DAS PROBLEM DES HANDLUNGSREISENDEN (TSP)‏

DAS PROBLEM DES
HANDLUNGSREISENDEN (TSP)‏
JOHANNES UTSCH
INFORMATIK GRUNDKURS

Definition
➲ Suche nach dem kuerzesten
Hamiltonkreis zwischen einer endlichen
Anzahl von Punkten innerhalb eines
zweidimensionalen Graphen
➲ Symmetrisches TSP: Hin- und Rueckweg
zwischen zwei Punkten gleich
➲ Assymmeetrisches TSP: Hin- und
Rueckweg verschieden oder nur eine
Richtung moeglich
➲ Metrisches TSP: Dreiecksungleichung gilt

Geschichte
➲ William Rowan Hamilton: Icosian Game
➲ Erste mathematische Erwaehnung durch
Karl Menger , 1930
➲ Bezeichnung (TSP) durch Hassler Whitney
➲ Beweis der NP – Aequivalenz (Rechenzeit
mindestens exponentiell): 1972 durch
Richard M. Karp
➲ Sammlung von Standart – TSP – Aufgaben
zum Test von Loesungsverfahren durch
Gerhard Reinelt, 90er Jahre

“Weltrekorde im TSP”
➲ 50er und 60er: Schnittebenenverfahren:
49 Knoten
➲ 70er und 80er: Branch and Cut Verfahren:
2392 Knoten
➲ Heute: 33.810 Punkte exakt, bis zu 500
Millionen Knoten mit Abweichungen

Anwendung
➲ Entwicklung und Test von
Optimierungsverfahren
➲ Schaltkreise
➲ Zulieferungsrouten (z.B. Daimler – Chrysler
USA)‏
➲ Berechnung von computergestuetzten
Produktionsprozessen
➲ Verkehrsplanung

Das TSP als “Spielwiese” fuer
Optimierungsverfahren
➲ Das TSP eignet sich perfekt zur
Entwicklung und zum Test von
algorithmischen Optimierungsverfahren auf
Grund folgender Faktoren:
� NP-Aequivalenz und vermutete NP-
Vollstaendigkeit
� Relativ leichte Errechenbarkeit der Laenge des
optimalen Weges
� Beliebige Modulation des Problemumfanges

Vereinfachen des Problems
➲ Modulation als ungerichteter Graph mit
Knoten und Kanten
➲ Formulierung als mathematisches,
ganzzahliges, lineares Problem
� Jede Kante ist eine binaere Variable (0 fuer
nicht benutzt und 1 fuer benutzt)‏
� Gradbedingung: Die Summe der an jeden
Knoten grenzenden benutzten Kanten muss
stets genau 2 sein
� Dies muss auch fuer jede verbundene
Knotenmenge ausser der Gesamtheit aller
Knoten gelten

Brute Force Verfahren
➲ Eine Turing – Maschine koennte theoretisch
jedes TSP durch Ausprobieren aller
moeglichen Touren loesen
➲ Extrem hoher Rechenaufwand: (n-1)!/2,
also ueberexponentiell ( O(n)=n!)‏
➲ Beispiel: 15 Knoten: 43,5 Milliarden
Moeglichkeiten, 18 Knoten: 177 Billionen

Schnittebenenverfahren und
Branch-and-cut Verfahren
➲ CPA (Cutting Plane Algorithm)‏
➲ Das TSP kann mathematisch als lineares,
ganzzahliges Problem gesehen werden
➲ Dieses wird wiederrum als geometrischer
Koerper betrachtet (Ecken = Touren)‏
➲ “Abschneiden” von unmoeglichen (keine
Touren) und Ecken mit zu hohen
Entfernungen
➲ Meist zu ineffektiv, aber bestimmt effektiv
untere Schranke der Optimalloesung

Heuristiken als Eroeffnung
➲ Nearest Neighbor Heuristik
➲ Nearest Insertion Heuristik
➲ Partitionsheuristiken
➲ Minimum Spanning Tree Heuristik und
Christophides Heuristik (kleinster
euler'scher Baum)‏

Verbesserungsheuristiken
➲ Ameisenalgorithmen (ACS)‏
➲ Genetische Algorithmen (GA)‏
➲ Hopfield – Netz
➲ K – Opt – Heuristiken
� Optimieren lokal innerhalb einer Tour eine kleine
Anzahl von Kanten (praktisch hoechstens 5)‏
� Tun dies fuer alle n aufeinanderfolgenden
Kanten innerhalb einer Tour

Quellen
➲ www-i1.informatik.rwth-aachen.de
➲ wikipedia.org
➲ tsp.gatech.edu
➲ lalena.com
➲ students.ceid.upatras.gr