Polynomdivision, LFZ, Horner-Schema - Limburg

Lehrgang: Analysis FOS12c Blatt 1
Polynomdivision, LFZ, Horner-Schema Moritz Klee Klee
1) Bestimmen Sie die Nullstellen folgender Funktionen ( ohne TR ) und stellen die LFZ dar:
a) x³+3x²-10x-24 b) x³-9x²+23x-15
c) x³-7x²-4x+28 d) x³-6x²+11x-6
e) x³+4x²-11x-30 f) x³-9x²+14x+24
2) Vereinfachen Sie die folgenden Funktionen soweit, bis sie das Ergebnis mit dem TR
ermitteln können und stellen die LFZ dar:
a) x 5 -15x 4 +85x³-225x²+274x-120 b) x 4 -11x³+28x²+36x-144
c) x 5 -14x 4 +60x³-70x²-61x+84 d) x 4 -6x³-13x²+66x+72
e) x 5 -x 4 -12x³+10x²+32x-24 f) x 4 -15x²-10x+24
3) Textaufgabe:
Exponenziert man eine Zahl mit 5, addiert dazu das 122-fache der Zahl exponenziert
mit 2 sowie das 107-fache der gesuchten Zahl, subtrahiert davon nun das 8-fache der
Zahl exponenziert mit 4, das 12-fache der Zahl exponenziert mit 3 und subtrahiert
man anschließend den Wert von 210, erhällt man genau 0.
Stellen sie die Funktion auf und ermitteln sie Werte für die Zahl X, welche die Funktion
als wahre Aussage erscheinen lassen.
Viel Glück und Erfolg beim Lösen der Aufgaben

Lehrgang: Analysis FOS12c Blatt 1b
Lösungsblatt Moritz Klee Klee
1) a) (x³+3x²-10x-24) : (x+2) = x²+x-12 -0,5 + /- �0,25�12
-(x³+2x²) -0,5 + /- 3,5
0 x²-10x x1= 3
-(x²+ 2x) x2=-4
0 -12x-24
-(-12x-24) L={ -4 ; -2 ; 3 }R
0 0
x³+3x²-10x-24 = (x+4)(x+2)(x-3)
b) (x³-9x²+23x-15) : (x-1) = x²-8x+15 4 + /- �16−15
-(x³-1x²) 4 + /- 1
0 -8x²+23x x1= 5
-(-8x²+8x) x2= 3
0 15x-15
-(15x-15) L={ 1 ; 3 ; 5 }R
0 0
x³-9x²+23x-15 = (x-1)(x-3)(x-5)
c) (x³-7x²-4x-28) : (x+2) = x²-9x+14 4,5 + /- �20,25−14
-(x³+2x²) 4,5 + /- 2,5
0 -9x²-4x x1= 2
-(-9x²-18x) x2= 7
0 14x-28
-(14x-28) L={ -2 ; 2 ; 7 }R
0 0
x³-7x²-4x-28 = (x+2)(x-2)(x-7)
d) (x³-6x²+11x-6) : (x-1) = x²-5x+6 2,5 + /- �6,25−6
-(x³-1x²) 2,5 + /- 0,5
0 -5x²+11x x1= 3
-(-5x²+ 5x) x2= 2
0 6x-6
-(6x-6) L={ 1 ; 2 ; 3 }R
0 0
x³-6x²+11x-6 = (x-1)(x-2)(x-3)
e) (x³+4x²-11x-30) : (x+2) = x²+2x-15 -1 + /- �1�15
-(x³+2x²) -1 + /- 4
0 2x²-11x x1= 3
-(2x²+ 4x) x2=-5
0 -15x-30
-(-15x-30) L={ -5 ; -2 ; 3 }R
0 0
x³+4x²-11x-30 = (x+5)(x+2)(x-3)
f) (x³-9x²+14x+24) : (x+1) = x²-10x+24 5 + /- �25−24
-(x³ +1x²) 5 + /- 1
0 -10x²+14x x1= 6
-(10x²-10x) x2= 4
0 24x+24
-(24x+24) L={ -1 ; 4 ; 6 }R
0 0
x³-9x²+14x+24 = (x+1)(x-4)(x-6)

Lehrgang: Analysis FOS12c Blatt 1c
2) Lösungsweg beliebig! ( Polynomdivision / Horner-Schema )
a) L={ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }R
b) L={ -2 ; 3 ; 4 ; 6 }R
Lösungsblatt Moritz Klee Klee
x 5 -15x 4 +85x³-225x²+274x-120 = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
x 4 -11x³+28x²+36x-144 = (x+2)(x-3)(x-4)(x-6)
c) L={ -1 ; 1 ; 3 ; 4 ; 7 }R
d) L={ -3 ; -1 ; 4 ; 6 }R
x 5 -14x 4 +60x³-70x²-61x+84 = (x+1)(x-1)(x-3)(x-4)(x-7)
x 4 -6x³-13x²+66x+72 = (x+3)(x+1)(x-4)(x-6)
e) L={ -2 ; -2 ; 1 ; 2 ; 3 }R
f) L={ -3 ; -2 ; 1 ; 4 }R
x 5 -x 4 -12x³+10x²+32x-24 = (x+2)(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)
x 4 -15x²-10x+24 = (x+3)(x+2)(x-1)(x-4)
3) Gesuchte Funktion: x 5 -8x 4 -12x³+122x²+107x-210
Nullstellen x 5
x 4
x³ x² x 1
1 -8 -12 122 107 -210
-2 0 -2 20 -16 -212 210
x 4
1 -10 8 106 -105
x³ x³ x 1
1 -10 8 106 -105
7 0 7 -21 -91 105
x 3
1 -3 -13 15 0
x² x 1
x 0
Vereinfachte Funktion: x³-3x²-13x+15
L={ -3 ; -2 ; 1 ; 5 ; 7 }R
x 5 -8x 4 -12x³+122x²+107x-210 = (x+3)(x+2)(x-1)(x-5)(x-7)
x 0
%
x 0
%