Verkehrsverteilungsmodelle Milenko Vrtic - ETH Zürich

q‘ ijz
Quelle i
1
2
…
n
a‘ jz
Verkehrsverteilungsmodelle
Milenko Vrtic
Ziel j
1
q‘ 11z
q‘ 21z
…
q‘ n1z
a‘ 1z
= ∑ i q‘ i1z
2
q‘ 12z
q‘ 22z
…
q‘ n2z
a‘ 2z
= ∑ i q‘ i2z
W‘ z =
∑ i a‘ iz = ∑ i e‘ jz
Materialien zur Vorlesung
Verkehrsplanung Mai 2005
…
…
…
…
…
n
q‘ 1nz
q‘ 2nz
…
q‘ nnz
a‘ nz
= ∑ i q‘ inz
e‘ iz
e‘ 1z = ∑ j q‘ 1jz
e‘ 2z = ∑ j q‘ 2jz
…
e‘ nz = ∑ j q‘ njz

Verkehrsverteilungsmodelle
_______________________________________________________________________________________Mai 2005
Inhaltsverzeichnis
1 Aufgabe ......................................................................................................................... 4
2 Modelle der Verkehrsverteilung ..................................................................................... 5
2.1 Gravitationsmodell .....................................................................................................5
2.2 Nutzenmaximierungsmodell.....................................................................................11
2.3 Trendfaktorenmodelle .............................................................................................12
3 Schätzung von Verkehrsbeziehungen mit Hilfe von Querschnittzählungen................... 15
3.1 Aufgabe....................................................................................................................15
3.2 Gravitationsansatz ....................................................................................................17
3.3 Maximierung der Entropie........................................................................................18
4 Kalibrierung von Verkehrsverteilungsmodellen............................................................ 20
5 Direct Demand Models ................................................................................................ 21
6 Literatur ....................................................................................................................... 23
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Bewertungswahrscheinlichkeit des klassischen Gravitationsmodells............... 9
Tabellenverzeichnis
Tabelle 1: Anwendungsbereiche der Ansätze ....................................................................... 17
2

Verkehrsverteilungsmodelle
_______________________________________________________________________________________Mai 2005
Materialien zur Vorlesung Verkehrsplanung 15
VERKEHRVERTEILUNGSMODELLE
Milenko Vrtic
IVT
ETH
CH-8093 Zürich
Telefon: +41-1-633 31 07
Telefax: +41-1-633 10 57
eMail: vrtic@ivt.baug.ethz.ch
Mai 2005
Kurzfassung
Diese Materialien ergänzen Kapitel 8 der Vorlesung Verkehrsplanung (Vier-Stufen-Modell)
von Prof. Axhausen, IVT, ETH Zürich. Hier werden die Grundlagen der Verkehrsverteilung
und die Verkehrsverteilungsmodelle für die Erzeugung bzw. Kalibrierung von Quell-Ziel-
Matrizen beschrieben.
Schlagworte
Verkehrsverteilungsmodelle – Quell-/Ziel-Matrix – Gravitationsmodell - Vorlesung
Verkehrsplanung – ETH Zürich – Institut für Verkehrsplanung und Transporttechnik, Strassen-
und Eisenbahnbau (IVT)
3

Verkehrsverteilungsmodelle
_______________________________________________________________________________________Mai 2005
1 Aufgabe
Die Aufgabe von Verkehrsverteilungsmodellen besteht darin, dem Quellverkehr q’i einer
Verkehrszelle i die entsprechenden Verkehrszellen j als Ziel zuzuordnen, somit also die
Quell-Ziel Ströme q’ij zu ermitteln.
Die Matrix (q’ij) der Quell-Ziel-Ströme heisst Quell-Ziel-Matrix oder Verkehrsmatrix. Damit
werden mit diesen Modellen die Verkehrsströme einer Quell-/Ziel-Matrix eines
Untersuchungsgebietes berechnet.
Für die Berechnungen der Quell-Ziel-Matrix sind folgende Input-Informationen nötig:
- ein Verkehrsverteilungsmodell
- Produktion (e’i) und Attraktion (a’j)
- Verkehrswiderstandmatrix (generalisierte Kosten, k’)
Wenn Produktion (Anzahl der Wege, die in Zone i erzeugt werden – e’i) und Attraktion
(Anzahl der Wege, die von Zone j angezogen werden – a’j) aus dem Erzeugungsmodell
bekannt sind, lässt sich die Verkehrsverteilung mit m Quellzielbezirken und n Zielbezirken
mathematisch vergleichen:
n
∑
j=
q'
i = q'ij
und q'
j = ∑ q'ij
[1]
i=
1
1
m
Die unbekannten Elemente des Gleichungssystems sind alle Verkehrsströme q’ij, deren
Anzahl im allgemeinen Fall ( m ⋅ n ) beträgt. Für die Lösung dieses Gleichungssystems werden
weitere Zusatzbedingungen formuliert, die sich durch die Bewertung des Reisewiderstands
beschreiben lassen. Damit ist der Verkehrsstrom q’ij neben der Randsummenbedingung
(q’i=q’j) zusätzlich von der Bewertung des Reisewiderstands Bk’ abhängig. Durch diese
Abhängigkeit ergibt sich für das Grundmodell der Verkehrsverteilungen eine einfache
Schreibweise q'ij = f ( q'i
, q'
j , Bk'
) .
Für eine erste Lösung (Grundmodell), unter der Annahme dass alle Verkehrs-beziehungen
gleichwahrscheinlich sind (d.h. Bk’ij = constant für alle ij-Kombinationen), entsteht ein
sogenanntes Zufallsmodell:
q'
ij
q'
q'
j q'i
⋅q'
i
j
= ⋅ ⋅ q'=
[ q ' ∑ q'i
= ∑ q'
j ]
[2]
q'
q'
q'
= i j
4

Verkehrsverteilungsmodelle
_______________________________________________________________________________________Mai 2005
Für die Lösung des Grundmodells der Verkehrsverteilung (unter der Berücksichtigung der
Randsummenbedingungen und der Bewertung des Reisewiderstands) d.h. des bilinearen
Gleichungssystems werden verschiedene Verteilungsmodelle angewendet wie:
• Zufallsmodell
• Gravitationsmodell
• Gelegenheitsmodell
• Trendfaktormodell usw.
Das Zufallsmodell entsteht aus dem Grundmodell [2] wenn die Bewertungsgrösse Bk’ij
konstant ist. Alle Quell-Ziel Beziehungen sind völlig gleichwahrscheinlich. Damit gilt er nur
in den Fällen, wo die Verkehrsteilnehmer den Reisewiderstand ausser acht lassen.
2 Modelle der Verkehrsverteilung
2.1 Gravitationsmodell
Die ersten Verkehrsverteilungsmodelle waren in Analogie zum Massenanziehungsgesetz der
Mechanik auf der Grundlage des folgenden Ansatzes entwickelt worden:
m1
⋅ m2
P = ⋅Y
2
r
P: Kraft zwischen den Massen 1 und 2
m1,m2: Masse 1 und Masse 2
r : Abstand zwischen m1 und m2
Y : Gravitationskonstante
5
[3]

Verkehrsverteilungsmodelle
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Der Verkehrsverteilungsansatz (Schlums, 1929) lautet:
q'
ij
c ⋅ Bi
⋅ B j
= [4]
d
2
ij
q’ij : Fahrten zwischen den Zonen i und j
c : Konstante
B : Anzahl der Einwohner
dij : Entfernung zwischen den Zonen i und j
Der heute verwendete und verallgemeinerte Grundansatz des Gravitationsmodells, der auch
dem sogenannten Lill’schen Reisegesetz entspricht, kann in folgender Form geschrieben
werden:
q'ij = c ⋅ q'i
⋅q'
j ⋅ f ( k'ij
)
[5]
q’ij : Fahrten zwischen den Zonen i und j
c : Gravitationskonstante
q’i : Quellverkehr der Zone i (aus Verkehrserzeugungsmodell)
q’j : Zielverkehr der Zone j (aus Verkehrserzeugungsmodell)
f ( k'
ij ) : Widerstandsfunktion zwischen den Zonen i und j
In Bezug auf das Grundmodell der Verkehrsverteilung entsteht das Gravitationsmodell durch
die konkrete Bewertung des Reisewiderstands f ( k'
ij ) . Hier müssen die Randbedingungen
∑
q' i = q'ij
und q' j = ∑ q'ij
[5.1]
j
i
erfüllt werden .
Diese Nebenbedingung ist dann erfüllbar, wenn jeder Zone i eine Konstante ci
c
i
=
∑
j
q'
1
f ( k'
)
zugeordnet ist.
j
ij
6
[5.2]

Verkehrsverteilungsmodelle
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Daraus wird das „quellseitig gekoppelte“ Gravitationsmodell erhalten:
q'
j f ( k'
ij )
q'
ij = q'i
⋅p
j¦
i = q'i
⋅
[5.3]
q'
f ( k'
)
∑
j
j
Mit der Anwendung der Widerstandsfunktion in der Form
f ( k'
)
ij
( −k
')
= e
[5.4]
ist dieses Modell identisch mit dem für die Verkehrsverteilung angewendeten Logit Ansatz:
( −k
'ij
)
q'
j ⋅e
q ij = q'i
⋅
( −k
'ij
)
∑ q'
j ⋅e
j
' [5.5]
Damit ist das Gravitationsmodell eine verallgemeinerte Version des aus dem
Nutzenmaximierungsprinzip abgeleiteten Verteilungsmodells und ist deshalb für die Eichung
der Widerstandsfunktion anhand empirischer Daten flexibler einsetzbar (Steierwald und
Künne, 1993).
Die Nebenbedingung [5.1] kann auch durch folgenden Ansatz erfüllt werden.
c j ⋅ q'
j ⋅ f ( k'ij
)
q'
ij = q'i
⋅
[5.6]
c ⋅ q'
⋅ f ( k'
)
∑
j
j
j
ij
wobei die Konstante c j nach folgendem Iterationsgleichungssystem gelöst wird.
( V + 1)
c j =
( −k
'ij
)
q'
j ⋅e
/ ∑ ( v)
( −k
'ij
)
i ∑ c j ⋅ q'
j ⋅e
j
1 [5.7]
0
Hier wird mit Startwerten c = 1 für alle j=1....n begonnen.
j
Im Fall des Newtonschen Gravitationsgesetzes stellt k die Gravitationskonstante dar und der
Reisewiderstand wird in Form einer Hyperbel geschrieben,
1 1
f ( k'
ij ) = =
(6)
α
f ( k'
) ( k'
)
ij
ij
daraus folgt die klassische Form des Gravitationsansatzes:
q'i
⋅q'
j
q'ij
= c
(7)
α
( k'
)
ij
7

Verkehrsverteilungsmodelle
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Die Werte q’i und q’j werden aus dem Verkehrserzeugungsansatz aufgrund der Strukturdaten
und der spezifischen Mobilitätsparameter ermittelt, so dass die Bewertung des
Reisewiderstands bei den Gravitationsmodellen die wesentliche Komponente stellt.
Neben der Funktionsform, ist auch die Bestimmung der α-Koeffizienten sehr wichtig.
Nachteil der klassische Widerstandsfunktion
1
ist, dass dieselbe zu einer Überbewertung
k'ij
der Verkehrsströme im Nahbereich führt (z.B. Überbewertung des motorisierten
Individualverkehrs und Unterbewertung des Fussgängerverkehrs) und dass der
Reisewiderstand unabhängig von absoluten Beträgen bewertet wird d.h. die
Verkehrsbeziehungen mit der Zeitrelation 10 min / 5 min werden bei diesem Ansatz gleich
bewertet wie die Relation 100 min / 50 min. Dies ist aus der Funktions-Eigenschaft deutlich
zu sehen
−α
q'(
k'1
) ( k'1
) k'1
= = ( )
−α
q'(
k'
) ( k'
) k'
2
2
2
−α
.
Die Grösse der α-Koeffizienten kann auch aus den Erhebungsdaten kalibriert werden. Als
Orientierungsangabe wird für den Kraftfahrzeugverkehr im innerstädtischen Verkehr
(kleinere und mittlere Städte) ein Wert zwischen α=0.5 und α=1.0 , und für ausserstädtische
Gebiete α=1.5 und α=2.5 empfohlen. Für den öffentlichen Personennahverkehr gilt als grobe
Orientierung α=1.5 bis 2.0 (Schnabel und Lohse, 1997). In der Abbildung 1 ist zu sehen, wie
in Abhängigkeit von der Grösse der Koeffizienten der Reisewiderstand bewertet wird.
8

Verkehrsverteilungsmodelle
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Abbildung 1: Bewertungswahrscheinlichkeit des klassischen Gravitationsmodells
f(k' ij )
Neben der klassische Widerstandsfunktion etablierten sich inzwischen sehr viele andere
Widerstandfunktionen. Von besonderer Bedeutung ist der von Wilson entwickelte Ansatz:
q'(
k'
ij
) = e
( − β ⋅k
'ij
)
Diese Funktion wurde durch die Maximierung der Informationsentropie, der Verkehrsstrom-
Matrix unter Beachtung der Randsummenbedingungen und der Bedingung der Abbildung der
generalisierten Kosten C ∑∑ q'
⋅ ' gefunden, was der Ermittlung eines
= i j
ij k ij
Systemoptimums entspricht. Die Funktion hat folgende Eigenschaften:
q'(
k'1
) exp( −β
⋅ k'1
)
= = exp( −β
⋅ ( k'1
−k'
2 ))
q'(
k'
) exp( −β
⋅ k'
)
2
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2
A PLHA=0 APLHA=0.05 APLHA=0.1
A PLHA=0.25 APLHA=0.5 APLHA=1
1 20 40 60 80 100
Widerstandsw ert
Diese Eigenschaft ist besser auf das Bewertungsverhalten von Personen bezogen als der
klassische Ansatz, aber sie entspricht dem tatsächlichen Verhalten von Personen ebenfalls nur
begrenzt (Schnabel und Lohse, 1997). Bei diesem Ansatz wird die Zeitdifferenz 10 min – 5
min = 5 min gleich bewertet wie die Differenz 100 min – 95 min = 5 min.
9
(8)
(9)

Verkehrsverteilungsmodelle
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Die Widerstandsfunktion muss eine komplexere Form annehmen, wenn sie beispielsweise für
Verkehrsmittel angewendet werden soll, die z.B. nur sehr selten für kurze Wege benutzt
werden, wie etwa das Auto (Köhler und Wermuth,1999). Eine Widerstandfunktion dieser Art
ist beispielsweise der Ansatz
f ( k'
) = k'
βk
'
αe −
−
der als Produkt einer ansteigenden und einer abnehmenden Funktion eine eingipfelige Gestalt
bekommt und somit die geringe Akzeptanz im Nahbereich berücksichtigt. Eine
Weiterentwicklung davon ist die sogenannte EVA-Funktion von Lohse (1997).
Diese Funktion ist bei der simultanen Behandlung der Verkehrsverteilung und
Verkehrsaufteilung entstanden. „Sie wurde unmittelbar als bedingte Wahrscheinlichkeit
P(W/(a’i ∧ e’j)) der Bayes’schen Formel definiert und stellt eine bedingte a-priori-
Bewertungswahrscheinlichkeit aus der Sicht der Verkehrs-teilnehmer dar, die den
Widerstand der Verkehrsbeziehung i-j berücksichtigt“ ; P(a’i), P(e’j) ist die unbedingte
Wahrscheinlichkeit, dass ein Weg in der Zone i anfängt bzw. in der Zone j endet. (Schnabel,
Lohse (1997), Grundlagen der Strassenverkehrstechnik und der Verkehrsplanung, 207):
1
E
( k'
) = ; ϕ(
k'
) =
(10)
ϕ ( '
( 1+
k'
)
1+
exp( F − G ⋅W
)
q' k )
E, F, G sind die verkehrsmittelspezifischen Parameter.
Durch die Variation der verkehrsmittelspezifischen Parameter E,F,G ist eine Erzeugung von
individuell geformten Widerstandskurven möglich. Damit kann mit der EVA-Funktion die
Bewertungswahrscheinlichkeit einer Reiseweite in Abhängigkeit vom Widerstand und im
Gegensatz zu der monoton fallenden Funktion, auch vom Verkehrsmittel individuell ermittelt
werden. Dies bedeutet, dass bei der Wahl der Reiseweite z.B. im Radverkehr nur der
Nahbereich, im motorisierten Verkehr jedoch auch grössere Entfernungen berücksichtigt
werden. Wird bei der EVA-Funktion darüber hinaus die Konkurrenzsituation zwischen den
Verkehrsmitteln mittels eines Verkehrsaufteilungsmodells einbezogen, ergibt sich die
Bewertungswahrscheinlichkeit der Reiseweite in Abhängigkeit des Widerstandes für die
einzelnen Verkehrsmittel (Köhler und Wermuth,1999).
Bei der Anwendung des Gravitationsansatzes ist für jeden Planungsfall in Abhängigkeit der
Charakteristika des Untersuchungsgebiets und der Untersuchungsaufgabe die günstigste
10

Verkehrsverteilungsmodelle
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Variante des Gravitationsansatzes bezüglich der Bewertungsfunktion auszuwählen. Bei der
Anwendung in kleinen Städten und Siedlungen unter Berücksichtigung des
Fussgängerverkehrs ist eine Modifikation des Ansatzes vorteilhaft.
Der Gravitationsansatz wird vor allem für den Personenverkehr angewendet. Eine
Übertragung auf den Güterverkehr ist möglich, wenn dabei eine regional- und
verkehrsplanerische Betrachtungsweise angestrebt wird. Auch beim Gravitationsansatz ist die
gesonderte Verkehrsverteilung für jede Quell-Ziel-Gruppe unerlässlich. Die Parameter der
Bewertungsfunktion F(k’) sind neben den Verkehrsarten auch von der Quell-Ziel-Gruppe
abhängig.
In der Praxis werden auch folgende Widerstandsfunktionen verwendet
f ( k'
) = k'
f ( k'
) = k'
f ( k'
) = e
−α
−α ( −βk
')
⋅e
2
( −αk
' )
wobei bei allen Funktionen α>0, β>0 ist.
2.2 Nutzenmaximierungsmodell
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Ortsveränderung von einer Quell i
die Zone j gewählt wird, wird auch das Multinominale Logit (MNL) Modell verwendet:
P
j
e
= n
e
∑
j=
1
( u j )
( u j )
j=1........n [11]
mit uj als deterministischer Nutzen der Alternative j (in diesem Fall der Zielzone j)
geht man davon aus, dass sich in Verkehrszonen j – q’j Nutzengelegenheiten als mögliche
Ziele befinden und die Wahl jeder dieser Gelegenheiten für den Verkehrsteilnehmer den
absoluten Bruttonutzen b aufweist, der durch den erforderlichen Widerstand k’ij gemindert
wird, so stellt sich der (Netto-) Nutzen der Auswahl einer Gelegenheit in der Verkehrszelle j
so dar:
u = b − k'
[12]
j
ij
Das Modell liefert dann die Wahrscheinlichkeit für die Verkehrszone j als Ziel eines Weges
von Zone i aus:
11

Verkehrsverteilungsmodelle
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( b−k
'ij
)
( b)
( −k
'ij
)
q'
j ⋅e
q'
j ⋅e
⋅ e
P j¦
i =
=
( b−k
'ij
)
( b)
( −k
'ij
)
∑ q'
j ⋅e
∑ q'
j ⋅e
⋅ e
j
j
und daraus
( −k
'ij
)
q'
j ⋅e
P j¦
i =
( −k
'ij
)
∑ q'
j ⋅e
j
Damit lautet das Verkehrsverteilungsmodell in allgemeiner Form:
( −k
'ij
)
q'
j ⋅e
q ij = q'i
⋅
( −k
'ij
)
∑ q'
j ⋅e
j
mit
' [15]
q’ij:
Quell-Ziel-Verkehrsstrom von Zone i nach Zone j
q’i: Quellverkehr der Zone i (Produktion)
q’j: Zielverkehr in Zone j (Attraktion)
k’ij: Widerstand eines Weges von i nach j
Dieses Modell erfüllt definitionsgemäss die notwendigen Rahmenbedingungen
∑ ij =
j
q' q'
(i=1, ..........m) [16]
i
die besagen, dass jedem in Zone i erzeugten Weg genau eine Zone j als Ziel zugeordnet wird.
2.3 Trendfaktorenmodelle
Die Trendfaktorenmodelle gehen davon aus, dass eine vorhandene Ausgangsmatrix (aus
einem früheren Zeitpunkt) oder eine repräsentative Stichprobenerhebung vorhanden ist. Auf
der Grundlage der vorhandenen Matrix wird eine Hochrechnung auf die Grundgesamtheit
oder einen Prognosenzustand durchgeführt. Für die Vorgehensweise existiert eine Reihe von
Methoden:
12
[13]
[14]

Verkehrsverteilungsmodelle
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• Einheitsfaktorenmethode
P A
q'
= q'
⋅ f - hier werden alle Verkehrsströme q’ij(A) der Verkehrsmatrix zum
ij
ij
Analysezeitpunkt mit einem einheitlichen Zuwachsfaktor f multipliziert. Der Zuwachsfaktor f
wird aus den Veränderungen der Strukturdaten abgeleitet. Voraussetzung für die Anwendung
dieser Methode ist die gleichmässige Entwicklung des betrachteten Untersuchungsgebietes
und unwesentliche Veränderungen des Verkehrsangebotes. Dieses Verfahren ist nur für
kurzfristige Prognoseabschätzungen anwendbar.
• Durchschnittsfaktorenmethode
Im Gegensatz zu den Einheitsfaktoren werden bei der Durchschnittsfaktorenmethode die
unterschiedlichen Entwicklungen der siedlungsstrukturellen Einflussgrössen in den
verschiedenen Zonen berücksichtigt. Damit werden jeder einzelnen Zone Faktoren zur
Hochrechnung der Verkehrsströme zum Prognosezeitpunkt aus dem Analysezustand
zugeordnet. Da die Wachstumsfaktoren jeder Zone unterschiedlich sind, ist die Ermittlung der
Prognose-Verkehrsbeziehungen eine iterative Berechnung unter den Randbedingungen:
∑ ij =
j
q' q'
und ∑ q' = q'
i
i
ij
j
( P)
( A)
( P)
( A)
wobei q' i = q'i
⋅ f i und q' j = q'
j ⋅g
i
[17]
Durch Iterationsverfahren wird
q'
( v+
1)
ij
= q'
( v)
ij
f
⋅[
( v)
i
mit i ( v)
q'ij
( v)
i
+ g
2
( v)
j
]
q'
q'
( v)
j
f = und g j = [19]
( v)
q'
berechnet (Köhler und Wermuth, 1999).
Bei der FRATAR-Methode lautet die Iterationsvorschrift
v
q' = q'
⋅ f
( v+
1)
ij
( v+
2)
ij
ij
( v+
1)
ij
( v)
i
( v+
1)
j
ij
q ' = q'
⋅g
[21]
13
[18]
[20]

Verkehrsverteilungsmodelle
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Für die Anwendung von Trendfaktorenmodellen müssen folgende Bedingungen erfüllt
werden (Köhler und Wermuth, 1999):
- Die Verkehrsströme q’ij für den Analysezustand müssen bekannt sein.
- Strukturdaten sowohl für Analyse- als auch für den Prognosezeitpunkt müssen
bekannt sein.
- Das Verkehrsverhalten bleibt unverändert.
- Keine wesentliche Veränderung des Verkehrsangebotes.
Die Trendfaktorenmodelle eignen sich vor allem für kurzfristige Verkehrsprognosen (bis 5
Jahren).
14

Verkehrsverteilungsmodelle
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3 Schätzung von Verkehrsbeziehungen mit Hilfe von Querschnittzählungen
3.1 Aufgabe
Die klassischen Methoden für die Ermittlung einer Quell-Ziel Matrix mit Befragungen
erfordern einen grossen Aufwand. Im Gegensatz können Verkehrszählungen durch die
automatischen Zähler rasch und kostengünstig durchgeführt werden. Die
Querschnittbelastungen setzen sich aus den Teilströmen verschiedener Verkehrsbeziehungen
zusammen und enthalten damit Informationen über die Verkehrsbeziehungen.
Es stehen mehrere Verfahren zu Verfügung mit denen versucht wird, eine aktuelle Quell-Ziel
Matrix aufgrund des Informationsgehaltes eines Satzes von Verkehrszählwerten und
zusätzlicher Informationen zu schätzen. Die Schätzung einer Quell-Ziel Matrix aufgrund von
Verkehrszählungen ist im Prinzip der umgekehrte Vorgang einer Verkehrsumlegung. Hier
wird statt aus einer gegebenen Quell-Ziel Matrix die Streckenbelastungen zu berechnen,
aufgrund gegebener Streckenbelastungen die dazugehörende Quell-Ziel Matrix geschätzt. Bei
der hier angewendeten Verfahren werden Kenntnisse über Verkehrsbelastungen auf einigen
Netzabschnitten und möglichst zutreffende Angaben über die Routenwahl der
Verkehrsteilnehmer benötigt.
Die beobachteten Verkehrsbelastungen (va) auf den Strecken (a) eines Verkehrsnetzes
werden durch die Verkehrsströme ( q' ij ) verursacht. Wenn mit
15
a
p ij der Anteil des
Verkehrsstromes q' ij zwischen i und j bezeichnet wird, der die Strecke a benutzt, kann für
jede Strecke, für welche eine Verkehrsbelastung (va) gemessen wurde, die folgende
fundamentale Gleichung aufgestellt werden:
a
a
∑∑ pij
⋅
v q'
[22]
wobei
= i j
0 ≤ ≤ 1
a
p
1 ≤
ij
a ≤ n
n = Anzahl der Zählquerschnitte
ij

Verkehrsverteilungsmodelle
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Der Wert von
a
p ij ist von der Routenwahl abhängig und kann mit Hilfe der
Umlegungsmodelle oder durch die Befragungen (z.B. bei Quell-Ziel Befragung mit der Frage
„via“) abgebildet werden .
Die fundamentale Gleichung [22] kann für jeden Zählwert va aufgestellt werden. Es ergibt
sich ein System linearer Gleichungen, welches in Vektor- und Matrixschreibweise wie folgt
dargestellt werden kann:
v = A⋅
q'
[23]
Die Elemente des Vektors v bilden die Ergebnisse der Verkehrszählungen.
Damit das Gleichungssystem [23] lösbar ist, muss die Anzahl n der Verkehrszählwerte der
gewonnenen Gleichungen gleich gross sein wie die Anzahl der unbekannten Verkehrsströme
q' ij . Dies wird in realen Fällen kaum je der Fall sein. Um eine mathematische Lösung zu
erreichen, müssen Zusatzbedingungen eingeführt werden. Die meisten entwickelten
Lösungsansätze unterscheiden sich in diesen Zusatzbedingungen.
Nach Axhausen, (2000, S. 3): „Es gibt zwei Grundansätze für die Schätzung. Der statische
Ansatz geht davon aus, dass im Netz ein Gleichgewicht herrscht, dass aber tageszeit- oder
wochentagsabhängig sein kann. Dieser Ansatz ist vor allem für grössere Netze und längere
Zeithorizonte geeignet. Der dynamische Ansatz verwendet die Schwankungen in den
Streckenbelastungen um QZ-Beziehungen zu schätzen, die zu einem rekursiven Modell
führen, das vor allem für kleinere Netze und kürzere Zeithorizonte geeignet ist. Gemischte
Ansätze, die versuchen die Stärken zu kombinieren, sind in der Literatur ebenfalls vorhanden.
Der path-flow-estimator (PFE) Ansatz gehört zu den statischen Ansätzen. Die
Anwendungsbereiche der verschiedenen Ansätze werden in Tabelle 1 dargestellt.
16

Verkehrsverteilungsmodelle
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Tabelle 1: Anwendungsbereiche der Ansätze
Art des Netzes Zeithorizont
Klein ohne Alternativen in
der Routenwahl
Langfristig Mittelfristig Kurzfristig
Statisch Dynamisch Dynamisch
Gross ohne Überlastungen Statisch Gemischt Gemischt
Gross mit Überlastungen PFE PFE PFE
Wenn das Netz keine Alternativen in der Routenwahl bietet oder wenn es nicht überlastet ist,
kann die Umlegung und die Schätzung der QZ-Matriz getrennt behandelt werden. Man kann
dann die Beziehungen zwischen Matrix und Umlegung als lineares Gleichungssystem
behandeln.“
3.2 Gravitationsansatz
Wenn bei der Schätzung einer Quell-Ziel Matrix aufgrund von Verkehrszählungen die
Zusatzbedingung angenommen wird, die Verkehrsverteilung könne mit einem
Gravitationsmodell nachgebildet werden, reduziert sich die Zahl der Unbekannten drastisch.
Im wesentlichen werden die Parameter eines Gravitationsansatzes aufgrund der Messwerte
(Vektor v bzw. va) kalibriert. Hier wird davon ausgegangen, dass es mit einem
proportionalen Umlegungsmodell nachgebildet werden kann. Es gilt dann:
v~ ' p
[24]
a
mit
∑∑ q ij ⋅
= i j
a
ij
v a
~ Verkehrsbelastung auf Link a
a
p ij konstanter, von a v~ unabhängiger Anteil des Verkehrsstromes zwischen i und j, welcher
Link a benutzt
q ' geschätzter Verkehrsstrom zwischen i und j
ij
17

Verkehrsverteilungsmodelle
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Gesucht wird jene Quell-Ziel Matrix, welche insgesamt die kleinste Abweichung zwischen
den beobachteten und den umgelegten Verkehrsbelastungen ergibt. Als Mass für die
Abweichung wird die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen den Einzelwerten der
beobachteten ( vˆ a ) und der umgelegten Verkehrsbelastungen ( v a
~ ) genommen:
n
a 2
C(
vˆ
, v~
) =
p )
[25]
a
a
∑ ( vˆ
a − ∑∑ q'ij
⋅
a i j
ij
Mit dem Ansatz [25] können die Lösungen für die Verkehrserzeugung (Produktion und
Attraktion) jeder Zone, nicht jedoch für die einzelnen Teilströme q ' gefunden werden. Um
ij
die Teilströme q ' zu bestimmen, muss ein Verteilungsmodell eingeführt werden. Hier kann
ij
ein einfaches Gravitationsmodell angewendet werden, dessen Parameter aufgrund der
Verkehrszählwerte geschätzt werden können.
3.3 Maximierung der Entropie
Für die Schätzung von Quell-Ziel Matrizen wurde von Willumsen (1978) ein Verfahren
entwickelt, dass unter den vielen verschiedenen Quell-Ziel Matrizen, welche bei der
Umlegung alle zum gleiche Satz von Streckenbelastungen führen, jene ausgewählt wird,
welche die grösste Wahrscheinlichkeit hat, aufzutreten. Dies bedeutet, dass jene Matrix
gesucht werden soll, welche die grösste Entropie aufweist und welche möglichst genau mit
den Verkehrszählwerten übereinstimmt. Mathematisch kann der Ansatz in folgender Form
beschrieben werden:
q'ij
Maximiere S = −∑
( q'ij
⋅ln
− q'ij
)
q'
Unter Randbedingungen
∑
ij
1 [26]
ij
ij
a
q' ⋅p
− v = 0 ; q ' ≥ 0
[27]
ij
wobei
ij
a
ij
18

Verkehrsverteilungsmodelle
_______________________________________________________________________________________Mai 2005
q' = a priori Information über den Verkehrsstrom von i nach j, z.B. aus eine alte- oder
ij
Erhebungsmatrix
a
p ij - der Anteil des Verkehrsstromes q’ij welcher den Link a benutzt
va - gemessene Verkehrsbelastung auf dem Link a
Die Lösung dieses mathematischen Programms ergibt sich aus:
∏
ij
q ' ij = q'
( xa
) ( q' ij = ∏ −
q'
( e
ij
a
a
p
ij
a
p
a
ij
i )
λ
a
−∑
pij
⋅ i
a = ⋅ q
λ
' ) [28]
Die Werte xa müssen aus den Randbedingungen [27] iterativ bestimmt werden.
ij e
Die so geschätzte Matrix ist jene, welche am nächsten (im Sinne des entropischen Abstandes)
bei der a priori Matrix q ' liegt und die Bedingungen [27] erfüllt. Damit eine Lösung gefunden
werden kann, müssen die Verkehrszählwerte in sich konsistent sein.
Es wurden noch weitere Verfahren zur Schätzung von Verkehrsbeziehungen mit Hilfe von
Querschnittszählungen entwickelt, wie der Algorithmus der Variablen Inkrement
(Cremer/Keller, 1981), die Methode der kleinste Fehlerquadrate (Cremer, 1983;
Cremer/Keller, 1986), ODYN (Ploss, 1992), die Minimierung des Informationszugewinns
(Van Zylen, 1980/81), RIMAK (Ziegler, 1989) usw. Eine Analyse der Möglichkeiten und
Grenzen der vorhandenen Verfahren wird in einer Untersuchung der Forschungsgesellschaft
für Strassen- und Verkehrswesen vorgestellt (FGSV, 1995).
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Verkehrsverteilungsmodelle
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4 Kalibrierung von Verkehrsverteilungsmodellen
Die Nutzung von Modellen der Verkehrsverteilung erfordert deren Kalibrierung, d.h. die
Eichung der Modellparameter anhand empirischer Verhaltensdaten. Für die Eichung werden
häufig folgende Ansätze verwendet (Schnabel und Lohse, 1997):
• Ansatz 1
Dieser Ansatz benutzt – ähnlich wie bei der Regressionsanalyse - die Minimierung der
Summe der quadratischen Abweichungen der Matrixelemente als Abstandsmass:
D
∑∑
= i j
2
( q'e
− q'
) ⇒ Minimum
[29]
ij
q' eij
- empirische Verkehrsströme
• Ansatz 2
ij
Bei diesem Ansatz wird der Nachteil der möglichen Überbewertung grösserer
Verkehrsströme des Ansatz 1 vermieden:
∑∑
D ¦ q'e
− q'
¦ ⇒ Minimum
[30]
= i j
• Ansatz 3
ij
ij
Bei diesem Ansatz werden durch die Kalibrierung die Modelparameter so gefunden, dass ein
minimaler Informationsgewinn gegenüber der Informationsentropie der empirischen Matrix
ve ij besteht:
q'eij
D ∑∑ q'
eij
⋅ ¦ ln( ) ¦ ⇒ Minimum
[31]
q'
= i j ij
• Ansatz 4
Als geeignet für die Kalibrierungsaufgabe hat sich auch folgender Ansatz gezeigt. Prinzipiell
stimmt er mit den Ansätzen der Minimierung des Informationsgewinns überein und entspricht
auch dem
2
χ -Test der mathematischen Statistik.
( q'eij
− q'
D = ∑∑ q'
i j ij
ij
)
2
⇒ Minimum
20
[32]

Verkehrsverteilungsmodelle
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5 Direct Demand Models
Häufig erscheint es realitätsnäher, nicht alle Entscheidungen isoliert und sequentiell, sondern
simultan darzustellen. Ein alternativer Ansatz zum Vierstufen-Algorithmus ist ein „direct-
demand“ Modell der Verkehrserzeugung, Verkehrsverteilung und Verkehrsmittelwahl:
q 'ijk q'i
⋅p
j¦
i ⋅ pm¦
i,
j
= [33]
• Die ersten Regressionsansätze verwenden sozio-ökonomische Variablen nach Zonen
und Verkehrsangebotsvariablen:
∏
θk1
θk
2 m α km m αkm
q ' = φ ( P P ) ( I I ) [( t ) ( c ) ]
[34]
ijk
wobei
P – Einwohner
k
I – Einkommen
i
j
i
j
m
ij
t- Reisezeit und c- Reisekosten zwischen i und j mit Verkehrsmittel k
φ , θ , α - Modelparameter
Dieser Ansatz kann auch in einfacherer Form geschrieben werden
L
Y
Z
ijm
ik
jk
1
km
2
km
1
ij
2
m α m α
= ( t ) ( c )
[35]
ij
k1
k 2
i i
ij
θ θ
= P I
[36]
θ θ
= P I
[37]
k1
k 2
j j
Damit wird Ansatz [34] zu
∏
q' = φ Y Z L
[38]
ijk
k
ik
jk
m
ijm
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Verkehrsverteilungsmodelle
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Die Modellparameter θ 1,θ 2 sind die Elastizitäten der Nachfrage in Abhängigkeit von der
Einwohnerzahl und des Einkommens und
1 2
α km , α km sind Elastizitäten in Abhängigkeit von
der Reisezeit und den Reisekosten, φ k ist ein Reisezweck spezifischer Parameter.
Die hier ermittelten direkten Elastizitäten sollten positive und die Kreuz-Elastizitäten negative
Vorzeichen haben. Diese Modelle sind sehr attraktiv für die Berechnung der
Verkehrserzeugung, der Verkehrsverteilung und der Verkehrsmittelwahl unter
Berücksichtigung der Attribute der betrachteten Verkehrsmittel, des vorhandenen
Verkehrsangebots und der Mobilitätsvariablen. Entscheidendes Problem bei dieser Methode
ist die grosse Anzahl von unbekannten Parametern, die komplexe nicht lineare Schätzung und
die Berücksichtigung der räumlichen Fehlerstrukturen.
• In der North Eash Corridor Study in den USA wurde folgender Ansatz verwendet
(Ortuzar und Willumsen, 1995):
q'
ijk
k α k k α k ( tij
) ( Cij
)
m
m α
2
θ θ 2
ij m α m
= φ k ( Pi
Pj
) ( I i I j )
{
m m ∑[(
tij
) ( C
α
ij ) ]}
1
2
m α m
[( t ) ( C ) ] m
1 ψ
[39]
∑
m
ij
1
ij
2
Direct-demand Modelle sind für die Anwendung attraktive Ansätze, besonders für
Untersuchungen mit grosse Zonen wie z.B. Inter-Regionale Studien. Timberlake (1988) hat
die Anwendung von diesen Modellen in Entwicklungsländern diskutiert und findet sie besser
geeignet als konventionelle Modelle (Ortuzar und Willumsen, 1995). Wesentliche Nachteile /
Probleme bei der Anwendung dieser Modellen ist die plausible Kalibration der
Modelparameter und damit auch die Anwendung für die Verkehrsprognose.
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Verkehrsverteilungsmodelle
_______________________________________________________________________________________Mai 2005
6 Literatur
Axhausen, K.W. (2000) Methoden zum Erstellen und Aktualisieren von
Wunschlinienmatrizen im Motorisiertem Individualverkehr, SVI-Angebot 00/9, Zürich
Bobinger, R. (1999), Modellierung der Verkehrsnachfrage bei preispolitischen Massnahmen,
Dissertation, TU München, München
Bosserhoff, D. (1985), Statische Verfahren zur Ermittlung von Quelle-Ziel-Matrizen im
Öffentlichen Personennahverkehr – Ein Vergleich, Dissertation, Universität Karlsruhe,
Karlsruhe
Cremer, M., V. Klaas, H. Keller und G. Ploss (1985), Identifizierung der Herkunft-Ziel-
Matrix von Komplexen Verkehrsanlagen aus den Zeitverläufen von
Querschnittszählungen, Forschungsvorhaben Cr 69/1-1 gefördert durch die Deutsche
Forschungsgemeinschaft, München und Hamburg-Harburg
FGSV (1995) Hinweise zur Schätzung von Verkehrsbeziehungen mit Hilfe von Querschnittszählungen,
FGSV, Köln
Klaas, V. (1986) Ein dynamisches Verfahren zur Bestimmung der Quelle-Ziel-Teilflüsse in
Verkehrsanlagen mit Laufzeiten und Dispersion, Dissertation, TU Hamburg-Harburg,
Hamburg-Harburg
Köhler, U. und M. Wermuth (1999), Analyse der Anwendung von
Verkehrsnachfragemodellen, Forschungsbericht FE-Nr.01.144 G96 H, Kassel und
Braunschweig
Ortuzar, J. de D. und L.G. Willumsen (1995) Modelling Transport, Zweite Ausgabe, Wiley
and Sons, New York
Ploss, G. (1992) Ein Dynamisches Verfahren zur Schätzung von Verkehrsbeziehungen aus
Querschnittszählungen, Dissertation, TU München, München
Steierwald, G. und Künne H.D. (Hrsg.) (1993), Stadtverkehrsplanung, Springer-Verlag,
Berlin
Schnabel, W. und D. Lohse (1997) Grundlage der Strassenverkehrstechnik und der
Verkehrsplanung, II, Verlag für Bauwesen, Berlin.
Widmer, P. (1989) Vereinfachte Methode zur raschen Schäzuung von Verkehrs-beziehungen,
Schlussbericht, SVI 10/84, Ingenieur- und Planungsbrüo Widmer, Frauenfeld.
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