7 Turbulenz

7 Turbulenz
In einer laminaren Strömung fliessen die Flüssigkeitselemente in benachbarten
Stromlinien aneinander vorbei ohne sich zu mischen.
Im Gegensatz dazu hat die turbulente Strömung einen stark unregelmässigen,
chaotischen Charakter, sie enthält zahlreiche Wirbel und die
Flüssigkeit wird kräftig durchmischt.
Turbulente Strömungen sind durch folgende Merkmale charakterisiert:
• die Strömung ist instationär, die Geschwindigkeit enthält eine fluktuierendeKomponente,
die zufälligverteiltscheint. • sie sind immer dreidimensional (auch wenn alle Variablen nur von
zwei Koordinaten abhängen)
• sie besitzen Vorticity und enthalten Wirbel (engl. „eddies“) vieler
Grössenskalen
• sie sind stark durchmischt. Weil die Mischung Flüssigkeit von sehr
unterschiedlicher Geschwindigkeit in Kontakt bringt, entstehen hohe
Gradienten und Dissipation findet statt.
• sie enthalten kohärente Strukturen, sind also nicht im mathematischen
Sinne zufällig.
Um die Turbulenz zu charakterisieren, eignen sich Methoden der statistischen
Physik, also etwa
• Mittelung über die Zeit oder über ein Ensemble
• Korrelationen und Autokorrelationen
• Turbulenzspektren (Verteilung der turbulenten kinetischen Energie)
Durch turbulente Durchmischung können Flüsse von Stoffen, von Impuls
und von Energie – analog wie durch Diffusion - bewirkt werden.
Man spricht dann von „turbulenter Diffusion“ („eddy-diffusion“). Turbulente
Diffusion ist meist um Grössenordnungen effizienter als molekulare
Diffusion.
47
Turbulenz kann dann existieren, wenn viskose Dämpfung nicht ausreicht,
um die kinetische Energie allfälliger Wirbel zu dissipieren, d.h.,
wenn die Trägheitskräfteviel grössersind als die Reibungskräfte:
2
V V
ρ >> µ
(7.1)
L 2
L
oder ausgerückt durch das Verhältnis
2
ρV
/ L
≡ Re >> 1
(7.2)
2
µ V / L
Turbulenz setzt ein, wenn die Strömung bezüglich sehr vieler Freiheitsgrade
instabil ist. Dies ist der Fall bei kritischen Reynoldszahlen von der
Grössenordnung 1000 bis einige Tausend.
Eine turbulente Strömung hat eine starke Wechselwirkung zwischen den
Wirbeln aller Skalen: kleine Wirbel können zu grossen Wirbeln wachsen,
und umgekehrt grosse Wirbel in kleine Wirbel zerfallen.
Die kleinen Skalen sind wesentlich für die Dissipation.
Beispiel:
Re = 1500
V =5m/s
ν =1.5x10-5 (Luft)
Re
L = ≈
V
ν
5 mm
Für die Dämpfung sind also (in diesem Beispiel) Wirbel der Grösse von
wenigen Millimetern massgebend.
(7.3)
48

7.1 Reynolds-Mittelung
Wir schreiben alle Strömungsvariablen in der Form
~
f ( xi
, t)
= F(
xi
, t)
+ f ( xi
, t)
(7.4)
Dabei ist f ~ ∫
die zeitlich variable Grösse, F ein zeitlicher Mittelwert, der
sich mit der Zeit nur langsam verändert, und f ist die fluktuierende Komponente.
Von diesenGrössenbildenwirzeitlicheMittel: ~ 1 T ~
f ( xi
, t)
= f ( xi
, t)
≡
T 0
F(
xi
, t)
(7.5)
Im Folgenden werden Grossbuchstaben für zeitliche Mittelwerte, und
Kleinbuchstaben für Fluktuationen verwendet.
Der Mittelwert über die Fluktuationen verschwindet:
f = 0
FürProduktevonzwei Variablen ergibt die Mittelung
(7.6)
~
f g~
= FG + fg
(7.7)
Im Folgenden betrachten wir der Einfachheit halber inkompressible Flüssigkeiten,
mit den Geschwindigkeitskomponenten
u ~
i = Ui
+ ui
(7.8)
Es gilt die Kontinuitätsgleichung
∂u~
i
∂xi
= 0
(7.9)
Die Mittelung dieser Gleichung gibt
∂Ui
∂xi
= 0
(7.10)
also die K ontinuitätsgleichung für den Mittelwert. S ubtrahiert man diese
von 6.9, so erhält man eine K ontinuitätsgleichung für die Fluktuationen:
∂ui
∂xi
= 0
(7.11)
Als nächstes nehmen wir die Navier-Stokes-Bewegungsgleichung für eine
inkompressible Flüssigkeit, und schreiben die linke Seite in der Form
wie (1.5):
49
∂u~
~ 2~
i ∂ ( ~ ~ ∂p
∂ ui
ρ + ρ uiu
j ) = − + µ
(7.12)
∂t
∂x
2
j ∂xi
∂x
j
Die Reynolds-Mittelung liefert
2
∂Ui
∂
∂ ∂P
∂ Ui
ρ + ρ ( UiU
j ) + ρ ( uiu
j ) = − + µ
(7.13)
∂t
∂x
2
j ∂x
j ∂xi
∂x
j
Der neue Term
R
ij
τ = ρ uiu
j
(7.14)
wird als „Reynolds-Spannung“ (engl. „Reynolds-stress“) bezeichnet. Er
beschreibt die Effekte der Turbulenz und rührt von der Nichtlinearität der
Impulsgleichung her.
Es ist möglich, durch geeignete Mittelung der Navier-Stokes-Gleichung
auch Gleichungen für i j u u herzuleiten. Allerdings enthalten diese ihrerseits
Terme höherer Ordnung wie i j k u u u oder p ui : Man erhält ein nicht
abgeschlossenes System mit mehr Unbekannten als Gleichungen. Man
benötigt also Annahmen oder Approximationen, um das System zu
schliessen.
Ein Mass für die Stärke der Turbulenz ist der Tur bulenzgrad Tu, definiert
als
2
2
2
1 u + v + w
Tu = (7.15)
U 3
Für die meisten turbulenten Strömungen liegt der Turbulenzgrad zwischen
1% bis 10%, in Extremfällen kann er bis 40% betragen.
Physikalisch können wir erwarten, dass die Reynolds-Spannungen von
den charakteristischen Eigenschaften der relevanten Wirbel, nämlich einer
Turbulenzgeschwindigkeit u ∗ ,wo
2 ( )
uv = O u∗
(7.16)
einer charakteristischen Längenskala der Wirbel L und den Geschwindigkeitsgradienten
in der mittleren Strömung dU/dy abhängen.
ρ = f ( ρ,
L,
u , dU dy )
(7.17)
uv ∗
50

Dimensionsanalyse liefert
⎞ ⎛
⎜
uv
⎟
L dU
= F
(7.18)
2
u dy ⎜ ⎟
∗ u∗
⎠ ⎝
In Analogie zur molekularen Diffusion können wir den Effekt der Turbulenz
approximieren durch eine turbulente Diffusion (engl. „eddy diffusion“)
proportional zum Geschwindigkeitsgradienten
dU
− uv = νT
(7.19)
dy
ν T = Cu∗L
(7.29)
(C ist eine dimensionslose Konstante).
Da die Gradienten in der Strömung durch die Turbulenz produziert werden,
muss für die Skalen gelten
u∗ dU
∝
(7.21)
L dy
und folglich
2 dU
l ν T =
(7.22)
dy
Damit haben wir u∗ eliminiert, und die KonstanteC in die „Mischungs-
l länge“ integriert.
Turbulente Strömungen lassen sich grob einteilen in „freie Turbulenz“
(z.B. in einem Strahl oder Nachlauf) und „Wand-Turbulenz“ in der Nähe
einer Grenzfläche.
Für freie Turbulenz ist ungefähr konstant und von l der Grössenordnung
der Skala der turbulenten Struktur.
7.2 Wand-Turbulenz
Wand-Turbulenz verhält sich fern von der Wand gleich wie freie Turbulent.
Nahe der Wand können aber grosse Wirbel nicht mehr existieren
(oder jedenfalls keinen Beitrag zum Impulstransport leisten), es muss
gelten → 0 ( y → 0)
, und man setzt nahe der Wand
= l κ y
(7.23)
( κ ≈ 0.
41 ist eine dimensionslose Konstante, die Karman-Konstante).
Nahe der Wand lässt sich das Geschwindigkeitsprofil aus reinen Dimensionsüberlegungen
herleiten:
l
51
dU u∗
u∗
= =
(7.24)
dy κ l y
mit der Lösung
u∗
y
U(
y)
= ln
(7.25)
κ y0
Allerdings kann diese Lösung die Randbedingung U( 0)
= 0 nicht erfüllen,
und man verwendet oft
u y + y0
U(
y)
= ln
y0
∗
(7.26)
κ
Diese Lösung (mit z anstelle von y) ist z.B. in der Atmosphärenphysik
bekannt als das „logarithmische Windprofil“ und gilt für die bodennahe
Schicht von einigen Dutzend Metern Höhe (bei thermisch neutraler
Schichtung). Die Konstante y0 (bzw. z0) hat eine verschiedene Bedeutung,
je nach der Beschaffenheit der Grenzfläche. Für eine aerodynamisch
raue Oberfläche ist y0 die „Rauhigkeitshöhe“, für eine aerodynamisch
glatte Oberfläche hingegen muss zusätzlich noch eine viskose Unterschicht
betrachtet werden, und y0 durch Anpassung an die Lösung für
viskose Strömung bestimmt werden.
7.3 Strömung zwischen parallelen Platten
Mit dem logarithmischen Gesetz haben wir zwar einen Ausdruck für die
Strömung nahe einer Wand, allerdings fehlt uns noch jede Information
über den Turbulenzgrad bzw. u * U als Funktion der Strömungsparameter.
Eine solche Beziehung soll in diesem Abschnitt für den Fall einer
turbulenten Strömung zwischen parallelen Platten hergeleitet werden.
Eine solche Strömung entspricht beispielsweise einer Strömung in einem
sehr breiten Kanal, oder, für die Transformation in Zylinderkoordinaten,
der Strömung in einem Rohr mit kreisförmigem Querschnitt. Wir betrachten
nur den Grenzfall sehr hoher Reynoldszahl.
52

(Channel Flow: Figur aus Panton)
Wir setzen voll-ausgebildete Turbulenz voraus, dann sind die Strömungsgrössen
unabhängig von der Koordinate in Richtung der Strömung
(x).
Die Impulsgleichungen sind dann, analog zu (3.20 – 3.21):
2
1 ∂P
duv
d U
0 = − − + ν
(7.27)
ρ ∂x
dy 2
dy
2
1 ∂P
dv
0 = − −
ρ ∂y
dy
(7.28)
2
2
Die zweite Gleichung gibt P0 = P + ρ v und, weil v
hängt:
nicht von x ab-
∂P
dP0
=
∂x
dx
(7.29)
Nun integriert man (7.27) über y von der Wand, wo die Schubspannung
τ 0 gegeben ist durch
dU τ 0
ν ≡ −
dy 0 ρ
und uv ( y = 0)
= 0 , und erhält
(7.30)
y dP0
dU τ 0
0 = − − uv + ν −
(7.31)
ρ dx dy ρ
Auf der zentralen Stromlinie verschwinden aus Symmetriegründen sowohl
uv als auch dU dy ,undwirerhalten
53
⎞ ⎛ dU τ
− +
0 y
uv ν = ⎟ 1 ⎜ −
(7.32)
⎠ ⎝ dy ρ h
Die gesamte Schubspannung verändert sich linear mit der Distanz y.
Wir betrachten nun als erstes die Strömung aussen im Kanal, die „äussere
Lösung“, und wählen dimensionslose Variablen der Ordnung 1:
y
Y = (7.33)
h
und approximieren für grosse Re:
U(
Y )
u∗
= F(
Y,
Re) ≈ F0
( Y ) + ∆(Re)
F1(
Y ) + ... = F0(
Y ) + F1(
Y ) + ...
U0
U0
(7.34)
u∗ definieren wir als Skalengrösse für die Turbulenz, und setzen
uv
− = G(
Y,
Re) ≈ G0(
Y ) + ...
2
u∗
und eine modifizierte Reynoldszahl
u∗h u∗
Re∗
≡ = Re
ν U0
Wir setzen nun alles in (7.32) ein:
2
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎠
⎠
⎝
⎝
U0
G +
u∗
1 dF τ 0 ρ
=
Re dY 2
u∗
−
Experimentell ist bekannt, dass
⎛U
u
0
∗
⎞
2
1
Re
→ 0
,
Re → ∞
( 1 Y )
(7.35)
(7.36)
(7.37)
(7.38)
⎟
⎜
⎟
⎠ ⎝
folglich verschwindet der zweite Term auf der linken Seite für Re → ∞ .
G ist O(1); damit die rechte Seite auch von Ordnung 1 ist, setzen wir
2 ≡
∗
u ρ
(7.39)
τ 0
Der Turbulenzgrad ist also durch die Schubspannung an der Wand bestimmt.
Die Lösung für F0(Y) erhalten wir aus der einfachen Betrachtung des
Grenzfalls von Re = ∞: dann ist die Strömung reibungsfrei und
54

U(
y)
= F(
Y,
∞)
= F0
( Y ) = 1
U0
Damit ist
(7.40)
U(
y ) − U0
F1(
Y ) =
u∗
(7.41)
Als nächstes betrachten wir nun eine Approximation für die Lösung nahe
der Wand, als „innere Lösung“. Hier ist die charakteristische Geschwindigkeit
ebenfalls u ∗ (U0 ist nahe der Wand keine Skala), die charakteristische
Länge ist durch die Viskosität bestimmt:
ν h
d ≡ =
u∗
Re∗
Die inneren Variablen sind dann:
(7.42)
+ y yu∗
y ≡ =
d ν
,
U
f0
=
u∗
,
uv
g0
≡ −
2
u∗
(7.43)
In inneren Variablen wird die Bewegungsgleichung (7.32) zu
df0
g 0 +
+
dy
= 1
(7.44)
In der inneren Schicht, wo y + = O(1) ist also die Schubspannung (Summe
aus molekularer und turbulenter Schubspannung) konstant.
Es muss nun ein Gebiet geben, wo sich die beiden Lösungen überlappen,
also
u∗
+
+
Fcp ( Y ) ≡ F(
Y → 0)
= f ( y → ∞)
≡ fcp(
y )
(7.45)
U0
(cp steht für „common part“, gemeinsamer Teil, d. h. den Teil der Funktionen
mit gleichem asymptotischem Verhalten). In erster Näherung gilt
dann
u∗
u∗
+
1 + F1,
cp ( Y ) = f0,
cp(
y )
(7.46)
U0
U0
Wir kennen F1 nicht, also hilft diese B eziehung nicht sehr viel weiter. Es
müssen aber auch die Ableitungen gleich sein, also
dF
Y
dY
1,
cp
= y
+
df
0,
cp
+
dy
=
1
κ
(7.47)
55
Die beiden Variablen unterscheiden sich um den Skalenfaktor
+
Y / y = Re∗
; weil die Beziehung unabhängig vom Wert von Re∗ gelten
muss, sind beide Seiten gleich einer Konstanten.
Wir können für innere und äussere Variablen integrieren, und erhalten
+ U(
y ) 1 +
f 0,
cp(
y ) = = ln y + Ci
u κ
∗
(7.48)
+ U(
y ) − U0
1
F 1,
cp(
y ) = = lnY
+ Co
(7.49)
u∗
κ
Wir erhalten also wieder die logarithmischen Lösungen. Zwar kennen wir
von F immer noch erst den Wert im Überlappungsgebiet. Dafür liefert die
Differenz der beiden Ausdrücke aber das wichtige Resultat (Isakson
1937, Millikan 1938, Zitat in Panton):
i O C C
⎛ ⎞
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
U0
1 u∗
= ln Re + −
u∗
κ U0
(7.50)
Wir haben eine, wenn auch implizite, Beziehung zwischen dem Turbulenzgrad
und der Reynoldszahl gefunden (gültig für grosse Re). Die
Konstanten lassen sich experimentell bestimmen, sie sind
κ ≈ 0.
41 (Karman Konstante) (7.51)
C i ≈ 5.
0
(7.52)
C ≈ −1
(für ein rundes Rohr) (7.53)
o
u∗/U 0
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
1x10 3
1x10 4
1x10 5
Re
Turbulenzgrad als Funktion der Reynoldszahl, für Ci –Co =6
1x10 6
1x10 7
56

Mit u∗ U0
lässt sich auch der Strömungswiderstand, bzw. der Druckabfall
berechnen:
∆P
dP
2
= = −hτ
0 = −hρu∗
(7.54)
∆x
dx
und der Widerstandskoeffizient:
2
2
⎞ ⎛ F u
2 ⎜ ∗
Cw = =
(7.55)
⎟
2
Aρ
⎟
U
⎜
⎝U
0 ⎠ 0
Strömungswiderstände in Rohren haben dann neben diesem Beitrag für
ausgebildete Turbulenz noch je einen Beitrag vom Ein- und Austritt des
Rohrs, wo sich die Geschwindigkeitsverteilung ändert und die Gradienten
in der Regel grösser sind.
(Figur aus Panton)
57
7.4 Freie Turbulenz: der turbulente Strahl
(Figur aus Panton)
Wir betrachten einen Strahl, der aus einem Kanal in ein Reservoir austritt.
Die Breite des Austritts sei D, die Austrittsgeschwindigkeit U0.Rei bung zwischen dem Strahl und der ruhenden Flüssigkeit im Reservoir
bewirkt Turbulenz, der Strahl nimmt Flüssigkeit aus der Umgebung auf.
Die Geometrie sei planparallel, und alle Variablen unabhängig von der z-
Koordinate.
In genügendem Abstand vom Austritt können wir annehmen, dass die
Turbulenz alle „Erinnerung“ an das Austrittsprofil ausgelöscht hat und
das P rofil sich selbst ähnlich bleibt.
Wir verwenden aus der Impulsgleichung nur den Trägheitsterm und die
Reynolds-Spannung
∂U
∂U
∂uv
U + V = −
∂x
∂y
dy
Dazu addieren wir U mal die Kontinuitätsgleichung und erhalten
∂ 2
U ∂UV
∂uv
+ = −
∂x
∂y
dy
(7.56)
(7.57)
58

Wir integrieren diesen Ausdruck über y von -∞ bis +∞, und berücksichtigen
die Symmetrie bezüglich y: Dann liefert nur der 1. Term einen Beitrag:
bzw.
∞
−∞
∫
∞
2
dU
dx
2
dy =
d
dx
∞
2
= U dy ∫ 0
−∞
2
0
∫ U dy = const.
= U D
−∞
(7.58)
(7.59)
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ ⎝
Der Impulsfluss in x-Richtung ist erhalten. Hingegen ist der Massenfluss
nicht erhalten, der Strahl nimmt Flüssigkeit aus der Umgebung auf, und
wird dadurch abgebremst. In genügender Distanz vom Austritt sei die
Geschwindigkeitsverteilung selbstähnlich:
y
U(
x,
y)
= U = U(
η)
δ ( x)
,
y
η ≡
δ ( x)
(7.60)
Wir stellen die Geschwindigkeit durch eine Stromfunktion ψ dar:
ψ = Us ( x)
δ ( x)
F(
η)
,
berechnen die Komponenten
(7.61)
∂ψ
U =
∂y
,
∂ψ
V = −
∂x
(7.62)
und deren Ableitungen und setzen alle in die Impulsgleichung ein, und
erhalten für die rechte Seite (der Strich bezeichnet jeweils die Ableitung
nach dem Argument der Funktion)
∂U
∂U
2 Us
( δUs
) '
U + V = UsU's
F'
+ FF'
'
∂x
∂y
δ
(7.63)
Die Reynoldsspannung approximieren wir durch einen Diffusionsansatz:
dU
− uv = u∗L
dy
(7.64)
Die charakteristische Distanz ist die Breite des Jets (die grössten Wirbel
sind die effektivsten), also L = δ , und für die charakteristische Geschwindigkeit
nehmen wir einen festen Bruchteil der Strömungsgeschwindigkeit:
u ∗ = cUs
(7.65)
59
dU
− uv = cUs
δ
(7.66)
dy
Diesen Ausdruck muss man ebenfalls durch die Stromfunktion ausdrücken,
man erhält nach einiger Mathematik
2
∂uv
cUs
− = F'
''
(7.67)
∂y
δ
und die Differentialgleichung
( ) '
' ''
''
'
'
'
2 δUs
cUs
F + FF = F
(7.68)
δUs
δUs
FsollnureineFunktionvonηsein (Ähnlichkeit!), also müssen die Koeffizienten
Konstanten sein. In der Tat verlangt die Impulserhaltung, dass
der Koeffizient auf der linken Seite gerade gleich –1 ist. Der Koeffizient
auf der rechten Seite ist frei wählbar (damit skalieren wir δ ), wir setzen
ihn gleich -½ (damit wird die Lösungvereinfacht). Damit ist auch die
funktionale Form von δ festgelegt, der Koeffizient wird nur konstant
wenn δ proportional x ist.
Experimentell findet man
δ ( x) ≈ 0.
11 x
(7.69)
(vgl. Panton) und daraus
1 2
( ) 2 1
D /
−
Us = Ax = 2. 7U0
x
(7.70)
Als Lösung für F, mit den Randbedingungen F(0)=0, F’(0) = 1, F’’(0) = 0
und F’(±∞)=0 findet man
F '( η ) = tanh( η)
(7.71)
U
Us
U
=
1 2
Ax
1
=
2
cosh ( η)
(7.72)
Für einen runden Strahl findet man ein ähnliches Profil, aber einen Verlauf
∝ 1 x .
U s
60

7.5 Kolmogoroff-Energiekaskade
Für hohe Reynoldszahlen lässt sich die spektrale Form der Turbulenz
aus einfachen Dimensionsbetrachtungen herleiten.
Die spektrale Verteilung der kinetischen Energie sei gegeben durch eine
Funktion F(k), wo k die Wellenzahl ist, sodass
= ∞
2
∫ ui F(
k)
dk
(7.73)
0
Die kinetische Energie der Turbulenz werde auf grossen Skalen erzeugt.
Auf diesen Skalen ist die viskose Dämpfung vernachlässigbar, die
Dämpfung findet nur auf sehr kleinen Skalen statt. Die Energie der grossen
Wirbel muss folglich über eine Kaskade von immer kleineren Wirbeln
bis zu den kleinsten Wirbeln übertragen werden, damit Dämpfung stattfinden
kann.
Die Energie der grossen Wirbel sei gegeben durch u 2 , ihre Längenskala
durch L. Ein bestimmter Prozentsatz der Energie werde pro Zeiteinheit in
die kleineren Wirbel transportiert. Aus Dimensionsgründen gilt für diese
Energie
u 3
ε ∝
L
(7.74)
Das Spektrum der grossen Wirbel lässt sich schreiben als
F = F(
k,
ε,
L)
(7.75)
Die Dämpfung findet nur in den kleinsten Wirbeln statt. Hier ist L keine
relevante Längenskala mehr, vielmehr muss gelten
f = f ( k,
ε,
ν )
(7.76)
ε ist die Rate, mit der Energie von den grossen Wirbeln erzeugt wurde,
und folglich die Rate, mit der Energie von den kleinen Wirbeln dissipiert
werden muss. Die Längenskala für die Dämpfung erhält man wieder aus
Dimensionsüberlegungen,
3
1/
4
⎞ ⎛
⎜
ν
⎟ η = (7.77)
ε ⎟ ⎜
⎝ ⎠
η heisst Kolmogoroff-Länge. Es gilt
⎛ L uL
⎜ =
η ν ⎝
⎞
⎟
⎠
3 / 4
= Re
3 / 4
(7.78)
61
Die Energie wird also (im Spektralbereich) über Wirbel vieler Grössenordnungen
transportiert. In diesem „Inertialbereich“ ist weder L noch η
eine relevante Skala (wohl aber ε), folglich
f = f ( k,
ε )
(7.79)
f hat die Dimension u2 /k,
2 −1 2 / 3 −5
/ 3
k ≈
f ∝ u ε k
(7.80)
−5
/ 3
Dieses k -Kolmogoroff-Gesetz charakterisiert bei hohen Reynoldszahlen
das Spektrum für einen sehr weiten Bereich.
(Figur aus Panton).
62