7. Elementsteifigkeitsmatrizen - Umwelt-Campus Birkenfeld

Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier
Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler
7. Elementsteifigkeitsmatrizen
Die Elementsteifigkeitsmatrizen lassen sich aus den Verschiebungsansätzen
und den Elastizitätsgesetzen mit Hilfe des Arbeitssatzes der
Mechanik berechnen.
7. Elementsteifigkeiten
1

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6.1 Arbeitssatz der Mechanik
Des Arbeitssatzes der Mechanik lautet vereinfacht ausgedrückt:
Arbeit der äußeren Lasten = Innere Energie der Verformungen
Der Arbeitssatz besagt, das ein mechanisches System im Gleichgewicht
ist, wenn die durch die äußeren Lasten am System verrichtete Arbeit
gleich der inneren Energie ist (Minimum der potentiellen Energie)
7. Elementsteifigkeiten
W =
Hierbei ist W die Arbeit, die eine äußere Kraft entlang einer beliebigen
(virtuellen) Verschiebung leistet und die zugehörige, im Bauteil
gespeicherte Verformungsenergie.
2

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Äußere Arbeit W:
F
7. Elementsteifigkeiten
F=c·u
Innere Energie :
=E·
Federarbeit:
W = 0,5·F·u
u
Spez. Formänderungsarbeit:
d = 0,5· ·
W
1
=
2
T { u}
⋅{
F}
{ F} = [ K]
e ⋅{
u}
Mit folgt:
1
=
2
T { u}
⋅[
K]
⋅{
u}
W e
Π
=
1 T
dΠ = { ε}
⋅{
σ}
dV
2
V
{ σ} = [ E]
⋅{
ε}
Mit folgt:
Π
=
1
2
V
T { ε}
⋅[
E] ⋅{
ε}
Hierin sind {u} die Knotenverschiebungen, [K] e die Elementsteifikeitsmatrix,
{ } der Verzerrungsvektor, { } der Spannungsvektor und die [E]
die Elastizitätsmatrix.
dV
3

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6.2 Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrizen
Die Elementverformungen {u(x,y,z)} lassen sich durch die
Formfunktionen [N(x,y,z)] und die Knotenverschiebungen {u} ersetzen:
7. Elementsteifigkeiten
{ u( x,
y,
z)
} = [ N(
x,
y,
z)]
⋅{
u}
Unter Verwendung des Differentialoperators [D] ergeben sich aus den
Ableitungen der Elementverformungen {u(x,y,z)} die Verzerrungen
{ ε}
= [ D] ⋅{
u(
x,
y,
z)
}
[ D] ⋅[
N ( x,
y,
z ⋅{
u}
= )]
Wird der damit erhaltene Ausdruck für die Verzerrungen in die
Gleichung der Verformungsenergie =½ { } T ·[E]·{ } dV eingesetzt,
erhält man:
1 T
T T
Π = [ D ] ⋅[
N(
x,
y,
z)
] ⋅{
u}
⋅[
E]
2 V
{ } T
⋅ [ D] ⋅[
N(
x,
y,
z)
] ⋅{
u}dV
{ }
4

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Die Knotenverschiebungen {u} sind unabhängig von den Koordinaten
x,y und z und lassen sich somit aus dem Integral ziehen:
Π
7. Elementsteifigkeiten
=
1
2
T T
T
{ u } ⋅ [ D]
⋅[
N(
x,
y,
z)
] ⋅[
E]
⋅[
D]
⋅[
N(
x,
y,
z)
] dV ⋅{
u}
V
Äußere Arbeit und innere Energie müssen nach dem Arbeitssatz gleich
sein:
1
!
T
W = { u}
⋅[
K]
e ⋅{
u}
= Π
2
T
T
[ K ] = [ D]
⋅[
N ( x,
y,
z)
] ⋅[
E]
⋅[
D]
⋅[
N ( x,
y,
z)
]
e
V
[K] e
Aus dem Koeffizientenvergleich folgt die Berechnungsvorschrift für die
Elementsteifigkeitsmatrix:
dV
5

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Der Differentialoperator [D] und die Formfunktionen [N(x,y,z)] werden
oftmals noch zur Verschiebungs-Verzerrungsmatrix zusammengefasst:
7. Elementsteifigkeiten
[ B( x,
y,
z)
] = [ D]
⋅[
N(
x,
y,
z)
]
Daraus folgt für die Elementsteifigkeitsmatrix
T
[ K ] = [ B(
x,
y,
z)
] ⋅[
E]
⋅[
B(
x,
y,
z)
]
e
V
Die Koeffizienten der Elementsteifigkeitsmatrix [K] e ergeben sich durch
rechts- und linksseitige Matrizenmultiplikation der Verschiebungs-
Verzerrungsmatrix [B(x,y,z)] mit der Elastizitätsmatrix [E] und anschließender
Integration über das Elementvolumen.
Die Matrizenmultiplikation kann zu komplizierten gebrochen rationalen
Ausdrücken führen, die nur noch numerisch zu integrieren sind.
dV
6

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6.3 Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen
Das Aufstellen der Elementsteifigkeitsmatrix erfolgt nach folgenden
Schema:
1. Wahl des Verschiebungsansatzes {u(x,y,z)} in Abhängigkeit vom
gewählten Elementtyp
2. Bestimmung der Formfunktionen [N] durch Einsetzen der
Knotenverschiebungen {u} in den Verschiebungsansatz
3. Berechnung der Verschiebungs-Verzerrungsmatrix [B] durch Multiplikation
der Formfunktionen [N] mit dem Differentialoperator [D]
4. Links- und rechtsseitige Matrizenmultiplikation von [B] mit der
Elastizitätsmatrix [E]
5. Integration über dem Elementvolumen
Die Vorgehensweise wird im folgenden am Beispiel einfacher Elementtypen
dargestellt.
7. Elementsteifigkeiten
7

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6.3.1 Stabelement
Das Stabelement stellt das einfachste Element mit linearem Verschiebungsansatz
dar:
u( x)
c + c ⋅ x
1
2
= 1 2
Konstanten:
u ( x = 0)
= u = c
u(
x = L)
=
c
2
=
u
2
7. Elementsteifigkeiten
1
u
2
− u
L
1
=
1
c
1
+ c
2
⋅ L =
u
1
+ c
2
⋅ L
Einsetzen:
u2
− u1
x
u( x)
= u1
+ ⋅ x = u1
⋅ ( 1−
) + u2
⋅(
L
L
Formfunktionen: u(x) = u 1 ·N 1 (x) + u 2 ·N 2 (x)
x
L
)
u 1
u
u 1
1
0
L
u(x)=c 1 +c 2 ·x
N 1(x)·u 1
N 1 (x)
N 2 (x)
N 2(x)·u 2
u 2
0
1
u 2
x
8

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In Matrizenschreibweise lautet der Verschiebungsansatz
u(x) = [N(x)] · {u}
x
N ( x)
N1(
x),
N1(
x)
1 ,
L
mit [ ] = { } = −
[ B] = [ D]
⋅[
N(
x)]
7. Elementsteifigkeiten
x
L
und {u} =
Mit dem Differentialoperator [D] für das Stabelement
[ D]
=
∂
∂x
∂
=
∂x
ergibt sich Verschiebungs-Verzerrungsmatrix [B] aus der Ableitung der
Formfunktionen [N]
=
∂
∂x
1−
x
L
,
x
L
=
1 1
− ,
L L
=
1
L
u 1
u 2
{ −1,
1}
9

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Mit [E] = E und dV= A·dx folgt die Elementsteifigkeitsmatrix für
das Stabelement:
T [ K]
= [ B]
⋅[
E]
⋅[
B]
e
V
7. Elementsteifigkeiten
dV
Aus der Matrizenmultiplikation ergibt sich:
[ K]
=
dx
e
[ K]
e
=
EA
2
L
EA
2
L
L
0
−1
−
1
x
x
−1
−
1
Die Integration liefert:
x
x
L
0
=
=
L
0
EA
L
1
L
1
−1
−1
1
1
⋅ E ⋅
L
−1
1
{ −1,
1}
A⋅
dx
Mit der Steifigkeit k = EA/L stimmt der Ausdruck mit der Steifigkeitsmatrix
einer Feder überein.
10

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Die Verzerrung { } ergibt sich aus der Ableitung der Verformungen {u(x)}
und lässt sich durch über die Verschiebungs-Verzerrungsmatrix [B] aus den
Knotenverschiebungen {u} berechnen.
{ ε}
= [ D] ⋅{
u(x)
}
Einsetzen liefert:
1
L
{ ε}
= { −1,
1}⋅
Die Spannungen folgen aus den Verzerrungen
über das Hook´sche Gesetz
{ σ}
= [ E ] ⋅{
ε}
= E ⋅ = const.
7. Elementsteifigkeiten
u
u
1
2
[ D] ⋅[
N ⋅{
u}
= ]
∆L
L
=
u1 u2
u2
−u1
= − + =
L L L
[ B] ⋅{
u}
=
∆L
= const.
L
Ein linearer Verschiebungsansatz liefert über dem Element konstante Verzerrungen
und damit konstante Spannungen!
,
u
u 1
u(x)
1 2
= const.
= const.
u 2
x
x
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6.3.2 Ebenes Balkenelement
Das ebene Balkenelement mit der Biegesteifigkeit EI besitzt vier unabhängige
Knotenfreiheitsgrade.
Als Verschiebungsansatz wird ein
kubisches Polynom verwendet
uy (x) = c1 + c2 ·x + c3 ·x2 + c4 ·x3 r1z y
L r2z u1y 1
2 u2y Der Ansatz erfüllt exakt die Verformungen des schubstarren Balkens nach
der Bernoulli-Hypothese.
Die Konstanten werden mit der Ableitung des Verschiebungsansatzes
∂u
y
∂x
=
r
durch Einsetzen der Knotenverschiebungen ermittelt.
7. Elementsteifigkeiten
z
=
c
2
+ 2c ⋅ x + 3c
⋅ x
3
4
2
x
12

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Aus den Randbedingungen
( x = 0)
= u = c
uy 1y
rz x = 0)
= r1
z
( = c
ergibt sich weiter
3
L
2
= − u 3
L
c3 = − u1
y − r1
z + u2
y − r
2
2
2z
7. Elementsteifigkeiten
2
L
1
2
L
1
3
L
2
− u 3
L
1
L
1
− 2
L
c4 1y
+ r1
z 2y
r2
z
Einsetzen in den Verschiebungsansatz liefert die Formfunktionen
x
L
2
x
L
2 3
uy ( x = L)
= u2
y = c1
+ c2L
+ c3L
+ c4L
rz x = L)
= r2
z
( = c + 2c
L + 3c
L
x
L
x
L
2 3
2 3
2 3
2 3
uy( x)
= 1−3
+ 2 2 3 ⋅u1
y + x−2
+ 2 ⋅r1
z + 3 + 2 2 3 ⋅u2
y + − + 2 ⋅r2
z
N 1 (x) N 2 (x) N 3 (x) N 4 (x)
2
x
L
3
x
L
4
2
x
L
x
L
13

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Für das Balkenelement
2
x x
N 1(
x)
= 1−3
+ 2 2
L L
2
x x
N 2(
x)
= x −2
+
L L
2
x x
N 3(
x)
= 3 + 2 2
L L
2
x
N 4 ( x)
= − +
L
ergeben sich die Verschiebungen
7. Elementsteifigkeiten
x
L
3
2
3
3
3
2
3
3
mit den Formfunktionen
r 1z
u 1y
u y (x) = N 1 (x) · u 1y + N 2 (x) · r 1z + N 3 (x) · u 2y + N 4 (x) · r 2z
N
1
0
1
N 2 (x)
L
N 1 (x)
N 4 (x)
2
N 3 (x)
u 2y
x
r 2z
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In Matrizenschreibweise lautet der Verschiebungsansatz
mit [ N x)
] = { N ( x),
N ( x),
N ( x),
N ( x)
}
7. Elementsteifigkeiten
u y (x) = [N(x)] · {u}
( 1 2 3 4
Zur Berechnung der Verschiebungs-Verzerrungsmatrix [B] sind die Dehnungen
am Balken zu ermitteln. Mit dem Krümmungsradius R gilt nach der linearisierten
Differentialgleichung der Biegelinie:
ε =
y
R
=
y
Mit dem Differentialoperator D = ∂ 2 / ∂x 2 ergibt sich
ε =
'' ∂
y ⋅ u ( x)
= y ⋅
z ⋅ D ⋅u
y
(x)
2
u
( x)
y
2
∂x
=
z ⋅ D ⋅[
N(
x)]
⋅{
u}
[B]
und {u} =
u1y r1z u2y r2z 15

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Die Verschiebungs-Verzerrungsmatrix [B] kann somit durch die 2. Ableitung
der Formfunktion [N´´(x)] berechnet werden. Es gilt
[ B] = y ⋅ D ⋅[
N ( x)]
Damit ergibt sich die Elementsteifigkeitsmatrix für das Balkenelement:
T [ K]
= [ B]
⋅[
E]
⋅[
B]
e
7. Elementsteifigkeiten
V
dV
Mit [E] = E und dV= dA·dx folgt
L
2
T
[ K]
= E y dA⋅
[ N"
] ⋅[
N"
]
e
0
A
dx
Für einen Balken mit konstanten Querschnitt kann das Flächenträgheitsmoment
I z = y 2 dA vor das Integral gezogen werden
L
T
[ K]
= EI [ N"
] ⋅[
N"
]
e
z
0
=
dx
y ⋅[
N ''
( x)]
=
V
T [ N"
] ⋅[
E]
⋅ y ⋅[
N ]
y ⋅
"
dV
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Zur Auswertung der Integrale müssen die 2. Ableitungen der Formfunktionen
[N´´(x)] nach dem Falk´schen Schema multipliziert werden:
[N´´] T =
7. Elementsteifigkeiten
N 1 “
N 2 “
N 3 “
N 4 “
N “ N “ N “ N “
1 2 3 4 = [N´´]
(N 1 “ ) 2
N 2 “ ·N1 “
N 3 “ ·N1 “
N 4 “ ·N1 “
N 1 “ ·N2 “
(N 2 “ ) 2
N 3 “ ·N2 “
N 4 “ ·N2 “
N 1 “ ·N3 “
N 2 “ ·N3 “
(N 3 “ ) 2
N 4 “ ·N3 “
N 1 “ ·N4 “
N 2 “ ·N4 “
N 3 “ ·N4 “
(N 4 “ ) 2
= [N´´] T ·[N´´]
Die Auswertung kann elementweise durchgeführt werden. Aufgrund
der Symmetrie sind zur Aufstellung der Steifigkeitsmatrix insgesamt
10 Ausdrücke zu berechnen.
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Mit den 2. Ableitungen der Formfunktionen [N“(x)]
" 6 12x
N 1 ( x)
= − + 2 3
L L
" 6 12x
N3( x)
−
L L
ergeben sich nacheinander die Koeffizienten der Steifigkeitsmatrix durch
elementare Integration:
k
11
=
EI
L
z
0
7. Elementsteifigkeiten
( N
"
1
)
2
dx
" 4 6x
N 2(
x)
= − + 2
L L
" 2 6x
N 4(
x)
= − +
L L
= 2
2 3
=
EI
L
z
0
6 12 2
36 144x
144x
( − + ) dx = EI − +
2 3
z ( 4 5
6
L L
L L L
L
2 3
36x
72x
48x
EI z
= EI z − + = [ 36 − 72 + 48]
12
4 5 6
3
3
L L L L
⋅ = EI z
L
0
L
0
2
)
dx
18

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k
k
12
22
=
=
EI
Auswertung aller Koeffizienten ergibt die Steifigkeitsmatrix des ebenen
Balkenelements:
7. Elementsteifigkeiten
EI
L
L
" 2
4 6x
2 EI z 2
z ( N2
) dx = EI z ( − + ) dx = ⋅ 4L
2
3
L L L
0
0
L
z
0
N
"
1
EI
L
[ K]
e = 3
⋅ N
z
"
2
dx
12
6L
-12
6L
=
EI
L
6 12 4 6x
EI z
z ( − + ) ⋅(
− + ) dx =
2 3
2
3
L L L L L
0
6L
4L 2
- 6L
2L 2
• • •
-12
- 6L
12
- 6L
6L
2L 2
- 6L
4L 2
⋅6L
19

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6.3.3 Allgemeines räumliches Balkenelement
u 1x
u 1x
7. Elementsteifigkeiten
u 1x
u 1x
u 1x
u 1x
EA/L -EA/L
u1y r1z u2y -EA/L
EA/L
GI p /L
-GI p /L
-GI p /L
GI p /L
12EI z /L 3
6EI z /L 2
-12EI z /L 3
6EI z /L 2
6EI z /L 2
4EI z /L
-6EI z /L 2
2EI z /L
u 1x
u 1x
-12EI z /L 3
-6EI z /L 2
12EI z /L 3
-6EI z /L 2
u 1x
6EI z /L 2
2EI z /L
-6EI z /L 2
4EI z /L
u 1x
12EI y /L 3
6EI y /L 2
-12EI y /L 3
6EI y /L 2
u 1x
6EI y /L 2
4EI y /L
-6EI y /L 2
2EI y /L
r 2z
u 1x
r 1x r 2x
u 1z
r 1y
u 2z
r 2y
-2EI y /L 3
-6EI y /L 2
12EI y /L 3
-6EI y /L 2
u 1x
u 2x
6EI y /L 2
2EI y /L
-6EI y /L 2
4EI y /L
u 1x
u 2x
r 1x
r 2x
u 1y
r 1z
u 2y
r 2z
u 1z
r 1y
u 2z
r 2y
20

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6.3.4 Rechteck-Scheibenelement
Das Rechteck-Scheibenelement stellt das einfachste zweidimensionale
Element dar.
y
Der bilineare Verschiebungsansatz lautet:
u x (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·xy
u y (x,y) = c 5 + c 6 ·x + c 7 ·y + c 8 ·xy
Einsetzen der Randbedingungen für u x (x,y) :
ux( x = −a,
y = −b)
= c1
− a ⋅ c2
− b⋅
c3
+ ab⋅
c4
= u1x
ux ( x = a,
y = −b)
= c1
+ a ⋅ c2
− b ⋅ c3
− ab ⋅ c4
= u2
x
ux ( x = a,
y = b)
= c1
+ a ⋅ c2
+ b ⋅ c3
+ ab ⋅ c4
= u3x
ux ( x =
−a,
y = b)
= c1
− a ⋅ c2
+ b ⋅ c3
− ab ⋅ c4
= u4
x
7. Elementsteifigkeiten
u 4y
u 4x
u 1x
u 1y
2a
u 3y
u 3x
x
u 2x
u 2y
2b
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Das Einsetzen der Randbedingungen führt auf ein lineares Gleichungssystems
zur Bestimmung der Unbekannten c 1 bis c 4 , das sich in
Matizenschreibweise übersichtlich darstellen läßt:
Die Lösung z. B. mit dem Einsetzungsverfahren liefert die Konstanten
in Abhängigkeit von den Knotenverschiebungen:
1
c = ( u1x
+ u2
x + u3x
+ u
4
1 4 x
7. Elementsteifigkeiten
1
1
1
1
-a
a
a
-a
-b
-b
b
b
ab
-ab
ab
-ab
)
·
c 1
c 2
c 3
c 4
=
u 1x
u 2x
u 3x
u 4x
1
c = ( −u1x
+ u2
x + u3x
− u
4a
2 4x
1
1
c 3 = ( −u1x
− u2
x + u3x
+ u4
x ) c4 =
( u1x
− u2
x + u3x
− u4
x )
4b
4ab
)
22

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Einsetzen in die Ansatzfunktion ux (x,y) = c1 + c2 ·x + c3 ·y + c4 ·xy ergibt
1
ux
( x,
y)
= [ ab ⋅ u1x
4ab
+ ab ⋅u2
x + ab ⋅u3
x + ab ⋅u4
x
− bx ⋅u
+ bx ⋅u
+ bx ⋅u
− bx ⋅ u
und liefert durch Ausklammern der Knotenverschiebungen
ux ( x,
y)
= [( ab − bx − ay + xy)
⋅ u1x
7. Elementsteifigkeiten
− ay ⋅ u
1x
+ xy ⋅u
1x
1x
− ay ⋅u
− xy ⋅u
2 x
2 x
2 x
+ ay ⋅u
1
4ab
+
( + bx + ay + xy)
⋅u
3x
+ xy ⋅u
ab 3x
3x
3x
+ ay ⋅u
4x
− xy ⋅u
die Formfunktionen
1
ux( x,
y)
= [( a−
x)(
b−
y)
⋅u
x + ( a+
x)(
b−
y)
⋅u2
x + ( a+
x)(
b+
y)
⋅u3
x + ( a−
x)(
b+
y)
⋅u4
4ab
4 x
4x
1 x
N 1 (x,y) N 2 (x,y) N 3 (x,y) N 4 (x,y)
]
+ ( ⋅
ab + bx − ay − xy)
u2
x
+ ( ab − bx + ay − xy)
⋅u4x
]
23
]

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Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler
Für die Verschiebung in y-Richtung ergeben sich identische Ausdrücke
4
N N
1 2
7. Elementsteifigkeiten
3
( a−
x)(
b−
y)
N1(
x,
y)
=
4ab
4
1
1 2
3
( a+
x)(
b−
y)
N2(
x,
y)
=
4ab
4
1 2
N
1
3
( a+
x)(
b+
y)
N3(
x,
y)
=
4ab
In Matrizenschreibweise lautet der Verschiebungsansatz:
{u(x,y)} = [N(x,y)] · {u}
mit {u(x,y)} = u x (x,y)
u y (x,y)
[N(x,y)]=
N 1
0
0
N 1
N 2
0
0
N 2
N 3
0
0
N 3
N 4
0
0
N 4
4
N
1
1 2
3
( a−
x)(
b+
y)
N4(
x,
y)
=
4ab
und {u} =
u1x u1y u2x u2y u3x u3y u4x u4y 24

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Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler
Die Verschiebungs-Verzerrungsmatrix [B] = [D]·[N] ergibt sich mit dem
Differentialoperator [D] für den ebenen Verschiebungszustand durch
Matrizenmultiplikation nach dem Falk´schen Schema:
[D] =
7. Elementsteifigkeiten
[N(x,y)] =
∂
∂x
0
∂
∂y
0
∂
∂y
∂
∂x
∂
∂x
∂
∂y
N 1
0
N 1
0
N 1
∂
∂y
∂
∂x
0
N 1
∂
∂x
N 2
0
0 N 2
N 1
N 1
∂
∂y
0
N 2
∂
∂y
∂
∂x
0
N 2
∂
0 ∂x
N 2
N 2
∂
∂y
N 3
0
0
N 3
N 3
∂
∂y
∂
∂x
0
N 3
0
N 3
N 3
∂
∂x
∂
∂y
N 4
0
0
N 4
N 4
∂
∂y
∂
∂x
0
N 4
0
N 4
N 4
= [B]
Die Ableitung der Koeffizienten der Verschiebungs-Verzerrungsmatrix erfolgt
elementweise, wobei sind insgesamt 8 verschiedene Ausdrücke auszuwerten
sind
25

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Die partiellen Ableitungen der Formfunktionen lauten:
∂N
∂x
∂N
∂y
1
1
b − y
= −
4ab
a − x
= −
4ab
Die Steifigkeitsmatrix ergibt sich wieder aus
7. Elementsteifigkeiten
∂N
∂x
∂N
∂y
T [ K]
= [ B]
⋅[
E]
⋅[
B]
e
V
2
2
b − y
=
4ab
a + x
= −
4ab
dV
∂N
∂x
∂N
∂y
3
3
b + y
=
4ab
a + x
=
4ab
∂N
∂x
4
∂N
∂y
mit der Elastizitätsmatrix für den ebenen Spannungszustand
[E] =
2(
1
E
−
2
ν
)
2
2ν
0
2ν
2
0
0
0
1-ν
4
b + y
= −
4ab
a − x
=
4ab
26

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Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler
Die Matrizenmultiplikation mit dem Falk´schen Schema liefert eine Matrix
der Größe 8x8 mit insgesamt 36 verschiedenen Koeffizienten und wird hier
nur exemplarisch für einige Werte ausgeführt.
1
4ab
-(b-y)
0
• • •
0
7. Elementsteifigkeiten
0
-(a-x)
• • •
(a-x)
2(
1
• • •
E
−
-(a-x)
-(b-y)
-(b+y)
2
ν
)
2
2ν
0
-2(b-y)
-2ν(a-x)
• • •
2ν(a-x)
2ν
2
0
-2ν(b-y)
-2(a-x)
• • •
2(a-x)
0
0
1- ν
-(a-x)(1-ν)
-(b-y)(1-ν)
• • •
-(b+y)(1-ν)
-(b-y)
0
-(a-x)
2(b-y) 2 +
(a-x) 2 (1-ν)
2ν(a-x)(b-y) +
(a-x)(b-y)(1-ν)
• • •
-2ν(a-x)(b-y) +
(a-x)(b+y)(1-ν)
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
0
(a-x)
-(b+y)
-2ν(b-y)(a-x)+
(a-x)(b+y)(1-ν)
-2(a-x) 2 +
(b-y) 2 (1-ν)
• • •
2(a-x) 2 +
(b+y) 2 (1-ν)
1
4ab
E
2 2 2
32a
b ( 1−ν
)
27

k
11
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Die Koeffizienten der Steifigkeitsmatrix ergeben sich durch Integration. Für
den ersten Wert k 11 folgt beispielsweise
=
32a
7. Elementsteifigkeiten
2
E
2 2
b ( 1−ν
)
V
[ 2(
b −
y)
2
+ ( a − x)
2
( 1−ν
)] dV
Bei konstanter Wandstärke t ergibt sich mit dV = t·dA = t·dy·dx
b
a
2 2
E ⋅t
2
2
k11 =
[ 2(
b − y)
+ ( a − x)
( 1−ν
)] dxdy
2 2 2
32a
b ( 1−ν
)
−b −a
2 2
Die Berechnung des Doppelintegrals ist elementar, aber numerisch aufwendig,
so dass auf eine ausführliche Lösung an dieser Stelle verzichtet
und nur das Ergebnis angegeben wird.
k
11
E⋅t
2b
a
= ⋅ + ( 1−ν)
2
6(
1−ν
) a b
28