Magazin gesamt

mathe
für
formelallergiker
Das Ziegenproblem
Das Mondexperiment
Comic: Kauender Konflikt

Impressum
Mathe für Formelallergiker | 1. Ausgabe | November 2018
Josef-Effner-Gymnasium Dachau
Erich-Ollenhauer-Straße 12
D-85221 Dachau
formelallergiker@gmail.com
Chefredaktion: Philip Neumer, Ann-Kathrin Betz
Art-Direktor:
Philip Neumer
Bilder:
Google Earth, Medium, Ann-Kathrin Betz
Illustrationen: Ann-Kathrin Betz
Verkaufspreis: 1 €
Druck:
ReprokopieDachau GmbH
Auflage: 100
V.i.S.d.P.:
P. Mareis
Seminarleitung: R. Laenen
© 2018 Betz/Neumer
Das Werk, einschließlich seiner Teile, ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung ist ohne Zustimmung des
Verlages und der Autoren unzulässig. Dies gilt insbesondere für elektronische oder sonstige Vervielfältigung,

mathe
für
formelallergiker
Inhalt

mathe
für
formelallergiker
Liebe Leserinnen und Leser,
jeder von Euch kennt wahrscheinlich so jemanden (oder ist dieser Jemand sogar selbst):
Eine Person, die mit Mathe einfach überhaupt nichts anfangen kann und sich bei dem Begriff
sofort „ausklinkt“ und gedanklich abschaltet.
Zu Beginn der 11. Klasse startete unser P-Seminar „Mathe für Formelallergiker“, in dem
wir uns mit Aufgaben beschäftigten, deren Ziel es war, Mathe für Schüler ansprechender
zu machen. Dabei wurde uns relativ schnell klar, dass das nicht einfach werden würde.
Trotzdem kamen wir schon nach kurzer Zeit zu dem Schluss, dass wir ein Magazin entwerfen
wollten. Auch die passenden Aufgaben hatten wir schnell gewählt. Die größte
Hürde hatten wir jedoch noch vor uns: die kreative und anschauliche Darstellung unserer
Aufgaben, sodass sie auch für Mathemuffel interessant wären.
Wichtig war uns vor allem, dass nicht nur ältere Schüler mit mehr Mathekentnissen das
Magazin lesen können. Also haben wir versucht, Aufgaben von unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad
zu finden, sodass für jeden etwas dabei ist.
Da Mathe zudem oft sehr trocken ist, haben wir uns bemüht, den vielleicht etwas komplizierteren
Text durch Abbildungen und Diagramme zu veranschaulichen.
Wenn ihr euch also mit den einzelnen Aufgaben auf den nächsten Seiten beschäftigt, dann
hoffen wir, dass diese Euch Mathe ein Stück näher bringen und eventuell sogar ein bisschen
dafür begeistern können.
Viel Spaß mit der ersten Ausgabe unseres Magazins „Mathe für Formelallergiker“
Philip Neumer
Ann-Kathrin Betz

Das Ziegenpr

oblem

S
pielshows sind uns wohl allen
bekannt. Einerseits gibt
es Shows, wie „Wer wird
Millionär?“ (RTL) oder das
„Quizduell“ (ARD). Hier müssen die
Kandidaten in der Hoffnung auf das
„große Geld“ ihr Wissen beweisen.
Andererseits gibt es auch Shows wie
zum Beispiel die Sat1-Sendung „Deal
or No Deal“, bei der die Höhe des
Gewinns für die Teilnehmer absolut
zufällig scheint. Aber wie viel Glück
steckt hinter diesen Shows wirklich,
und kann man die beste Entscheidung
„berechnen“?
Um diese Frage zu beantworten, haben
wir uns eins der wohl bekanntesten
Probleme dieser Art ausgesucht:
das Ziegenproblem. Dieses wurde
erstmals 1975 im „American Statistician“
vom Biostatistiker Steve Selvin in
einem Leserbrief vorgestellt. Bekannt
wurde es aber eigentlich erst durch
Marilyn vos Savant. Sie galt von 1986
bis 1989 als die Person mit dem
höchsten Intelligenzquotienten und
schrieb die Kolumne „Ask Marilyn“
in der Sonntagszeitung „Parade’s“, in
der sie Fragen, meist mathematischer
oder sprachlicher Art, beantwortete.
1990 erhielt sie von Craig Whitaker
folgende Frage in Form eines Leserbriefs:
„Nehmen Sie an, Sie wären in einer
Spielshow und hätten die Wahl zwischen
drei Türen. Hinter einer der
Türen ist ein Auto, hinter den anderen
sind Ziegen. Sie wählen eine Tür,
sagen wir Tür Nummer 1, und der
Showmaster, der weiß, was hinter den
Türen ist, öffnet eine andere Tür, sagen
wir Nummer 3, hinter der eine
Ziege steht. Er fragt Sie nun:
‚Möchten Sie die Tür Nummer 2?‘
Ist es von Vorteil, die Wahl der Tür
zu ändern?“
Das Ziegenproblem
Diesmal geht es um das weit verbreitete Ziegenproblem, bekannt aus einer Gameshow der 60er-Jahre. Was genau
steckt hinter der Aufgabe und kann man die Gewinnchancen durch Mathematik beeinflussen?
Diese Frage basiert auf der 60er-Jahre
Gameshow „Let’s Make a Deal“, moderiert
von Monty Hall und sieht so
aus: Der Kandidat hat die Wahl zwischen
drei Türen, wobei eine Tür den
„Big Deal“, meist ein Auto oder eine
Reise, und eine weitere Tür einen
„mittleren“ Preis enthält, der jedoch
immer mehr wert ist als das, was sich
der Kandidat bereits im Laufe der
Sendung erspielt hatte. Die letzte Tür
enthält einen Trostpreis. Jetzt aber
zurück zu der Frage von Craig Whitaker:
Ist es von Vorteil, die Wahl der
Tür zu ändern? Eine Frage, auf die
die erste Antwort der meisten wahrscheinlich
wäre: Es ist egal! Aber ist es
wirklich egal?
Original-Leserbrief aus vos Savant‘s
Kolumne in der Zeitschrift
„Parade‘s“
Führen wir das ganze doch mal an
einem Fallbeispiel durch: Wie in
dem Leserbrief haben wir drei Türen.
Der Gewinn befindet sich, sagen wir,
hinter Tür zwei, was unser Kandidat
natürlich nicht weiß. Im ersten
Schritt wählt er nun Tür Nummer
drei. Der Showmaster öffnet daraufhin
Tür Nummer eins. Jetzt frägt er
den Kandidat, ob er bei seiner Wahl
bleiben oder zur verbliebenen Tür,
Nummer zwei, wechseln möchte. Unser
Kandidat entscheidet sich, bei Tür
drei zu bleiben, also öffnet der Moderator
Tür drei und damit verliert unser
Kandidat. Das war nur eine Möglichkeit,
wie das Spiel hätte ablaufen können.
Aber was wäre, wenn der Kandidat
Tür 1 gewählt hätte? Wenn der
Showmaster eine andere Tür geöffnet
hätte? Wenn der Gewinn hinter Tür
drei gewesen wäre? Um eine eindeutige
Antwort zu erhalten, was man als
Kandidat tun sollte, müssten wir das
Experiment also noch zig Mal durchführen,
um eine eindeutige Antwort
auf unsere Anfangsfrage zu erhalten.
Da dies aber zu aufwendig wäre, werden
wir versuchen, das Problem allgemein
zu lösen.
Dafür brauchen wir Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Also betrachten wir
zunächst die Wahrscheinlichkeiten der
einzelnen Möglichkeiten, wenn der
Kandidat nicht wechselt, also bei seiner
ursprünglichen Wahl bleibt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass er bei
seiner ersten Wahl die Tür mit dem
Auto „erwischt“, beträgt 33%, da genau
eine der drei Türen ein Auto enthält
(eine von drei Türen, also ein
Drittel bzw. 33%). Die Wahrscheinlichkeit,
dass er, wenn er jetzt nicht
wechselt, das Auto erhält, beträgt
folglich 100%. Das heißt: Wechselt
der Kandidat nicht, so beträgt die
Wahrscheinlichkeit, dass er das Auto
gewinnt 33% (Wahl des Autos im
ersten Schritt) mal 100% (Kandidat
erhält dann, wenn er nicht wechselt,
zu 100% das Auto), also 33% bzw.
ein Drittel.
Schauen wir jetzt mal, wie das Ganze
aussieht, wenn unser Kandidat seine
Wahl ändert. Wenn der Kandidat
durch Wechseln das Auto gewinnen
soll, dann muss er bei seiner ersten
Wahl eine Zeige „erwischt“ haben.
Dieses „Ereignis“ (so nennt man das
in der Wahrscheinlichkeitstheorie)
tritt mit einer Wahrscheinlichkeit

-
von 67% ein, da ja hinter zwei der
drei Türen eine Ziege steht (zwei von
drei Türen, also zwei Drittel bzw.
67%). Nachdem unser Kandidat also
eine Tür gewählt hat, öffnet der
Showmaster eine weitere Tür, hinter
der natürlich eine Ziege steht. Wenn
der Kandidat also bei seiner ersten
Wahl eine Ziege erwischt hat und hinter
der vom Moderator geöffneten
Tür auch eine Ziege steht, dann muss
hinter der letzten Tür das Auto sein!
Wechselt der Kandidat jetzt auf diese
Tür, so gewinnt er das Auto. Die
Wahrscheinlichkeit für den Auto-
Gewinn beträgt demnach 67% (Wahl
einer Ziege im ersten Schritt) mal
100% (Kandidat erhält dann bei
Wechseln zu 100% das Auto), also
67% bzw. zwei Drittel. Nochmal
zusammengefasst: Wechselt der Kandidat
nicht, so beträgt die Wahrscheinlichkeit,
dass er das Auto gewinnt
33%. Wechselt er jedoch, dann
beträgt die Wahrscheinlichkeit 67%!
Natürlich ist wechseln keine Garantie,
dass man das Auto gewinnt, aber es
verdoppelt die Chancen!

Das Mondexper

iment
Fotos/Illustration: Google Earth, Ann-Kathrin Betz

№2
Das Mondexperiment
Dieser Artikel behandelt ein nicht ganz alltägliches Problem, welches zugleich doch sehr interessant ist. Kann man
mit nur einem DIN A4-Blatt die weite Distanz von der Erde bis zum Mond überbrücken?
N
eil Armstrong war der erste Mensch auf dem
Mond, eine starke Leistung angesichts der
Tatsache, dass der Mond 384.400 km von der
Erde entfernt ist. Aber wie könnte man diese
Distanz verdeutlichen? Zur Veranschaulichung runden wir
die Distanz auf 400.000 km. Ein Blatt ist 0,1 mm dick,
um zum Mond zu kommen, müsste man 4.000.000.000.000
Blätter stapeln.
Was wäre aber, wenn man nur ein A4-Blatt zur Verfügung
hätte? Kann ich nur durch das Falten dieses einzelnen Blattes
von der Erde aus den Mond erreichen?
Wenn man das Problem praktisch angeht, merkt man
schnell, dass das sechste Mal Falten schon schwerfällt. Unter
Mühen ist auch ein siebtes Mal noch möglich, dann ist
jedoch Schluss. Der Grund hierfür ist die Dichte des Blattes,
die dies nicht zulässt. Da wir trotzdem eine Antwort
auf unsere Frage haben möchten, vernachlässigen wir für
unser Problem die Physik.
Wie oben genannt, hat ein Blatt eine Dicke von 0,1 mm.
Faltet man dieses einmal, ist es doppelt so dick, also 0,2
mm. Mit jedem weiteren Falten verdoppelt sich die Dicke
wieder. Wir rechnen also 0,1 mm · 2 · 2 usw. Das sich
wiederholende „· 2“ kann zu 2 x zusammengefasst werden.
Damit ergibt sich eine Formel für die Berechnung der Dicke
nach beliebigen Faltungen:
Die Werte des exponentiellen Wachstums steigen überraschend
rasant an, welches dieses so faszinierend macht.
12
¯¯
f(x) = 0,1mm · 2 x
Für x setzen wir die Anzahl der Faltungen ein und bekommen
somit die Dicke nach x-mal Falten. In der Mathematik
wird dies als exponentielles Wachstum bezeichnet.
Aber was muss nun für x eingesetzt werden, um als Ergebnis
400.000 km zu bekommen? Durch Probieren kann man
sich dem Ergebnis annähern. Für x = 10 bekommt man
eine Dicke von 10,24 cm. Bei 20-mal Falten sind es schon
105 Meter und bei 40-mal Falten 110.000 km. Damit kommen
wir unserem Ziel schon näher. Nach dem 45sten Mal
Falten ist das Blatt 3,5 Millionen Kilometer dick und damit
ist man schon über den Mond hinausgeschossen. Durch
genaueres Probieren kommen wir darauf, dass das Blatt mit
42-mal Falten 439.804 km dick ist und damit ist der
Mond leicht zu erreichen.
f(x) = 0,1 · 2 x
>
von Ann-Kathrin Betz

Papier (30x30 cm) ungefaltet
Einfache Dicke des Papiers
1-mal Falten
Doppelte Dicke des Papiers
2-mal Falten
4-fache Dicke des Papiers
3-mal Falten
8-fache Dicke des Papiers
4-mal Falten
16-fache Dicke des Papiers
13
¯¯
5-mal Falten
32-fache Dicke des Papiers
6-mal Falten
64-fache Dicke des Papiers
Fotos: Ann-Kathrin Betz

Kauender Konflikt
von Oliver Kreis