Veranschaulichung von Mengen

Übersicht
• Inhaltsverzeichnis
• Anfang Artikel
FernUni Hagen
Veranschaulichung von Mengen
Luise Unger
Copyright c○ 2000 Luise.Unger@FernUni-Hagen.de
Letzte Änderung: 19. September 2002 Version 00/02/02

Inhaltsverzeichnis
1. Veranschaulichung allgemeiner Mengen
1.1. Venn-Diagramme
1.2. John Venn
2. Potenzmengen
3. Produktmengen
Lösungen der Aufgaben

1 VERANSCHAULICHUNG ALLGEMEINER MENGEN 3
1. Veranschaulichung allgemeiner Mengen
1.1. Venn-Diagramme
Beziehungen zwischen Mengen lassen sich sehr suggestiv durch so genannte Venn-Diagramme
veranschaulichen, die nach dem englischen Philosophen und Mathematiker John Venn benannt
sind. Dabei denken wir uns die Elemente einer Menge als die Punkte im Inneren einer
geschlossenen Kurve. So veranschaulicht etwa das Diagramm
zwei Mengen X und Y , für die die Beziehung Y ⊆ X gilt.
Der graue Bereich des Diagramms
veranschaulicht die Elemente der Menge X ∩ Y , und durch den grauen Bereich in
Toc ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Zurück ◭ Dok Dok ◮

1 VERANSCHAULICHUNG ALLGEMEINER MENGEN 4
wird die Menge (X ∪ Y ) \ (X ∩ Y ) verdeutlicht.
Diese Art der Veranschaulichung lässt sich auch auf drei oder mehr Mengen ausdehnen.
Nehmen wir etwa an, wir hätten drei Mengen X, Y und Z gegeben, für die X ∩ Y = ∅,
X ∩ Z = ∅, Y ∩ Z = ∅ und X ∩ Y ∩ Z = ∅ gilt. Dann lässt sich diese Situation durch das
Diagramm
verdeutlichen.
Lösen Sie zur Vertiefung dieses Verfahrens bitte folgende Aufgaben. Zur Initialisierung
müssen Sie ” Beginn Aufgabe“ anklicken. Nach dem Anklicken des ” Ende Aufgabe“ Buttons
werden Ihre Resultate ausgewertet, und nach der Aktivierung des ” korrigiere“ Buttons sehen
Sie, welche Ihrer Ergebnisse richtig oder falsch sind.
1. X ∩ (Y ∪ Z)
Welche Diagramme veranschaulichen die folgenden Mengen?
Toc ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Zurück ◭ Dok Dok ◮

1 VERANSCHAULICHUNG ALLGEMEINER MENGEN 5
2. X ∪ (Y ∩ Z)
3. (X ∩ (Y ∪ Z)) ∪ (Y ∩ (X ∪ Z))
4. (X ∩ (Y ∪ Z)) ∩ (Y ∩ (X ∪ Z)) ∩ Y
Toc ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Zurück ◭ Dok Dok ◮

1 VERANSCHAULICHUNG ALLGEMEINER MENGEN 6
1.
2.
3.
4.
Welche Mengen werden durch folgende Diagramme veranschaulicht?
(X ∩ Y ) \ Z (X ∪ Y ) \ Z Z \ (X ∩ Y )
Z \ (X ∪ Y ) X \ (Y \ Z) (X \ Y ) \ Z
(X ∩ Y ) \ Z (X ∪ Y ) \ Z Z \ (X ∩ Y )
Z \ (X ∪ Y ) X \ (Y \ Z) (X \ Y ) \ Z
(X ∩ Y ) \ Z (X ∪ Y ) \ Z Z \ (X ∩ Y )
Z \ (X ∪ Y ) X \ (Y \ Z) (X \ Y ) \ Z
(X ∩ Y ) \ Z (X ∪ Y ) \ Z Z \ (X ∩ Y )
Z \ (X ∪ Y ) X \ (Y \ Z) (X \ Y ) \ Z
Toc ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Zurück ◭ Dok Dok ◮

1 VERANSCHAULICHUNG ALLGEMEINER MENGEN 7
1.2. John Venn
John Venn wurde 1834 in Hull, England, geboren und starb 1923 in Cambridge. Er gehörte
der Low Church, einer pietistischen Bewegung der anglikanischen Kirche an. Im Jahre 1853
begann er sein Studium am Gonville and Caius College in Cambridge, wo er 1857 seinen
Abschluss machte. Zwei Jahre später wurde er zum Priester geweiht und war für ein Jahr
Vikar in Mortlake.
Im Jahr 1862 kehrte Venn nach Cambridge zurück, wo er Logik und Wahrscheinlichkeitstheorie
lehrte. Am bekanntesten wurde er jedoch für die Diagramm-Methode, mit der er
Mengen und ihre Vereinigungen und Durchschnitte darstellte.
Im Jahre 1870 wandte sich Venn von der Kirche ab und der Geschichte zu. Er veröffentlichte
1897 eine Geschichte seines Colleges und 1922 eine Geschichte der Universität Cambridge.
Darüberhinaus war Venn ein Erfinder, er entwickelte und baute beispielsweise eine recht
erfolgreiche Kricketball-Wurfmaschine.
Toc ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Zurück ◭ Dok Dok ◮

2 POTENZMENGEN 8
2. Potenzmengen
Definition: Sei X eine Menge. Mit P(X) bezeichnen wir die Menge aller Teilmengen von
X. Die Menge P(X) heißt die Potenzmenge von X.
Beispiel: Sei X = {1, 2, 3, 4}. Dann ist P(X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3},
{1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}.
Wenn X eine unendliche Menge ist, dann ist auch die Potenzmenge von X unendlich, denn
schon die Menge aller Teilmengen von X, die genau ein Element enthalten, ist unendlich.
Im Studienbrief wurde das folgende Ergebnis bewiesen:
Proposition: (Mächtigkeit der Potenzmenge einer endlichen Menge)
Sei X eine endliche Menge. Wenn |X| = n, so gilt |P (X)| = 2 n .
Aufgabe
1. Es gibt keine Menge, deren Potenzmenge 14 Elemente enthält.
(a) wahr (b) falsch
2. Die Potenzmenge der leeren Menge enthält kein Element.
(a) wahr (b) falsch
3. Wenn die Potenzmenge einer Menge X endlich ist, dann ist X endlich.
(a) wahr (b) falsch
Toc ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Zurück ◭ Dok Dok ◮

3 PRODUKTMENGEN 9
3. Produktmengen
Definition: Sind X und Y nicht leere Mengen, so definieren wir die Produktmenge oder
das cartesische Produkt von X und Y durch
X × Y := {(x, y) | x ∈ X und y ∈ Y }.
Dabei nennen wir (x, y) ein geordnetes Paar, und wir definieren die Gleichheit von
geordneten Paaren durch: (x, y) = (x ′ , y ′ ) genau dann, wenn x = x ′ und y = y ′ .
Ausgesprochen wird X × Y als ” X kreuz Y “.
Sie haben alle schon mit Produktmengen gerechnet, und zwar im Mittelstufenunterricht.
Damals haben Sie ein Koordinatensystem gezeichnet, an die horizontale Achse x und an die
vertikale Achse y geschrieben.
y
b (a,b)
a
Die x-Achse symbolisierte die reellen Zahlen, die mit R bezeichnet werden, und die y-Achse
ebenfalls. Ein Punkt in der Ebene wurde durch seine Koordinaten (a, b), dabei a auf der x-
Toc ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Zurück ◭ Dok Dok ◮
x

3 PRODUKTMENGEN 10
und b auf der y-Achse, angegeben. Genau genommen haben Sie im Mittelstufenunterricht
mit der Produktmenge R × R gearbeitet.
Dieses Beispiel sollte klar machen, warum man bei Produktmengen von geordneten Paaren
spricht: Es ist wichtig, ob ein Element an der ersten oder der zweiten Stelle vorkommt. Der
Punkt (1, 0) ist ein anderer als der Punkt (0, 1).
Sind die Mengen X und Y Intervalle oder, allgemeiner, Mengen in R, so lässt sich die
Produktmenge X × Y in einem Koordinatensystem sehr gut veranschaulichen. Seien etwa
X = [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} und Y = [c, d] = {x ∈ R | c ≤ x ≤ d}
mit a, b, c, d ∈ R, a < b und c < d. Die Produktmenge X × Y besteht dann aus den Punkten
in dem blauen Kästchen:
d
c
y
a b
Toc ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Zurück ◭ Dok Dok ◮
x

3 PRODUKTMENGEN 11
1.
2.
2
1
y
1 2
Welche Produktmengen veranschaulichen folgende Skizzen?
3
x
[1, 3] × [1, 2] [1, 3] × {1, 2}
{1, 2, 3} × [1, 2] {1, 2, 3} × {1, 2}
2
1
y
1 2 3
x
[1, 3] × [1, 2] [1, 3] × {1, 2}
{1, 2, 3} × [1, 2] {1, 2, 3} × {1, 2}
Toc ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Zurück ◭ Dok Dok ◮

3 PRODUKTMENGEN 12
3.
4.
2
1
y
1 2
3
x
[1, 3] × [1, 2] [1, 3] × {1, 2}
{1, 2, 3} × [1, 2] {1, 2, 3} × {1, 2}
2
1
y
1 2
3
x
[1, 3] × [1, 2] [1, 3] × {1, 2}
{1, 2, 3} × [1, 2] {1, 2, 3} × {1, 2}
Toc ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Zurück ◭ Dok Dok ◮

3 PRODUKTMENGEN 13
Bei der allgemeinen Definition von Produktmengen werden beliebige Mengen zugelassen,
die keine Teilmengen der reellen Zahlen sein müssen. Dann sind die Skizzen, wie wir sie
oben gezeichnet haben, nicht mehr sehr hilfreich. Im Studienbrief wurde gezeigt:
Proposition: (Mächtigkeit von Produktmengen)
Seien X und Y Mengen, die beide nicht leer sind.
(a) Wenn X oder Y unendliche Mengen sind, dann ist X × Y eine unendliche Menge.
(b) Wenn X und Y endlich sind, und |X| = m und |Y | = n, dann ist X × Y eine endliche
Menge, und es gilt |X × Y | = mn.
Die Produktbildung von Mengen lässt sich auf mehr als zwei Mengen verallgemeinern:
Definition: Sei n ∈ N, und sei n > 1. Seien X1, . . . , Xn nicht leere Mengen. Das Produkt
der Mengen X1, . . . , Xn ist die Menge
X1 × · · · × Xn := {(x1, . . . , xn) | xi ∈ Xi für alle 1 ≤ i ≤ n}.
An Stelle der Schreibweise X1 × · · · × Xn ist auch die Schreibweise
n
Xi üblich.
Auch das kennen Sie in einem Spezialfall von der Schule. Wenn Sie sich räumliche Phänomene
veranschaulicht hatten, haben Sie ein Koordinatensystem mit x-Achse, y-Achse und
z-Achse gezeichnet. Alle Achsen symbolisierten die reellen Zahlen, Sie haben sich damit ein
Bild von R × R × R geschaffen.
Toc ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Zurück ◭ Dok Dok ◮
i=1

3 PRODUKTMENGEN 14
y
z
Beispiel: Sei I = [0, 1] = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1} das Einheitsintervall in R. Dann ist
I × I × I = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R und 1 ≤ x, y, z ≤ 1}
ein Würfel mit den Eckpunkten a = (0, 0, 0), b = (1, 0, 0), c = (1, 1, 0), d = (0, 1, 0),
e = (0, 0, 1), f = (1, 0, 1) g = (1, 1, 1) und h = (0, 1, 1).
y
h
d
a
z
e f
c
g
Toc ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Zurück ◭ Dok Dok ◮
b
x
x

3 PRODUKTMENGEN 15
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe: Da 14 keine Zweierpotenz ist, gibt es keine Potenzmenge mit 14
Elementen.
Toc ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Zurück ◭ Dok Dok ◮
Ende Aufgabe

3 PRODUKTMENGEN 16
Lösung zu Aufgabe: Die Potenzmenge der leeren Menge enthält die leere Menge. Somit
hat die Potenzmenge der leeren Menge ein Element.
Toc ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Zurück ◭ Dok Dok ◮
Ende Aufgabe

3 PRODUKTMENGEN 17
Lösung zu Aufgabe: Wenn X eine unendliche Menge ist, dann ist auch die Potenzmenge
von X unendlich, denn schon die Menge aller Teilmengen von X, die genau ein Element
enthalten, ist unendlich.
Toc ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Zurück ◭ Dok Dok ◮
Ende Aufgabe