Lineares und exponentielles Wachstum - Didaktik der Mathematik ...

Dr. Jürgen Roth 

5.1 

Elemente der Algebra 


Fachbereich 6: Abteilung 

Didaktik der Mathematik

1 Programm 

& Grundlagen 

2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 

Fkt./Gleichungen 

4 

Quadrat. 


5 

Exponentialfkt. 


5.2 


1 Programm & Argumentationsgrundlagen 

2 Funktionen 

3 Lineare Funktionen, Gleichungen 

und Gleichungssysteme 

4 Quadratische Funktionen 

und Gleichungen 

5 Exponentialfunktionen 

Inhaltsverzeichnis

1 Programm 

Program 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.3 


5 Exponentialfunktionen 


Fachbereich 6: Abteilung 

Didaktik der Mathematik

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.4 

Papier falten

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.5 

Problem: 

Ein DIN A0 Blatt wird 

20 Mal gefaltet. 

Wie dick ist das 

gefaltete Papier? 

Experiment 

Messen 

50 Blatt Papier 

sind 5,25 mm hoch. 

Dicke eines Blatts: 

d 0 = 0,105 mm 

1-mal falten: 

d(1) = d0⋅ 2 

= d 0⋅ 2 1 

Papier falten 

2-mal falten: 

d(2) = d(1) ⋅ 2 

= d0⋅ 2 ⋅ 2 

3-mal falten: 

d(3) = d(2) ⋅ 2 

= d0⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 

n-mal falten: 

= d 0⋅ 2 3 

d(n) = d 0⋅ 2 n 

= d 0⋅ 2 2 

Dicke des gefalteten Papiers: 

d(20) = d 0⋅ 2 20 

= 0,105 mm ⋅ 2 20 

= 110 100,48 mm 

≈ 110 m 

Vgl. Zellteilung!

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.6 

Netter Vorfahre 

Ein Mann legt 1 € festverzinslich 

zu einem jährlichen Zinssatz von 

5 % für 300 Jahre an. 

Wie viel Geld erhält ein Erbe 

nach 300 Jahren? 

1 € ⋅ 1,05 300 ≈ 2 273 996,13 € 

+50 +50 +50 +50 +50 +50 

Erbschaft 

Jahr 0 50 100 150 200 250 300 

Einlage 1,00 € 11,47 € 131,50 € 1.507,98 € 17.292,58 € 198.300,94 € 2.273.996,13 € 

⋅1,05 50 ⋅1,05 50 ⋅1,05 50 ⋅1,05 50 ⋅1,05 50 ⋅1,05 50

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.7 

Problem: 

In einer Schale befinden 

sich 80.000 Zellen. 

Es wirkt ein Zellgift, 

durch das (idealisiert) 

pro Zeiteinheit 15 % 

der Zellen sterben. 

Gesucht: 

Anzahl der Zellen in 

Abhängigkeit von der Zeit 

Zeitpunkt t 0 = 0: 

N 0 = N(t 0) = N(0) = 80.000 


N(t 1) = N 0 ⋅ 0,85 


Zellsterben 

N(t 2) = N(t 1) ⋅ 0,85 

= (N 0 ⋅ 0,85) ⋅ 0,85 

= N 0 ⋅ 0,85 2 


N(t 3) = N(t 2) ⋅ 0,85 

= (N 0 ⋅ 0,85 2 ) ⋅ 0,85 

= N 0 ⋅ 0,85 3 

Zeitpunkt t n = n: 

N(t n) = N 0 ⋅ 0,85 n 

Allgemein 

N(t) = N 0 ⋅ 0,85 t

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.8 

Zellsterben

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.9 

Definition: 

Satz: 

Exponentialfunktionen 

Funktionen der Bauart f : R → R + , x � a x mit a ∈ R + \{1} 

heißen Exponentialfunktionen. 

Häufig werden Exponentialfunktionen zur Basis auch als 

exp a : R → R + , x � exp a(x) = a x geschrieben. 

Exponentialfunktionen genügen folgender 

Funktionalgleichung: ∀ x1, x2∈R f(x 1 + x 2) = f(x 1)⋅ f(x 2) 

Beweisidee: 

Potenzgesetz 

} 

x1 

+ 

x2 

x1 

x2 

f ( x1 

+ x2 

) = a = a ⋅a 

= f ( x1 

) ⋅f 

( x2 

)

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.10 


Charakteristische Eigenschaft von Exponentialfunktionen: 

Zu gleichen (additiven) Zuwächsen im Argument 

gehört immer der gleiche Wachstumsfaktor. 

Wird also bei einer Exponentialfunktion das Argument 

um den gleichen Wert (+c) vergrößert, dann nimmt der 

Funktionswert um den gleichen Faktor (⋅ d) zu. 

∀ 

x∈ 

R 

f ( x + c ) = a 

x+ 

c 

= 

x c 

{ a ⋅ { a = f ( x ) ⋅d 

= f ( x ) 

: = d 

Charakteristische Eigenschaft von linearen Funktionen (vgl. Kap. 3): 

Zu gleichen (additiven) Zuwächsen im Argument gehört 

immer der gleiche Wachstumssummand. 

Wird also bei einer linearen Funktion das Argument um den 

gleichen Wert (+c) vergrößert, dann nimmt der Funktionswert 

um den gleichen Summand (+d) zu.

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.11 

⋅ d 

⋅ d 

+ c 


+ c

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.12 

+ d 

+ d 

+ c + c 

Lineare Funktionen

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.13 

Änderungsverhalten 

Betrachten Sie jeweils die 

Exponentialfunktion 

f : R � R + , x � a x 

mit a ∈ R + \{1} 

und die 

proportionale Funktion 

g : R � R, x � ax 

mit a ∈ R 

unter dem 

Kovariationsaspekt. 

Präsenzübung 

Wie ändert sich jeweils 

der Funktionswert, 

wenn man 

x um 1 vergrößert, 

x um 2 verkleinert, 

x verdoppelt, 

x halbiert, 

x mit 3 multipliziert, 

x durch 3 dividiert, 

x quadriert?

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.14 

Graphen von Exponentialfunktionen

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.15 

Graphen von Exponentialfunktionen

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.16 

Graphen von Exponentialfunktionen 

Die Graphen der Funktionen x � a x und x � (1/a) x 

sind zueinander achsensymmerisch bzgl. der y-Achse.

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.17 

Präsenzübung 

Es gilt: 

a ∈ R + und b, c, d ∈ R 

f : R � R + , x � ax g: R � R + , x � b⋅ax h : R � R + , x � a (x + c) 

k : R � R + , x � ad⋅x Wie wirkt sich eine Veränderung der Parameter a, b, c 

und d auf die Graphen der jeweiligen Funktionen aus? 

Vergleichen Sie die Graphen der vier Funktionen für 

verschiedene Werte von b, c und d. Gibt es Werte, so 

dass jeweils zwei Funktionsgraphen übereinstimmen?

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.18 

Eigenschaften von x a x 

Eigenschaft a a a a a a a > 1 0 < a a a a a a a < 1 

Monotonie 

streng monoton steigend streng monoton fallend 

Definitionsmenge Definitionsmenge D 

D 

R R 

Wertemenge W R + R + 




Wertemenge W 

Asymptote 

Asymptote 

negative x-Achse positive x-Achse 

Punkt Punkt des des Graphen 

Graphen 

(0|1) (0|1) 

Exponentielle(s) 

Exponentielle(s) 

Wachstum Abnahme

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.19 

prozentuale 

Zunahme/Abnahme 

pro Einheit 

Wachstumsfaktor 

Anfangsbestand 

Präsenzaufgabe 

Prozentuale Zunahme/Abnahme ↔ Wachstumsfaktor 

Ergänzen Sie die Tabelle. 

Funktionsterm 

–8 % 0,92 6 6 ⋅ 0,92x –8 % 0,92 6 6 ⋅ 0,92x 40 % 1,4 40 40 ⋅ 1,4x 1,4 40 

120 % 2,2 6,3 6,3 ⋅ 2,2x 120 % 6,3 ⋅ x 

–42 % 0,58 32 32 ⋅ 0,58x 32 ⋅ 0,58x

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.20 

Parameter und Funktionsgraphen 

Die beiden abgebildeten Graphen sind Graphen 

von Funktionen folgenden Typs: 

Bestimmen Sie jeweils die Parameter a, b, c und d. 


f : R 

→ R, 

x a a ⋅ 

1 b⋅x 

+ c ( ) + d 

2

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.21 

Baggersee 

Lineares und exponentielles Wachstum 

Ein See mit einer Oberfläche von zunächst 500 m² wird in einer 

Flussniederung ausgebaggert. Die Oberfläche vergrößert sich 

dadurch in jeder Woche um 200 m². 

Der See wird von einer Seerosenart besiedelt, die zu Beginn 

der Baggerarbeiten 10 m² der Oberfläche des Sees bedecken. 

Die Seerosen vermehren sich derart, dass sich die von ihnen 

bedeckte Fläche in jeder Woche verdoppelt. 

Nach wie vielen Wochen ist der ganze See mit Seerosen 

bedeckt?

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.22 

+1 

+1 

+1 

+1 

+1 

+1 

+1 

+1 

Anzahl der 

Wochen 


Seefläche 

in m² 

0 500 

1 700 

2 900 

3 1100 

4 1300 

5 1500 

6 1700 

7 1900 

8 2100 

x 500 + 200⋅x 

+200 

+200 

+200 

+200 

+200 

+200 

+200 

+200 

+1 

+1 

+1 

+1 

+1 

+1 

+1 

+1 

Anzahl der 

Wochen 

Seerosenfläche 

in m² 

0 10 

1 20 

2 40 

3 80 

4 160 

5 320 

6 640 

7 1280 

8 2560 

x 10⋅2 x 

⋅2 

⋅2 

⋅2 

⋅2 

⋅2 

⋅2 

⋅2 

⋅2

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.23 

Lineares und exponentielles Wachstum

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.24 


Lineares Wachstum 

f(x) = mx + t 

f(x + c) = m ⋅ (x + c) + t 

= mx + t + mc 

= f(x) + mc 

= f(x) + d 

∀x∈D f 

f ( x + c ) −f 

( x ) = const. 

Bei gleichem Zuwachs 

im Argument ist der 

absolute Zuwachs 

konstant. 

Zu gleichen Zuwächsen 

im Argument gehört 

immer der gleiche 

Wachstumssummand. 

Exponentielles Wachstum 

g(x) = b ⋅ a x 

g(x + c) = b ⋅ ax + c 

= b ⋅ ax ⋅ ac = g(x) ⋅ ac = g(x) ⋅ d 

∀x∈D f 

f ( x + c ) 

= const. 

f ( x ) 

Bei gleichem Zuwachs 

im Argument ist der 

relative Zuwachs 

konstant. 

Zu gleichen Zuwächsen 

im Argument gehört 

immer der gleiche 

Wachstumsfaktor.

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.25 

Potenzfunktionen 

also Funktionen 

der Bauart 

exp a : R → R + , 

x � exp a(x) = a x 

sind bijektiv und 

damit umkehrbar. 

Umkehrfunktion 

Bei der Umkehrfunktion 

einer Potenzfunktion wird 

für eine Potenz p = a r 

danach gefragt, mit 

welcher Zahl r man a 

potenzieren muss, um 

p zu erhalten. 

Logarithmusfunktion 

Die Umkehrfunktion zur 

Exponentialfunktion 

exp a : R → R + , 

x � exp a(x) = a x 

ist die Logarithmusfunktion 

log a : R + → R, x � log a(x) 

zur Basis a. 

Da für Funktionen und ihre 

Umkehrfunktionen gilt 

f � f –1 (x) = x und f –1 � f(x) = x 

folgt: 

a 

log 

a ( x ) 

x 

= x und log ( a ) = x 

a

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.26 

Eigenschaften der Logarithmusfunktion 

Exponentialfunktion exp a 

D = R und W = R + 

exp a(0) = a 0 = 1 

Der Punkt (0|1) ist Element 

des Graphen jeder 

Exponentialfunktion exp a. 

Die x-Achse ist waagerechte 

Asymptote an den 

Graphen von exp a. 

Logarithmusfunktion log a 

D = R + und W = R 

log a(1) = log a(a 0 ) = 0 

Der Punkt (1|0) ist Element 

des Graphen jeder 

Logarithmusfunktion log a. 

Die y-Achse ist senkrechte 

Asymptote an den 

Graphen von log a.

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.27 


log2( x ) 

log 3( x ) 

log 4( x ) 

log1 4 

log1 3 

( x ) 

( x ) 

log 1 2( 

x 

)

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.28 

Satz: Für a, r, s ∈ R + gilt: 

Beweis: 

log a(r ⋅ s) = log a(r ) + log a(s ) 

log a(r : s) = log a(r ) – log a(s ) 

log a(r s ) = s ⋅ log a(r ) 

Rechenregeln für Logarithmen 

loga 

( x ) 

x 

Unter Verwendung von a = x und log ( a ) = x ergibt sich: 

log 

log 

loga ( r ) loga 

( s ) 

( r ⋅s 

) = loga( 

a ⋅a 

) 

loga 

( r ) + loga 

( s ) 

= loga( 

a ) = loga( 

r ) + loga( 

s ) 

loga ( r ) loga 

( s ) 

( r : s ) = loga( 

a : a ) 

loga 

( r ) −loga 

( s ) 

= log ( 

) = log ( r ) −log 

( s ) 

a 

a 

s 

log a( 

r ) = 

log 

= log 

a 

( 

a 

( ) ) 

log s 

a ( r ) 

a a 

s⋅loga 

( r ) 

a( 

a ) = s ⋅loga( 

r ) 

a 

a 

a 

#

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.29 

Satz: 


Die Logarithmusfunktion loga : R + → R, x � loga(x) zur Basis a 

mit a ∈ R + \{1} ist 

streng monoton steigend für a > 1, 

streng monoton fallend für o < a < 1. 

Beweis: 

x 1, x 2 ∈ R + ∧ x 1 < x 2 

log 1 

a( x2 ) − loga( 

x ) ( ) x2 

= loga { x1 

da 

, 1 

x 

x 

> 

∈R 

∧ < 

1 2 

1 

, 

x x 

2 

+ 

⎧> 

0 

⎨ 

⎩< 

0 

für 

für 

a > 1 

0 < a < 1 

#

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.30 

Rechenschieber 

Rechenschieber: Der Vorläufer des Taschenrechners! 

Die Regeln log a(r ⋅ s) = log a(r ) + log a(s ) und 

log a(r : s) = log a(r ) – log a(s ) spielten beim 

Rechenschieber eine wichtige Rolle, weil man mit 

ihrer Hilfe die Multiplikation auf die Addition und 

die Division auf die Subtraktion zurückführen kann.

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.31 

Beispiele: 

2 ⋅ 3 = ? 

log 10(2 ⋅ 3) = log 10(2) + log 10(3) = log 10(6) 

1,7 ⋅ 2,5 = ? 

log 10(1,7 ⋅ 2,5) = log 10(1,7) + log 10(2,5) = log 10(4,25) 

Rechenschieber 

http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/history/ausstell/rechenschieber/interaktiv.html

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.32 

Satz („Taschenrechnergleichung“) 

Für a, b, r ∈ R + mit a � 0 gilt: 

Anmerkung 

Beweis 

Rechenregel für Logarithmen 

Mit diesem Satz kann der Logarithmus von r zur Basis a 

als Quotient zweier Logarithmen zu einer beliebigen Basis 

ausgedrückt werden. 

Taschenrechner beherrschen häufig nur lg(x) := log 10(x) den 

Logarithmus zur Basis 10 und ln(x) := log e(x) den Logarithmus 

zur Basis e, der auch natürlicher Logarithmus genannt wird. 

r = a 

log ( r ) 

a 

Aus folgt: 

log 

b 

( ) ) ( loga 

r 

a 

log 

( r ) = log = log ( ) ⋅log 

( a) 

b 

a 

a 

r b 

logb( 

r ) 

( r ) = 

log ( a) 

b 

⇒ log 

a 

logb( 

r ) 

( r ) = 

logb( 

a) 

#

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.33 

Zinseszins 


Ein Kapital K 0 wird zu einem Zinssatz p% pro Jahr angelegt. Die 

anfallenden Zinsen werden am Ende des Jahres ebenfalls dem 

Sparkonto gutgeschrieben. 

Wie viele Jahre muss man sparen, bis sich das Kapital ver-mfacht 

hat? 

Mögliche Lösung: 

⎛ p ⎞ 

K n) 

= K ⋅⎜ 

1 + ⎟ 

⎝ 100 ⎠ 

( 0 0 

m ) 

n 

∧ 

p n 

⋅K 0 = K 0 ⋅( 

1 + 100 :K 0 

p n 

m = ( 1 + 100 ) 

p 

ln( m ) = n ⋅ln( 

1 + 100 ) 

ln 

K( n) 

= m ⋅K 

⇒ 

n = 

( zulässig, 

da streng 

monoton steigend) 

ln( 

ln( 1 + 

m) 

p 

100 

)

1 Programm 


2 

Funktionen 

(Fkt.) 

3 

Lineare 


4 

Quadrat. 


5 



5.34 

Bevölkerungswachstum 

Im Jahre 1798 veröffentlichte der englische 

Philosoph Thomas R. Malthus sein 

"Essay of the Principles of Population". 

Er vermutete, dass die Nahrungsmittelerzeugung 

dem rasanten Bevölkerungswachstum 

im Zuge der industriellen 

Revolution nicht würde folgen können, und 

prognostizierte permanente Hungersnöte. 


http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/lernzirkel_funktionen/5a-f.html 

Zur Begründung seiner Thesen entwickelte er einfache Modelle 

für das Wachstum von Populationen: Er nahm an, die 

Bevölkerung wachse exponentiell, die zur Verfügung 

stehenden Nahrungsmittel jedoch nur linear. 

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