Formelsammlung - Lehrstuhl für Hochfrequenztechnik - TUM
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<strong>Hochfrequenztechnik</strong> (LB)<br />
<strong>Formelsammlung</strong><br />
x<br />
z<br />
ϕ<br />
Kugelkoordinaten:<br />
r<br />
�ez<br />
z<br />
�er<br />
�eϕ<br />
(a) Zylinderkoordinaten<br />
y<br />
x<br />
Univ.-Prof. Dr.-Ing. Jürgen Detlefsen<br />
Technische Universität München<br />
z<br />
ϑ<br />
ϕ<br />
r<br />
�er<br />
�eϑ<br />
�eϕ<br />
(b) Kugelkoordinaten<br />
Abb. 1: Wichtige krummlinige Koordinatensysteme<br />
�er = sinϑ(cos ϕ ·�ex + sinϕ ·�ey) + cosϑ ·�ez<br />
�eϑ = cos ϑ(cos ϕ ·�ex + sinϕ ·�ey) − sinϑ ·�ez<br />
�eϕ = − sinϕ ·�ex + cosϕ ·�ey<br />
In Tabelle 1 sind die vektoriellen Flächenelemente d�A = dA · �n angeführt, die zu<br />
Koordinatenflächen gehören, d. h. deren Normaleneinheitsvektoren �n in Richtung der<br />
Koordinateneinheitsvektoren �eν zeigen. In allen anderen Fällen ist d�A z. B. über die<br />
Parameterdarstellung der jeweiligen Fläche zu berechnen.<br />
Tabelle 1: Infinitesimale Kurven-, Flächen- und Volumenelemente<br />
Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten<br />
Kurvenelement d�s = dr�er + (r dϕ)�eϕ + dz�ez d�s = dr�er + (r dϑ)�eϑ + (r sin ϑ dϕ)�eϕ<br />
Flächenelement<br />
d�A=rdϕ dz�er<br />
d�A=dr dz�eϕ<br />
d�A=rdr dϕ�ez<br />
d�A=r 2 sinϑdϑ dϕ�er<br />
d�A=r sin ϑ dr dϕ�eϑ<br />
d�A=rdr dϑ�eϕ<br />
Volumenelement dV = r dr dϕ dz dV = r 2 sinϑdr dϑ dϕ<br />
4<br />
y
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