Magazin gesamt

PhilipNeumer

mathe

für

formelallergiker

Das Ziegenproblem

Das Mondexperiment

Comic: Kauender Konflikt


Impressum

Mathe für Formelallergiker | 1. Ausgabe | November 2018

Josef-Effner-Gymnasium Dachau

Erich-Ollenhauer-Straße 12

D-85221 Dachau

formelallergiker@gmail.com

Chefredaktion: Philip Neumer, Ann-Kathrin Betz

Art-Direktor:

Philip Neumer

Bilder:

Google Earth, Medium, Ann-Kathrin Betz

Illustrationen: Ann-Kathrin Betz

Verkaufspreis: 1 €

Druck:

ReprokopieDachau GmbH

Auflage: 100

V.i.S.d.P.:

P. Mareis

Seminarleitung: R. Laenen

© 2018 Betz/Neumer

Das Werk, einschließlich seiner Teile, ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung ist ohne Zustimmung des

Verlages und der Autoren unzulässig. Dies gilt insbesondere für elektronische oder sonstige Vervielfältigung,


mathe

für

formelallergiker

Inhalt


mathe

für

formelallergiker

Liebe Leserinnen und Leser,

jeder von Euch kennt wahrscheinlich so jemanden (oder ist dieser Jemand sogar selbst):

Eine Person, die mit Mathe einfach überhaupt nichts anfangen kann und sich bei dem Begriff

sofort „ausklinkt“ und gedanklich abschaltet.

Zu Beginn der 11. Klasse startete unser P-Seminar „Mathe für Formelallergiker“, in dem

wir uns mit Aufgaben beschäftigten, deren Ziel es war, Mathe für Schüler ansprechender

zu machen. Dabei wurde uns relativ schnell klar, dass das nicht einfach werden würde.

Trotzdem kamen wir schon nach kurzer Zeit zu dem Schluss, dass wir ein Magazin entwerfen

wollten. Auch die passenden Aufgaben hatten wir schnell gewählt. Die größte

Hürde hatten wir jedoch noch vor uns: die kreative und anschauliche Darstellung unserer

Aufgaben, sodass sie auch für Mathemuffel interessant wären.

Wichtig war uns vor allem, dass nicht nur ältere Schüler mit mehr Mathekentnissen das

Magazin lesen können. Also haben wir versucht, Aufgaben von unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad

zu finden, sodass für jeden etwas dabei ist.

Da Mathe zudem oft sehr trocken ist, haben wir uns bemüht, den vielleicht etwas komplizierteren

Text durch Abbildungen und Diagramme zu veranschaulichen.

Wenn ihr euch also mit den einzelnen Aufgaben auf den nächsten Seiten beschäftigt, dann

hoffen wir, dass diese Euch Mathe ein Stück näher bringen und eventuell sogar ein bisschen

dafür begeistern können.

Viel Spaß mit der ersten Ausgabe unseres Magazins „Mathe für Formelallergiker“

Philip Neumer

Ann-Kathrin Betz


Das Ziegenpr


oblem


S

pielshows sind uns wohl allen

bekannt. Einerseits gibt

es Shows, wie „Wer wird

Millionär?“ (RTL) oder das

„Quizduell“ (ARD). Hier müssen die

Kandidaten in der Hoffnung auf das

„große Geld“ ihr Wissen beweisen.

Andererseits gibt es auch Shows wie

zum Beispiel die Sat1-Sendung „Deal

or No Deal“, bei der die Höhe des

Gewinns für die Teilnehmer absolut

zufällig scheint. Aber wie viel Glück

steckt hinter diesen Shows wirklich,

und kann man die beste Entscheidung

„berechnen“?

Um diese Frage zu beantworten, haben

wir uns eins der wohl bekanntesten

Probleme dieser Art ausgesucht:

das Ziegenproblem. Dieses wurde

erstmals 1975 im „American Statistician“

vom Biostatistiker Steve Selvin in

einem Leserbrief vorgestellt. Bekannt

wurde es aber eigentlich erst durch

Marilyn vos Savant. Sie galt von 1986

bis 1989 als die Person mit dem

höchsten Intelligenzquotienten und

schrieb die Kolumne „Ask Marilyn“

in der Sonntagszeitung „Parade’s“, in

der sie Fragen, meist mathematischer

oder sprachlicher Art, beantwortete.

1990 erhielt sie von Craig Whitaker

folgende Frage in Form eines Leserbriefs:

„Nehmen Sie an, Sie wären in einer

Spielshow und hätten die Wahl zwischen

drei Türen. Hinter einer der

Türen ist ein Auto, hinter den anderen

sind Ziegen. Sie wählen eine Tür,

sagen wir Tür Nummer 1, und der

Showmaster, der weiß, was hinter den

Türen ist, öffnet eine andere Tür, sagen

wir Nummer 3, hinter der eine

Ziege steht. Er fragt Sie nun:

‚Möchten Sie die Tür Nummer 2?‘

Ist es von Vorteil, die Wahl der Tür

zu ändern?“

Das Ziegenproblem

Diesmal geht es um das weit verbreitete Ziegenproblem, bekannt aus einer Gameshow der 60er-Jahre. Was genau

steckt hinter der Aufgabe und kann man die Gewinnchancen durch Mathematik beeinflussen?

Diese Frage basiert auf der 60er-Jahre

Gameshow „Let’s Make a Deal“, moderiert

von Monty Hall und sieht so

aus: Der Kandidat hat die Wahl zwischen

drei Türen, wobei eine Tür den

„Big Deal“, meist ein Auto oder eine

Reise, und eine weitere Tür einen

„mittleren“ Preis enthält, der jedoch

immer mehr wert ist als das, was sich

der Kandidat bereits im Laufe der

Sendung erspielt hatte. Die letzte Tür

enthält einen Trostpreis. Jetzt aber

zurück zu der Frage von Craig Whitaker:

Ist es von Vorteil, die Wahl der

Tür zu ändern? Eine Frage, auf die

die erste Antwort der meisten wahrscheinlich

wäre: Es ist egal! Aber ist es

wirklich egal?

Original-Leserbrief aus vos Savant‘s

Kolumne in der Zeitschrift

„Parade‘s“

Führen wir das ganze doch mal an

einem Fallbeispiel durch: Wie in

dem Leserbrief haben wir drei Türen.

Der Gewinn befindet sich, sagen wir,

hinter Tür zwei, was unser Kandidat

natürlich nicht weiß. Im ersten

Schritt wählt er nun Tür Nummer

drei. Der Showmaster öffnet daraufhin

Tür Nummer eins. Jetzt frägt er

den Kandidat, ob er bei seiner Wahl

bleiben oder zur verbliebenen Tür,

Nummer zwei, wechseln möchte. Unser

Kandidat entscheidet sich, bei Tür

drei zu bleiben, also öffnet der Moderator

Tür drei und damit verliert unser

Kandidat. Das war nur eine Möglichkeit,

wie das Spiel hätte ablaufen können.

Aber was wäre, wenn der Kandidat

Tür 1 gewählt hätte? Wenn der

Showmaster eine andere Tür geöffnet

hätte? Wenn der Gewinn hinter Tür

drei gewesen wäre? Um eine eindeutige

Antwort zu erhalten, was man als

Kandidat tun sollte, müssten wir das

Experiment also noch zig Mal durchführen,

um eine eindeutige Antwort

auf unsere Anfangsfrage zu erhalten.

Da dies aber zu aufwendig wäre, werden

wir versuchen, das Problem allgemein

zu lösen.

Dafür brauchen wir Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Also betrachten wir

zunächst die Wahrscheinlichkeiten der

einzelnen Möglichkeiten, wenn der

Kandidat nicht wechselt, also bei seiner

ursprünglichen Wahl bleibt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass er bei

seiner ersten Wahl die Tür mit dem

Auto „erwischt“, beträgt 33%, da genau

eine der drei Türen ein Auto enthält

(eine von drei Türen, also ein

Drittel bzw. 33%). Die Wahrscheinlichkeit,

dass er, wenn er jetzt nicht

wechselt, das Auto erhält, beträgt

folglich 100%. Das heißt: Wechselt

der Kandidat nicht, so beträgt die

Wahrscheinlichkeit, dass er das Auto

gewinnt 33% (Wahl des Autos im

ersten Schritt) mal 100% (Kandidat

erhält dann, wenn er nicht wechselt,

zu 100% das Auto), also 33% bzw.

ein Drittel.

Schauen wir jetzt mal, wie das Ganze

aussieht, wenn unser Kandidat seine

Wahl ändert. Wenn der Kandidat

durch Wechseln das Auto gewinnen

soll, dann muss er bei seiner ersten

Wahl eine Zeige „erwischt“ haben.

Dieses „Ereignis“ (so nennt man das

in der Wahrscheinlichkeitstheorie)

tritt mit einer Wahrscheinlichkeit


-



von 67% ein, da ja hinter zwei der

drei Türen eine Ziege steht (zwei von

drei Türen, also zwei Drittel bzw.

67%). Nachdem unser Kandidat also

eine Tür gewählt hat, öffnet der

Showmaster eine weitere Tür, hinter

der natürlich eine Ziege steht. Wenn

der Kandidat also bei seiner ersten

Wahl eine Ziege erwischt hat und hinter

der vom Moderator geöffneten

Tür auch eine Ziege steht, dann muss

hinter der letzten Tür das Auto sein!

Wechselt der Kandidat jetzt auf diese

Tür, so gewinnt er das Auto. Die

Wahrscheinlichkeit für den Auto-

Gewinn beträgt demnach 67% (Wahl

einer Ziege im ersten Schritt) mal

100% (Kandidat erhält dann bei

Wechseln zu 100% das Auto), also

67% bzw. zwei Drittel. Nochmal

zusammengefasst: Wechselt der Kandidat

nicht, so beträgt die Wahrscheinlichkeit,

dass er das Auto gewinnt

33%. Wechselt er jedoch, dann

beträgt die Wahrscheinlichkeit 67%!

Natürlich ist wechseln keine Garantie,

dass man das Auto gewinnt, aber es

verdoppelt die Chancen!


Das Mondexper


iment

Fotos/Illustration: Google Earth, Ann-Kathrin Betz


№2

Das Mondexperiment

Dieser Artikel behandelt ein nicht ganz alltägliches Problem, welches zugleich doch sehr interessant ist. Kann man

mit nur einem DIN A4-Blatt die weite Distanz von der Erde bis zum Mond überbrücken?

N

eil Armstrong war der erste Mensch auf dem

Mond, eine starke Leistung angesichts der

Tatsache, dass der Mond 384.400 km von der

Erde entfernt ist. Aber wie könnte man diese

Distanz verdeutlichen? Zur Veranschaulichung runden wir

die Distanz auf 400.000 km. Ein Blatt ist 0,1 mm dick,

um zum Mond zu kommen, müsste man 4.000.000.000.000

Blätter stapeln.

Was wäre aber, wenn man nur ein A4-Blatt zur Verfügung

hätte? Kann ich nur durch das Falten dieses einzelnen Blattes

von der Erde aus den Mond erreichen?

Wenn man das Problem praktisch angeht, merkt man

schnell, dass das sechste Mal Falten schon schwerfällt. Unter

Mühen ist auch ein siebtes Mal noch möglich, dann ist

jedoch Schluss. Der Grund hierfür ist die Dichte des Blattes,

die dies nicht zulässt. Da wir trotzdem eine Antwort

auf unsere Frage haben möchten, vernachlässigen wir für

unser Problem die Physik.

Wie oben genannt, hat ein Blatt eine Dicke von 0,1 mm.

Faltet man dieses einmal, ist es doppelt so dick, also 0,2

mm. Mit jedem weiteren Falten verdoppelt sich die Dicke

wieder. Wir rechnen also 0,1 mm · 2 · 2 usw. Das sich

wiederholende „· 2“ kann zu 2 x zusammengefasst werden.

Damit ergibt sich eine Formel für die Berechnung der Dicke

nach beliebigen Faltungen:

Die Werte des exponentiellen Wachstums steigen überraschend

rasant an, welches dieses so faszinierend macht.

12

¯¯

f(x) = 0,1mm · 2 x

Für x setzen wir die Anzahl der Faltungen ein und bekommen

somit die Dicke nach x-mal Falten. In der Mathematik

wird dies als exponentielles Wachstum bezeichnet.

Aber was muss nun für x eingesetzt werden, um als Ergebnis

400.000 km zu bekommen? Durch Probieren kann man

sich dem Ergebnis annähern. Für x = 10 bekommt man

eine Dicke von 10,24 cm. Bei 20-mal Falten sind es schon

105 Meter und bei 40-mal Falten 110.000 km. Damit kommen

wir unserem Ziel schon näher. Nach dem 45sten Mal

Falten ist das Blatt 3,5 Millionen Kilometer dick und damit

ist man schon über den Mond hinausgeschossen. Durch

genaueres Probieren kommen wir darauf, dass das Blatt mit

42-mal Falten 439.804 km dick ist und damit ist der

Mond leicht zu erreichen.

f(x) = 0,1 · 2 x

>

von Ann-Kathrin Betz


Papier (30x30 cm) ungefaltet


Einfache Dicke des Papiers

1-mal Falten


Doppelte Dicke des Papiers

2-mal Falten


4-fache Dicke des Papiers

3-mal Falten


8-fache Dicke des Papiers

4-mal Falten


16-fache Dicke des Papiers

13

¯¯

5-mal Falten


32-fache Dicke des Papiers

6-mal Falten


64-fache Dicke des Papiers

Fotos: Ann-Kathrin Betz


Kauender Konflikt

von Oliver Kreis

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