Formelsammlung Elektrotechnik Stand: 25. Juni 2001 Seite 3-1 ...

Formelsammlung Elektrotechnik
Thema Bereiche Seite
Wechselspannung Begriffsdefinition 3-2
Zeiger- und Liniendiagramm 3-2
Umrechnung Bogenmaß – Gradmaß 3-3
Kreisfrequenz 3-3
Effektivwert 3-3
Phasenverschiebungswinkel 3-3
Mathematische Darstellung 3-4
Widerstand an Wechselspannung Momentanwert bei best. Winkel 3-5
Linien- und Zeigerdiagramm 3-5
Phasenwinkel 3-5
Widerstand 3-5
Spule an Wechselspannung Momentanwert bei best. Winkel 3-6
Linien- und Zeigerdiagramm 3-6
Phasenverschiebungswinkel 3-6
Blindwiderstand 3-6
Kondensator an Wechselspannung Momentanwert bei best. Winkel 3-7
Linien- und Zeigerdiagramm 3-7
Phasenverschiebungswinkel 3-7
Blindwiderstand 3-7
Reihenschaltung R und L Spannungen 3-8
Zeigerdiagramme 3-8
Widerstände 3-8
Leistung 3-8
Reihenschaltung R und C Spannungen 3-9
Zeigerdiagramme 2-9
Widerstände 3-9
Leistung 3-9
Parallelschaltung R und L Ströme 3-10
Zeigerdiagramme 3-10
Leitwerte 3-10
Leistung 3-10
Parallelschaltung R und C Ströme 3-11
Zeigerdiagramme 3-11
Leitwerte 3-11
Leistung 3-11
Blindleistungs-Kompensation Zeigerdiagramm 3-12
Berechnung 3-12
Stand: 25. Juni 2001 Seite 3-1

Formelsammlung Elektrotechnik
Bestimmungsgrößen der Wechselstromtechnik:
Wechselspannung:
Eine Spannng die in regelmäßiger wiederkehrender Folge ihre Richtung und Polarität
ändert, nennt man Wechselspannung.
Periode:
Vorgang, der sich in gleicher Weise wiederholt.
Periodendauer T:
Zeit, die zum Ablauf einer Periode erforderlich ist.
Frequenz f:
Anzahl der Perioden (Schwingungen) pro Sekunde
Stand: 25. Juni 2001 Seite 3-2
f
1
T
= [ f ] = Hz
Augenblickswert u(t):
Der Augenblickswert u(t) (Momentanwert) ist der Spannungswert u zu einem bestimmten
Zeitpunkt t.
Scheitelwert û:
Der Scheitelwert û wird auch als Amplitude, Höchstwert oder Maximalwert bezeichnet. Er
ist der größte Augenblickswert.
Spitze-Spitze-Wert uss, upp:
Der Spitze-Spitze-Wert wird auch als Peak-Peak-Wert bezeichnet. Er ist bei sinusförmigen
reinen Wechselspannungen doppelt so groß wie der Scheitelwert û
= 2 •uˆ
u ss
Linien- und Zeigerdiagramm:
=
s
1
Zeigerdiagramm Liniendiagramm
Eine sinusförmige Wechselspannung lässt sich durch ein Zeiger- und Liniendiagramm darstellen.
Bei Zeigerdiagramm dreht sich der Zeiger mit konstanter Geschwindigkeit gegen
den Uhrzeigersinn
u () t = uˆ
•sinϕ
u(t) = Momentanspannung in V
û = Scheitelspannung in V
φ = Winkel

Formelsammlung Elektrotechnik
Umrechnung Bogenmaß – Gradmaß:
α = 2 •π
360 °
360 ° = ˆ 2 •π
α°
α
=
360°
2 •π
⇒
α •360
°
α°
=
2•
π
α°
• 2 •π
α =
360°
α ° = Winkel im Gradmaß
α = Winkel im Bogenmaß
Auswahl einiger Winkel und Bogenmaße:
α ° 0° 15° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
α 0
Kreisfrequenz:
ω = 2 •π
• f
π
12
1
ω = Kreisfrequenz in
s
f = Frequenz in Hz
T = Periodendauer in s
ω
f =
2 •π
π
6
π
4
•π
ω =
T
2
Effektivwert (quadratischer Mittelwert) eines Wechelstrom:
î
I = i ˆ = I • 2
2
î = Scheitelwert des Stromes (der Wechselgröße)
I = Effektivwert des Wechselstromes (der Wechselgröße)
Phasenverschiebungswinkel φ:
ϕ = ϕ −ϕ
u
ϕ = ϕ + ϕ
u
ϕ ϕ − ϕ
i
= u
i
i
Stand: 25. Juni 2001 Seite 3-3
π
3
π
π
2
•π
=
ω
2
T
φ = Phasenverschiebungwinkel zwischen Strom u und Spannung i
φu = Nullphasenwinkel der Spannung u
φi = Nullphasenwinkel des Strom i
3•π 2
2 •π

Formelsammlung Elektrotechnik
Mathematische Darstellung einer sinusförmigen Wechselspannung:
Die sinusförmige Schwingung (Spannung) kann dargestellt werden:
in Abhängigkeit vom Phasenwinkel α im Gradmaß (!!! Taschenrechner auf DEG !!!):
u
( α° ) = uˆ
•sinα
( α°
)
ˆ =
sinα
u
u
u(α°) = Momentanspannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
α = Winkel im Gradmaß
( ° )
u
sin =
uˆ
α
α ( 2 Lösungen !! : α° , 180°- α°)
in Abhängigkeit vom Phasenwinkel b im Bogenmaß (!!! Taschenrechner auf RAD !!!):
( b)
= uˆ
• b
u sin
( b)
u
uˆ
=
sin b
u(b) = Momentanspannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
b = Winkel im Bogenmaß
Stand: 25. Juni 2001 Seite 3-4
( b)
u
sin b = ( 2 Lösungen !! : b , π - b)
uˆ
in Abhängigkeit von der Zeit t (!!! Taschenrechner auf RAD !!!):
() t = uˆ
•sin(
ω t)
u •
u()
t
ˆ =
( •t
)
sin(
ω •t
)
u(t) = Momentanspannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
1
ω = Kreisfrequenz in
s
t = Zeit in s ; T = Periodendauer in s
u
() t
u
T
sin ω = ( 2 Lösungen !! : t , - t)
uˆ
2

Formelsammlung Elektrotechnik
Ohmscher Widerstand an sinusförmiger Wechselspannung:
() t = uˆ
•sin(
ω t)
u •
() t = iˆ
•sin(
ω t)
i •
u()
t
ˆ =
( •t
)
sin(
ω •t
)
u
i()
t
iˆ
=
( •t
)
sin(
ω •t
)
Taschenrechner auf RAD umstellen !!
u(t) = Momentanwert der Spannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
i(t) = Momentanwert des Stromes in A
î = Scheitelwert des Stromes in A
R = Widerstand in Ω
1
ω = Kreisfrequenz in
s
t = Zeit in s
T = Periodendauer in s
Phasenwinkel:
= ϕ ⇒ ϕ = 0
ϕi u
Widerstand:
() t
() t
Stand: 25. Juni 2001 Seite 3-5
() t
u
T
sin ω = ( 2 Lösungen !! : t , - t)
uˆ
2
() t
i
T
sin ω = ( 2 Lösungen !! : t , - t)
iˆ
2
Liniendiagramm Zeigerdiagramm
u uˆ
R = ⇒ R = mit u ˆ = U • 2 und i ˆ = I • 2 ⇒
i iˆ
U
R =
I
Der Widerstand ist im Wechselstromkreis nicht frequenzabhängig

Formelsammlung Elektrotechnik
Spule an sinusförmiger Wechselspannung:
⎛ ⎞
() = ˆ
π
u t i • L •ω
•sin⎜(
ω •t
) + ⎟
⎝ 2 ⎠
() t = iˆ
•sin(
ω t)
i •
() t
ˆ
u
i =
⎛ π ⎞
L •ω
•sin⎜(
ω •t
) + ⎟
⎝ 2 ⎠
i()
t
iˆ
=
( •t
)
sin(
ω •t
)
Taschenrechner auf RAD umstellen !!
u(t) = Momentanwert der Spannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
i(t) = Momentanwert des Stromes in A
î = Scheitelwert des Stromes in A
1
ω = Kreisfrequenz in
s
t = Zeit in s
L = Induktivität in H
Stand: 25. Juni 2001 Seite 3-6
() t
() t
u
L =
ˆ ⎛ π ⎞
i •ω
•sin⎜(
ω •t
) + ⎟
⎝ 2 ⎠
i
T
sin ω = ( 2 Lösungen !! : t , - t)
iˆ
2
Liniendiagramm Zeigerdiagramm
Phasenverschiebungswinkel:
π π
ϕi = ω •t
ϕu
= t
90
2 2
( ω • ) + ⇒ ϕ = + ⇒ ϕ = + °
Bei der idealen Spule eilt der Strom i der Spannung u um 90° nach !!
Blindwiderstand XL:
X L
X L
= ω •
L
ω =
= 2 •π
• f • L
X L
L
XL = Blindwiderstand in Ω
L = Induktivität in H
f = Frequenz in Hz
X L
L = ω = 2 •π
• f
ω
X L f =
2 •π
• L
X L L =
2•
π • f
Der Blindwiderstand ist frequenzabhängig. Er verhält sich proportional

Formelsammlung Elektrotechnik
Kondensator an sinusförmiger Wechselspannung:
() t = uˆ
•sin(
ω t)
u •
⎛ π ⎞
i () t = uˆ
•C
•ω
•sin⎜(
ω •t
) + ⎟
⎝ 2 ⎠
u()
t
ˆ =
( •t
)
sin(
ω •t
)
Taschenrechner auf RAD umstellen !!
u(t) = Momentanwert der Spannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
i(t) = Momentanwert des Stromes in A
î = Scheitelwert des Stromes in A
1
ω = Kreisfrequenz in
s
t = Zeit in s
C = Kondensator in F
u
Stand: 25. Juni 2001 Seite 3-7
() t
u
T
sin ω = ( 2 Lösungen !! : t , - t)
uˆ
2
() t
i
u ˆ =
⎛ π ⎞
C •ω
•sin⎜(
ω •t
) + ⎟
⎝ 2 ⎠
Liniendiagramm Zeigerdiagramm
Phasenverschiebungswinkel:
π π
ϕu = ω •t
ϕi
= t
90
2 2
( ω • ) + ⇒ ϕ = − ⇒ ϕ = − °
() t
i
C =
⎛ π ⎞
uˆ
•ω
•sin⎜(
ω •t
) + ⎟
⎝ 2 ⎠
Beim idealen Kondensator eilt der Strom i der Spannung u um 90° vor !!
Blindwiderstand XC:
X C
X C
1
=
ω •C
ω =
1
=
2•
π • f •C
1
X C •C
XC = Blindwiderstand in Ω
C = Kapazität in F
f = Frequenz in Hz
C =
X C
f
X • •
1
=
2 π
1
C •
•ω
C
ω = 2 •π
• f
C =
X
C
1
• 2 •π
• f
Der Blindwiderstand ist frequenzabhängig. Er verhält sich indirekt proportional

Formelsammlung Elektrotechnik
Reihenschaltung R und L:
Spannungen:
2
Z
2
R
U = U + U
R
2
Z
U = U −U
tan ϕ =
U
U
L
R
2
L
2
L
cos ϕ =
Z
2
R
U = U + U
L
2
Z
U = U −U
U
U
Alle Spannungen in V
Widerstände:
2 2
Z = R + X L
2
R = Z − X L
tan ϕ =
X L
R
2
2
R
Z
sin ϕ =
2
Z = R + X L
X L
R
cos ϕ =
Z
=
2
L
2
R
U
U
2
2
Z − R
sin ϕ =
2
L
Z
X L
Z
Z = Scheinwiderstand (Impendanz) in Ω
R = Wirkwiderstand in Ω
XL = ind. Blindwiderstand in Ω
Leistung:
2 2
S = P +
Q
2
L
2
QL = S − P
2
U Z 2
S = = I • Z
Z
S = Scheinleistung in VA
QL = Blindleistung in var
P = Wirkleistung in W
cosφ = Leistungsfaktor
2
2
S = P +
QL tan ϕ =
P
2
Q
2
L
U R 2
P = = I • R
R
P
cos ϕ =
S
2
P = S −
Stand: 25. Juni 2001 Seite 3-8
Q
2
L
QL sin ϕ =
S
2
U L 2
QL = = I •
X L
Beachte:
- Der Strom i ist in der Reihenschaltung überall gleich.
- Am Widerstand sind Spannung und Strom phasengleich
- An der Spule sind Spannung und Strom um +90° phasenverschoben.
⇒ i eilt uL um 90° nach
X
L

Formelsammlung Elektrotechnik
Reihenschaltung R und C:
Spannungen:
2
Z
2
R
U = U + U
R
2
Z
U = U −U
tan ϕ =
U
U
C
R
2
C
2
C
cos ϕ =
Z
2
R
U = U + U
C
2
Z
U = U −U
U
U
Alle Spannungen in V
Widerstände:
2 2
Z = R + X C
2
R = Z − X C
tan ϕ =
X C
R
2
2
R
Z
sin ϕ =
2
Z = R + X C
X C
R
cos ϕ =
Z
=
2
C
2
R
U
U
2
2
Z − R
sin ϕ =
2
C
Z
X C
Z
Z = Scheinwiderstand (Impendanz) in Ω
R = Wirkwiderstand in Ω
XC = kap. Blindwiderstand in Ω
Leistung:
2 2
S = P +
Q
2
C
2
QC = S − P
2
U Z 2
S = = I • Z
Z
S = Scheinleistung in VA
QC = Blindleistung in var
P = Wirkleistung in W
cosφ = Leistungsfaktor
2
2
S = P +
QC tan ϕ =
P
2
Q
2
C
U R 2
P = = I • R
R
P
cos ϕ =
S
2
P = S −
Stand: 25. Juni 2001 Seite 3-9
Q
2
C
QC sin ϕ =
S
2
U C 2
QC = = I •
X L
Beachte:
- Der Strom i ist in der Reihenschaltung überall gleich.
- Am Widerstand sind Spannung und Strom phasengleich
- Am Kondensator sind Spannung und Strom um -90° phasenverschoben.
⇒ i eilt uC um 90° vor
X
C

Formelsammlung Elektrotechnik
Parallelschaltung von R und L:
Ströme:
2
Z
2
R
I = I + I
tan ϕ =
I
I
L
R
2
L
cos ϕ =
Z
2
R
I = I + I
I
I
Leitwerte (Widerstände):
2 2
Y = G + BL
tan ϕ =
B L =
G
2
R
X
L
R
Z
2
Y = G + BL
Y = Blindleitwert in S
G = Wirkleitwert in S
BL = ind. Blindleitwert in S
Leistung:
2 2
S = P +
Q
2
L
2
QL = S − P
2
U 2
S = = I Z • Z
Z
S = Scheinleistung in VA
QL = Blindleistung in var
P = Wirkleistung in W
cosφ = Leistungsfaktor
2
2
L
I
I
Z
R
Stand: 25. Juni 2001 Seite 3-10
2
Z
I = I − I
2
L
L sin ϕ = Alle Ströme in A
G Z
cos ϕ = =
Y R
2
S = P +
QL tan ϕ =
P
Q
2
2
L
2
U 2
P = = I R • R
R
P
cos ϕ =
S
2
G = Y −
sin ϕ =
B
B L =
Y
2
P = S −
Q
2
L
Z
X
2
L
L
QL sin ϕ =
S
2
U 2
QL = = I L • X
X
L
L
L
2
Z
I = I − I
2
BL = Y − G
1
Y =
Z
2
G
R
1
=
Beachte:
- Die Spannung u ist in der Parallelschaltung überall gleich.
- Am Widerstand sind Strom und Spannung phasengleich
- An der Spule sind Strom und Spannung um +90° phasenverschoben.
⇒ i eilt uL um 90° nach
2
R
B
L
1
=
X
L

Formelsammlung Elektrotechnik
Parallelschaltung von R und C:
Ströme:
2
Z
2
R
I = I + I
tan ϕ =
I
I
C
R
2
C
Widerstände:
2 2
Y = G + BC
tan ϕ =
B C =
G
2
cos ϕ =
R
X
C
Z
2
R
I = I + I
I
I
R
Z
2
Y = G + BC
2
C
I
I
Z
R
Stand: 25. Juni 2001 Seite 3-11
2
Z
I = I − I
2
C
C sin ϕ = Alle Ströme in A
G Z
cos ϕ = =
Y R
Y = Blindleitwert in S
G = Wirkleitwert in S
BC = kap. Blindleitwert in S
Leistung:
2 2
S = P +
Q
2
C
2
QC = S − P
2
U 2
S = = I Z • Z
Z
S = Scheinleistung in VA
QC = Blindleistung in var
P = Wirkleistung in W
cosφ = Leistungsfaktor
2
2
S = P +
QC tan ϕ =
P
Q
2
2
C
2
U 2
P = = I R • R
R
P
cos ϕ =
S
2
G = Y −
sin ϕ =
B
B C =
Y
2
P = S −
Q
2
C
Z
X
2
C
C
QC sin ϕ =
S
2
U 2
QC = = IC
• X
X
C
C
C
2
Z
I = I − I
2
BC = Y − G
1
Y =
Z
2
G
R
1
=
Beachte:
- Die Spannung u ist in der Parallelschaltung überall gleich.
- Am Widerstand sind Spannung und Strom phasengleich
- Am Kondensator sind Spannung und Strom um -90° phasenverschoben.
⇒ i eilt uC um 90° vor
2
R
B
C
1
=
X
C

Formelsammlung Elektrotechnik
Blindleistungs-Kompensation:
Bei stark induktivlastigen Verbrauchern, z.B. Motoren wird durch Zuschaltung einer
Kapazität erreicht, dass die Blindleistung (=Energie) anstatt ins Netz
zum größten Teil in den Kondensator geführt wird. Sie pendelt nun
ständig zwischen Kapazität und Induktivität hin und her.
Vor Kompensation gilt: Q = QL
QL = P • tanϕ1
QL tanϕ 1 =
P
Nach Kompensation gilt: Q = QL
− QC
Q = P • tanϕ 2
C
P •
( tanϕ
− tanϕ
)
1 = 2
U
•ω
Q
tanϕ 1 =
P
2 ⎛ C •U
•ω
⎞
ϕ 2 = tanϕ1
− ⎜
⎟
⎝ P ⎠
2
P =
C •U
QL
P =
tanϕ1
Q
P =
tanϕ1
( tanϕ − tanϕ
)
1
2
•ω
2
⎛ C •U
•ω
⎞
⎜
⎝ P ⎟
⎠
( tanϕ
− tanϕ
)
C •ω
Stand: 25. Juni 2001 Seite 3-12
U =
2
tan tanϕ1 = ⎜ ⎟ − tanϕ
2
QL = induktive Blindleistung in var
QC = kapazitive Blindleistung in var
Q = Blindleistung nach Kompensation in var
P = Wirkleistung in W
φ1 = Phasenwinkel vor der Kompensation
φ2 = Phasenwinkel nach der Kompensation
C = Kapazität in F
U = Spannung in V
ω = Kreisfrequenz in Hz
P •
1
ω
P •
2
( tanϕ − tanϕ
)
1 = 2
U
•C
2