T m ttm tx T a
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Wiederholung vom 27.04.04<br />
Fourieranalyse und -synthese<br />
Jede periodische Funktion ist darstellbar als Überlagerung<br />
harmonischer Schwingungen:<br />
∞<br />
( mω<br />
t)<br />
+ b sin(<br />
m t)<br />
∑acos ∑<br />
m<br />
0<br />
x( t)<br />
= a +<br />
ω<br />
a<br />
0<br />
=<br />
1<br />
T<br />
T<br />
0<br />
∫<br />
0<br />
m= 1 m=<br />
1<br />
Fourierkoeffizienten = Spektrum:<br />
x(t)<br />
x(<br />
t)<br />
dt<br />
t<br />
a<br />
b<br />
m<br />
m<br />
b m<br />
∞<br />
=<br />
=<br />
m<br />
T<br />
2<br />
T<br />
2<br />
T<br />
∫<br />
0<br />
T<br />
∫<br />
0<br />
0<br />
x t cos ) (<br />
x t sin ) (<br />
m<br />
( mω<br />
t)<br />
0 d<br />
( mω<br />
t)<br />
0 d<br />
t<br />
t
Wiederholung vom 27.04.04<br />
Lissajous-Figuren<br />
Schwingungen senkrecht zueinander, ω 2 = nω 1<br />
Phase
• beliebige Phase:<br />
schwebungsartiger<br />
Energieaustausch<br />
• gleichphasig:<br />
Kopplung spielt keine<br />
Rolle<br />
• gegenphasig:<br />
Kopplung verändert<br />
nur Frequenz<br />
Wiederholung vom 27.04.04<br />
Gekoppelte Schwingungen<br />
Normalmoden
Wiederholung vom 27.04.04<br />
Wellen<br />
c Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />
λ Wellenlänge<br />
k<br />
Wellenzahl<br />
y<br />
Transversalwelle<br />
(z. B. Seilwelle)<br />
Longitudinalwelle<br />
(z. B. Schallwelle)<br />
( 0<br />
0<br />
x,<br />
t)<br />
= y cos( ω t ± kx + ϕ )
Überlagerung von Wellen<br />
Lineare Superposition!<br />
• Interferenz<br />
• Schwebungen<br />
• Fourier-Synthese und -Analyse
Interferenz von Wellen
Wiederholung vom 20.04.04<br />
Überlagerung von Schwingungen: Schwebung<br />
Schwingungen gleicher Raumrichtung,<br />
ω 1 ≅ ω 2 , |ω 1 - ω 2 | = ∆ω
y(x)<br />
Wellenpakete
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