Grundlagen der Mechanik

Grundlagen der Mechanik
(Formeln und Gesetze)
Ausgabe 2007-09
Die Mechanik ist das Teilgebiet der Physik, in welchem physikalische Eigenschaften der
Körper, Bewegungszustände der Körper und Kräfte beschrieben werden.
Seite
Arbeit,mechanische 6
Bewegung 4
Druck in Flüssigk./Gase 9
Energie, mechanische 7
Flaschenzug 3
freier Fall 4
Gravitation 8
Hebel 3
Kräfte 2
Leistung, mechanische 7
Rolle 3
Rotation 5
Wurf 5

1.
Kräfte in der Mechanik
Kraft Formelzeichen
Formel
Gewichtskraft FG FG = m . g
Druckkraft FP FP = p . A
Auftriebskraft FA FA = ρ . V . g
Reibungskraft FR FR = µ . FN
Gravitationskraft FS
Radialkraft
F S = �⋅ m 1 ⋅m 2
r 2
F = m⋅ v2
r
F = m . ω² . r
F = m⋅ 4 �2 ⋅r
T 2
Federspannkraft FF FF = D . s
F Kraft (N)
m Masse des Körpers (kg)
g Fallbeschleunigung g = 9,81 m . s -2
p Druck (Pa)
A Fläche (m²)
ρ Dichte (kg . m -3 )
V Volumen (m³)
µ Reibungszahl
γ Gravitationskonstante
r Radius (m)
v Geschwindigkeit (m . s -1 )
ω Winkelgeschwindigkeit (m . s -1 )
T Umlaufzeit (s)
D Federkonstante
s Weg (m)
2

2.
2.1.
2.2.
2.3.
Kraftumformende Einrichtungen (Rolle, Hebel, Flaschenzug)
Hebel
F1 . l1 = F2 . l2
geneigte Ebene
FH = FA - Fr = FA - µ . FN
F1 (Gewichts-) Kraft (N)
F2 (Gewichts-) Kraft (N)
l1 Länge des Hebelarms (m)
l2 Länge des Hebelarms (m)
FH Haltekraft (N)
FA Hangabtriebskraft (N)
FH = m . g . (sin α - µ . cos α) Fr Reibungskraft (N)
FZ Zugkraft (N)
F A = m⋅g⋅h
l
m Masse des Körpers (kg)
g Fallbeschleunigung g = 9,81 m . s -2
h Höhe der geneigten Ebene (m)
FZ = m . g . (sin α + µ . cos α) l Länge der geneigten Ebene (m)
α Steigungswinkel (rad)
µ Reibungszahl
Rolle, Flaschenzug
1 feste Rolle FZ = FL FZ Zugkraft, aufgewandte Kraft (N)
(Umlenkrolle) FL Lastkraft, Gewichtskraft (N)
1 lose Rolle
(Seil einseitig fest)
FZ =
n Anzahl der Rollen
lZ Weglänge Zugseil (m)
lL Weglänge Lastseil (m)
FL FZ =
2
FL FZ =
2
FL 2
einfacher Flaschenzug
1 lose, 1 feste Rolle
= m⋅g⋅sin�
F Z = F L
2
Flaschenzug lL = lZ FZ =
n
FL n
3

3.
3.1.
Gesetze der geradlinigen Bewegung (Translation), Rotation und Wurf
Gesetze der geradlinigen Bewegung (Translation)
Geschwindigkeit einer geradlinigen, gleichförmigen Bewegung
s Weg (m)
t Zeit (s)
v Geschwindigkeit (m . s -1 )
Bahngeschwindigkeit einer gleichförmigen Kreisbewegung
r Radius der Bahn (m)
T Umlaufzeit (s)
v Bahngeschwindigkeit (m . s -1 )
Beschleunigung einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung
a = v 2 −v 1
t 2 −t 1
a Beschleunigung (m . s -2 )
v1, v2 Geschwindigkeit (m . s -1 )
t1, t2 Zeit (s)
Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung
s ~ t2 s = s Weg (m)
1 2
a ⋅t
2
Gesetze des freien Falls
t Zeit (s)
a Beschleunigung (m . s -2 )
Weg-Zeit-Gesetz Geschwindigk.-Zeit-Gesetz Geschwindigk.-Weg-Gesetz
s = g 2
⋅t
2
v = s
t
v = 2�⋅r
T
= �v
�t
s Weg (m)
t Zeit (s)
g Fallbeschleunigung g = 9,81 m . s -2
v Geschwindigkeit (m . s -1 )
v = g . t v = �2⋅g⋅s
4

3.2.
Gesetze der Rotation
gleichförmige Rotation (α = 0)
φ = ω . t + φ0
gleichmäßig beschleunigte Rotation
3.3.
� = �
2 ⋅t2 � � 0 ⋅t � � 0
� = �⋅t � � 0
Gesetze zum Wurf
senkrechter Wurf nach unten
senkrechter Wurf nach oben
waagerechter Wurf
schräger Wurf
�= ��
�t
� = 2�
T
= 2�⋅n
h = t
2 ⋅�v a � v� = v2 2
− va 2⋅g t = 2⋅h
va � v
φ Winkel
α Winkelbeschleunigung
ω Winkelgeschwindigkeit
φ0 Anfangswinkel bei t = 0
T Umlaufzeit
n Drehzahl
ω0 Anfangswinkelgeschwindigkeit
bei t = 0
Steighöhe Höhe nach der Zeit t Anfangsgeschwindgk. Steigzeit
H = v 2
a
2⋅g
h = v a ⋅t − g⋅t2
2
Wurfweite nach der Zeit t Höhe nach der Zeit t
s = v a ⋅t = v a ⋅ � 2⋅h
g
(max) Steighöhe (max) Weite
H = v 2 2
a⋅sin
�
2⋅g
w = v 2
a⋅sin
2 �
g
h = g
2 ⋅t2
5
va=v�g⋅t= 2⋅h
t −v t = va 2⋅H
=
g va

4.
4.1.
Mechanische Arbeit, mechanische Energie und mechanische Leistung
Mechanische Arbeit
mechanische Arbeit
W mechanische Arbeit (Nm, Ws, J)
W = F . s F (aufgewendete) Kraft (N)
s (zurückgelegter) Weg (m)
Hubarbeit
Reibungsarbeit
W Hubarbeit (Nm, Ws, J)
W = FG . h FG Gewichtskraft (N)
g Fallbeschleunigung g ≈ 9,81 m . s - ²
W = m . g . h m Masse (kg)
h Höhe (m)
W Reibungsarbeit (Nm, Ws, J)
W = FR . s = µ . FN . s FR Reibungskraft (N)
s (zurückgelegter) Weg (m)
µ Gleitreibungszahl
FN Normalkraft (N)
Beschleunigungsarbeit
Federspannarbeit
W Beschleunigungsarbeit (Nm, Ws, J)
W = FB . s = m . a . s FB Beschleunigungskraft (N)
s (zurückgelegter) Weg (m)
a Beschleunigung (m . s - ²)
m Masse (kg)
W = 1
2 F End ⋅s = 1
2 D⋅s2
W Federspannarbeit (Nm, Ws, J)
FEnd Endkraft, maximale Kraft (N)
s Federspannweg (m)
D Federkonstante
6

4.2.
Mechanische Energie
potenzielle Energie (Lageenergie)
Epot Potenzielle Energie (Nm, Ws)
eines Körpers Epot = FG . h FG Gewichtskraft (N)
h Höhe (m)
einer gespannten Feder Epot = D Federkonstante
s Federspannweg (m)
1
2 D⋅s2
kinetische Energie (Bewegungsenergie)
der geradlinigen Bewegung
Ekin =
Ekin Kinetische Energie (Nm, Ws)
m Masse (kg)
1
2 m⋅v2
v Geschwindigkeit (m . s -1 )
ω Winkelgeschwindigkeit (1 . s -1 )
der Rotation J Trägheitsmoment* (kg . m²)
Trägheitsmoment
rotierender Massepunkt J = m . r² J Trägheitsmoment (kg . m²)
rotierende Kugel J = 2/5 . m . r² m Masse (kg)
rotierender Vollzylinder J = 1/2 . m . r² r Radius = max. Abstand von
der Rotationsachse (m)
Energieerhaltungssatz der Mechanik
4.3.
Emech = Epot + Ekin = konstant
Mechanische Leistung und Wirkungsgrad
mechanische Leistung
Wirkungsgrad
W2 < W1
E kin = 1
2 J⋅�2
P = W
t
� = W 2
W 1
Es gilt: 0 < � < 1
7
P Leistung (W)
W Arbeit (Nm)
t Zeit (s)
η Wirkungsgrad
W1 aufgenommene Arbeit
W2 abgegebene Arbeit

5.
Gravitation
Gravitationsgesetz F Gravitationskraft (N)
γ Gravitationskonstante
Gravitationskonstante
F = �⋅ m 1⋅m 2
r 2
γ = 6,674 . 10 -11 N . m² . kg -2
m1, m2 Massen zweier Körper (kg)
r Abstand (m)
(6,674 28 ± 0,000 67) . 10 -11 m 3 . kg -1 . s -2 = N . m 2 . kg -2
(CODATA-Zahlenwert für die Jahre 2006 ... 2010)
8

6.
Mechanik der Flüssigkeiten und Gase
Kolbendruck auf Flüssigkeiten (abgeschlossenes System)
p = F
A
p Kolbendruck (Pa)
F Kolbendruckkraft (N)
A gedrückte Fläche (m²)
Kräfte und Flächen an Kolben sind proportional. (Prinzip Hydraulik, Pneumatik)
F 1
F 2
F 1
F 2
Schweredruck in Flüssigkeiten
F1 . s1 = F2 . s2
A1, A2 Druckflächen
F1, F2 Druckkräfte
F1, F2 Druckkräfte
s1, s2 Kolbenweg
p = ρ . h . g p Schweredruck (Pa)
ρ Dichte der Flüssigkeit (g . cm -3 )
h Höhe der Flüssigkeitssäule (m)
g Fallbeschleunigung g ≈ 9,81 m . s - ²
γ = ρ . g γ Wichte (N . cm -3 )
ρ Dichte der Flüssigkeit (g . cm -3 )
g Fallbeschleunigung g ≈ 9,81 m . s - ²
� = F G
V
= A 1
A 2
= s 2
s 1
= m⋅g
V
FG Gewichtskraft (N)
m Masse (kg)
g Fallbeschleunigung g ≈ 9,81 m . s - ²
Auftriebskraft, Archimedisches Prinzip in Flüssigkeiten und Gasen
FA = FGfl FA Auftriebskraft (N)
FA = VK . γfl FGfl Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit (N)
FA = VK . ρfl . g VK Volumen des Festkörpers (cm³)
γfl Wichte der Flüssigkeit (N . cm -3 )
ρfl Dichte der Flüssigkeit (g . cm -3 )
g Fallbeschleunigung g ≈ 9,81 m . s - ²
barometrische Höhenformel
F 1
A 1
h = p 0
� 0 ⋅g ⋅�ln p 0 − ln p h �
= F 2
A 2
h Höhe (m)
p0 Luftdruck am Boden (Pa)
ρ0 Dichte der Luft am Boden (kg . m -3 )
g Fallbeschleunigung g ≈ 9,81 m . s - ²
ph Luftdruck in der Höhe h (Pa)
Näherungswert: Abnahme 1 hPa je 8 m Höhenzunahme (in der Troposhäre)
9