Statische und dynamische Analyse eines Schildersystems Gebr ...

Statische und dynamische Analyse
eines Schildersystems
für
Gebrüder Hohl GmbH
Esslingen
Dipl.-Ing.
Torsten Wehner
Lerchenstraße 23
72649 Wolfschlugen
wehner@zinsmath.de
3. Dezember 2002

Inhaltsverzeichnis
1 Berechnungsgegenstand 4
2 Problemstellung 5
3 Untersuchte Bauteile 5
4 Biegung von Standrohren 5
5 Spannungsnachweis 6
6 Numerische Simulation - Finite Elemente Modell 6
7 Eine Beispielrechnung 7
8 Abbildungen 10
9 Software hohl.exe 18
10 Ergebnisse und Resumé 19
11 Offene Fragen 19
12 Haftung 19
2

Abbildungsverzeichnis
1 Beispiel eines freistehenden Schildes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 FE Netz des Schildes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Bemaßung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Verformung der Schilderanlage unter Maximallast (Windlast) . . . . . . . 10
5 v. Mises Vergleichspannungen bei maximaler Verformung . . . . . . . . 11
6 1. Eigenfrequenz bei 2.9 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7 2. Eigenfrequenz bei 8.7 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8 3. Eigenfrequenz bei 14.2 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9 4. Eigenfrequenz bei 29.3 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
10 5. Eigenfrequenz bei 90.1 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11 6. Eigenfrequenz bei 128.0 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12 Screenshot Software hohl.exe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3

1 Berechnungsgegenstand
Im Hause Gebrüder Hohl GmbH werden unter anderem freistehende Beschilderungssysteme
gefertigt. In Abbildung 1 ist eine solche Schilderanlage dargestellt.
Abbildung 1: Beispiel eines freistehenden Schildes
Im Sinne einer statischen und dynamischen Analyse kann das zu untersuchende Bauteil
in folgende Komponenten zelegt werden.
• Standrohre links - recht
• Beschriftungsfläche
Zusätzliche Verstrebungen, welche natürlich zusätzliche Steifigkeit liefern, werden nicht
berücksichtigt.
4

2 Problemstellung
Die unter Kapitel 1 beschriebene Schilderanlage hat folgende Lasten zu ertragen.
• Eigengewicht in Folge der Schwerkraft
• Windlast
Im Zuge dieser Berechnung wird das Eigengewicht der Beschriftungsfläche vernachlässigt.
3 Untersuchte Bauteile
Die Standrohre werden auf Knicken untersucht. Die Beschriftungsfläche wird als ¨quasi
starr¨ angesehen. Die größte Beanspruchung tritt in der Einspannung (Boden) auf.
4 Biegung von Standrohren
Schnittkräfte
Spannungen
MF uß = W · h = 0.325 · bs · hs · (h0 + hs/2) (1)
QF uß = W = 0.325 · bs · hs
σvorhanden = M
I · z = 0.325 · bs · hs · (h0 + hs/2) · z
I
τvorhanden =
σv.Mises =
(2)
(3)
2 · Q
A ·
�
1 − ( z
) (4)
rm
�
σ 2 verhanden + 3 · τ 2 vorhanden
5
(5)

5 Spannungsnachweis
DIN 4113 Teil 1 Alukonstruktion unter vorherrschend ruhender Beastung
Tabelle 4 (AlZn4,5Mg1F35)
σzulaessig = 160N/mm 2
τzulaessig = 95N/mm 2
β0.2 = 275N/mm 2 > 0.75 · σv.Mises
6 Numerische Simulation - Finite Elemente Modell
In Abbildung 2 ist das FE - Netz der Schilderanlage zu sehen.
Y
Z
X
Abbildung 2: FE Netz des Schildes
Die Standrohre sind als Schalenelemente modelliert. Die Beschriftungsfläche besteht aus
sehr steifen Volumenelementen. Die Knoten am Boden sind in allen Freiheitsgraden unterdrückt
(eingespannt).
6
(6)
(7)
(8)

7 Eine Beispielrechnung
Entsprechend Abbildung 3 soll eine solche Schilderanlage vorgerechnet werden.
bs
Abbildung 3: Bemaßung
hs
h0 hges
Die Standrohe haben folgende Geometrie: Dabei versteht sich di als Innendurchmesser
des Standrohres, da ist der Außendurchmesser.
Somit ergibt sich folgendes Flächenträgheitsmoment:
Dabei wirkt folgende Querschnittsfläche:
Ein mittlerer Radius ergibt sich aus:
da = 96.1mm (9)
di = 91.7mm (10)
I = π
64 · (da4 − di 4 ) = 7.157 · 10 −7 m 4
A = π
4 · (da2 − di 2 ) = 6.49 · m 2
7
(11)
(12)

da + di
rm =
2
Es sollen folgende Baugrößen berücksichtigt werden:
= 0.094 · m (13)
bs = 1500 · mm (14)
hs = 1000 · mm (15)
h0 = 1000 · mm (16)
Für die vom Gesetzgeber definierten Flächenlasten (Windlast) berechnen sich die Biegemomente
an der Einspannung (Boden) wie folgt:
MF uß = 0.325 ·
Die Querkräfte ergeben sich aus:
1000 · N
m 2
QF uß = 0.325 ·
· bs · hs · (h0 + hs
) = 731.25 · Nm (17)
2
1000 · N
m 2 · bs · hs = 487.5 · N (18)
Der Abstand vom Profilmittelpunk zur Oberfläche ist ganz einfach:
z = da
2
Die Zugspannungen an der Oberfläche entstehen aus:
σ = MF uß
I
Für die Schubspannungen schreibt man:
· z = 49.095N/mm 2
τ = QF uß
A ·
�
1 − ( z
rm )2 = 1.291 · N/mm 2
Die v.Mises Vergleichspannung ergibt sich aus:
σv.Mises = √ σ 2 + 3 · τ 2 = 49.146 · N/mm 2
8
(19)
(20)
(21)
(22)

Somit kann mit Blick auf Abschnitt 5 bewertet werden:
σ < σzulaessig
τ < τzulaessig
σv.Mises < 0.75 · β0.2
Sicherheit gegen Knicken ist für dieses Beispiel somit gegeben.
In Ergänzung zur exakten Lösung im Sinne der technischen Mechanik ist genanntes Beispiel
simuliert worden. Abbildung 5 zeigt das Ergebnis der v. Mises Vergleichsspannungen
50.47N/mm 2 und kann mit Blick auf auf Gleichung 22 bestätigt werden.
Man erkennt an Abbildung 4, daß sich das Schild an der Oberkante 1.6 mm verschieben
wird.
Letzlich wurden für genanntes Beispiel Eigenfrequenzen gerechnet. Es zeigt sich dabei,
daß das Schild bereits eine erste Eigenfrequenz bei etwa 3 Hz besitzt.
Mode Frequency Eigenvalue Circ.Freq.
------------------------------------------------------
Maximum 2.95911E+02 2.88519E-03 1.85927E+03
at 10 1 10
Minimum 2.96301E+00 2.89279E-07 1.86171E+01
at 1 10 1
------------------------------------------------------
1 2.96301E+00 2.88519E-03 1.86171E+01
2 8.72417E+00 3.32807E-04 5.48156E+01
3 1.42023E+01 1.25581E-04 8.92354E+01
4 2.93235E+01 2.94584E-05 1.84245E+02
5 9.06169E+01 3.08476E-06 5.69363E+02
6 1.28077E+02 1.54419E-06 8.04730E+02
7 2.55873E+02 3.86893E-07 1.60770E+03
8 2.57393E+02 3.82337E-07 1.61725E+03
9 2.95664E+02 2.89764E-07 1.85771E+03
10 2.95911E+02 2.89279E-07 1.85927E+03
9
(23)
(24)
(25)

8 Abbildungen
Y
Z
X
Abbildung 4: Verformung der Schilderanlage unter Maximallast (Windlast)
10

Y
Z
X
11
Abbildung 5: v. Mises Vergleichspannungen bei maximaler Verformung

Y
Z
X
12
Abbildung 6: 1. Eigenfrequenz bei 2.9 Hz

Y
Z
X
13
Abbildung 7: 2. Eigenfrequenz bei 8.7 Hz

Y
Z
X
14
Abbildung 8: 3. Eigenfrequenz bei 14.2 Hz

Y
Z
X
15
Abbildung 9: 4. Eigenfrequenz bei 29.3 Hz

Y
Z
X
16
Abbildung 10: 5. Eigenfrequenz bei 90.1 Hz

Y
Z
X
17
Abbildung 11: 6. Eigenfrequenz bei 128.0 Hz

9 Software hohl.exe
Die Abbildung 12 zeigt das Mainfraim der Software hohl.exe. In Anlehnung an die unter
Abschnitt 5 genannten Maximalspannungen berechnet hohl.exe:
• maximale Zugspannung am Boden
• maximale Schubspannung am Boden
• Vergleichsspannung nach v.Mises
Die Schilder-Anlage sollte nur gebaut werden, wenn alle drei Kriterien erfüllt werden.
Abbildung 12: Screenshot Software hohl.exe
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10 Ergebnisse und Resumé
Im Zuge einer Beispielrechnung konnte die Übereinstimmung einer numerischen Simulation
und einer exakten Lösung im Sinne der technischen Mechanik gezeigt werden.
Anhand der Berechnungsvorschriften aus Abschnitt 4 wurde eine Windows Applikation
entwickelt, welche die zu prüfenden zulässigen Spannungen siehe Abschnitt 5 in
Abhängigkeit der Schildgeometrie ermittelt.
Mittels numerischer Simulation wurden die Eigenfrequenzen für die Beispielrechnung
ermittelt. Dabei zeigt sich, daß auch im unteren Frequenzbereich (Windanregung) Resonanzerscheinungen
zu erwarten sind.
11 Offene Fragen
Der Nachweis für die Standfestigkeit im Sinne der Fundamentauslegung wurde nicht
berücksichtigt.
Es muß auch noch einmal darauf hingewiesen werden, daß die Beschilderungsfläche als
¨quasi starr¨ angesehen wurde. Verformungen dieser Fläche in Folge Windlast haben
zusätzliche Belastungen der Standrohre zur Folge.
12 Haftung
Für die Richtigkeit der Berechnung kann keine Haftung übernommen werden.
Torsten Wehner
Lerchenstraße 23
72649 Wolfschlugen
Sehr gern steht Ihnen das Haus Gebrüder Hohl GmbH für Fragen zur Verfügung.
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