R L P+Q L' x y Q P

viele Primzahlen und damit eine größte Primzahl. Daraus zog er solange logische Schlüsse, bis
er auf einen offensichtlichen Widerspruch stieß. Damit musste etwas falsch sein. Da sich in die
Schlusskette kein Lapsus eingeschlichen hatte, konnte es nur die Annahme sein. Demnach musste
es unendlich viele Primzahlen geben!
Euklid’s Widerspruchsbeweis führt die Argumentation wie folgt:
Beweis
Annahme: Es gibt endlich viele Primzahlen.
Schluss: Dann lassen sie sich auflisten p1 < p2 < p3 < · · · < pn, wobei n für die (endliche)
Anzahl der Primzahlen steht. pn wäre also die größte Primzahl. Nun betrachtet Euklid die Zahl
a = p1 · p2 · · · pn + 1. Diese Zahl kann keine Primzahl sein, da sie in unserer Primzahlenliste
nicht auftaucht. Also muss sie durch eine Primzahl teilbar sein. D.h. es gibt eine natürliche Zahl i
zwischen 1 und n, so dass pi die Zahl a teilt. Natürlich teilt pi auch das Produkt a−1 = p1·p2 · · · pn,
da pi ja ein Faktor von a − 1 ist. Da pi die Zahlen a und a − 1 teilt, teilt sie auch die Differenz
dieser Zahlen. Daraus folgt: pi teilt a − (a − 1) = 1. pi müsste also 1 teilen und das ist unmöglich.
Widerspruch: Unsere Annahme war falsch.
Also gibt es unendlich viele Primzahlen (siehe Übersicht unter 2.8.1 über die Anzahl von Primzahlen
in verschiedenen Intervallen). �
Wir erwähnen hier auch noch eine andere, auf den ersten Blick überraschende Tatsache, dass
nämlich in der Folge aller Primzahlen p1, p2, · · · Lücken von beliebig großer Länge n auftreten.
Unter den n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen
(n + 1)! + 2, · · · , (n + 1)! + (n + 1),
ist keine eine Primzahl, da ja in ihnen der Reihe nach die Zahlen 2, · · · , n + 1 als echte Teiler
enthalten sind (Dabei bedeutet n! das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen, also n! = n ∗
(n − 1) ∗ · · · ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1).
2.4 Die Suche nach sehr großen Primzahlen
Die größten heute bekannten Primzahlen haben mehrere Millionen Stellen (M-39). Das ist unvorstellbar
groß. Die Anzahl der Elementarteilchen im Universum wird auf ” nur“ eine 80-stellige
Zahl geschätzt (siehe Übersicht unter 2.8.3 über verschiedene Größenordnungen / Dimensionen).
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