Der Baum des Pythagoras Eine Trophäe mit mathematischem ...
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Kölner Mathematikturnier<br />
<strong>Der</strong> <strong>Baum</strong> <strong>des</strong> <strong>Pythagoras</strong><br />
<strong>Eine</strong> <strong>Trophäe</strong> <strong>mit</strong> <strong>mathematischem</strong> Hintergrund<br />
2010 erwartete das Siegerteam <strong>des</strong> Kölner Mathematikturniers<br />
erstmalig der „Wanderpokal“ <strong>des</strong> Kölner Mathematikturniers, den es<br />
seither zu verteidigen gilt.<br />
Es handelt sich hierbei um eine kunstvoll gearbeitete Skulptur,<br />
angelehnt an den so genannten symmetrischen <strong>Pythagoras</strong>baum, auf<br />
den im Jahre 1942 erstmals ein holländischer Mathematiklehrer<br />
(Albert E. Bosman) aufmerksam wurde.
Kölner Mathematikturnier<br />
Ein <strong>Pythagoras</strong>baum ist eine besondere Art eines Fraktals. Fraktale<br />
haben die Besonderheit, dass sie bis in unendliche Bereiche exakte<br />
Selbstähnlichkeit aufweisen. Anders formuliert: Bei exakter Selbstähnlichkeit<br />
enthält jeder beliebige Ausschnitt aus dem Gesamtobjekt<br />
eine exakte Kopie <strong>des</strong> gesamten Gebil<strong>des</strong>.<br />
Das ursprüngliche Verfahren zum Erstellen eines <strong>Pythagoras</strong>baums<br />
basiert auf dem Satz <strong>des</strong> <strong>Pythagoras</strong>, in dem auf ein Quadrat zwei<br />
weitere, kleiner Quadrate im rechten Winkel angeordnet werden.<br />
Durch rekursives Aufrufen dieser Konstruktionsvorschrift, wird ein<br />
Fraktal erzeug, das im Grenzfall der Form eines <strong>Baum</strong>es ähnelt. Durch<br />
den rechten Winkel <strong>des</strong> eingeschlossenen Dreiecks bleibt die<br />
Gesamtfläche jeder Ebene gleich, daher ist die Fläche <strong>des</strong><br />
Grundelements (Stammes) genauso groß wie die Summe der Fläche<br />
aller äußeren Elemente.
Kölner Mathematikturnier<br />
Konstruktion:<br />
Aus einer Grundlinie wird ein Quadrat<br />
konstruiert. Auf diesem Grundelement<br />
(Stamm) wird auf der<br />
Oberseite ein Thaleskreis gezeichnet<br />
und dieser beliebig geteilt. <strong>Der</strong><br />
entstehende Punkt wird <strong>mit</strong> dem<br />
Grundelement verbunden (Bild 1),<br />
sodass ein rechtwinkliges Dreieck<br />
entsteht. Aus den beiden entstandenen Schenkeln <strong>des</strong> Dreiecks wird<br />
wieder jeweils ein Quadrat konstruiert (Bild 2), ein Thaleskreis<br />
aufgezeichnet, dieser<br />
geteilt, ein rechtwinkliges<br />
Dreieck konstruiert<br />
(Bild 3) und so<br />
wieder zu einem Quadrat<br />
erweitert (Bild 4).<br />
Dieser Vorgang wird<br />
beliebig oft wiederholt.<br />
Bei unserer <strong>Trophäe</strong><br />
handelt es sich um die<br />
künstlerisch ausgeformte<br />
Skulptur eines<br />
symmetrischen <strong>Pythagoras</strong>baums,<br />
einem Spezialfall den man erhält, wenn das eingeschlossene<br />
rechtwinklige Dreieck gleichschenklig ist. 1<br />
1 Vgl. für diese Ausführungen: Benesch, Thomas, Mathematik im Alltag, Oldenbourg (2007), S. 72-74 und<br />
Brefeld, Werner, Mathematik – Hintergründe im täglichen Leben, verblüffende Mathematikrätsel (2005). Im<br />
Internet finden sich viele schöne Applets und Internetseite zum Thema <strong>Pythagoras</strong>baum, so z.B.<br />
http://www.matheplanet.com oder http://www.lehrer-online.de/pythagoras-baum.php.
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