Runge-Kutta Verfahren

Runge-Kutta
Runge Kutta Verfahren
Ordnungstheorie der
Runge-Kutta
Runge Kutta Verfahren

Übersicht bersicht
1. Wiederholung
2. Motivation und Vorgehensweise
3. Definition der RK-Gewichte
RK Gewichte
4. Die Butcher-Reihe
Butcher Reihe eines
RK-Verfahrens
RK Verfahrens
5. Die Ordungsgleichungen
6. Bemerkungen
7. Zusammenfassung

1. Wiederholung
�� Ein s-stufiges s stufiges Verfahren zur Lösung L sung von
ist eine Abb. der Form:
�� Die Taylor-Entwicklung
Taylor Entwicklung
des Flusses mittels elementarer
Differentiale heißt hei t Butcher-Reihe
Butcher Reihe

2. Motivation & Vorgehensweise
�� Ziel:
Identifizieren der Butcher Reihe von
�� Vorgehensweise:
- Definition der Runge Kutta Gewichte
- allg. Butcher Reihe der RK-Verfahren
RK Verfahren
�� Vergleich von und
�� Definition der Ordungsgleichungen

2.1 Bsp.: Die Butcher-Reihe
Butcher Reihe des
impliziten Euler-Verfahrens
Euler Verfahrens
�� Sei
die Lösung L sung von
Dann gilt:

3. Definition der RK-Gewichte
RK Gewichte
�� Das Butcher-Schema
Butcher Schema
sei gegeben.
Zum Baum ρτ wähle hle λρτ = (V,E,r ( V,E,r) ) є ρτ mit
V={1,…,n}.
V={1, ,n}.
Definiere die RK-Gewichte:
RK Gewichte:

3.1 Bemerkung
�� Für r eine Kante (α,β) ( ) mit einem Endknoten
β kann eine Summation ausgeführt
ausgef hrt
werden und liefert
�� Es folgt die anschauliche Konstruktion des
Gewichtes Φ: :
• hefte an die Wurzel eine Kopie von b
• an jede Kante eine Kopie von A
• für r "Endkanten" kann diese zu einer Kopie von
c vereinfacht werden
• dann multipliziere alles und addiere.

3.2 Beispiele

3. Butcher Reihe eines
RK-Verfahrens
RK Verfahrens
�� Für r die RK-Abbildung
RK Abbildung
zur Lösung L sung von gilt :

5. Ordnungsgleichungen
�� Der Vergleich mit dieser Abb. ergibt:

��RK RK-Verfahren Verfahren hat Ordnung p genau dann
wenn für f r alle Bäume B ume ρτ mit |ρτ | ρτ|

Die Ordnungsgleichungen
bis zu
Ordnung 4

6. Bemerkungen
I. Sei = Anzahl aller Bäume B ume ρτ mit
genau p Knoten.
Die Anzahl der Gleichungen
steigt schnell mit der gewünschten
gew nschten
Ordnung p:

II. Die Konsistenzbedingung
garantiert Konsistenz/Konvergenz.
Die "Büschel" "B schel"
liefern die Quadraturbedingungen
k=1,…,p k=1, ,p

III. Bei der Anwendung von RK-Verfahren
RK Verfahren
auf skalare Gleichungen ,
fallen einige elementare Differentiale
zusammen, so daß da im Vergleich der
Butcher-Reihen
Butcher Reihen von und nicht für f r
jeden Baum getrennt
gefordert zu werden braucht, z.B.

7. Zusammenfassung
�� Die allgemeine Definition der Butcher
Reihe für f r ist :
�� Der führende f hrende Fehlerterm hat eine
Abweichung von:
für r ein RK-Verfahren RK Verfahren der Ordnung p