagramm mit dem Merkmal 60-m-Lauf und jeweils einem Körpermaß!
Werfen Menschen mit längeren Armen weiter als Personen, deren Arme nicht so lang sind?
Oder ist es die Körpermasse eines Menschen, die einen längeren Wurf verursacht? Holt euch
Körpermaße von ProfisportlerInnen aus dem Internet oder einer anderen Informationsquelle!
Wie sind jene SportlerInnen gebaut, die in den Wurf-Disziplinen (auch Diskus, Speer,
Kugelstoßen,...) Rekorde halten? Gibt es überhaupt einen nennenswerten Zusammenhang?

Anhang 131
LITERATURVERZEICHNIS
Assenmacher, Walter: Deskriptive Statistik. Berlin: Springer-Verlag, 2003.
Borovcnik, M. und Ossimitz, G.: Materialien zur Beschreibenden Statistik und Explorativen
Datenanalyse. Wien: Verlag Hölder-Pichler-Tempsky, 1987.
Eckstein, Peter: Repetitorium Statistik. Wiesbaden: Gabler Verlag, 2001.
Hauer, Beatrix: Zum Beispiel Mathematik 1 – Lehrerbegleitheft. Linz: Veritas-Verlag, 2001.
Hauer, Beatrix: Zum Beispiel Mathematik 2 – Lehrerbegleitheft. Linz: Veritas-Verlag, 2001.
Hauer, Beatrix: Zum Beispiel Mathematik 3 – Lehrerbegleitheft. Linz: Veritas-Verlag, 2001.
Hauer, Beatrix: Zum Beispiel Mathematik 4 – Lehrerbegleitheft. Linz: Veritas-Verlag, 2002.
Hippmann, Hans-Dieter: Statistik – Lehrbuch für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler.
Ulm: Schäffer-Poeschel Verlag für Wirtschaft, Steuern, Recht GmbH & Co. KG, 2003.
Holland, Heinrich und Scharnbacher, Kurt: Grundlagen der Statistik. Wiesbaden: Gabler
Verlag, 2003.
Kröpfl, Bernhard u. a. : Angewandte Statistik. München: Carl Hanser Verlag, 1994.
Kütting, Herbert: Beschreibende Statistik im Schulunterricht. Mannheim: Bibliografisches
Institut & F. A. Brockhaus AG, 1994.
Landwehr, James M. und Watkins, Ann E.: Exploring Data. Palo Alto: Dale Seym our
Publications, 1995.
Reichel, Hans Christian und Götz, Stefan: Lehrplan 2000. Kern- und Erweiterungsbereich im
Mathematikunterricht für die 1. – 4. Klasse. Wien: öbv&hpt VerlagsgmbH & Co. KG.

Anhang 132
Burger King (Nährwertinformation)
DATENMATERIAL
http://www.burgerking.at/pages/at0104/naehrwertinformation.pdf
McDonalds (Nährwertinformation)
http://www.mcdonalds.com/mcd_apps/nutrition/categories/nutrition/nutritionfacts.pdf
Monatliche Telefonausgaben von Schülerinnen und Schüler
http://www.schule.suedtirol.it/blikk/angebote/modellmathe/ma2036.htm
Rennbahnexpress (Stars A-Z (Geburtstag, Alter))
http://rbx.at/music/starbios
Tiergarten Schönbrunn (Tierportraits)
http://www.zoovienna.at/navi_oben_tiere.html
Statistikanbieter
Amt der Landesregierung Steiermark: Landesamtsdirektion - Referat Statistik
EUROSTAT
http://www.statistik.steiermark.at/
http://europa.eu.int/comm/eurostat
Statistik Austria: Statistisches Jahrbuch Österreichs 2002. Wien: Verlag Österreich GmbH,
2001.
http://www.statistik.at

Anhang 133
LEHR- & SCHULBUCHVERZEICHNIS
Erber, Gabriele u. a. : Zum Beispiel Mathematik 1. Linz: Veritas Verlag, 2002.
Erber, Gabriele u. a. : Zum Beispiel Mathematik 2. Linz: Veritas Verlag, 2002.
Erber, Gabriele u. a. : Zum Beispiel Mathematik 3. Linz: Veritas Verlag, 2001.
Erber, Gabriele u. a. : Zum Beispiel Mathematik 4. Linz: Veritas Verlag, 2002.
Floderer, Manfred: Mach mit – Mathematik 3. Wien: öbv & hpt VerlagsgmbH & Co. KG,
2001.
Floderer, Manfred: Mach mit – Mathematik 4. Wien: öbv & hpt VerlagsgmbH & Co. KG,
2002.
Gollman u. a. (Lehrerarbeitsgemeinschaft): Lebendige Mathematik 1. Wien: öbv & hpt
VerlagsgmbH & Co. KG, 2000.
Gollman u. a. (Lehrerarbeitsgemeinschaft): Lebendige Mathematik 2. Wien: öbv & hpt
VerlagsgmbH & Co. KG, 2001.
Gollman u. a. (Lehrerarbeitsgemeinschaft): Lebendige Mathematik 3. Wien: öbv & hpt
VerlagsgmbH & Co. KG, 2001.
Gollman u. a. (Lehrerarbeitsgemeinschaft): Lebendige Mathematik 4. Wien: öbv & hpt
VerlagsgmbH & Co. KG, 2002.
Lewisch, Ingrid: Mathematik 1. Verstehen – Üben – Anwenden.Wien: R. Oldenbourg Verlag
Ges.m.b.H., 2000.
Lewisch, Ingrid: Mathematik 2. Verstehen – Üben – Anwenden.Wien: R. Oldenbourg Verlag
Ges.m.b.H., 2001.

Anhang 134
Lewisch, Ingrid: Mathematik 3. Verstehen – Üben – Anwenden.Wien: R. Oldenbourg Verlag
Ges.m.b.H., 2002.
Lewisch, Ingrid: Mathematik 4. Verstehen – Üben – Anwenden.Wien: R. Oldenbourg Verlag
Ges.m.b.H., 2003.
Lindbichler, Gerhard u. a. : Querschnitt Mathematik 1. Wien: Westermann
Verlagsges.m.b.H., 2000.
Lindbichler, Gerhard u. a. : Querschnitt Mathematik 2. Wien: Westermann
Verlagsges.m.b.H., 1998.
Lindbichler, Gerhard u. a. : Querschnitt Mathematik 3. Wien: Westermann
Verlagsges.m.b.H., 1999.
Reichel, Hans-Christian u. a. : Das ist Mathematik 1 – Lehrbuch und Aufgabensammlung.
Wien: öbv & hpt VerlagsgmbH & Co. KG, 2000.
Reichel, Hans-Christian u. a. : Das ist Mathematik 2 – Lehrbuch und Aufgabensammlung.
Wien: öbv & hpt VerlagsgmbH & Co. KG, 2000.
Reichel, Hans-Christian u.a. : Das ist Mathematik 3 – Lehrbuch und Aufgabensammlung.
Wien: öbv & hpt VerlagsgmbH & Co. KG, 2001.
Reichel, Hans-Christian u. a. : Das ist Mathematik 4 – Lehrbuch und Aufgabensammlung.
Wien: öbv & hpt VerlagsgmbH & Co. KG, 2002.
Reichel, Hans-Christian u. a. : Lehrbuch der Mathematik 4 und Aufgabensammlung. Wien:
öbv &hpt VerlagsgmbH & Co. KG, 1996.
Schröder, Max; Wurl, Bernd und Wynandy, Alexander: Maßstab 1. Wien: Verlag E. Dorner
GmbH, 2001.

Anhang 135
Schröder, Max; Wurl, Bernd und Wynandy, Alexander: Maßstab 2. Wien: Verlag E. Dorner
GmbH, 2001.
Szirucsek, u. a.: Mathematik 5. Wien: Verlag Hölder-Pichler-Tempsky, 1994.
Steiner, Gerald: Mathemaster 1 – Mathematik für die 5. Schulstufe. Wien: Reniets Verlag
GmbH, 2000.
Steiner, Gerald: Mathemaster 2 – Mathematik für die 6. Schulstufe. Wien: Reniets Verlag
GmbH, 2001.
Steiner, Gerald: Mathemaster 3 – Mathematik für die 7. Schulstufe. Wien: Reniets Verlag
GmbH, 2002.
Steiner, Gerald: Mathemaster 4 – Mathematik für die 8. Schulstufe. Wien: Reniets Verlag
GmbH, 2003.
Url, Liselotte u. a. : Die Welt der Mathematik 2. Wien: Verlag E. Dorner GmbH, 2001.
Url, Liselotte u. a. : Die Welt der Mathematik 3 (Teil 2). Wien: Verlag E. Dorner GmbH,
1996.
Url, Liselotte u. a. : Die Welt der Mathematik 4 (Teil 2). Wien: Verlag E. Dorner GmbH,
1996.