B Der Lehrsatz des Pythagoras - Mone Denninger
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B <strong>Der</strong> <strong>Lehrsatz</strong> <strong>des</strong> <strong>Pythagoras</strong> 4. Klasse<br />
2. Kathetensatz und Höhensatz<br />
2. Kathetensatz und Höhensatz<br />
Höhensatz <strong>des</strong> Euklid<br />
In jedem rechtwinkligen Dreieck ABC gilt:<br />
2<br />
h = p⋅ q<br />
Beweis:<br />
Voraussetzung: <strong>Der</strong> Satz <strong>des</strong> <strong>Pythagoras</strong><br />
Die Höhe h teilt das Dreieck ABC in zwei rechtwinklige Dreiecke: DBC und ADC. Also gilt<br />
nach dem Satz <strong>des</strong> <strong>Pythagoras</strong>:<br />
2 2 2 2 2 2<br />
h + p = a und h + q = b<br />
Die Hypotenuse c zum Quadrat ist das Gleiche wie beide Hypotenusenabschnitte p und<br />
addiert zum Quadrat:<br />
2 2<br />
c = ( p+ q)<br />
2 2<br />
2<br />
c p 2 pq q<br />
= + +<br />
Setzt man nun in den Satz <strong>des</strong> <strong>Pythagoras</strong> ein und formt um, so erhält man den Höhensatz <strong>des</strong><br />
Euklid:<br />
2<br />
a�+ 2<br />
b�= 2<br />
c�<br />
2 2 2 2 2 2<br />
h + p h + q p + 2⋅p⋅<br />
q+ q<br />
2 2 2 2 2<br />
2<br />
h + p + h + q = p + ⋅ p⋅ q+ q<br />
2<br />
2 2 |:2<br />
h<br />
2<br />
http://mone.denninger.at 3<br />
2<br />
⋅ h = ⋅ p⋅q = p⋅q Geometrische Interpretation <strong>des</strong> Höhensatzes:<br />
q
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